2017-2018学年七年级数学下期末试卷(重庆市南岸区含答案解析)

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2017-2018学年七年级数学下期末试卷(重庆市南岸区含答案解析)

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2017-2018学年重庆市南岸区七年级(下)期末数学试卷
 
一、选择题(本大题12个小题,每小题4分,共48分)在每个小题的下面,都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的,请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1.(4分)计算a2•a5的结果是(  )
A.a3 B.a10 C.a﹣3 D.a7
2.(4分)下列世界博览会会徽图案中是轴对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
3.(4分)下列计算正确的是(  )
A.a5+a5=a10 B.(3a)2=6a2 C.a7÷a=a6 D.(a3)2=a5
4.(4分)下列事件为必然事件的是(  )
A.任意买一张电影票,座位号是偶数
B.打开电视机,CCTV第一套节目正在播放天气预报
C.从一个只装有红色小球的袋中,任意摸出一球是红球
D.经过某一有交通信号灯的路口,恰好遇到红灯
5.(4分)2015年4月,生物学家发现一种病毒的长度约为0.0000043米,利用科学记数法表示为(  )
A.4.3×106米 B.4.3×10﹣5米 C.4.3×10﹣6米 D.43×107米
6.(4分)一个缺角的三角形ABC残片如图所示,量得∠A=45°,∠B=60°,则这个三角形残缺前的∠C的度数为(  )
 
A.75° B.65° C.55° D.45°
7.(4分)我市为迎接2014青奥会的召开,现对某景观道路进行拓宽改造.工程队在工作了一段时间后,因雨被迫停工几天,随后工程队加快了施工进度,按时完成了拓宽改造任务.下面能反映该工程尚未改造的道路y(米)与时间x(天)的函数关系的大致图象是(  )
A.  B.  C.  D.
8.(4分)如图,长方形纸片ABCD的边长AB=2 ,AD=2,将长方形纸片沿EF折叠,使点A与点C重合,如果∠BCE=30°,则∠DFE的大小是(  )
 
A.120° B.110° C.115° D.105°
9.(4分)将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置,根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a、b的恒等式为(  )
 
A.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 D.a(a﹣b)=a2﹣ab
10.(4分)如图,下列条件中,一定能判断AB∥CD的是(  )
 
A.∠2=∠3 B.∠1=∠2 C.∠4=∠5 D.∠3=∠4
11.(4分)如图,AB∥DE,AC∥DF,AC=DF,下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是(  )
 
A.AB=DE B.∠B=∠E C.EF=BC D.EF∥BC
12.(4分)如图,D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD=CD,∠DBC=∠DCB,过D作DE⊥AC于E,DF⊥AB交BA的延长线于F,则下列结论:
①△CDE≌△BDF;②CE=AB+AE;③∠BDC=∠BAC;④∠DAF=∠CBD.
其中正确的结论有(  )
 
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
 
二、填空题(本大题6个小题,每小题4分,共24分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上
13.(4分)比较大小:2      5(填“>,<,=”).
14.(4分)一只小狗跳来跳去,然后随意落在如图所示的某一方格中(每个方格除颜色外完全相同),则小狗停留在黑色方格中的概率是     .
 
15.(4分)已知等腰三角形的两边长是3cm和6cm,则这个等腰三角形的周长是     cm.
16.(4分)若4x2﹣mx+ 是一个完全平方式,则实数m的值应为     .
17.(4分)如图,△ABE和△ACD是△ABC分别以AB、AC为对称轴翻折180°形成的,若∠1:∠2:∠3=29:4:3,则∠α的度数为     .
 
18.(4分)如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,BC=2 ,点D从B点开始运动到C点结束,DE交AC于E,∠ADE=45°,当△ADE是等腰三角形时,AE的长度为     .
 
 
三、解答题(本大题2个小题,每小题8分,共16分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形,请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上
19.(8分)如图,点B、F、C、E在同一条直线上,FB=CE,AC∥DF,AC=DF.求证:AB=DE.
 
