第二章推理与证明质量检测试卷(含答案和解释)

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第二章推理与证明质量检测试卷(含答案和解释)

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文 章来 源莲山 课件 w w
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阶段质量检测(二) 推理与证明
(时间: 120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.根据偶函数定义可推得“函数f(x)=x2在R上是偶函数”的推理过程是(  )
A.归纳推理         B.类比推理
C.演绎推理   D.非以上答案
解析:选C 根据演绎推理的定义知,推理过程是演绎推理,故选C.
2.自然数是整数,4是自然数,所以4是整数.以上三段论推理(  )
A.正确
B.推理形式不正确
C.两个“自然数”概念不一致
D.“两个整数”概念不一致
解析:选A 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的.
3.设a,b,c都是非零实数,则关于a,bc,ac,-b四个数,有以下说法:
①四个数可能都是正数;②四个数可能都是负数;③四个数中既有正数又有负数.
则说法中正确的个数有(  )
A.0   B.1
C.2   D.3
解析:选B 可用反证法推出①,②不正确,因此③正确.
4.下列推理正确的是(  )
A.把a(b+c)与loga(x+y)类比,则有loga(x+y)=logax+logay
B.把a(b+c)与sin(x+y)类比,则有sin(x+y)=sin x+sin y
C.把a(b+c)与ax+y类比,则有ax+y=ax+ay
D.把(a+b)+c与(xy)z类比,则有(xy)z=x(yz)
解析:选D (xy)z=x(yz)是乘法的结合律,正确.
5.已知“整数对”按如下规律排列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第70个“整数对”为(  )
A.(3,9)   B.(4,8)
C.(3,10)   D.(4,9)
解析:选D 因为1+2+…+11=66,所以第67个“整数对”是(1,12),第68个“整数对”是(2,11),第69个“整数对”是(3,10),第70个“整数对”是(4,9),故选D.
6.求证:2+3>5.
证明:因为2+3和5都是正数,
所以为了证明2+3>5,
只需证明(2+3)2>(5)2,展开得5+26>5,
即26>0,此式显然成立,所以不等式2+3>5成立.
上述证明过程应用了(  )
A.综合法   B.分析法
C.综合法、分析法配合使用   D.间接证法
解析:选B 证明过程中的“为了证明……”,“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的,是分析法的证明模式.
7.已知{bn}为等比数列,b5=2,则b1b2b3…b9=29.若{an}为等差数列,a5=2,则{an}的类似结论为(  )
A.a1a2a3…a9=29   B.a1+a2+…+a9=29
C.a1a2…a9=2×9   D.a1+a2+…+a9=2×9
解析:选D 由等差数列性质,有a1+a9=a2+a8=…=2a5.易知D成立.
8.若数列{an}是等比数列,则数列{an+an+1}(  )
A.一定是等比数列
B.一定是等差数列
C.可能是等比数列也可能是等差数列
D.一定不是等比数列
解析:选C 设等比数列{an}的公比为q,则an+an+1=an(1+q).∴当q≠-1时,{an+an+1}一定是等比数列;
当q=-1时,an+an+1=0,此时为等差数列.
9.已知a+b+c=0,则ab+bc+ca的值(  )
A.大于0   B.小于0
C.不小于0   D.不大于0
解析:选D 法一:∵a+b+c=0,∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,∴ab+ac+bc=-a2+b2+c22≤0.
法二:令c=0,若b=0,则ab+bc+ac=0,否则a,b异号,∴ab+bc+ac=ab<0,排除A、B、C,选D.
10.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,那么a,b,c的值为(  )
A.a=12,b=c=14   B.a=b=c=14
C.a=0,b=c=14   D.不存在这样的a,b,c
解析:选A 令n=1,2,3,
得3a-b+c=1,92a-b+c=7,273a-b+c=34.
所以a=12,b=c=14.
11.已知数列{an}的前n项和Sn,且a1=1,Sn=n2an(n∈N*),可归纳猜想出Sn的表达式为(  )
A.Sn=2nn+1   B.Sn=3n-1n+1
C.Sn=2n+1n+2   D.Sn=2nn+2
解析:选A 由a1=1,得a1+a2=22a2,∴a2=13,S2=43;又1+13+a3=32a3,∴a3=16,S3=32=64;
又1+13+16+a4=16a4,得a4=110,S4=85.
由S1=22,S2=43,S3=64,S4=85可以猜想Sn=2nn+1.
12.设函数f(x)定义如下表,数列{xn}满足x0=5,且对任意的自然数均有xn+1=f(xn),则x2 016=(  )

