2018高二数学下选修1-1课时达标训练含答案(人教A版18份)

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2018高二数学下选修1-1课时达标训练含答案(人教A版18份)

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章 来源莲山课件 ww w.
5 Y k j.CoM

阶段质量检测(三)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知f(x)=ln xx2,则f′(e)=(  )
A.1e3  B.1e2  C.-1e2  D.-1e3
2.若函数f(x)=13x3-f′(1)•x2-x,则f′(1)的值为(  )
A.0  B.2  C.1  D.-1
3.曲线y=xx+2在点(-1,-1)处的切线方程为(  )
A.y=2x+1  B.y=2x-1
C.y=-2x-3  D.y=-2x-2
4.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).且x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,则x<0时(  )
A.f′(x)>0,g′(x)>0
B.f′(x)>0,g′(x)<0
C.f′(x)<0,g′(x)>0
D.f′(x)<0,g′(x)<0
5.函数f(x)=ln xx(0<x<10)(  )
A.在(0,10)上是增函数
B.在(0,10)上是减函数
C.在(0,e)上是增函数,在(e,10)上是减函数
D.在(0,e)上是减函数,在(e,10)上是增函数
6.若函数y=a(x3-x)的递增区间是-∞,-33,33,+∞,则a的取值范围是(  )
A.a>0    B.-1<a<0
C.a>1      D.0<a<1
7.已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是(  )
A.(-∞,0)  B.0,12
C.(0,1)     D.(0,+∞)
8.方程2x3-6x2+7=0在(0,2)内根的个数为(  )
A.0  B.1  C.2  D.3
9.函数y=12x-2sin x的图象大致是(  )
 
10.若函数f(x)在R上可导,且f(x)>f′(x),则当a>b时,下列不等式成立的是(  )
A.eaf(a)>ebf(b) 
B.ebf(a)>eaf(b)
C.ebf(b)>eaf(a) 
D.eaf(b)>ebf(a)
11.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(  )
A.(-∞,-1)∪(0,1) 
B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0) 
D.(0,1)∪(1,+∞)
12.若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是(  )
A.f1k<1k 
B.f1k>1k-1
C.f1k-1<1k-1 
D.f1k-1>kk-1
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=________.
14.函数y=xex在其极值点处的切线方程为________.
15.已知a<0,函数f(x)=ax3+12aln x,且f′(1)的最小值是-12,则实数a的值为________.
16.函数y=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则a=________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.设定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ax+1ax+b(a>0).
(1)求f(x)的最小值;
(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=32x,求a,b的值.
18.已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex.
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求实数a的取值范围.
19.(本小题满分12分)设函数f(x)=e2x-aln x.
(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数;
(2)证明:当a>0时,f(x)≥2a+aln2a.
20.已知函数f(x)=ln xx.
(1)判断函数f(x)的单调性;
(2)若y=xf(x)+1x的图象总在直线y=a的上方,求实数a的取值范围.
21.已知函数f(x)=ln x-ax.
(1)若f(x)存在最小值且最小值为2,求a的值;
(2)设g(x)=ln x-a,若g(x)<x2在(0,e]上恒成立,求a的取值范围.
22.已知函数f(x)=ln1+x1-x.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求证:当x∈(0,1)时,f(x)>2x+x33;
(3)设实数k使得f(x)>kx+x33对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.

 


