2017年黄冈市高二数学(理)下期末试卷(带答案)

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2017年黄冈市高二数学(理)下期末试卷(带答案)

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2017学年黄冈市高二(下)期末试题
数学(理科)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.)
1. 设集合S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则(∁RS)∪T=(  )
A.[-4,-2]  B.(-∞,1]    C.[1,+∞)     D.(-2,1]
2.已知复数 ,则复数 的虚部为(   )
A.      B.     C.      D.  
3. 随机变量 ~ ,若 ,则 为(    )
A.      B.      C.      D. 
4.若 个人报名参加 项体育比赛,每个人限报一项,则不同的报名方法的种数有(    )
A.      B.       C.       D. 
5. 广告投入对商品的销售额有较大影响.某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计,得到统计数据如下表(单位:万元)
广告费
2 3 4 5 6
销售额
29 41 50 59 71
由上表可得回归方程为 ,据此模型,预测广告费为8万元时的销售额约为(    )
A.         B.         C.          D. 
6. 从 中不放回地依次取 个数,事件 表示“第 次取到的是奇数”,事件 表示“第 次取到的是奇数”,则 (   )
A.        B.        C.         D.
7.已知函数 , 是 的导函数,则 的图象大致是(   )
8. 如图,长方形的四个顶点坐标为O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2),曲线 经过点B,现将质点随机投入长方形OABC中,则质点落在图中阴影部分的概率为(   )
A.         B.          C.           D. 
9.若 且 ,则 和 的值满足(    )
A.  和 都大于2                  B.  和 都小于2
C.   和 中至少有一个小于2       D.  以上说法都不对
10.2013年8月,考古学家在湖北省随州市叶家山发现了大量的古墓,经过对生物体内碳14含量的测量,估计该古墓群应该形成于公元前850年左右的西周时期,已知碳14的“半衰期”为5730年(即含量大约经过5730年衰减为原来的一半),由此可知,所测生物体内碳14的含量应最接近于(    )
A.25﹪   B. 50﹪ C. 70﹪        D.75﹪
11. 对大于1的自然数 m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”: .仿此,若 的“分裂数”中有一个是2017,则m的值为(    )
A. 44      B. 45      C. 46       D.47
12. 已知函数 恰有两个零点,则实数 的取值范围是(   )
A.      B.      C.     D. 
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测,规定至少要解答正确2道题才能及格。某同学只能求解其中的4道题,则他能及格的概率是______________
14. 已知函数 ,则曲线 在 处的切线方程是_________
15.设 ,则 等于______________
16.先阅读下面的文字:“求 的值时,采用了如下的方式:令 ,则有 ,两边平方,可解得 =2(负值舍去)”。那么,可用类比的方法,求出 的值是        .
三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知定义在 上的函数 是奇函数.
⑴求 的值,并判断函数 在定义域中的单调性(不用证明);
⑵若对任意的 ,不等式 恒成立,求实数 的取值范围.


18. (本小题满分12分)
为了增强环保意识,某社团从男生中随机抽取了60人,从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试,统计数据如下表所示:
 优秀 非优秀 总计
男生 40 20 60
女生 20 30 50
总计 60 50 110
(1)试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关;
(2)为参加市举办的环保知识竞赛,学校举办预选赛,现在环保测试优秀的同学中选3人参加预选赛,已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为 ,若随机变量 表示这3人中通过预选赛的人数,求 的分布列与数学期望.
附: =
 
0.500 0.400 0.100 0.010 0.001
  0.455 0.708 2.706 6.635 10.828


19. (本小题满分12分)
如图,某段铁路AB长为80公里, ,且 公里,为将货物从A地运往C地,现在AB上的距点B为x的点M处修一公路至点C.已知铁路运费为每公里2元,公路运费为每公里4元.
(1)将总运费y表示为x的函数.
(2)如何选点M才使总运费最小?

 


20. (本小题满分12分)
已知数列 的前 项和为 ,且
(1)试求出 ,并猜想 的表达式;
(2)用数学归纳法证明你的猜想,并求出 的表达式。
 


21.(本小题满分12分)
设函数 .
(1)求 的极值;
(2)当 时,试证明: .


