2017年高二数学理科上期中试题A(北京市丰台区带答案)

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2017年高二数学理科上期中试题A(北京市丰台区带答案)

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丰台区2017-2018学年度第一学期期中联考试卷
高二理科数学(A卷)    考试时间:90分钟

第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、单选题共10小题;每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.已知直线 的方程为 ,那么直线 的倾斜角是
A.  
B.
C.
D.

2.已知点 , 为直线 上任意一点,那么 的最小值是
A.1  B.2 C.
D.

3.若两条直线 与 平行,则 的值为
A.
B. 或
C.
D.

4.若直线 沿 轴向左平移 个单位,再沿 轴向上平移 个单位,回到原来的位置,则直线 的斜率为
A.
B.
C.
D.

5.方程 表示一个圆,则 的取值范围是
A.
B.
C.
D.

6.若直线 被圆 所截得的弦长为 ,则实数 的值为
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或

7.若双曲线 的离心率为 ,则 =
A.
B.
C.
D.

8.直线 与圆 在第二象限内有两个不同交点,则实数 的取值范围是
A.
B.

C.
D.

9.如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点 上,片门位于另一个焦点 上.由椭圆一个焦点 发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 .已知 , .则截口 所在椭圆的离心率为
A.
B.
C.
D.

10.已知实数 满足不等式组 ,且目标函数 ,若取得最大值时的唯一最优解是 ,则实数 的取值范围是
A. 
B. 

C.
D. 


第Ⅱ卷(非选择题 共60分)
二、填空题共6小题,每小题4分,共24分。
11.双曲线 的两条渐近线的方程是____.
12.若三点 在同一直线上,则实数 等于____.
13.以点 为圆心且与直线 相切的圆的方程是____.
14.设变量 满足约束条件 则目标函 的最大值是____.
15. 椭圆 的左右焦点分别为 ,点 在椭圆上,且 =6,则 ____, 的大小为____.
16.在直线 : 上任取一点 ,过点 且以双曲线 的焦点为焦点作椭圆.当椭圆长轴最短时的椭圆方程是____.

三、解答题共4个小题,共36分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
17.(本小题8分)
已知 , ,直线 经过点 且垂直于直线 ,直线 与 轴相交于点 .
(1)求直线 的方程以及线段 的垂直平分线;
(2)求 的外接圆方程.

18. (本小题 9分)
已知圆 : ,直线 经过点 且与圆 相切.
(1)求圆 的圆心坐标以及半径;
(2)求直线 的方程.

19. (本小题9分)
已知  , 分别为椭圆 的左、右焦点,椭圆离心率 ,直线 通过点 ,且倾斜角是 .
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)若直线 与椭圆 交于 、 两点,求 的面积.

20. (本小题10分)
已知椭圆 的离心率为 ,点 , 都在椭圆 上, 为椭圆 上异于 的任意一点.以 为一边作矩形 ,且 ,直线 分别交 轴于 两点.
(1)求椭圆 的方程;
(2)求证:  为定值,并求该定值;
(3)若 ,求此时点 的横坐标.

 

(考生务必将答案写在答题卡上,在试卷上做答无效)
丰台区2017-2018学年度第一学期期中联考试卷
高二理科数学(A卷)    考试时间:90分钟

第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题(本题共10小题;每小题4分,共40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C B A D D C B
第Ⅱ卷(非选择题 共60分)

二、填空题(本题共4小题;每小题4分,共24分)
11.    12.       13.
14.11         15.8,90°   16.
三、解答题(本题共4小题,共36分;解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤)
17. (8分)
解:(1)由已知 ,则直线 的方程为:
 ,即 :      ……1分
所以 ,
则直线 的方程为: ,
 : ,                  ………2分
令 ,则 ,所以 点坐标为 . ……3分
 的中点是                   ………4分
则线段 的垂直平分线方程为:
 ,
即 的垂直平分线方程为:      …5分
(2)因为 ,
所以圆心坐标为点 和点 的中点坐标(1,0)    …6分
                            ……7分
   所以,圆的方程为  .          …8分
18.(9分)
解:(1)∵圆的方程为  ………1分
∴圆心坐标为 ,半径    ………3分
  (2) ①当直线 的斜率存在时:
      设直线 的方程为: ,…4分
即 : 
         因为直线 与圆 相切,所以
 ,…5分
           所以 , ………………6分
因此, 的方程为: .…7分
②当直线 的斜率不存在时:
 的方程为: ,经验证符合. ……8分
   综上: 的方程为: 或  …9分
19.(9分)
解:(1)由已知  , ,又 ,
        ∴椭圆的标准方程是    ……3分
(2)因为 , ,
所以直线 的方程为: ………………4分
将 代入椭圆 中整理得,
 ,………………………………5分
可解得 ,……………………6分
∴ ,……………………7分
点 到直线 的距离为: ,…8分
 .………9分
20.(10分)
解:(1)由已知:  ,得 ,……1分
   所以, ,
  椭圆 的方程: .   ……………… 2
(2)因为 ,不妨记 ,
设 ,
所以: 直线方程为 ,
则     ……3分
同理, 直线方程为 ,
则     ……4分
 ,  ,
所以  ;………5分
而 
 ,……6分
所以 .   ………………7分
(3)因为 ,
且 等高,
所以 ,…………………8分
平方并带入 可得:
 ,
即 ,
则 或 ;…………………9分
带入 , ,
易得   ……………10分
(若用其他方法解题,请酌情给分)

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