20.(8分)如图某商场为了吸引顾客,设立了一个可以自由转动的转盘,并规定:每购买500元商品,就能获得一次转动转盘的机会,如果转盘停止后,指针上对准500、200、100、50、10的区域,顾客就可以分别获得500元、200元、100元、50元、10元的购物券一张(转盘等分成20份).
(1)小华购物450元,他获得购物券的概率是多少?
(2)小丽购物600元,那么:
①她获得50元购物券的概率是多少?
②她获得100元以上(包括100元)购物券的概率是多少?
 
 
四、解答题(本大题5个小题,每小题10分,共50分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上
21.(10分)计算:
(1)(a﹣b﹣3)(a﹣b+3)
(2)[(a+1)(a+2)﹣2]÷a
22.(10分)如图,EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=80°.求∠AGD的度数.
 
23.(10分)如图,是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条,已知铁环粗0.5厘米,每个铁环长4.6厘米,设铁环间处于最大限度的拉伸状态
(1)填表:
铁环个数 1 2 3 4
链条长(cm) 4.6 8.2            
(2)设n个铁环长为y厘米,请用含n的式子表示y;
(3)若要组成2.17米长的链条,至少需要多少个铁环?
 
24.(10分)先仔细阅读材料,再尝试解决问题:通过对有理数的学习,我们知道x2≥0,本学期学习了完全平方公式后,我们知道a2±2ab+b2=(a±b)2.所以完全平方式(a±b)2的值为非负数,这一性质在数学中有着广泛的应用.比如探求多项式2x2+4c﹣5的最大(小)值时,我们可以这样处理:
解:原式=2(x2+2x)﹣5
=2(x2+2x+12﹣12)﹣5
=2[(x+1)2﹣12]﹣5
=2(x+1)2﹣7
因为(x+1)2≥0,所以2(x+1)2﹣7≥0﹣7.当x=﹣1时,2(x+1)2﹣7取得最小值,最小值是﹣7
请根据上面的解题思路,解答下列问题:
(1)求多项式3x2﹣12x+2的最小值是多少,并写出对应的x的取值;
(2)求多项式x2+4x+y2﹣2y+8的最小值.
25.(10分)著名的瑞士数学家欧拉曾指出:可以表示为四个整数平方之和的甲、乙两数相乘,其乘积仍然可以表示为四个整数平方之和,即(a2+b2+c2+d2)(e2+f2+g2+h2)=A2+B2+C2+D2,这就是著名的欧拉恒等式,有人称这样的数为“不变心的数”.
实际上,上述结论可减弱为:可以表示为两个整数平方之和的甲、乙两数相乘,其乘积仍然可以表示为两个整数平方之和.
【动手一试】试将(12+52)(22+72)改成两个整数平方之和的形式.
(12+52)(22+72)=     ;
阅读思考】在数学思想中,有种解题技巧称之为“无中生有”.
例如问题:将代数式x2﹣y2+ 改成两个平方之差的形式.
解:原式= ﹒
【解决问题】请你灵活运用利用上述思想来解决“不变心的数”问题:
将代数式(a2+b2)(c2+d2)改成两个整数平方之和的形式(其中a、b、c、d均为整数),并给出详细的推导过程﹒
 
五、解答题(本大题1个小题,共12分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形,请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上
26.(12分)直角三角形有一个非常重要的性质质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,比如:如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,D为斜边AB中点,则CD=AD=BD= AB.请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题:
在△ABC中,直线a绕顶点A旋转.
(1)如图2,若点P为BC边的中点,点B、P在直线a的异侧,BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N,连接PM、PN.求证:PM=PN;
(2)如图3,若点B、P在直线a的同侧,其它条件不变,此时PM=PN还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图4,∠BAC=90°,直线a旋转到与BC垂直的位置,E为AB上一点且AE=AC,EN⊥a于N,连接EC,取EC中点P,连接PM、PN,求证:PM⊥PN.
 
