2016七上4.4课题学习--设计制作长方体形状的包装纸盒同步试卷(人教新版含答案和解释)

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2016七上4.4课题学习--设计制作长方体形状的包装纸盒同步试卷(人教新版含答案和解释)

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2016年人教新版七年级数学上册同步测试:4.4 课题学习 设计制作长方形形状的包装纸盒(一)
一、选择题(共1小题)
1.已知△ABC的三条边长分别为3,4,6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画(  )
A.6条 B.7条 C.8条 D.9条
 
二、填空题(共4小题)
2.如图,将线段AB放在边长为1的小正方形网格,点A点B均落在格点上,请用无刻度直尺在线段AB上画出点P,使AP= ,并保留作图痕迹.(备注:本题只是找点不是证明,∴只需连接一对角线就行)
 
3.如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,点B,点C均落在格点上.
(Ⅰ)计算AC2+BC2的值等于      ;
(Ⅱ)请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出一个以AB为一边的矩形,使该矩形的面积等于AC2+BC2,并简要说明画图方法(不要求证明)      .
 
4.如图,在正方形网格中有一边长为4的平行四边形ABCD,请将其剪拼成一个有一边长为6的矩形.(要求:在答题卡的图中画出裁剪线即可)
 
5.如图,在一张长为8cm,宽为6cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边上).则剪下的等腰三角形的面积为      cm2.
 
 
三、解答题(共25小题)
6.如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只要画出示意图,并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)
 
7.在边长为1的小正方形组成的方格纸中,若多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上,这样的多边形称为格点多边形.记格点多边形内的格点数为a,边界上的格点数为b,则格点多边形的面积可表示为S=ma+nb﹣1,其中m,n为常数.
(1)在下面的方格中各画出一个面积为6的格点多边形,依次为三角形、平行四边形(非菱形)、菱形;
(2)利用(1)中的格点多边形确定m,n的值.
 
8.如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,请你用尺规作图将△ABC分成两个全等的三角形,并说明这两个三角形全等的理由.(保留作图痕迹,不写作法)
 
9.图①,图②,图③都是4×4的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为1.在图①,图②中已画出线段AB,在图③中已画出点A.按下列要求画图:
 
(1)在图①中,以格点为顶点,AB为一边画一个等腰三角形;
(2)在图②中,以格点为顶点,AB为一边画一个正方形;
(3)在图③中,以点A为一个顶点,另外三个顶点也在格点上,画一个面积最大的正方形.
10.各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形.如何计算它的面积?奥地利数学家皮克(G•Pick,1859~1942年)证明了格点多边形的面积公式S=a+ b﹣1,其中a表示多边形内部的格点数,b表示多边形边界上的格点数,S表示多边形的面积.如图,a=4,b=6,S=4+ ×6﹣1=6
(1)请在图中画一个格点正方形,使它的内部只含有4个格点,并写出它的面积.
(2)请在图乙中画一个格点三角形,使它的面积为 ,且每条边上除顶点外无其它格点.(注:图甲、图乙在答题纸上)
 
11.“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形,记这些三角形的三边分别为a,b,c,并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度.
(1)用记号(a,b,c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形,如(2,3,3)表示边长分别为2,3,3个单位长度的一个三角形.请列举出所有满足条件的三角形.
(2)用直尺和圆规作出三边满足a<b<c的三角形(用给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹).
 
12.有公路l2同侧、l1异侧的两个城镇A、B,如图,电信部门要修建一座信号发射塔,按照设计要求,发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等,到两条公路l1、l2的距离也必须相等,发射塔C应修建在什么位置?请用尺规作图找出所有符合条件的点,注明点C的位置.(保留作图痕迹,不写作法)
 
13.两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示,电信部门需在C处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等,到两条公路l1,l2的距离也必须相等,那么点C应选在何处?请在图中,用尺规作图找出所有符合条件的点C.(不写已知、求作、作法,只保留作图痕迹)
 
14.如图,两条公路OA和OB相交于O点,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使货站P到两条公路OA、OB的距离相等,且到两工厂C、D的距离相等,用尺规作出货站P的位置.(要求:不写作法,保留作图痕迹,写出结论)
 
15.如图,在方格纸中,△ABC的三个顶点及D,E,F,G,H五个点分别位于小正方形的顶点上.
(1)现以D,E,F,G,H中的三个点为顶点画三角形,在所画的三角形中与△ABC不全等但面积相等的三角形是      (只需要填一个三角形)
(2)先从D,E两个点中任意取一个点,再从F,G,H三个点中任意取两个不同的点,以所取得这三个点为顶点画三角形,求所画三角形与△ABC面积相等的概率(用画树状图或列表格求解).
 
16.小明在做课本“目标与评定”中的一道题:如图1,直线a,b所成的角跑到画板外面去了,你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数?小明的做法是:如图2,画PC∥a,量出直线b与PC的夹角度数,即直线a,b所成角的度数.
 
(1)请写出这种做法的理由;
(2)小明在此基础上又进行了如下操作和探究(如图3):①以P为圆心,任意长为半径画圆弧,分别交直线b,PC于点A,D;②连结AD并延长交直线a于点B,请写出图3中所有与∠PAB相等的角,并说明理由;
(3)请在图3画板内作出“直线a,b所成的跑到画板外面去的角”的平分线(画板内的部分),只要求作出图形,并保留作图痕迹.
17.小明在做课本“目标与评定”中的一道题:如图1,直线a、b所成的角跑到画板外面去了,你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数?
 
(1)①请帮小明在图2的画板内画出你的测量方案图(简要说明画法过程);
     ②说出该画法依据的定理.
(2)小明在此基础上进行了更深入的探究,想到两个操作:
①在图3的画板内,在直线a与直线b上各取一点,使这两点与直线a、b的交点构成等腰三角形(其中交点为顶角的顶点),画出该等腰三角形在画板内的部分.
②在图3的画板内,作出“直线a、b所成的跑到画板外面去的角”的平分线(在画板内的部分),只要求作出图形,并保留作图痕迹.
请你帮小明完成上面两个操作过程.(必须要有方案图,所有的线不能画到画板外,只能画在画板内)
18.矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=4 ,BC=4,向矩形ABCD外作△CDE,使△CDE为等腰直角三角形,且点E不在边BC所在的直线上,请你画出图形,直接写出OE的长,并画出体现解法的辅助线.
19.图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,点A和点B在小正方形的顶点上.
(1)在图1中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上),使△ABC为直角三角形(画一个即可);
(2)在图2中画出△ABD(点D在小正方形的顶点上),使△ABD为等腰三角形(画一个即可).
 
