2017年如皋市高二数学下期末质量调研试题(理附答案)

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2017年如皋市高二数学下期末质量调研试题(理附答案)

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2016—2017学年度高二年级第二学期期末教学质量调研
理科数学试题
2017.7
一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共70分)
1. 已知集合 ,则           .
2. 复数 ( 为虚数单位)的模为.
3.函数 的定义域为          .
4.已知函数 ,则         .
5.已知函数 ,设 为 的导函数,
 
根据以上结果,推断              .
6.已知正实数 满足 ,则 的最小值为           .
7.若指数函数 的图象过点 ,则不等式 的解集是         .
8.已知 满足约束条件 ,则 的最小值是           .
9.已知函数 在 处取得极小值,则实数 的取值范围是             .
10.已知函数 是定义在R上的奇函数,且当 时, 若 ,则 的大小关系为           .(用“<”连接)
11.已知函数 在区间 上是单调增函数,则实数 的取值范围是           .
12.若不等式 对任意 恒成立,则实数 的值      .
13.已知函数 若关于 的方程 有三个不同的解,其中最小的解为 ,则 的取值范围为             .
14.已知函数 的图象为曲线C,O为坐标原点,若点P为曲线C上的任意一点,曲线C上存在点Q,使得 ,则实数 的取值集合为          .
二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
15.(本题满分14分)已知命题 :方程 有解;命题 :函数 在R上是单调函数.
(1)当命题 为真命题时,求实数 的取值范围;
(2)当 为假命题, 为真命题时,求实数 的取值范围.


16.(本题满分14分)
已知集合 其中 ,集合 .
(1)若 ,求实数 的取值范围;
(2)若 ,求实数 的取值范围.


17.(本题满分14分)已知函数 ,其中
(1)当 时,求函数 在 上的值域;
(2)若函数 在 上的最小值为3,求实数 的取值范围.

18.(本题满分16分)
  某地方政府要将一块如图所示的直角梯形ABCD空地改建为健身娱乐广场.已知AD//BC, 百米, 百米,广场入口P在AB上,且 ,根据规划,过点P铺设两条相互垂直的笔直小路PM,PN(小路的宽度不计),点M,N分别在边AD,BC上(包含端点), 区域拟建为跳舞健身广场, 区域拟建为儿童乐园,其它区域铺设绿化草坪,设 .
(1)求绿化草坪面积的最大值;
(2)现拟将两条小路PNM,PN进行不同风格的美化,PM小路的美化费用为每百米1万元,PN小路的美化费用为每百米2万元,试确定M,N的位置,使得小路PM,PN的美化总费用最低,并求出最小费用.

 

19.(本题满分16分)
已知函数 是定义在R上的奇函数,其中 为自然对数的底数.
(1)求实数 的值;
(2)若存在 ,使得不等式 成立,求实数 的取值范围;
(3)若函数 在 上不存在最值,求实数 的取值范围.

 

20.(本题满分16分)已知函数 ,其中
  (1)当 时,求函数 在 处的切线方程;
(2)若函数 在定义域上有且只有一个极值点,求实数 的取值范围;
(3)若对任意 恒成立,求实数 的取值范围.
 


2016—2017学年度高二年级第二学期期末教学质量调研
数学附加卷

 

21.选修4-2:矩阵与变换
  已知矩阵 ,若 ,求 的值


22.选修4-4:坐标系与参数方程

在极坐标系中,已知曲线 ,若直线 被曲线C截得的弦长为 ,求实数 的值.

23.(本题满分10分)
已知函数 满足
(1) 求函数 的解析式;
(2) 当 时,试比较 与 的大小,并用数学归纳法证明你的结论.