 
 

2017-2018学年重庆市南岸区七年级(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本大题12个小题,每小题4分,共48分)在每个小题的下面,都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的,请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1.(4分)计算a2•a5的结果是(  )
A.a3 B.a10 C.a﹣3 D.a7
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案.
【解答】解:a2•a5=a7.
故选:D.
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算,正确掌握运算法则是解题关键.
 
2.(4分)下列世界博览会会徽图案中是轴对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可.
【解答】解:A、不是轴对称图形,本选项错误;
B、不是轴对称图形,本选项错误;
C、不是轴对称图形,本选项错误;
D、是轴对称图形,本选项正确.
故选:D.
【点评】本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.
 
3.(4分)下列计算正确的是(  )
A.a5+a5=a10 B.(3a)2=6a2 C.a7÷a=a6 D.(a3)2=a5
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则和合并同类项法则分别计算得出答案.
【解答】解:A、a5+a5=2a5,故此选项错误;
B、(3a)2=9a2,故此选项错误;
C、a7÷a=a6,正确;
D、(a3)2=a6,故此选项错误.
故选:C.
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算和合并同类项,正确掌握相关运算法则是解题关键.
 
4.(4分)下列事件为必然事件的是(  )
A.任意买一张电影票,座位号是偶数
B.打开电视机,CCTV第一套节目正在播放天气预报
C.从一个只装有红色小球的袋中,任意摸出一球是红球
D.经过某一有交通信号灯的路口,恰好遇到红灯
【分析】必然事件就是一定发生的事件,依据定义即可作出判断.
【解答】解:A、任意买一张电影票,座位号是偶数是随机事件,选项错误;
B、打开电视机,CCTV第一套节目正在播放天气预报是随机事件,选项错误;
C、从一个只装有红色小球的袋中,任意摸出一球是红球是必然事件,选项正确;
D、经过某一有交通信号灯的路口,恰好遇到红灯是随机事件,选项错误.
故选:C.
【点评】本题考查了必然事件的定义,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
 
5.(4分)2015年4月,生物学家发现一种病毒的长度约为0.0000043米,利用科学记数法表示为(  )
A.4.3×106米 B.4.3×10﹣5米 C.4.3×10﹣6米 D.43×107米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【解答】解:0.0000043=4.3×10﹣6,
故选:C.
【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
 
6.(4分)一个缺角的三角形ABC残片如图所示,量得∠A=45°,∠B=60°,则这个三角形残缺前的∠C的度数为(  )
 
A.75° B.65° C.55° D.45°
【分析】依据三角形内角和为180°,即可得到这个三角形残缺前的∠C的度数.
【解答】解:∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠C=180°﹣(∠A+∠B)=180°﹣(45°+60°)=75°,
故选:A.
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理,三角形内角和是180°.
 
7.(4分)我市为迎接2014青奥会的召开,现对某景观道路进行拓宽改造.工程队在工作了一段时间后,因雨被迫停工几天,随后工程队加快了施工进度,按时完成了拓宽改造任务.下面能反映该工程尚未改造的道路y(米)与时间x(天)的函数关系的大致图象是(  )
A.  B.  C.  D.
【分析】根据y随x的增大而减小,即可判断选项A错误;根据施工队在工作了一段时间后,因雨被迫停工几天,即可判断选项B错误;根据施工队随后加快了施工进度得出y随x的增大减小得比开始的快,即可判断选项C、D的正误.
【解答】解:∵y随x的增大而减小,
∴选项A错误;
∵施工队在工作了一段时间后,因雨被迫停工几天,
∴选项B错误;
∵施工队随后加快了施工进度,
∴y随x的增大减小得比开始的快,
∴选项C错误;选项D正确;
故选:D.
【点评】本题主要考查对函数图象的理解和掌握,能根据实际问题所反映的内容来观察与理解图象是解答此题的关键.
 