20.图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点.
(1)在图1中画出等腰直角三角形MON,使点N在格点上,且∠MON=90°;
(2)在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD,使正方形ABCD面积等于(1)中等腰直角三角形MON面积的4倍,并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形,且正方形ABCD面积没有剩余(画出一种即可).
 
21.【问题提出】用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?
【问题探究】不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形,为探究m与n之间的关系,我们可以先从特殊入手,通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论.
【探究一】
(1)用3根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
此时,显然能搭成一种等腰三角形.
所以,当n=3时,m=1.
(2)用4根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况,不能搭成三角形.
所以,当n=4时,m=0.
(3)用5根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒,则不能搭成三角形.
若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒,则能搭成一种等腰三角形.
所以,当n=5时,m=1.
(4)用6根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒,则不能搭成三角形.
若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒,则能搭成一种等腰三角形.
所以,当n=6时,m=1.
综上所述,可得:表①
n 3 4 5 6
m 1 0 1 1
【探究二】
(1)用7根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的三角形?
(仿照上述探究方法,写出解答过程,并将结果填在表②中)
(2)用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
(只需把结果填在表②中)
表②
n 7 8 9 10
m                            
你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究,…
【问题解决】:用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?(设n分别等于4k﹣1,4k,4k+1,4k+2,其中k是正整数,把结果填在表③中)
表③
n 4k﹣1 4k 4k+1 4k+2
m                            
【问题应用】:用2016根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?(写出解答过程),其中面积最大的等腰三角形每腰用了      根木棒.(只填结果)
22.手工课上,老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形,聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线,并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积(注:不同的分法,面积可以相等)
 
23.已知梯形ABCD,请使用无刻度直尺画图.
 
(1)在图1中画出一个与梯形ABCD面积相等,且以CD为边的三角形;
(2)图2中画一个与梯形ABCD面积相等,且以AB为边的平行四边形.
24.如图,在所给方格纸中,每个小正方形边长都是1,标号为①,②,③的三个三角形均为格点三角形(顶点在方格顶点处),请按要求将图甲、图乙中的指定图形分割成三个三角形,使它们与标号为①,②,③的三个三角形分别对应全等.
(1)图甲中的格点正方形ABCD;
(2)图乙中的格点平行四边形ABCD.
注:分割线画成实线.
 
25.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形.请完成以下操作:(画图不要求使用圆规,以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC)
(1)在图1中画1条线段,使图中有2个等腰三角形,并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是      度和      度;
(2)在图2中画2条线段,使图中有4个等腰三角形;
(3)继续按以上操作发现:在△ABC中画n条线段,则图中有      个等腰三角形,其中有      个黄金等腰三角形.
 
26.把一条12个单位长度的线段分成三条线段,其中一条线段成为4个单位长度,另两条线段长都是单位长度的整数倍.
(1)不同分段得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形?用直尺和圆规作这些三角形(用给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹);
(2)求出(1)中所作三角形外接圆的周长.
 
27.(1)如图1,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2BC,现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D,再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E.求证:  = .(这个比值 叫做AE与AB的黄金比.)
(2)如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比,那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请你以图2中的线段AB为腰,用直尺和圆规,作一个黄金三角形ABC.
(注:直尺没有刻度!作图不要求写作法,但要求保留作图痕迹,并对作图中涉及到的点用字母进行标注)
 
28.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,以AC为一边作正方形ACDE,过点D作DF⊥BC交直线BC于点F,连接AF,请你画出图形,直接写出AF的长,并画出体现解法的辅助线.
29.数学问题:计算 + + +…+ (其中m,n都是正整数,且m≥2,n≥1).
探究问题:为解决上面的数学问题,我们运用数形结合的思想方法,通过不断地分割一个面积为1的正方形,把数量关系和几何图形巧妙地结合起来,并采取一般问题特殊化的策略来进行探究.
探究一:计算 + + +…+ .
第1次分割,把正方形的面积二等分,其中阴影部分的面积为 ;
第2次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续二等分,阴影部分的面积之和为 + ;
第3次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续二等分,…;

第n次分割,把上次分割图中空白部分的面积最后二等分,所有阴影部分的面积之和为 + + +…+ ,最后空白部分的面积是 .
根据第n次分割图可得等式:  + + +…+ =1﹣ .
 
探究二:计算 + + +…+ .
第1次分割,把正方形的面积三等分,其中阴影部分的面积为 ;
第2次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续三等分,阴影部分的面积之和为 + ;
第3次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续三等分,…;

第n次分割,把上次分割图中空白部分的面积最后三等分,所有阴影部分的面积之和为 + + +…+ ,最后空白部分的面积是 .
根据第n次分割图可得等式:  + + +…+ =1﹣ ,
两边同除以2,得 + + +…+ = ﹣ .
 
探究三:计算 + + +…+ .
(仿照上述方法,只画出第n次分割图,在图上标注阴影部分面积,并写出探究过程)
 
解决问题:计算 + + +…+ .
(只需画出第n次分割图,在图上标注阴影部分面积,并完成以下填空)
根据第n次分割图可得等式:      ,
所以,  + + +…+ =      .
拓广应用:计算 + + +…+ .
30.在校园文化建设活动中,需要裁剪一些菱形来美化教室.现有平行四边形ABCD的邻边长分别为1,a(a>1)的纸片,先剪去一个菱形,余下一个四边形,在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,又余下一个四边形,…依此类推,请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图,并求出a的值.
 
 
2016年人教新版七年级数学上册同步测试:4.4 课题学习 设计制作长方形形状的包装纸盒(一)

参考答案与试题解析
 
一、选择题(共1小题)
1.已知△ABC的三条边长分别为3,4,6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画(  )
A.6条 B.7条 C.8条 D.9条
【考点】作图—应用与设计作图;等腰三角形的判定.
【专题】压轴题.
【分析】利用等腰三角形的性质分别利用AB,AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可.
【解答】解:如图所示:当BC1=AC1,AC=CC2,AB=BC3,AC4=CC4,AB=AC5,AB=AC6,BC7=CC7时,都能得到符合题意的等腰三角形.
故选:B.
 