 

请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4 4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,曲线 的方程为 ,点 .以极点 为原点,极轴为 轴的正半轴建立直角坐标系.
(1)求直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程;
(2)若直线 与曲线 交于 、 两点,求 的值.
 


23.(本小题满分10分)选修4 5:不等式选讲
设函数 ,不等式 的解集是 .
(1)求实数 的值;
(2)若 对一切 恒成立,求 的范围.
 


黄冈市2017年春季高二期末试题数学(理科)
参考答案及评分标准
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C B D A D A A C C C B
二、填空题:
13.            14.           15. 135            16. 72
部分题解析:
9. 【答案】C
【解析】假设 和 都不小于2.
因为x>0,y>0,所以1+x≥2y,且1+y≥2x,两式相加得1+x+1+y≥2(x+y),
即x+y≤2,这与x+y>2相矛盾,因此1+xy与1+yx中至少有一个小于2.故选C.
10. 【答案】C
【解析】依题意知,生物体内碳14含量P与死亡年数t的关系为: ,而生物体距发掘时有约2863年,故可得 ,选C

三、解答题:
.17. 【答案】⑴ ;⑵ .
【解析】⑴∵ 是定义在 上的奇函数,
∴ ,∴                                  ……………………1分
∴ ,
∴ ,                                         ……………………3分
即 对一切实数 都成立.
∴ ,∴ .                                       ……………………5分
 是 上的减函数。                                     ……………………6分
⑵不等式 等价于 .
又 是 上的减函数,∴ .                  ……………………8分
∴ 对 恒成立,                   ……………………10分
∴ .即实数 的取值范围是 .                ……………………12分
18. 【答案】(1)有 %的把握认为环保知识是否优秀与性别有关;(2)分布列见解析,
【解析】(1)              ……………………3分
因为          
所以有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关.           ……………………6分
(2) 的可能取值为0,1,2,3                            ……………………7分
 ,                          
                    
所以 的分布列为:
X 0 1 2 3
P       
……………………10分
因为 ,   所以             ……………………12分
19. 【答案】(1) ;(2)当在距离点 为 公里时的点 处修筑公路至 时总运费最省.
【解析】(1)依题意,铁路 上的运费为 ,公路 上的运费为 ,
则由 到 的总运费为 .……………………6分
(2) ,                     ……………………8分
令 ,解得 ,或 (舍).              ……………………10分
当 时,  ;当 时,  ;
故当 时,  取得最小值, 即当在距离点 为 公里时的点 处修筑公路至 时总运费最省.                                           ……………………12分
20. 【答案】(1) ;(2)见解析.
【解析】(1)解: 
 `             ……………………3分
猜想                                             ……………………5分
(2)证明:(1)当 时,  等式成立。
假设当 时,等式成立,即 。
当 时, ,∴                       ……………………8分
 
 时,等式也成立。
综上1)2)知,对于任意 ,  都成立。        ……………………10分
又                       ……………………12分
21. 【答案】(1) 极大值= ;(2)证明见解析.
【解析】(1)函数 定义域为 ,
                            ……………………2分
当 时, ,          ……………………4分
所以当 时, 极大值= .函数 无极小值。      ……………………5分
(Ⅱ)要证 ,只需证 ,   ……………………6分
只需证                                  ……………………7分
设 ,则                ……………………10分
由(1)知 在 单调递减
 即 在 上是减函数,而
 ,故原不等式成立                           ……………………12分
22. 【答案】(1) ( 为参数), ;(2) .
【解析】(1)∵化为直角坐标可得 , ,          ……………………1分
∴直线 的参数方程为:                      ……………………3分
∵ ,
∴曲线 的直角坐标方程: ,                      ……………………5分
(2)将直线 的参数方程代入曲线C的方程,得  ,
……………………7分
∴ , ,
∴ .               ……………………10分
考点:极坐标和参数方程等有关知识的综合运用.
23.【答案】(1) ;(2) .
【解析】(1)由题意可知 , ,解得 ,
……………………2分
∵不等式 的解集是 ,
∴ 解得 .                                   ……………………5分
(2)∵ ,
∴                         ……………………6分
  ,        ……………………8分
当 时, ,
∴ .                                               ……………………10分
或解
当 时, ,∴ .

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