8.(4分)如图,长方形纸片ABCD的边长AB=2 ,AD=2,将长方形纸片沿EF折叠,使点A与点C重合,如果∠BCE=30°,则∠DFE的大小是(  )
 
A.120° B.110° C.115° D.105°
【分析】先根据三角形内角和定理得到∠BEC的度数,再根据折叠的性质即可得到∠AEF的度数,最后根据平行线的性质,即可得到∠DFE的度数.
【解答】解:∵∠BCE=30°,∠B=90°,
∴∠BEC=60°,
由折叠可得,∠AEF=∠CEF,
∴∠AEF= (180°﹣∠BEC)=60°,
由CD∥AB,可得∠AEF+∠DFE=180°,
∴∠DFE=180°﹣60°=120°.
故选:A.
【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用,解题时注意:两直线平行,同旁内角互补.
 
9.(4分)将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置,根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a、b的恒等式为(  )
 
A.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 D.a(a﹣b)=a2﹣ab
【分析】分别求出两个图形的面积,再根据两图形的面积相等即可得到恒等式.
【解答】解:图甲面积=(a﹣b)(a+b),
图乙面积=a(a﹣b+b)﹣b×b=a2﹣b2,
∵两图形的面积相等,
∴关于a、b的恒等式为:(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2.
故选:C.
 
【点评】本题考查了平方差公式的几何解释,根据面积相等分别求出图形的面积是解题的关键.
 
10.(4分)如图,下列条件中,一定能判断AB∥CD的是(  )
 
A.∠2=∠3 B.∠1=∠2 C.∠4=∠5 D.∠3=∠4
【分析】根据平行线的判定定理,同位角相等两直线平行,内错角相等两直线平行,则得出答案.
【解答】解:A、由∠2=∠3,不能判断AB∥CD,故本选项错误;
B、∵∠1=∠2,内错角相等,两直线平行∴AB∥CD,故本选项正确;
C、由∠4=∠5,不能判断AB∥CD,故本选项错误;
D、由∠3=∠4,不能判断AB∥CD,故本选项错误.
故选:B.
【点评】本题考查了平行线的判定,熟练掌握平行线的判定定理,是解此题的关键.
 
11.(4分)如图,AB∥DE,AC∥DF,AC=DF,下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是(  )
 
A.AB=DE B.∠B=∠E C.EF=BC D.EF∥BC
【分析】本题可以假设A、B、C、D选项成立,分别证明△ABC≌△DEF,即可解题.
【解答】解:∵AB∥DE,AC∥DF,∴∠A=∠D,
(1)AB=DE,则△ABC和△DEF中, ,∴△ABC≌△DEF,故A选项错误;
(2)∠B=∠E,则△ABC和△DEF中, ,∴△ABC≌△DEF,故B选项错误;
(3)EF=BC,无法证明△ABC≌△DEF(ASS);故C选项正确;
(4)∵EF∥BC,AB∥DE,∴∠B=∠E,则△ABC和△DEF中, ,∴△ABC≌△DEF,故D选项错误;
故选:C.
【点评】本题考查了全等三角形的不同方法的判定,注意题干中“不能”是解题的关键.
 
12.(4分)如图,D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD=CD,∠DBC=∠DCB,过D作DE⊥AC于E,DF⊥AB交BA的延长线于F,则下列结论:
①△CDE≌△BDF;②CE=AB+AE;③∠BDC=∠BAC;④∠DAF=∠CBD.
其中正确的结论有(  )
 
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF,再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△BDF全等,根据全等三角形对应边相等可得CE=AF,利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=AF,然后求出CE=AB+AE;根据全等三角形对应角相等可得∠DBF=∠DCE,然后求出A、B、C、D四点共圆,根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC=∠BAC;∠DAE=∠CBD,再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠DAF,然后求出∠DAF=∠CBD.
【解答】解:∵AD平分∠CAF,DE⊥AC,DF⊥AB,
∴DE=DF,
在Rt△CDE和Rt△BDF中,
 ,
∴Rt△CDE≌Rt△BDF(HL),故①正确;
∴CE=AF,
在Rt△ADE和Rt△ADF中,
 ,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),
∴AE=AF,
∴CE=AB+AF=AB+AE,故②正确;
∵Rt△CDE≌Rt△BDF,
∴∠DBF=∠DCE,
∴A、B、C、D四点共圆,
∴∠BDC=∠BAC,故③正确;
∠DAE=∠CBD,
∵Rt△ADE≌Rt△ADF,
∴∠DAE=∠DAF,
∴∠DAF=∠CBD,故④正确;
综上所述,正确的结论有①②③④共4个.
故选:D.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键,难点在于需要二次证明三角形全等.
 