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识,正确利用图形分类讨论得出是解题关键.
 
二、填空题(共4小题)
2.如图,将线段AB放在边长为1的小正方形网格,点A点B均落在格点上,请用无刻度直尺在线段AB上画出点P,使AP= ,并保留作图痕迹.(备注:本题只是找点不是证明,∴只需连接一对角线就行)
 
【考点】作图—应用与设计作图.
【专题】压轴题.
【分析】利用勾股定理列式求出AB= ,然后作一小正方形对角线,使对角线与AB的交点满足AP:BP=2:1即可.
【解答】解:由勾股定理得,AB= = ,
所以,AP= 时AP:BP=2:1.
点P如图所示.
 
【点评】本题考查了应用与设计作图,考虑利用相似三角形对应边成比例的性质是解题的关键.
 
3.如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,点B,点C均落在格点上.
(Ⅰ)计算AC2+BC2的值等于 11 ;
(Ⅱ)请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出一个以AB为一边的矩形,使该矩形的面积等于AC2+BC2,并简要说明画图方法(不要求证明) 如图所示: .
 
【考点】作图—应用与设计作图;勾股定理.
【专题】作图题;压轴题.
【分析】(1)直接利用勾股定理求出即可;
(2)首先分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED,正方形BCNM,正方形ABHF;进而得出答案.
【解答】解:(Ⅰ)AC2+BC2=( )2+32=11;
故答案为:11;

(2)分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED,正方形BCNM,正方形ABHF;
延长DE交MN于点Q,连接QC,平移QC至AG,BP位置,直线GP分别交AF,BH于点T,S,
则四边形ABST即为所求.
 
【点评】此题主要考查了应用设计与作图,借助网格得出正方形是解题关键.
 
4.如图,在正方形网格中有一边长为4的平行四边形ABCD,请将其剪拼成一个有一边长为6的矩形.(要求:在答题卡的图中画出裁剪线即可)
 
【考点】作图—应用与设计作图;图形的剪拼.
【分析】如图先过D点向下剪出一个三角形放在平行四边形的左边,再在剪去D点下面两格的小正方形放在右面,就组成了矩形.
【解答】解:如图:
 
【点评】本题一方面考查了学生的动手操作能力,另一方面考查了学生的空间想象能力,重视知识的发生过程,让学生体验学习的过程.
 
5.如图,在一张长为8cm,宽为6cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边上).则剪下的等腰三角形的面积为  或5 或10 cm2.
 
【考点】作图—应用与设计作图.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】因为等腰三角形腰的位置不明确,所以分(1)腰长在矩形相邻的两边上,(2)一腰在矩形的宽上,(3)一腰在矩形的长上,三种情况讨论.(1)△AEF为等腰直角三角形,直接利用面积公式求解即可;(2)先利用勾股定理求出AE边上的高BF,再代入面积公式求解;(3)先求出AE边上的高DF,再代入面积公式求解.
【解答】解:分三种情况计算:
(1)当AE=AF=5厘米时,
 
∴S△AEF= AE•AF= ×5×5= 厘米2,
(2)当AE=EF=5厘米时,如图
 
BF= = =2 厘米,
∴S△AEF= •AE•BF= ×5×2 =5 厘米2,
(3)当AE=EF=5厘米时,如图
 
DF= = =4厘米,
∴S△AEF= AE•DF= ×5×4=10厘米2.
故答案为: ,5 ,10.
【点评】本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用,要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论.
 
三、解答题(共25小题)
6.如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只要画出示意图,并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)
 
【考点】作图—应用与设计作图;等腰三角形的判定;勾股定理;正方形的性质.
【专题】作图题.
【分析】①以A为圆心,以3为半径作弧,交AD、AB两点,连接即可;②连接AC,在AC上,以A为端点,截取1.5个单位,过这个点作AC的垂线,交AD、AB两点,连接即可;③以A为端点在AB上截取3个单位,以截取的点为圆心,以3个单位为半径画弧,交BC一个点,连接即可;④连接AC,在AC上,以C为端点,截取1.5个单位,过这个点作AC的垂线,交BC、DC两点,然后连接A与这两个点即可;⑤以A为端点在AB上截取3个单位,再作着个线段的垂直平分线交CD一点,连接即可.
【解答】解:满足条件的所有图形如图所示:
    
【点评】此题主要考查了作图﹣应用与设计作图,关键是掌握等腰三角形的判定方法.
 
7.在边长为1的小正方形组成的方格纸中,若多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上,这样的多边形称为格点多边形.记格点多边形内的格点数为a,边界上的格点数为b,则格点多边形的面积可表示为S=ma+nb﹣1,其中m,n为常数.
(1)在下面的方格中各画出一个面积为6的格点多边形,依次为三角形、平行四边形(非菱形)、菱形;
(2)利用(1)中的格点多边形确定m,n的值.
 
【考点】作图—应用与设计作图.
【专题】作图题.
【分析】(1)利用格点图形的定义结合三角形以及平行四边形面积求法得出即可;
(2)利用已知图形,结合S=ma+nb﹣1得出关于m,n的关系式,进而求出即可.
【解答】解:(1)如图所示:
 ;

(2)∵格点多边形内的格点数为a,边界上的格点数为b,则格点多边形的面积可表示为S=ma+nb﹣1,其中m,n为常数,
∴三角形:S=3m+8n﹣1=6,平行四边形:S=3m+8n﹣1=6,菱形:S=5m+4n﹣1=6,
则 ,
解得: .
【点评】此题主要考查了应用设计与作图以及三角形、平行四边形面积求法和二元一次方程组的解法,正确得出关于m,n的方程组是解题关键.
 
