2017年哈尔滨市高二数学下期末试题(理有答案和解释)

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2017年哈尔滨市高二数学下期末试题(理有答案和解释)

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哈尔滨市2016—2017学年度下学期期末考试
高二下理科数学试题
考试时间:120分钟    满分:150分
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.
1.设集合  ,  ,则  (   )
A.     B.            C.          D. 
2.已知 是虚数单位,则 =(    )
A.               B.               C.          D.
3.已知 ,则 的解析式为(   )
A.    B.  
C.                  D.
4.设 是定义在 上的奇函数,当 时,  ,则 (     )
A.                 B.                 C.                D.
5.已知“ ”是“ ”的充分不必要条件,则 的取值范围是(  )
A.            B.             C.          D.
6.设 ,则 的大小关系是(  )
A.          B.            C.         D.
7. 展开式中的常数项为(     )
A.               B.                C.              D.
8.下列四个结论中正确的个数是(  )
①若 为假命题,则 均为假命题;
②命题:“ ”的否定是 “ ”;
③“若 则 ”的逆命题为真命题;
④若 是 上的奇函数,则
A.1                 B.2                 C.3              D.4
9.函数 的图象大致为(  )

 

10.如图, 中的阴影部分是由曲线 与直线 所围成,向 内随机投掷一点,则该点落在阴影部分的概率为(   )

A.             B.           C.            D.

11.函数 的图象与 的图象关于直线 对称,则 的单调减区间为 (    )
A.  B.  C.  D.
12.已知函数 ,则 (  )
A.            B.           C.            D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.函数 的定义域为_______________
14.设 为随机变量,若  ,当 时, 的值为______
15.若不等式 对于一切 成立,则 的取值范围是        
16.函数 ,则函数 的零点个数是      

 

三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明,证明过程或解题步骤.
17.(本小题满分10分)在平面直角坐标系中,曲线 的参数方程为  .以坐标原点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为 .
 与 交于 两点. 
(Ⅰ)求曲线 的普通方程及直线 的直角坐标方程;
(Ⅱ)设点 ,求 的值.


18.(本小题满分12分)已知函数 .
(1)求函数 的单调性;
(2)求函数 在 上的最大值和最小值.


 19.(本小题满分12分)某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏,但可见部分如下,据此解答如下问题: 
 
(Ⅰ)求分数在 的频率及全班人数;
(Ⅱ)求分数在 之间的频数,并计算频率分布直方图中 间的矩形的高;
(Ⅲ)若规定: (包含 分)分以上为良好, 分(包含 分)以上为优秀,要从分数在良好以上的试卷中任取两份分析学生失分情况,设在抽取的试卷中,分数为优秀的试卷份数为 ,求 的概率分布列及数学期望.


20.(本小题满分12分)如图,底面为正方形的直四棱柱 中, ,点 在 上,且 .
(1)证明: 平面 ;
(2)求二面角 的余弦值.
 

21.(本小题满分12分)已知函数 .
(1)若 在 处的切线与 垂直,求 的值;
(2)若 在 上恒成立,求 的取值范围;

 

22.(本小题满分12分)如图,过顶点在原点 ,对称轴为 轴的抛物线 上的定点 作斜率分别为 的直线,分别交抛物线 于 两点.
(1)求抛物线 的标准方程和准线方程;
(2)若 ,且 的面积为 ,求直线 的方程.

1-5DBCBA  6-10CCAAD 11-12CA
13.          14.9          15.          16.7
14.17.解:(Ⅰ)曲线 的普通方程为  ......2分直线 的直角坐标方程: ....5分
(Ⅱ)点 在 上, 的参数方程为  代入 整理得:
 ........8分
 ......10分
18.解:(1)在 上单调递增;在 上单调递减.........6分
(2) .....12分(列表2分)
19.解:(Ⅰ)由频率分布直方图得分数在[50,60)的频率为0.008×10=0.08,....1分 
由茎叶图得分类在[50,60)的人数为2人,
∴全班人数为:  人.....3分
(Ⅱ)由茎叶图得分数在[80,90)之间的频数为:25﹣2﹣7﹣10﹣2=4人,
∵成绩为[80,90)间的频数为4,
∴频率分布直方图中[80,90)间矩形的高为:  .....6分
(Ⅲ)由已知得X的可能取值为0,1,2,
由茎叶图知分数在良好以上有11人,其中分数为优秀有2人,
∴P(X=0)=  =  ,
P(X=1)=  =  ,
P(X=2)=  =  ,....9分
∴X的分布列为:
 X  0  1  2
 P     

 


E(X)=  =   ...12分              

20. 解:以D为坐标原点,射线DA为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. 依题设知B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4).
则 =(0,2,1), =(2, 2,0), =(-2,2,-4), =(2,0,4)......3分
(1)证明:∵ • =0, • =0,
∴A1C⊥BD,A1C⊥DE. 又DB∩DE=D,
∴A1C⊥平面DBE..........6分
(2)设向量n=(x,y,z)是平面DA1E的法向量,则n⊥ 、n⊥ .
∴2y+z=0,2x+4z=0.令y=1,则z=-2,x=4,∴n=(4,1,-2)......8分
∴cos〈n, 〉= ......10分
∴二面角A1-DE-B的余弦值为 ....12分
21.(1) ;(2) ;
解析:(1 )∵ 的定义域为 , ,∴ ,即 .....4分
(2)∵ ,
①当 时, ,∴ 在 上单调递减,∴当 时, 矛盾.
②当 时, ,令 ,得 ; ,得 .
(i)当 ,即 时, 时, ,即 递减,∴ 矛盾.
(ii)当 ,即 时, 时, ,即 递增,∴ 满足题意.
综上: ........8分
22.解:
 
由 得 或 .
又 ,点 到直线 的距离 .
 ,
又 ,∴ ,解得 或 ,都满足 .
当 时, ,则直线 的方程为: ;
当 时, ,则直线 的方程为: .

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