二、填空题(本大题6个小题,每小题4分,共24分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上
13.(4分)比较大小:2  > 5(填“>,<,=”).
【分析】首先分别求出两个数的平方各是多少;然后判断出两个数的平方的大小关系,即可判断出两个数的大小关系.
【解答】解: ,52=25,
因为28>25,
所以2 >5.
故答案为:>.
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是判断出两个数的平方的大小关系.
 
14.(4分)一只小狗跳来跳去,然后随意落在如图所示的某一方格中(每个方格除颜色外完全相同),则小狗停留在黑色方格中的概率是   .
 
【分析】先求出正方形中共有多少个方格,再求出黑色的方格的个数,最后求出黑色方格所占的比即可.
【解答】解:∵正方形中共有15个方格,黑色的方格有5个,
∴小狗停留在黑色方格中的概率是:  = ,
故答案为: .
【点评】此题考查了几何概率,用到的知识点为:概率=相应的面积与总面积之比,关键是求出黑色方格的面积与总面的比.
 
15.(4分)已知等腰三角形的两边长是3cm和6cm,则这个等腰三角形的周长是 15 cm.
【分析】分3cm是腰长和底边两种情况,根据三角形的三边关系讨论求解即可.
【解答】解:若3cm是腰长,则三角形的三边分别为3cm,3cm,6cm,
∵3+3=6,
∴不能组成三角形,
若3cm是底边,则三角形的三边分别为3cm,6cm,6cm,
能组成三角形,
周长=3+6+6=15cm,
综上所述,这个等腰三角形的周长是15cm.
故答案为:15.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,关键在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形.
 
16.(4分)若4x2﹣mx+ 是一个完全平方式,则实数m的值应为 ±  .
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
【解答】解:∵4x2﹣mx+ =4x2﹣mx+( )2,
∴mx=±2× ×2x,
解得m=± .
故答案为:± .
【点评】本题考查完全平方公式,解题的关键是熟练运用完全平方公式,本题属于基础题型.
 
17.(4分)如图,△ABE和△ACD是△ABC分别以AB、AC为对称轴翻折180°形成的,若∠1:∠2:∠3=29:4:3,则∠α的度数为 70° .
 
【分析】根据轴对称的性质可得∠ACB=∠ACD,∠ABC=∠EBA,再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可∠2+∠3的度数,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠α.
【解答】解:由题可得,∠ACB=∠ACD,∠ABC=∠EBA,
∵∠1:∠2:∠3=29:4:3,
∴∠2+∠3=180°× =35°,
∴∠α=∠EBC+∠DCB=2(∠2+∠3)=2×35°=70°,
故答案为:70°.
【点评】本题考查轴对称的性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,三角形的内角和定理,熟记性质并表示出∠α是解题的关键.
 
18.(4分)如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,BC=2 ,点D从B点开始运动到C点结束,DE交AC于E,∠ADE=45°,当△ADE是等腰三角形时,AE的长度为 1或4﹣2  .
 