8.如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,请你用尺规作图将△ABC分成两个全等的三角形,并说明这两个三角形全等的理由.(保留作图痕迹,不写作法)
 
【考点】作图—应用与设计作图;全等三角形的判定;等腰三角形的性质.
【专题】作图题.
【分析】作出底边BC的垂直平分线,交BC于点D,利用三线合一得到D为BC的中点,可得出三角形ADB与三角形ADC全等.
【解答】解:作出BC的垂直平分线,交BC于点D,
∵AB=AC,
∴AD平分∠BAC,即∠BAD=∠CAD,
在△ABD和△ACD中,
 ,
∴△ABD≌△ACD(SAS).
 
【点评】此题考查了作图﹣应用于设计作图,全等三角形的判定,以及等腰三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键.
 
9.图①,图②,图③都是4×4的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为1.在图①,图②中已画出线段AB,在图③中已画出点A.按下列要求画图:
 
(1)在图①中,以格点为顶点,AB为一边画一个等腰三角形;
(2)在图②中,以格点为顶点,AB为一边画一个正方形;
(3)在图③中,以点A为一个顶点,另外三个顶点也在格点上,画一个面积最大的正方形.
【考点】作图—应用与设计作图.
【分析】(1)根据勾股定理,结合网格结构,作出两边分别为 的等腰三角形即可;
(2)根据勾股定理逆定理,结合网格结构,作出边长为 的正方形;
(3)根据勾股定理逆定理,结合网格结构,作出最长的线段作为正方形的边长即可.
【解答】解:(1)如图①,符合条件的C点有5个:
 ;

(2)如图②,正方形ABCD即为满足条件的图形:
 ;

(3)如图③,边长为 的正方形ABCD的面积最大.
 .
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图.熟记勾股定理,等腰三角形的性质以及正方形的性质是解题的关键所在.
 
10.各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形.如何计算它的面积?奥地利数学家皮克(G•Pick,1859~1942年)证明了格点多边形的面积公式S=a+ b﹣1,其中a表示多边形内部的格点数,b表示多边形边界上的格点数,S表示多边形的面积.如图,a=4,b=6,S=4+ ×6﹣1=6
(1)请在图中画一个格点正方形,使它的内部只含有4个格点,并写出它的面积.
(2)请在图乙中画一个格点三角形,使它的面积为 ,且每条边上除顶点外无其它格点.(注:图甲、图乙在答题纸上)
 
【考点】作图—应用与设计作图.
【专题】作图题.
【分析】(1)根据皮克公式画图计算即可;
(2)根据题意可知a=3,b=3,画出满足题意的图形即可.
【解答】解:(1)如图所示,a=4,b=4,S=4+ ×4﹣1=5;
 
(2)因为S= ,b=3,所以a=3,如图所示,
 
【点评】本题考查了应用与设计作图,关键是理解皮克公式,根据题意求出a、b的值.
 
11.“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形,记这些三角形的三边分别为a,b,c,并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度.
(1)用记号(a,b,c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形,如(2,3,3)表示边长分别为2,3,3个单位长度的一个三角形.请列举出所有满足条件的三角形.
(2)用直尺和圆规作出三边满足a<b<c的三角形(用给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹).
 
【考点】作图—应用与设计作图;三角形三边关系.
【分析】(1)应用列举法,根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形.
(2)首先判断满足条件的三角形只有一个:a=2,b=3,c=4,再作图:
①作射线AB,且取AB=4;
②以点AA为圆心,3为半径画弧;以点BB为圆心,2为半径画弧,两弧交于点C;
③连接AC、BC.则△ABC即为满足条件的三角形.
【解答】解:(1)共9种:(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4),(3,4,4),(4,4,4).

(2)由(1)可知,只有(2,3,4),即a=2,b=3,c=4时满足a<b<c.
如答图的△ABC即为满足条件的三角形.
 
【点评】本题考查了三角形的三边关系,作图﹣应用与设计作图.首先要理解题意,弄清问题中对所作图形的要求,结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图.
 
12.有公路l2同侧、l1异侧的两个城镇A、B,如图,电信部门要修建一座信号发射塔,按照设计要求,发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等,到两条公路l1、l2的距离也必须相等,发射塔C应修建在什么位置?请用尺规作图找出所有符合条件的点,注明点C的位置.(保留作图痕迹,不写作法)
 
【考点】作图—应用与设计作图.
【分析】利用角平分线的性质以及作法和线段垂直平分线的作法与性质分别得出即可.
【解答】解:如图所示:C1,C2即为所求.
 .
【点评】此题主要考查了应用设计与作图,熟练应用角平分线以及线段垂直平分线的性质是解题关键.
 
13.两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示,电信部门需在C处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等,到两条公路l1,l2的距离也必须相等,那么点C应选在何处?请在图中,用尺规作图找出所有符合条件的点C.(不写已知、求作、作法,只保留作图痕迹)
 
【考点】作图—应用与设计作图.
【分析】仔细分析题意,寻求问题的解决方案.
到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上,到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上,分别作出垂直平分线与角平分线,它们的交点即为所求作的点C.
由于两条公路所夹角的角平分线有两条,因此点C有2个.
【解答】解:(1)作出线段AB的垂直平分线;
(2)作出角的平分线;
它们的交点即为所求作的点C(2个).
 
【点评】本题借助实际场景,考查了几何基本作图的能力,考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应用.题中符合条件的点C有2个,注意避免漏解.
 
14.如图,两条公路OA和OB相交于O点,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使货站P到两条公路OA、OB的距离相等,且到两工厂C、D的距离相等,用尺规作出货站P的位置.(要求:不写作法,保留作图痕迹,写出结论)
 
【考点】作图—应用与设计作图.
【分析】根据点P到∠AOB两边距离相等,到点C、D的距离也相等,点P既在∠AOB的角平分线上,又在CD垂直平分线上,即∠AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P.
【解答】解:如图所示:作CD的垂直平分线,∠AOB的角平分线的交点P即为所求,
此时货站P到两条公路OA、OB的距离相等.
 
P和P1都是所求的点.
【点评】此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法.这些基本作图要熟练掌握,注意保留作图痕迹.
 
15.如图,在方格纸中,△ABC的三个顶点及D,E,F,G,H五个点分别位于小正方形的顶点上.
(1)现以D,E,F,G,H中的三个点为顶点画三角形,在所画的三角形中与△ABC不全等但面积相等的三角形是 △DFG或△DHF (只需要填一个三角形)
(2)先从D,E两个点中任意取一个点,再从F,G,H三个点中任意取两个不同的点,以所取得这三个点为顶点画三角形,求所画三角形与△ABC面积相等的概率(用画树状图或列表格求解).
 