x 1 2 3 4 5
f(x) 4 1 3 5 2
A.1   B.2
C.4   D.5
解析:选D x1=f(x0)=f(5)=2,x2=f(2)=1,x3=f(1)=4,x4=f(4)=5,x5=f(5)=2,…,数列{xn}是周期为4的数列,所以x2 016=x4=5,故应选D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分.把答案填在题中的横线上)
13.已知x,y∈R,且x+y<2,则x,y中至多有一个大于1,在用反证法证明时,假设应为________.
解析:“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”,故其对立面为“x,y都大于1”.
答案:x,y都大于1
14.已知a>0,b>0,m=lga+b2,n=lga+b2,则m,n的大小关系是________.
解析:ab>0⇒ab>0⇒a+b+2ab>a+b⇒
(a+b)2>(a+b)2⇒a+b>a+b⇒
a+b2>a+b2⇒lga+b2>lg a+b2.
答案:m>n
15.已知 2+23=223, 3+38=338, 4+415=
4415,…, 6+ab=6ab,a,b均为正实数,由以上规律可推测出a,b的值,则a+b=________.
解析:由题意归纳推理得 6+ab=6ab,b=62-1
=35,a=6.∴a+b=6+35=41.
答案:41
16.现有一个关于平面图形的命题:如图,同一平面内有两个边长都是a的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24.类比到空间,有两个棱长为a的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为________.
解析:解法的类比(特殊化),易得两个正方体重叠部分的体积为a38.
答案:a38
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)用综合法或分析法证明:
(1)如果a,b>0,则lg a+b2≥lg a+lg b2;
(2)6+10>23+2.
证明:(1)当a,b>0时,有a+b2≥ab,
∴lga+b2≥lgab,
∴lga+b2≥12lg ab=lg a+lg b2.
(2)要证 6+10>23+2,
只要证(6+10)2>(23+2)2,
即260>248,这是显然成立的,
所以,原不等式成立.
18.(本小题满分12分)若a1>0,a1≠1,an+1=2an1+an(n=1,2,…).
(1)求证:an+1≠an;
(2)令a1=12,写出a2,a3,a4,a5的值,观察并归纳出这个数列的通项公式an(不要求证明).
解:(1)证明:若an+1=an,即2an1+an=an,
解得an=0或1.
从而an=an-1=…=a2=a1=0或1,
这与题设a1>0,a1≠1相矛盾,
所以an+1=an不成立.
故an+1≠an成立.
(2)由题意得a1=12,a2=23,a3=45,a4=89,a5=1617,由此猜想:an=2n-12n-1+1.
19.(本小题满分12分)下列推理是否正确?若不正确,指出错误之处.
(1)求证:四边形的内角和等于360°.
证明:设四边形ABCD是矩形,则它的四个角都是直角,有∠A+∠B+∠C+∠D=90°+90°+90°+90°=360°,所以四边形的内角和为360°.
(2)已知 2 和 3 都是无理数,试证:2+3也是无理数.
证明:依题设2和3都是无理数,而无理数与无理数之和是无理数,所以2+3必是无理数.
(3)已知实数m满足不等式(2m+1)(m+2)<0,用反证法证明:关于x的方程x2+2x+5-m2=0无实根.
证明:假设方程x2+2x+5-m2=0有实根.由已知实数m满足不等式(2m+1)(m+2)<0,解得-2<m<-12,而关于x的方程x2+2x+5-m2=0的判别式Δ=4(m2-4),∵-2<m<-12,∴14<m2<4,∴Δ<0,即关于x的方程x2+2x+5-m2=0无实根.
解:(1)犯了偷换论题的错误,在证明过程中,把论题中的四边形改为矩形.
(2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”,这个论据是假的,因为两个无理数的和不一定是无理数,因此原题的真实性仍无法判定.
(3)利用反证法进行证明时,要把假设作为条件进行推理,得出矛盾,本题在证明过程中并没有用到假设的结论,也没有推出矛盾,所以不是反证法.
20.(本小题满分12分)等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+2,S3=9+32.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn;
(2)设bn=Snn(n∈N*),
求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
解:(1)由已知得a1=2+1,3a1+3d=9+32,
∴d=2.
故an=2n-1+2,Sn=n(n+2).
(2)由(1)得bn=Snn=n+2.
假设数列{bn}中存在三项bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比数列,则b2q=bpbr,
即(q+2)2=(p+2)(r+2),
∴(q2-pr)+(2q-p-r)2=0,
∵p,q,r∈N*,∴q2-pr=0,2q-p-r=0,
∴p+r22=pr,(p-r)2=0.
∴p=r,与p≠r矛盾.
∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列.
21.(本小题满分12分)已知:sin2 30°+sin2 90°+sin2 150°=32,sin2 5°+sin2 65°+sin2 125°=32,通过观察上述两等式的规律,请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题,并给予证明.
解:一般形式为:
sin2α+sin2(α+60°)+sin2(α+120°)=32.
证明:左边=1-cos 2α2+1-cos2α+120°2+
1-cos2α+240°2
=32-12[cos 2α+cos(2α+120°)+cos(2α+240°)]
=32-12(cos 2α+cos 2αcos 120°-sin 2αsin 120°+cos 2αcos 240°-sin 2αsin 240°)
=32-12cos 2α-12cos 2α-32sin 2α-12cos 2α+32sin 2α=32=右边.
将一般形式写成sin2(α-60°)+sin2α+sin2(α+60°)=32也正确
22.(本小题满分12分)根据要求证明下列各题:
(1)用分析法证明:已知非零向量a,b,且a⊥b,求证:|a|+|b||a+b|≤2;
(2)用反证法证明:1,2,3不可能是一个等差数列中的三项.
证明:(1)a⊥b⇔a•b=0,要证|a|+|b||a+b|≤2.
只需证|a|+|b|≤ 2|a+b|,
只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2(a2+2a•b+b2),
只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2a2+2b2,
只需证|a|2+|b|2-2|a||b|≥0,即(|a|-|b|)2≥0,
上式显然成立,故原不等式得证.
(2)假设1,2,3是某一个等差数列中的三项,且分别是第m,n,k项(m,n,k∈N*),
则数列的公差d=2-1n-m=3-1k-m,即2-1=2n-mk-m,
因为m,n,k∈N*,所以(n-m)∈Z,(k-m)∈Z,所以2n-mk-m为有理数,
所以2-1是有理数,这与2-1是无理数相矛盾.
故假设不成立,所以1,2,3不可能是一个等差数列的三项.
 

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