【分析】分类讨论:当EA=ED,△ADE为等腰三角形,由∠ADE=45°得到∠EAD=45°,∠AED=90°,则AD平分∠BAC,AD⊥BC,DE⊥AC,然后根据等腰直角三角形的性质得到DE= AC=1;当DA=DE,△ADE为等腰三角形,由∠ADE=45°得到∠ADB+∠EDC=180°﹣45°=135°,而∠EDC+∠DEC=135°,所以∠ADB=∠DEC,根据三角形相似的判定得到△ABD∽△DCE,则BD:CE=AB:DC=AD:DE,利用AD=DE得到AB=DC=2,BD=CE;由于∠BAC=90°,AB=AC=2,根据等腰直角三角形的性质得BC=2 ,所以BD=2 ﹣2=EC,然后根据AE=AC﹣EC进行计算.
【解答】解:当EA=ED,△ADE为等腰三角形
∵∠ADE=45°,
∴∠EAD=45°,∠AED=90°,
∵∠BAC=90°,
∴AD平分∠BAC,AD⊥BC,DE⊥AC,如图1,
∵AB=AC=2,
∴DE= AC=1;
当DA=DE,△ADE为等腰三角形,如图2
∵∠ADE=45°,
∴∠ADB+∠EDC=180°﹣45°=135°,
而∠EDC+∠DEC=135°,
∴∠ADB=∠DEC,
而∠B=∠C,
∴△ABD∽△DCE,
∴BD:CE=AB:DC=AD:DE,
而AD=DE,
∴AB=DC=2,BD=CE,
∵BC=2 ,
∴BD=2 ﹣2=EC,
∴AE=AC﹣EC=2﹣(2 ﹣2)=4﹣2 .
故答案为1或4﹣2 .
 
 
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质:有两组角对应相等的两个三角形相似;相似三角形的对应线段的比等于相似比.也考查了等腰直角三角形的性质.
 
三、解答题(本大题2个小题,每小题8分,共16分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形,请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上
19.(8分)如图,点B、F、C、E在同一条直线上,FB=CE,AC∥DF,AC=DF.求证:AB=DE.
 
【分析】从已知AC∥DF⇒∠ACF=∠DFE,FB=CE⇒BC=EF,推出△ABC≌△DEF,即可得出AB=DE.
【解答】证明:∵FB=CE,
∴BC=EF,
∵AC∥FD,
∴∠ACB=∠DFE(两直线平行,内错角相等),
在△ABC和△DEF中 ,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴AB=DE.
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.
 
20.(8分)如图某商场为了吸引顾客,设立了一个可以自由转动的转盘,并规定:每购买500元商品,就能获得一次转动转盘的机会,如果转盘停止后,指针上对准500、200、100、50、10的区域,顾客就可以分别获得500元、200元、100元、50元、10元的购物券一张(转盘等分成20份).
(1)小华购物450元,他获得购物券的概率是多少?
(2)小丽购物600元,那么:
①她获得50元购物券的概率是多少?
②她获得100元以上(包括100元)购物券的概率是多少?
 
【分析】(1)由于每购买500元商品,才能获得一次转动转盘的机会,所以小华购物450元,不能获得转动转盘的机会,故获得购物券的概率为0;
(2)①找到50元的份数占总份数的多少即为获得50元购物券的概率;
②找到100元及以上的份数占总份数的多少即为获得100元以上(包括100元)购物券的概率.
【解答】解:(1)∵450<500,
∴小华购物450元,不能获得转动转盘的机会,
∴小华获得购物券的概率为0;

(2)小丽购物600元,能获得一次转动转盘的机会.
①她获得50元购物券的概率是 = ;
②她获得100元以上(包括100元)购物券的概率是 .
【点评】此题考查了概率公式,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.本题的易错点在于准确无误的找到50元、100元及以上的份数.
 
四、解答题(本大题5个小题,每小题10分,共50分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上
21.(10分)计算:
(1)(a﹣b﹣3)(a﹣b+3)
(2)[(a+1)(a+2)﹣2]÷a
【分析】(1)直接利用公式法计算进而得出答案;
(2)直接利用多项式乘法计算进而利用整式除法运算法则计算得出答案.
【解答】解:(1)(a﹣b﹣3)(a﹣b+3)
=(a﹣b)2﹣9
=a2﹣2ab+b2﹣9;

(2)[(a+1)(a+2)﹣2]÷a
=(a2+3a+2﹣2)÷a
=a+3.
【点评】此题主要考查了整式的混合运算,正确应用乘法公式是解题关键.
 