【考点】作图—应用与设计作图;列表法与树状图法.
【分析】(1)根据格点之间的距离得出△ABC的面积进而得出三角形中与△ABC不全等但面积相等的三角形;
(2)利用树状图得出所有的结果,进而根据概率公式求出即可.
【解答】解:(1)∵△ABC的面积为: ×3×4=6,
只有△DFG或△DHF的面积也为6且不与△ABC全等,
∴与△ABC不全等但面积相等的三角形是:△DFG或△DHF;

(2)画树状图得出:
 
由树状图可知共有出现的情况有△DHG,△DHF,△DGF,△EGH,△EFH,△EGF,6种可能的结果,其中与△ABC面积相等的有3种,即△DHF,△DGF,△EGF,
故所画三角形与△ABC面积相等的概率P= = ,
答:所画三角形与△ABC面积相等的概率为 .
故答案为:△DFG或△DHF或△EGF
【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及树状图法求概率,根据已知得出三角形面积是解题关键.
 
16.小明在做课本“目标与评定”中的一道题:如图1,直线a,b所成的角跑到画板外面去了,你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数?小明的做法是:如图2,画PC∥a,量出直线b与PC的夹角度数,即直线a,b所成角的度数.
 
(1)请写出这种做法的理由;
(2)小明在此基础上又进行了如下操作和探究(如图3):①以P为圆心,任意长为半径画圆弧,分别交直线b,PC于点A,D;②连结AD并延长交直线a于点B,请写出图3中所有与∠PAB相等的角,并说明理由;
(3)请在图3画板内作出“直线a,b所成的跑到画板外面去的角”的平分线(画板内的部分),只要求作出图形,并保留作图痕迹.
【考点】作图—应用与设计作图;平行线的性质;等腰三角形的性质.
【分析】(1)根据平行线的性质得出即可;
(2)根据题意,有3个角与∠PAB相等.由等腰三角形的性质,可知∠PAB=∠PDA;又对顶角相等,可知∠BDC=∠PDA;由平行线性质,可知∠PDA=∠1.因此∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1;
(3)作出线段AB的垂直平分线EF,由等腰三角形的性质可知,EF是顶角的平分线,故EF即为所求作的图形.
【解答】解:(1)PC∥a(两直线平行,同位角相等);

(2)∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1,
如图,∵PA=PD,
∴∠PAB=∠PDA,
∵∠BDC=∠PDA(对顶角相等),
又∵PC∥a,
∴∠PDA=∠1,
∴∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1;

(3)如图,作线段AB的垂直平分线EF,则EF是所求作的图形.
 
【点评】本题涉及到的几何基本作图包括:(1)过直线外一点作直线的平行线,(2)作线段的垂直平分线;涉及到的考点包括:(1)平行线的性质,(2)等腰三角形的性质,(3)对顶角的性质,(4)垂直平分线的性质等.本题借助实际问题场景考查了学生的几何基本作图能力,是一道好题.题目篇幅较长,需要仔细阅读,理解题意,正确作答.
 
17.小明在做课本“目标与评定”中的一道题:如图1,直线a、b所成的角跑到画板外面去了,你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数?
 
(1)①请帮小明在图2的画板内画出你的测量方案图(简要说明画法过程);
     ②说出该画法依据的定理.
(2)小明在此基础上进行了更深入的探究,想到两个操作:
①在图3的画板内,在直线a与直线b上各取一点,使这两点与直线a、b的交点构成等腰三角形(其中交点为顶角的顶点),画出该等腰三角形在画板内的部分.
②在图3的画板内,作出“直线a、b所成的跑到画板外面去的角”的平分线(在画板内的部分),只要求作出图形,并保留作图痕迹.
请你帮小明完成上面两个操作过程.(必须要有方案图,所有的线不能画到画板外,只能画在画板内)
【考点】作图—应用与设计作图;平行线的性质;等腰三角形的性质.
【分析】(1)方法一:利用平行线的性质;方法二:利用三角形内角和定理;
(2)首先作等腰三角形△PBD,然后延长BD交直线a于点A,则四边形ABPQ就是所求作的图形.作图依据是等腰三角形的性质与平行线的性质;
(3)作出线段AB的垂直平分线EF,由等腰三角形的性质可知,EF是顶角的平分线,故EF即为所求作的图形.
【解答】解:(1)方法一:
①如图2,画PC∥a,量出直线b与PC的夹角度数,
即为直线a,b所成角的度数,
②依据:两直线平行,同位角相等,
方法二:
①如图2,在直线a,b上各取一点A,B,连接AB,测得∠1、∠2的度数,
则180°﹣∠1﹣∠2即为直线a,b所成角的度数;
②依据:三角形内角和为180°;

(2)①如图3,画PC∥a,以P为圆心,任意长为半径画弧,分别交直线b、PC于点B、D,连接BD并延长交直线a于点A,则四边形ABPQ就是所求等腰三角形在画板内的部分;
②如图3,作线段AB的垂直平分线EF,则EF就是所求作的线.
 
 
【点评】本题涉及到的几何基本作图包括:(1)过直线外一点作直线的平行线,(2)作线段的垂直平分线;涉及到的考点包括:(1)平行线的性质;(2)等腰三角形的性质;(3)三角形内角和定理;(4)垂直平分线的性质等.本题借助实际问题场景考查了学生的几何基本作图能力,是一道好题.题目篇幅较长,需要仔细阅读,理解题意,正确作答.
 