24.(本题满分10分)
   已知函数 ,其中 为自然对数的底数
(1) 讨论函数 的单调性;
(2) 若不等式 对任意的 恒成立,求 的最大值。

 


2016~2017学年度高二年级第二学期期末教学质量调研
理科数学试题参考答案及评分标准
Ⅰ卷
一、填空
1.             2.              3.          4.
5.         6.              7.          8.
9.                   10.                  11.
12.                    13.                   14.
二、解答题
15.(本题共14分,其中卷面分1分)
解:(1)由题意得 ,得 .……………………………6分
   (2)命题 为真命题时实数 满足 ,得 ,
……………………………9分
       若 为假命题, 为假命题时,则实数 满足
        ,得 。                 ……………………………13分
16.(本题共14分,其中卷面分1分)
解:(1)集合          ……………………………2分
    方法一:(1)当 时, ,不符合题意。……………………………3分
           (2)当 时, .
                ①当 ,即 时,
又因为
                   所以 ,即 ,所以 ………………5分
                ②当 ,即 时,
又因为
                   所以 ,即 ,所以
                 综上所述:实数 的取值范围为: 或 …………7分
方法二:因为 ,所以对于 ,
 恒成立.
令 则

所以实数 的取值范围为: 或                …………7分
  (2)方法一:(1)当 时, ,符合题意。            …………9分
              (2)当 时, .
                ①当 ,即 时,
又因为
                   所以   或者   ,                   
即  或者 ,
所以                              …………11分
                ②当 ,即 时,
又因为
所以   或者   ,                   
即  或者 ,
所以
                 综上所述:实数 的取值范围为:      …………13分
 方法(二)令
                由 得
①    即    所以      …………10分
②  即      所以
综上所述:实数 的取值范围为:      …………13分
17. (本题共14分,其中卷面分1分)
(1)解:  时,
             则
             令 得 列表
 

 
 
单调递增    
单调递减  
单调递增    21
       由上表知函数 的值域为                    …………6分
    (2)方法一:
          ①当 时, ,函数 在区间 单调递增
所以
  即 (舍)                            …………8分
                 ②当 时, ,函数 在区间 单调递减
  所以
  符合题意                                 …………10分
             ③当 时,
当 时,  区间在 单调递减
当 时,  区间在 单调递增
  所以
                 化简得:
                  即
                所以 或 (舍)
              注:也可令
                       则
                  对
 在 单调递减
                所以 不符合题意
             综上所述:实数 取值范围为                    …………13分
         方法二:
              ①当 时, ,函数 在区间 单调递减
  所以
  符合题意                                    …………8分
②当 时, ,函数 在区间 单调递增
所以    不符合题意           …………10分             
          ③当 时,
当 时,  区间在 单调递减
当 时,  区间在 单调递增
  所以    不符合题意
综上所述:实数 取值范围为                 …………13分
                
18. (本题共16分,其中卷面分1分)
解:(1)在 中, ,得 ,
所以
由 ,
在 中, ,得 ,
所以
所以绿化草坪面积
    
         
                                          …………4分
 又因为
 当且当 ,即 。此时
                                          …………6分
所以绿化草坪面积的最大值为 平方百米.
                                          …………7分
     (2)方法一:在 中, ,得 ,
由 ,
在 中, ,得 ,
所以总美化费用为
                                          …………10分
 
   
令 得 列表如下
 
 - 0 - 
 
 
单调递减 
单调递增 

                所以当 时,即 时总美化费用最低为4万元。
                                          …………15分
方法二:在 中, ,得 ,
由 ,
在 中, ,得 ,
所以总美化费用为
                                          …………10分
 