22.(10分)如图,EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=80°.求∠AGD的度数.
 
【分析】根据两直线平行,同位角相等可得∠2=∠3,然后求出∠1=∠3,再根据内错角相等,两直线平行判断出DG∥AB,然后根据两直线平行,同旁内角互补解答.
【解答】解:∵EF∥AD,
∴∠2=∠3,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴DG∥AB,
∴∠AGD=180°﹣∠BAC=180°﹣80°=100°.
【点评】本题考查了平行线的判定与性质,熟记性质与判定方法并判断出DG∥AB是解题的关键.
 
23.(10分)如图,是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条,已知铁环粗0.5厘米,每个铁环长4.6厘米,设铁环间处于最大限度的拉伸状态
(1)填表:
铁环个数 1 2 3 4
链条长(cm) 4.6 8.2  11.8   15.4 
(2)设n个铁环长为y厘米,请用含n的式子表示y;
(3)若要组成2.17米长的链条,至少需要多少个铁环?
 
【分析】(1)根据铁环粗0.5厘米,每个铁环长4.6厘米,进而得出3个/4个铁环组成的链条长;
(2)根据铁环与环长之间的关系进而得出y与n的关系式;
(3)由(2)得,3.6n+1≥217,进而求出即可.
【解答】解:(1)由题意可得:3×4.6﹣4×0.5=11.8(cm),
故3个铁环组成的链条长为11.8cm.
4×4.6﹣6×0.5=15.4(cm),
故4个铁环组成的链条长为15.4cm.
故答案为:11.8;15.4;
(2)由题意得:y=4.6n﹣2(n﹣1)×0.5,
即y=3.6n+1;
(3)据题意有:3.6n+1≥217,
解得:n≥60,
答:至少需要60个铁环.
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用,利用链条结构得出链条长的变化规律是解题关键.
 
24.(10分)先仔细阅读材料,再尝试解决问题:通过对有理数的学习,我们知道x2≥0,本学期学习了完全平方公式后,我们知道a2±2ab+b2=(a±b)2.所以完全平方式(a±b)2的值为非负数,这一性质在数学中有着广泛的应用.比如探求多项式2x2+4c﹣5的最大(小)值时,我们可以这样处理:
解:原式=2(x2+2x)﹣5
=2(x2+2x+12﹣12)﹣5
=2[(x+1)2﹣12]﹣5
=2(x+1)2﹣7
因为(x+1)2≥0,所以2(x+1)2﹣7≥0﹣7.当x=﹣1时,2(x+1)2﹣7取得最小值,最小值是﹣7
请根据上面的解题思路,解答下列问题:
(1)求多项式3x2﹣12x+2的最小值是多少,并写出对应的x的取值;
(2)求多项式x2+4x+y2﹣2y+8的最小值.
【分析】(1)、(2)利用配方法把原式变形,根据非负数的性质解答即可.
【解答】解:(1)3x2﹣12x+2
=3(x2﹣4x+4﹣4)+2
=3(x﹣2)2﹣10
∵(x﹣2)2≥0,
∴3(x﹣2)2﹣10≥﹣10,
当x=2时,多项式3x2﹣12x+2的最小值是﹣10;
(2)x2+4x+y2﹣2y+8
=x2+4x+4+y2﹣2y+1+3
=(x+2)2+(y﹣1)2+3,
当x=﹣2、y=1时,多项式x2+4x+y2﹣2y+8的最小值3.
【点评】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质,掌握完全平方公式、灵活运用配方法是解题的关键.
 