18.矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=4 ,BC=4,向矩形ABCD外作△CDE,使△CDE为等腰直角三角形,且点E不在边BC所在的直线上,请你画出图形,直接写出OE的长,并画出体现解法的辅助线.
【考点】作图—应用与设计作图;勾股定理的应用;等腰直角三角形;矩形的性质.
【分析】使△CDE为等腰直角三角形,需要分类讨论以CD为腰和底边两种情况,以CD为腰时,作辅助线OF⊥于AD于F,可根据勾股定理得出OE′的长度;以CD为底时,可根据三角形的垂直平分线性质来解答,分别求出OG跟GE,即可得到EO.
【解答】解:∵AC=4 ,BC=4,
∴AB=8,
∵△CDE为等腰直角三角形,且点E不在边BC所在的直线上,
∴可分以CD为腰和底边两种情况,

①以CD为腰,
如图,可延长AD至E′,使得DE′=CD,作OF⊥于AD于F,连接CE′、OE′,
根据矩形的性质,易得OF= AB=4,DF=2,
∵△CDE′为等腰直角三角形,
∴CD=DE′=8,
∴E′F=10,
根据勾股定理,在△OFE′中,
OE′2=OF2+FE′2,
∴OE′= =2

②以CD为底,
如图,分别将点C、点D以顺、逆时针旋转45°交于点E,便是以CD为底边的等腰直角△CDE.
连接OE交CD于点G,

∴△OCE与△ODE是关于OE对称,且OG、GE分别是△OCD、△CDE的垂直平分线,
∴DG=CG=4,
∵矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=4 ,
∴AO=CO=2 ,
∴OG= =2,
在等腰直角△DGE中,GE=DG=4,
∴OE=OG+GE=6.
 
 
【点评】此题主要考查了应用设计与作图以及矩形的性质和勾股定理,熟练利用矩形性质得出是解题关键.
 
19.图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,点A和点B在小正方形的顶点上.
(1)在图1中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上),使△ABC为直角三角形(画一个即可);
(2)在图2中画出△ABD(点D在小正方形的顶点上),使△ABD为等腰三角形(画一个即可).
 
【考点】作图—应用与设计作图.
【专题】作图题.
【分析】(1)利用网格结构,过点A的竖直线与过点B的水平线相交于点C,连接即可,或过点A的水平线与过点B的竖直线相交于点C,连接即可;
(2)根据网格结构,作出BD=AB或AB=AD,连接即可得解.
【解答】解:(1)如图1,①、②,画一个即可;
(2)如图2,①、②,画一个即可.
 
【点评】本题考查了应用与设计作图,(1)中作直角三角形时根据网格的直角作图即可,比较简单,(2)中根据网格结构作出与AB相等的线段是解题的关键,灵活性较强.
 
20.图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点.
(1)在图1中画出等腰直角三角形MON,使点N在格点上,且∠MON=90°;
(2)在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD,使正方形ABCD面积等于(1)中等腰直角三角形MON面积的4倍,并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形,且正方形ABCD面积没有剩余(画出一种即可).
 
【考点】作图—应用与设计作图.
【专题】作图题.
【分析】(1)过点O向线段OM作垂线,此直线与格点的交点为N,连接MN即可;
(2)根据勾股定理画出图形即可.
【解答】解:(1)如图1所示;
 
(2)如图2、3所示;
 
【点评】本题考查的是作图﹣应用与设计作图,熟知勾股定理是解答此题的关键.
 
21.【问题提出】用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?
【问题探究】不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形,为探究m与n之间的关系,我们可以先从特殊入手,通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论.
【探究一】
(1)用3根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
此时,显然能搭成一种等腰三角形.
所以,当n=3时,m=1.
(2)用4根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况,不能搭成三角形.
所以,当n=4时,m=0.
(3)用5根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒,则不能搭成三角形.
若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒,则能搭成一种等腰三角形.
所以,当n=5时,m=1.
(4)用6根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒,则不能搭成三角形.
若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒,则能搭成一种等腰三角形.
所以,当n=6时,m=1.
综上所述,可得:表①
n 3 4 5 6
m 1 0 1 1
【探究二】
(1)用7根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的三角形?
(仿照上述探究方法,写出解答过程,并将结果填在表②中)
(2)用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
(只需把结果填在表②中)
表②
n 7 8 9 10
m  2   1   2   2 
你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究,…
【问题解决】:用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?(设n分别等于4k﹣1,4k,4k+1,4k+2,其中k是正整数,把结果填在表③中)
表③
n 4k﹣1 4k 4k+1 4k+2
m  k   k﹣1   k   k 
【问题应用】:用2016根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?(写出解答过程),其中面积最大的等腰三角形每腰用了 672 根木棒.(只填结果)
【考点】作图—应用与设计作图;三角形三边关系;等腰三角形的判定与性质.
【专题】分类讨论.
【分析】探究二:仿照探究一的方法进行分析即可;
问题解决:根据探究一、二的结果总结规律填表即可;
问题应用:根据规律进行计算求出m的值.
【解答】解:(1)用7根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
此时,能搭成二种等腰三角形,
即分成2根木棒、2根木棒和3根木棒,则能搭成一种等腰三角形
分成3根木棒、3根木棒和1根木棒,则能搭成一种等腰三角形
当n=7时,m=2.
(2)用8根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
分成2根木棒、2根木棒和4根木棒,则不能搭成一种等腰三角形,
分成3根木棒、3根木棒和2根木棒,则能搭成一种等腰三角形,
所以,当n=8时,m=1.
用9根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
分成3根木棒、3根木棒和3根木棒,则能搭成一种等腰三角形
分成4根木棒、4根木棒和1根木棒,则能搭成一种等腰三角形
所以,当n=9时,m=2.
用10根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
分成3根木棒、3根木棒和4根木棒,则能搭成一种等腰三角形
分成4根木棒、4根木棒和2根木棒,则能搭成一种等腰三角形
所以,当n=10时,m=2.
故答案为:2;1;2;2.
问题解决:由规律可知,答案为:k;k﹣1;k;k.
问题应用:2016÷4=504,504﹣1=503,
当三角形是等边三角形时,面积最大,
2016÷3=672,
∴用2016根相同的木棒搭一个三角形,能搭成503种不同的等腰三角形,其中面积最大的等腰三角形每腰用672根木棒.
【点评】本题考查的是作图应用与设计作图、三角形三边关系,首先要理解题意,弄清问题中对所作图形的要求,结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图,根据三角形两边之和大于第三边和等腰三角形的性质进行解答.
 
