2017年天津市和平区高二数学上期中质量试题(带答案)

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2017年天津市和平区高二数学上期中质量试题(带答案)

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天津市和平区2017-2018学年高二上学期期中质量调查
数学试题
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项
中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线 的倾斜角为 ,则直线 的斜率为(    )
A.           B.          C.1          D.
2.在 轴、 轴上的截距分别是2、 的直线方程为(    )
A.          B.         C.        D.
3.若 是异面直线, ,则 与 的位置关系是(    )
A. 或             B. 与 相交或
C. 与 相交或         D. 与 相交或 或 
4.若一个长方体的长、宽、高分别为 、 、1,则它的外接球的表面积为(    )
A.         B.         C.          D.
5.过点 与 且圆心在直线 上的圆的方程为(    )
A.          B.         
C.          D.
6.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 ,那么圆柱的体积等于(    )
A.         B.        C.        D.
7.过点 作圆 : 的切线 ,直线 : 与直线 平行,则直线 与 之间的距离为(    )
A.          B.        C.4        D.2
8.已知平面 平面 , ,点 ,直线 ,直线 ,直线 ,则下列四种位置关系中,不一定成立的是(    )
A.       B.        C.          D.
第Ⅱ卷(共60分)
二、填空题(每题4分,满分20分,将答案填在答题纸上)
9.若点 , , 三点共线,则 的值等于      .
10.一个圆锥的母线为 ,母线与轴的夹角为 ,则圆锥的高为        .
11.圆 上到直线 的距离等于1的点有      个.
12.若直线 与平面 相交于点 , , ,且 ,则 三点的位置关系是      .
13.如图,正方体 中,给出以下四个结论:
① 平面 ;② 与平面 相交;③ 平面 ;④平面 平面 ,其中正确结论的序号是      .
 
14.三棱锥 中, 分别为 的中点,记三棱锥 的体积为 , 的体积为 ,则       .
三、解答题 (本大题共5题,共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.已知直线 经过直线 与直线 的交点 .
(1)若直线 垂直于 ,求直线 的方程;
(2)若直线 与经过两点 , 的直线平行,求直线 的方程.

16.已知方程 .
(1)若此方程表示圆,求 的取值范围;
(2)若(1)中的圆与直线 相交于 两点,且 ( 为坐标原点),求 的值.
17.如图,直三棱柱 中, , , 分别是 的中点,求证:
(1) 平面 ;
(2) ;
(3)平面 平面 .
 
18.如图,在四棱锥 中,底面四边形 是矩形, 平面 , 分别是 的中点, .
(1)求证: 平面 ;
(2)求二面角 的大小;
(3)若 ,求直线 与平面 所成角的正弦值.
 
19.已知 为坐标原点,设动点 .
(1)当 时,若过点 的直线 与圆 : 相切,求直线 的方程;
(2)当 时,求以 为直径且被直线 截得的弦长为2的圆的方程;
(3)当 时,设 ,过点 作 的垂线,与以 为直径的圆交于点 ,垂足为 ,试问:线段 的长是否为定值?若为定值,求出这个定值;若不为定值,请说明理由.

试卷答案
一、选择题
1-5:ABDCD   6-8:CA  
二、填空
9.4   10.     11.3   12.在同一条直线上   13.①④    14.
三、解答题
15.解:由 ,解得
∴点 的坐标为 .
(1)∵直线 的斜率为 ,
∴与该直线垂直的直线 的斜率为 ,
∴直线 的方程为 ,即 .
(2)直线 的斜率为 ,
∵直线 与直线 平行,
∴ ,
∴直线 的方程为 ,即 .
16.(1)解:∵方程 表示圆,
∴ ,
∴ ,
解得 .
∴ 的取值范围是 .
(2)设 的坐标分别为 ,
则由 消去 并整理得
 ,
∴ ,
∵ ,且 ,
∴ ,即 ,
∵ ,
∴ ,
整理得
∴ ,
解得 ,即 的值为 .
17.(1)证法一:由直三棱柱 得
 平面 ,
∵ 平面 ,
∴  ,
又∵ , 为 的中点,
∴ ,
又∵ ,
∴ 平面 .
证法二:由直三棱柱 得
平面 平面 ,且平面 平面 ,
∵ , 为 的中点,
∴ ,
又∵ 平面 ,
∴ 平面 .
(2)由(1)知, 平面
∵ 平面 ,
∴  ,
∵  ,  ,
∴ 平面 ,
∵ 平面 ,
∴ .
(3)证法一:由直三棱柱 知,四边形 是矩形,
∵ 分别是 的中点,
∴ ,且 ,
∴四边形 是平行四边形,
∴ ,
∵ 平面 , 平面 ,
∴ 平面 ,
连接 ,则四边形 是矩形,
∴ ,且 ,
又∵ , ,
∴ ,且 ,
∴四边形 是矩形,
∴ ,
∵ 平面 , 平面 ,
∴ 平面
又∵ ,
∴平面 平面 .
证法二:由(2)知, 平面 ,
∵ 平面 ,∴  ,
∵ ,∴  ,
∵ 平面 , 平面 ,
∴  ,
∵  ,
∴ 平面 ,
∴平面 平面 .
18、(1)证明:取 的中点 ,连接 ,
 
∵ 是 的中点,
∴ ,且 ,
∵四边形 是矩形,
∴ ,且 ,
∴ ,且 ,
又∵ 是 的中点,
∴ ,
∴ ,且 ,
∴四边形 是平行四边形,
∴ ,
∵ 平面 , 平面
∴ 平面 .
(2)∵ 平面 , 平面
∴  ,
∵四边形 是矩形,
∴  ,
∵  , 、 平面 ,
∴ 平面 ,
又∵ 平面 , 
∴ 为二面角 的平面角,
∵ ,
∴ 为等腰直角三角形
∴ ,即二面角 的大小为 .
(3)由(2)知, 为等腰直角三角形
∵ 是斜边 的中点,
∴ ,
由(1)知, ,
∴ ,
又由(2)知, 平面 , 平面 ,
∴  ,
∴  ,
又∵ 平面 ,
∴ 平面 ,
∴ 是直线 在平面 上的射影,
∴ 为直线 与平面 所成的角,
在 中, , ,
∴ ,
在等腰直角 中,
∵ 是 的中点,
∴ ,

∴ ,
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
19、(1)解:依题意 ,
将圆 : 化为标准方程为: ,
则圆心 ,半径为 ,
∵直线 过点 ,
∴当斜率不存在时,直线 的方程为 ,符合题意;
当斜率存在时,设过点 的直线 的方程为 ,即 .
∵直线 与圆 相切,
∴圆心 到直线 的距离为4,
即 ,解得 ,
∴ ,即 ,
综上可得,所求直线 的方程为 或 .
(2)依题意得, ( ),
∴以 为直径的圆圆心为 ,半径为 ,
∴圆的方程为 ,
∵以 为直径的圆被直线 截得的弦长为2,
∴圆心到直线 的距离为
 ,
∴ ,解得 .
∴圆心为 ,半径为 ,
∴所求圆的方程为 .
(3) 的长为定值.
理由如下:
依题意得 ( )
由于 ∽ ,
则 ,即 ,
∵直线 的方程为 ,即
∴由点到直线的距离公式得 ,
又由两点间的距离公式得 ,
∴ ,
∴ ,
∴ 的长为定值为 .


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