1. 解析:选D ∵f′(x)=x2x-2xlnxx4=1-2ln xx3,
∴f′(e)=1-2ln ee3=-1e3.
2. 解析:选A ∵f(x)=13x3-f′(1)•x2-x,
∴f′(x)=x2-2f′(1)•x-1,
∴f′(1)=1-2f′(1)-1,
∴f′(1)=0.
3. 解析:选A ∵y′=x′(x+2)-x(x+2)′(x+2)2=2(x+2)2,
∴k=y′|x=-1=2(-1+2)2=2,
∴切线方程为:y+1=2(x+1),
即y=2x+1.
4. 解析:选B f(x)为奇函数且x>0时单调递增,所以x<0时单调递增,f′(x)>0; g(x)为偶函数且x>0时单调递增,所以x<0时单调递减,g′(x)<0.
5. 解析:选C 由f′(x)=1-ln xx2,令f′(x)>0,得0<x<e;令f′(x)<0得e<x<10,故选C.
6. 解析:选A 依题意得y′=a(3x2-1)>0的解集为-∞,-33,33,+∞,∴a>0.
7. 解析:选B 由题知,x>0,f′(x)=ln x+1-2ax,由于函数f(x)有两个极值点,则f′(x)=0有两个不等的正根,即函数y=ln x+1与y=2ax的图象有两个不同的交点(x>0),则a>0.设函数y=ln x+1上任一点(x0,1+ln x0)处的切线为l,则kl=y′=1x0,当l过坐标原点时,1x0=1+ln x0x0⇒x0=1,令2a=1⇒a=12,结合图象知0<a<12.
8. 解析:选B 设f(x)=2x3-6x2+7,
则f′(x)=6x2-12x=6x(x-2).
∵x∈(0,2),∴f′(x)<0.
∴f(x)在(0,2)上递减,又f(0)=7,f(2)=-1,
∴f(x)在(0,2)上有且只有一个零点,
即方程2x3-6x2+7=0在(0,2)内只有一个根.
9. 解析:选C 因为y′=12-2cos x,所以令y′=12-2cos x>0,得cos x<14,此时原函数是增函数;令y′=12-2cos x<0,得cos x>14,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象,可得选项C正确.
10. 解析:选D ∵f(x)ex′=exf′(x)-exf(x)(ex)2
=ex[f′(x)-f(x)](ex)2<0,
∴y=f(x)ex单调递减,又a>b,
∴f(a)ea<f(b)eb,
∴eaf(b)>ebf(a).
11. 解析:选A 当x>0时,令F(x)=f(x)x,则F′(x)=xf′(x)-f(x)x2<0,∴当x>0时,F(x)=f(x)x为减函数.
∵f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.
在区间(0,1)上,F(x)>0;在(1,+∞)上,F(x)<0.
即当0<x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)<0.
又f(x)为奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;
当x∈(-1,0)时,f(x)<0.
综上可知,f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).
12. 解析:选C 构造函数F(x)=f(x)-kx,
则F′(x)=f′(x)-k>0,
∴函数F(x)在R上为单调递增函数.
∵1k-1>0,∴F1k-1>F(0).
∵F(0)=f(0)=-1,∴f1k-1-kk-1>-1,
即f1k-1>kk-1-1=1k-1,
∴f1k-1>1k-1,故C错误.
13. 解析:由曲线在点(1,a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0,由y′=2ax-1x及导数的几何意义得y′|x=1=2a-1=0,解得a=12.
答案:12
14. 解析:由题知y′=ex+xex,令y′=0,解得x=-1,
代入函数解析式可得极值点的坐标为-1,-1e,
又极值点处的切线为平行于x轴的直线,故切线方程为y=-1e.
答案:y=-1e
15. 解析:f′(x)=3ax2+12ax,则f′(1)=3a+12a.
∵a<0,∴f′(1)=-(-3a)+21-a
≤-2(-3a)×12-a=-12.
当-3a=12-a,即a=-2时,取“=”.
答案:-2
16. 解析:∵y′=3x2+2ax+b,
∴1+a+b+a2=10,3+2a+b=0⇒a=-3,b=3或a=4,b=-11.
当a=-3,b=3时,y′=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,函数无极值,故a=4,b=-11.
答案:4
17. 解:(1)法一:由题设和均值不等式可知,
f(x)=ax+1ax+b≥2+b,
当且仅当ax=1等号成立,
即当x=1a时,f(x)取最小值为2+b.
法二:f(x)的导数f′(x)=a-1ax2=a2x2-1ax2,
当x>1a时,f′(x)>0,f(x)在1a,+∞上单调递增;
当0<x<1a时,f′(x)<0,f(x)在0,1a上单调递减.
所以当x=1a时,f(x)取最小值为2+b.
(2)由题设知,f′(x)=a-1ax2,f′(1)=a-1a=32,
解得a=2或a=-12(不合题意,舍去).
将a=2代入f(1)=a+1a+b=32,