22.手工课上,老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形,聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线,并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积(注:不同的分法,面积可以相等)
 
【考点】作图—应用与设计作图.
【分析】(1)正方形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,连接HE、EF、FG、GH、HF,即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形;然后根据三角形的面积公式,求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可.
(2)正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,O是AC、BD的交点,连接OE、OF,即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形;然后根据三角形的面积公式,求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可.
(3)正方形ABCD中,F、H分别是BC、DA的中点,O是AC、BD的交点,连接HF,即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形;然后根据三角形的面积公式,求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可.
(4)正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,O是AC的中点,I是AO的中点,连接OE、OB、OF,即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形;然后根据三角形的面积公式,求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可.
【解答】解:根据分析,可得
 .
(1)第一种情况下,分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEH、△BEF、△CFG、△DHG,
每个最小的等腰直角三角形的面积是:
(4÷2)×(4÷2)÷2
=2×2÷2
=2(cm2)

(2)第二种情况下,分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEO、△BEO、△BFO、△CFO,
每个最小的等腰直角三角形的面积是:
(4÷2)×(4÷2)÷2
=2×2÷2
=2(cm2)

(3)第三种情况下,分割后得到的最小等腰直角三角形是△AHO、△DHO、△BFO、△CFO,
每个最小的等腰直角三角形的面积是:
(4÷2)×(4÷2)÷2
=2×2÷2
=2(cm2)

(4)第四种情况下,分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEI、△OEI,
每个最小的等腰直角三角形的面积是:
(4÷2)×(4÷2)÷2÷2
=2×2÷2÷2
=1(cm2).
【点评】(1)此题主要考查了作图﹣应用与设计作图问题,要熟练掌握,解答此题的关键是结合正方形的性质和基本作图的方法作图.
(2)此题还考查了三角形的面积的求法,要熟练掌握.
 
23.已知梯形ABCD,请使用无刻度直尺画图.
 
(1)在图1中画出一个与梯形ABCD面积相等,且以CD为边的三角形;
(2)图2中画一个与梯形ABCD面积相等,且以AB为边的平行四边形.
【考点】作图—应用与设计作图.
【专题】作图题.
【分析】(1)求出三角形CD边上的高作图,
(2)找出BE及它的高相乘得20,以AB为一边作平行四边形..
【解答】解:设小正方形的边长为1,则S梯形ABCD= (AD+BC)×4= ×10×4=20,
(1)∵CD=4 ,
∴三角形的高=20×2÷4 =5 ,如图1,△CDE就是所作的三角形,
 
(2)如图2,BE=5,BE边上的高为4,
∴平行四边形ABEF的面积是5×4=20,
∴平行四边形ABEF就是所作的平行四边形.
 
【点评】本题主要考查了作图的设计和应用,解决问题的关键是根据面积相等求出高画图.
 
24.如图,在所给方格纸中,每个小正方形边长都是1,标号为①,②,③的三个三角形均为格点三角形(顶点在方格顶点处),请按要求将图甲、图乙中的指定图形分割成三个三角形,使它们与标号为①,②,③的三个三角形分别对应全等.
(1)图甲中的格点正方形ABCD;
(2)图乙中的格点平行四边形ABCD.
注:分割线画成实线.
 
【考点】作图—应用与设计作图.
【专题】作图题.
【分析】(1)利用三角形的形状以及各边长进而拼出正方形即可;
(2)利用三角形的形状以及各边长进而拼出平行四边形即可.
【解答】解:(1)如图甲所示:
(2)如图乙所示:
 
【点评】此题主要考查了应用设计与作图,利用网格结合三角形各边长得出符合题意的图形是解题关键.
 
25.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形.请完成以下操作:(画图不要求使用圆规,以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC)
(1)在图1中画1条线段,使图中有2个等腰三角形,并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是 108 度和 36 度;
(2)在图2中画2条线段,使图中有4个等腰三角形;
(3)继续按以上操作发现:在△ABC中画n条线段,则图中有 2n 个等腰三角形,其中有 n 个黄金等腰三角形.
 
【考点】作图—应用与设计作图;黄金分割.
【专题】作图题;探究型.
【分析】(1)利用等腰三角形的性质以及∠A的度数,进而得出这2个等腰三角形的顶角度数;
(2)利用(1)种思路进而得出符合题意的图形;
(3)利用当1条直线可得到2个等腰三角形;当2条直线可得到4个等腰三角形;当3条直线可得到6个等腰三角形,进而得出规律求出答案.
【解答】解:(1)如图1所示:∵AB=AC,∠A=36°,
∴当AE=BE,则∠A=∠ABE=36°,则∠AEB=108°,
则∠EBC=36°,
∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度;
故答案为:108,36;
 
(2)如图2所示:

(3)如图3所示:当1条直线可得到2个等腰三角形;
当2条直线可得到4个等腰三角形;
当3条直线可得到6个等腰三角形;

∴在△ABC中画n条线段,则图中有2n个等腰三角形,其中有n个黄金等腰三角形.
故答案为:2n,n.
【点评】此题主要考查了应用作图与设计以及等腰三角形的性质,得出分割图形的规律是解题关键.
 
26.把一条12个单位长度的线段分成三条线段,其中一条线段成为4个单位长度,另两条线段长都是单位长度的整数倍.
(1)不同分段得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形?用直尺和圆规作这些三角形(用给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹);
(2)求出(1)中所作三角形外接圆的周长.
 
【考点】作图—应用与设计作图.
【专题】作图题.
【分析】(1)利用三角形三边关系进而得出符合题意的图形即可;
(2)利用三角形外接圆作法,首先作出任意两边的垂直平分线,即可得出圆心位置,进而得出其外接圆.
【解答】解:(1)由题意得:三角形的三边长分别为:4,4,4;3,4,5;
即不同分段得到的三条线段能组成2个不全等的三角形,如图所示:

(2)如图所示:
当三边的单位长度分别为3,4,5,可知三角形为直角三角形,此时外接圆的半径为2.5;
当三边的单位长度分别为4,4,4.三角形为等边三角形,此时外接圆的半径为 ,
∴当三条线段分别为3,4,5时其外接圆周长为:2π×2.5=5π;
当三条线段分别为4,4,4时其外接圆周长为:2π× = π.
 
【点评】此题主要考查了三角形外接圆的作法和三角形三边关系等知识,得出符合题意的三角形是解题关键.
 