令 得
所以 ,
所以 在 上是单调递减
            所以当 , 时,即 时总美化费用最低为4万元。
                                          …………15分
19. (本题共16分,其中卷面分1分)
(1)解:因为 在定义域 上是奇函数,
            所以
            即 恒成立,
            所以 ,此时                      …………3分
     (2)   因为
              所以
             又因为 在定义域 上是奇函数,
              所以 
又因为 恒成立
              所以 在定义域 上是单调增函数
              所以存在 ,使不等式 成立
              等价于存在 , 成立              …………7分
          所以存在 ,使 ,即
          又因为 ,当且仅当 时取等号
          所以 ,即                            …………9分
         注:也可令
                  ①对称轴 时,即
                   在 是单调增函数的。
由 不符合题意
                  ②对称轴 时,即
                   此时只需 得 或者
                   所以
            综上所述:实数 的取值范围为 .
(3)函数
   令                                  
  则 在 不存在最值等价于
    函数 在 上不存在最值        …………11分
   由函数 的对称轴为 得: 成立
    令
      由
     所以 在 上是单调增函数
又因为  ,所以实数 的取值范围为:              …………15分
20. (本题共16分,其中卷面分1分)
(1)当 则
    又 则切线的斜率 ,
    所以函数 在 处的切线方程为 .              …………3分
 (2) , ,则 ,
令 ,
①若 ,则 ,故 ,函数 在 上单调递增,所以函数 在 上无极值点,故 不符题意,舍去;
                                                          …………4分
②若 , ,该二次函数开口向下,对称轴 , ,
所以 在 上有且仅有一根 ,故 ,
且当 时, , ,函数 在 上单调递增;
当 时, , ,函数 在 上单调递减;
所以 时,函数 在定义域上有且仅有一个极值点 ,符合题意;                                                     …………6分

③若 , ,该二次函数开口向上,对称轴 .
(ⅰ)若 ,即 , ,故 ,函数 在 上单调递增,所以函数 在 上无极值点,故 不符题意,舍去;                                                …………7分
(ⅱ)若 ,即 ,又 ,所以方程 在 上有两根 , ,故 ,且
当 时, , ,函数 在 上单调递增;
当 时, , ,函数 在 上单调递减;
当 时, , ,函数 在 上单调递增;
所以函数 在 上有两个不同的极值点,故 不符题意,舍去,
综上所述,实数 的取值范围是 .                           …………9分
(3)由(2)可知,
①当 时,函数 在 上单调递增,所以当 时,
 ,符合题意,                              …………10分
②当 时, ,
(ⅰ)若 ,即 ,函数 在 上单调递减,故 ,不符题意,舍去,
(ⅱ)若 ,即 ,故函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
当 时, (事实上,令 , ,则 ,函数 在 上单调递减,所以 ,即 对任意 恒成立.)
所以存在 ,使得 ,故 不符题意,舍去;
…………14分
③当 时, ,函数 在 上单调递增,所以当 时, ,符合题意.
综上所述,实数 的取值范围是 .                             …………15分

Ⅱ卷
21.(本题满分10分)
   由
  得       所以             …………10分
22.(本题满分10分)
    方法一:由 得 ,所以 .
   方法二:极坐标的极点为坐标原点,以极轴为 建立直角坐标系。
           由曲线: 即 得 
  即
           由直线   得
           圆心到直线的距离
           所以    解得 (负舍)            …………10分
23. (本题满分10分)
(1)令 ,则 ,
所以 ,故函数 的解析式为 .        …………3分
(2)当 时, , ,此时  ;
            当 时, , ,此时  ;
            当 时, , ,此时  ;
            当 时, , ,此时  ;
            猜想:当 , ,都有 .            …………5分
要证明:当 , ,都有 ,
即要证:当 , , ,
即要证:当 , , .
证明:①当 时, , ,显然, 成立;
②假设当 时, 成立,
那么,当 时, ,又当 时,
 
 ,
故 ,
所以 时, 结论成立,
  由①②,根据数学归纳法可知,当 , ,都有 .    …………10分
24.(本题满分10分)
解:(1) , , ,
①当 时, , 在 上单调递增;
②当 时,令 ,得 ,
x  

 
↘ 极小值 ↗
综上所述,当 时, 在 上单调递增;当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增.                                 …………4分
(2)由(1)可知,若 ,函数 在 上单调递增, 在 上无最小值,与题意矛盾,舍去;
所以 , 在 上单调递减,在 上单调递增, 在 上的最小值为 .
因为不等式 对任意 都成立,
所以 ,其中 ,
故 , ,
令 , , ,
令 ,解得 ,
m  
  0 

 
↗ 极大值 ↘
所以 ,故 ,
即 的最大值为 .    

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