解得b=-1.所以a=2,b=-1.
18. 解:(1)当a=2时,f(x)=(-x2+2x)ex,f′(x)=(-x2+2)ex.令f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0,注意到ex>0,所以-x2+2>0,解得-2<x<2.
所以,函数f(x)的单调递增区间为(-2,2).同理可得,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-2)和(2,+∞).
(2)因为函数f(x)在(-1,1)上单调递增,所以f′(x)≥0在(-1,1)上恒成立.
又f′(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex,所以[-x2+(a-2)x+a]ex≥0,注意到ex>0,因此-x2+(a-2)x+a≥0在(-1,1)上恒成立,也就是a≥x2+2xx+1=x+1-1x+1在(-1,1)上恒成立.
设y=x+1-1x+1,则y′=1+1(x+1)2>0,即y=x+1-1x+1在(-1,1)上单调递增,则y<1+1-11+1=32,故a≥32.即实数a的取值范围为32,+∞.
19. 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=2e2x-ax.
当a≤0时,f′(x)>0,f′(x)没有零点;
当a>0时,设u(x)=e2x,v(x)=-ax,
因为u(x)=e2x在(0,+∞)上单调递增,v(x)=-ax在(0,+∞)上单调递增,
所以f′(x)在(0,+∞)上单调递增.
又f′(a)>0,当b满足0<b<a4且b<14时,f′(b)<0,
故当a>0时,f′(x)存在唯一零点.
(2)证明:由(1),可设f′(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x0,当x∈(0,x0)时,f′(x)<0;
当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0.
故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).
由于2e2x0-ax0=0,
所以f(x0)=a2x0+2ax0+aln2a≥2a+aln2a.
故当a>0时,f(x)≥2a+aln2a.
20. 解:(1)f′(x)=1-ln xx2.
当0<x<e时,f′(x)>0,f(x)为增函数;
当x>e时,f′(x)<0,f(x)为减函数.
(2)依题意得,不等式a<ln x+1x对于x>0恒成立.
令g(x)=ln x+1x,
则g′(x)=1x-1x2=1x1-1x.
当x∈(1,+∞)时,g′(x)=1x1-1x>0,则g(x)是(1,+∞)上的增函数;
当x∈(0,1)时,g′(x)<0,则g(x)是(0,1)上的减函数.所以g(x)的最小值是g(1)=1,从而a的取值范围是(-∞,1).
21. 解:(1)f′(x)=1x+ax2=x+ax2(x>0),
当a≥0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上是增函数,
f(x)不存在最小值;
当a<0时,由f′(x)=0得x=-a,
且0<x<-a,时f′(x)<0,
x>-a时,f′(x)>0.
∴x=-a时,f(x)取得最小值,
f(-a)=ln(-a)+1=2,解得a=-e.
(2)g(x)<x2即ln x-a<x2,即a>ln x-x2,
故g(x)<x2在(0,e]上恒成立,也就是a>ln x-x2在(0,e]上恒成立.
设h(x)=ln x-x2,则h′(x)=1x-2x=1-2x2x,
由h′(x)=0及0<x≤e得x=22.
当0<x<22时,h′(x)>0,当22<x≤e时,h′(x)<0,即h(x)在0,22上为增函数,在22,e上为减函数,
所以当x=22时h(x)取得最大值为h22=ln 22-12.
所以g(x)<x2在(0,e]上恒成立时,a的取值范围为ln 22-12,+∞.
22. 解:(1)因为f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),
所以f′(x)=11+x+11-x,f′(0)=2.
又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.
(2)证明:令g(x)=f(x)-2x+x33,
则g′(x)=f′(x)-2(1+x2)=2x41-x2.
因为g′(x)>0(0<x<1),
所以g(x)在区间(0,1)上单调递增.
所以g(x)>g(0)=0,x∈(0,1),
即当x∈(0,1)时,f(x)>2x+x33.
(3)由(2)知,当k≤2时,f(x)>kx+x33对x∈(0,1)恒成立.
当k>2时,令h(x)=f(x)-kx+x33,
则h′(x)=f′(x)-k(1+x2)=kx4-k+21-x2.
所以当0<x< 4k-2k时,h′(x)<0,因此h(x)在区间0, 4k-2k上单调递减.
故当0<x< 4k-2k时,h(x)<h(0)=0,
即f(x)<kx+x33.
所以当k>2时,f(x)>kx+x33并非对x∈(0,1)恒成立.
综上可知,k的最大值为2.
 


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