25.(10分)著名的瑞士数学家欧拉曾指出:可以表示为四个整数平方之和的甲、乙两数相乘,其乘积仍然可以表示为四个整数平方之和,即(a2+b2+c2+d2)(e2+f2+g2+h2)=A2+B2+C2+D2,这就是著名的欧拉恒等式,有人称这样的数为“不变心的数”.
实际上,上述结论可减弱为:可以表示为两个整数平方之和的甲、乙两数相乘,其乘积仍然可以表示为两个整数平方之和.
【动手一试】试将(12+52)(22+72)改成两个整数平方之和的形式.
(12+52)(22+72)= 32+372 ;
【阅读思考】在数学思想中,有种解题技巧称之为“无中生有”.
例如问题:将代数式x2﹣y2+ 改成两个平方之差的形式.
解:原式= ﹒
【解决问题】请你灵活运用利用上述思想来解决“不变心的数”问题:
将代数式(a2+b2)(c2+d2)改成两个整数平方之和的形式(其中a、b、c、d均为整数),并给出详细的推导过程﹒
【分析】【动手一试】根据题目中的式子可以写出相应的式子;
【解决问题】根据题目中的无中生有,可以证明结论成立.
【解答】解:【动手一试】(12+52)(22+72)=32+372,
故答案为:32+372;
【解决问题】(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad﹣bc)2,
证明:(a2+b2)(c2+d2)
=(a2c2+b2d2)+(a2d2+b2c2)
=(a2c2+b2d2+2abcd)+(a2d2+b2c2﹣2abcd)
=(ac+bd)2+(ad﹣bc)2.
【点评】本题考查分式的混合运算、数学常识、多项式乘多项式,解答本题的关键是明确题意,找出题目中的式子的规律,写出相应的结论并证明.
 
五、解答题(本大题1个小题,共12分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形,请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上
26.(12分)直角三角形有一个非常重要的性质质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,比如:如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,D为斜边AB中点,则CD=AD=BD= AB.请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题:
在△ABC中,直线a绕顶点A旋转.
(1)如图2,若点P为BC边的中点,点B、P在直线a的异侧,BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N,连接PM、PN.求证:PM=PN;
(2)如图3,若点B、P在直线a的同侧,其它条件不变,此时PM=PN还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图4,∠BAC=90°,直线a旋转到与BC垂直的位置,E为AB上一点且AE=AC,EN⊥a于N,连接EC,取EC中点P,连接PM、PN,求证:PM⊥PN.
 
【分析】(1)如图2中,延长NP交BM的延长线于G.只要证明△PNC≌△PGB,推出PN=PG,再根据直角三角形斜边中线定理即可证明.
(2)结论:PM=PN.延长NP交BM于G,证明方法类似(1).
(3)如图4中,延长NP交BM于G.先证明△EAN≌△CAM,推出EN=AM,AN=CM,再证明△ENP≌△CGP,推出EN=CG=AM,PN=PG,因为AN=CM,所以MG=MN,即可证明PM⊥PN.
【解答】(1)证明:如图2中,延长NP交BM的延长线于G.
 
∵BM⊥AM,CN⊥AM,
∴BG∥CN,
∴∠PCN=∠PBG,
在△PNC和△PGB中,
 ,
∴△PNC≌△PGB,
∴PN=PG,
∵∠NMG=90°,
∴PM=PN=PG.
(2)结论:PM=PN.
如图3中,延长NP交BM于G.
 
∵BM⊥AM,CN⊥AM,
∴BM∥CN,
∴∠PCN=∠PBG,
在△PNC和△PGB中,
 ,
∴△PNC≌△PGB,
∴PN=PG,
∵∠NMG=90°,
∴PM=PN=PG.
(3)如图4中,延长NP交BM于G.
 

∵∠EAN+∠CAM=90°,∠CAM+∠ACM=90°,
∴∠EAN=∠ACM,
在△EAN和△CAM中,
 ,
∴△EAN≌△CAM,
∴EN=AM,AN=CM,
∵EN∥CG,
∴∠ENP=∠CGP,
在△ENP和△CGP中,
 ,
∴△ENP≌△CGP,
∴EN=CG=AM,PN=PG,
∵AN=CM,
∴MG=MN,
∴PM⊥PN.
【点评】本题考查几何变换综合题、直角三角形斜边中线性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.
 

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