27.(1)如图1,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2BC,现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D,再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E.求证:  = .(这个比值 叫做AE与AB的黄金比.)
(2)如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比,那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请你以图2中的线段AB为腰,用直尺和圆规,作一个黄金三角形ABC.
(注:直尺没有刻度!作图不要求写作法,但要求保留作图痕迹,并对作图中涉及到的点用字母进行标注)
 
【考点】作图—应用与设计作图;黄金分割.
【专题】作图题.
【分析】(1)利用位置数表示出AB,AC,BC的长,进而得出AE的长,进而得出答案;
(2)根据底与腰之比均为黄金比的等腰三角形,画图即可.
【解答】(1)证明:∵Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2BC,
∴设AB=2x,BC=x,则AC= x,
∴AD=AE=( ﹣1)x,
∴ = = .

(2)解:底与腰之比均为黄金比的等腰三角形,如图:
①过点B作EB⊥AB,作AB的垂直平分线交AB于点D,使BE=BD,
②连接AE,以E为圆心,BE长为半径画弧,使EF=BE,
③以B为圆心AF长为半径画弧,以A为圆心,AB长为半径画弧,交点为C,
则△ABC即为所求.
 .
【点评】此题主要考查了黄金三角形的作法以及黄金三角形的性质,根据已知得出底边作法是解题关键.
 
28.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,以AC为一边作正方形ACDE,过点D作DF⊥BC交直线BC于点F,连接AF,请你画出图形,直接写出AF的长,并画出体现解法的辅助线.
【考点】作图—应用与设计作图;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;勾股定理;正方形的性质.
【专题】作图题.
【分析】根据题意画出两个图形,再利用勾股定理得出AF的长.
【解答】解:如图1所示:
∵AB=AC=5,BC=6,
∴AM=4,
∵∠ACM+∠FCD=90°,∠MAC+∠ACM=90°,
∴∠MAC=∠FCD,
在△AMC和△CFD中,
 ,
∴△AMC≌△CFD(AAS),
∴AM=CF=4,
∴MF=6÷2+4=7,
故AF= = ,

如图2所示:
∵AB=AC=5,BC=6,
∴AM=4,MC=3,
∵∠ACM+∠FCD=90°,∠MAC+∠ACM=90°,
∴∠MAC=∠FCD,
在△AMC和△CFD中,
 ,
∴△AMC≌△CFD(AAS),
∴AM=FC=4,
∴FM=FC﹣MC=1,
故AF= = .
 
【点评】此题主要考查了应用设计与作图,利用分类讨论得出是解题关键.
 
29.数学问题:计算 + + +…+ (其中m,n都是正整数,且m≥2,n≥1).
探究问题:为解决上面的数学问题,我们运用数形结合的思想方法,通过不断地分割一个面积为1的正方形,把数量关系和几何图形巧妙地结合起来,并采取一般问题特殊化的策略来进行探究.
探究一:计算 + + +…+ .
第1次分割,把正方形的面积二等分,其中阴影部分的面积为 ;
第2次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续二等分,阴影部分的面积之和为 + ;
第3次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续二等分,…;

第n次分割,把上次分割图中空白部分的面积最后二等分,所有阴影部分的面积之和为 + + +…+ ,最后空白部分的面积是 .
根据第n次分割图可得等式:  + + +…+ =1﹣ .
 
探究二:计算 + + +…+ .
第1次分割,把正方形的面积三等分,其中阴影部分的面积为 ;
第2次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续三等分,阴影部分的面积之和为 + ;
第3次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续三等分,…;

第n次分割,把上次分割图中空白部分的面积最后三等分,所有阴影部分的面积之和为 + + +…+ ,最后空白部分的面积是 .
根据第n次分割图可得等式:  + + +…+ =1﹣ ,
两边同除以2,得 + + +…+ = ﹣ .
 
探究三:计算 + + +…+ .
(仿照上述方法,只画出第n次分割图,在图上标注阴影部分面积,并写出探究过程)
 
解决问题:计算 + + +…+ .
(只需画出第n次分割图,在图上标注阴影部分面积,并完成以下填空)
根据第n次分割图可得等式:   + + +…+ =1﹣  ,
所以,  + + +…+ =  ﹣  .
拓广应用:计算 + + +…+ .
【考点】作图—应用与设计作图;规律型:图形的变化类.
【专题】压轴题;阅读型;规律型.
【分析】探究三:根据探究二的分割方法依次进行分割,然后表示出阴影部分的面积,再除以3即可;
解决问题:按照探究二的分割方法依次分割,然后表示出阴影部分的面积及,再除以(m﹣1)即可得解;
拓广应用:先把每一个分数分成1减去一个分数,然后应用公式进行计算即可得解.
【解答】解:探究三:第1次分割,把正方形的面积四等分,
 
其中阴影部分的面积为 ;
第2次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续四等分,
阴影部分的面积之和为 ;
第3次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续四等分,
…,
第n次分割,把上次分割图中空白部分的面积最后四等分,
所有阴影部分的面积之和为:  + + +…+ ,
最后的空白部分的面积是 ,
根据第n次分割图可得等式:  + + +…+ =1﹣ ,
两边同除以3,得 + + +…+ = ﹣ ;

解决问题:  + + +…+ =1﹣ ,
 + + +…+ = ﹣ ;
故答案为:  + + +…+ =1﹣ , ﹣ ;
 

拓广应用:  + + +…+ ,
=1﹣ +1﹣ +1﹣ +…+1﹣ ,
=n﹣( + + +…+ ),
=n﹣( ﹣ ),
=n﹣ + .
【点评】本题考查了应用与设计作图,图形的变化规律,读懂题目信息,理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键.
 
30.在校园文化建设活动中,需要裁剪一些菱形来美化教室.现有平行四边形ABCD的邻边长分别为1,a(a>1)的纸片,先剪去一个菱形,余下一个四边形,在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,又余下一个四边形,…依此类推,请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图,并求出a的值.
【考点】作图—应用与设计作图.
【专题】几何图形问题;作图题.
【分析】平行四边形ABCD的邻边长分别为1,a(a>1),剪三次后余下的四边形是菱形的4种情况画出示意图.
【解答】解:①如图,a=4,
 
②如图,a= ,
 
③如图,a= ,
 
④如图,a= ,
 
【点评】此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定,根据已知平行四边形ABCD将平行四边形分割是解题关键.

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来源莲
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