九年级数学上册第21章一元二次方程单元测试卷(含解析新人教版)

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九年级数学上册第21章一元二次方程单元测试卷(含解析新人教版)

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第21章 一元二次方程
考试时间:120分钟;满分:150分
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
题号 一 二 三 总分
得分    
评卷人   得  分
  
一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分)
1.(4分)下列方程中是一元二次方程的是(  )
A.xy+2=1      B.      C.x2=0    D.ax2+bx+c=0
2.(4分)一元二次方程(x+3)(x﹣3)=5x的一次项系数是(  )
A.﹣5         B.﹣9        C.0        D.5
3.(4分)已知一元二次方程x2+kx﹣3=0有一个根为1,则k的值为(  )
A.﹣2        B.2         C.﹣4        D.4
4.(4分)方程x2﹣9=0的解是(  )
A.x=3        B.x=﹣3        C.x=±9     D.x1=3,x2=﹣3
5.(4分)一元二次方程y2﹣y﹣ =0配方后可化为(  )
A.(y+ )2=1       B.(y﹣ )2=1     C.(y+ )2=     D.(y﹣ )2=
6.(4分)设x1为一元二次方程2x2﹣4x= 较小的根,则(  )
A.0<x1<1   B.﹣1<x1<0    C.﹣2<x1<﹣1   D.﹣5<x1<﹣
7.(4分)解方程x2+2x+1=4较适宜的方法是(  )
A.实验法     B.公式法     C.因式分解法     D.配方法
8.(4分)一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2,则x1x2为(  )
A.﹣2     B.1     C.2     D.0
9.(4分)如图,有一张矩形纸片,长10cm,宽6cm,在它的四角各剪去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32cm2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是xcm,根据题意可列方程为(  )
 
A.10×6﹣4×6x=32            B.(10﹣2x)(6﹣2x)=32 
C.(10﹣x)(6﹣x)=32            D.10×6﹣4x2=32
10.(4分)某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业.据统计,该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元.预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元,据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为(  )
A.2%        B.4.4%        C.20%         D.44%
 
 评卷人   得  分
  
二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)
11.(5分)若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2,则m+n=     .
12.(5分)对于实数p,q,我们用符号min{p,q}表示p,q两数中较小的数,如min{1,2}=1,min{﹣2,﹣3}=﹣3,若min{(x+1)2,x2}=1,则x=     .
13.(5分)关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根,则m的值是     .
14.(5分)某商品的原价为120元,如果经过两次降价,且每次降价的百分率都是m,那么该商品现在的价格是     元(结果用含m的代数式表示).
 
 评卷人   得  分
  
三.解答题(共9小题,满分90分)
15.(8分)解方程:2x2﹣4x﹣30=0.
16.(8分)已知x=2是关于x的方程x2﹣mx﹣4m2=0的一个根,求m(2m+1)的值.
17.(8分)已知:关于x的一元二次方程x2﹣(2m+3)x+m2+3m+2=0.
(1)已知x=2是方程的一个根,求m的值;
(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC(AB<AC)的边长,当BC= 时,△ABC是等腰三角形,求此时m的值.
18.(8分)阅读下列材料,解答问题
(2x﹣5)2+(3x+7)2=(5x+2)2
解:设m=2x﹣5,n=3x+7,则m+n=5x+2
则原方程可化为m2+n2=(m+n)2
所以mn=0,即(2x﹣5)(3x+7)=0
解之得,x1= ,x2=﹣
请利用上述方法解方程(4x﹣5)2+(3x﹣2)2=(x﹣3)2
19.(10分)已知关于x的一元二次方程x2﹣(k+1)x+2k﹣2=0.
(1)求证:此方程总有两个实数根;
(2)若此方程有一个根大于0且小于1,求k的取值范围.
20.(10分)若关于x的一元二次方程x2﹣(2a+1)x+a2=0有两个不相等的实数根,求a的取值范围.
21.(12分)某公司今年1月份的生产成本是400万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月份的生产成本是361万元.
假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同.
(1)求每个月生产成本的下降率;
(2)请你预测4月份该公司的生产成本.
22.(12分)一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.
(1)若降价3元,则平均每天销售数量为     件;
(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1200元?
23.(14分)某市创建“绿色发展模范城市”,针对境内长江段两种主要污染源:生活污水和沿江工厂污染物排放,分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理,若江水污染指数记为Q,沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工),从当年开始,所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算.第一年有40家工厂用乙方案治理,共使Q值降低了12.经过三年治理,境内长江水质明显改善.
(1)求n的值;
(2)从第二年起,每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m,三年来用乙方案治理的工厂数量共190家,求m的值,并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量;
(3)该市生活污水用甲方案治理,从第二年起,每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a.在(2)的情况下,第二年,用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等,第三年,用甲方案使Q值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值.
 
 
2018年九年级上学期 第21章 一元二次方程 单元测试卷
参考答案与试题解析
 
一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分)
1.
【分析】根据一元二次方程的定义:含有一个未知数,并且所含未知数的项的次数是2次的整式方程,即可判断答案.
【解答】解:根据一元二次方程的定义:A、是二元二次方程,故本选项错误;
B、是分式方程,不是整式方程,故本选项错误;
C、是一元二次方程,故本选项正确;
D、当a b c是常数,a≠0时,方程才是一元二次方程,故本选项错误;
故选:C.
【点评】本题考查了对一元二次方程和一元一次方程的理解,关键是知道一元二次方程含有3个条件:①整式方程,②含有一个未知数,③所含未知数的项的次数是1次.
 
2.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项.
【解答】解:化为一般式,得
x2﹣5x﹣9=0,
一次项系数为﹣5,
故选:A.
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.
 
3.
【分析】根据一元二次方程的解的定义,把把x=1代入方程得关于k的一次方程1﹣3+k=0,然后解一次方程即可.
【解答】解:把x=1代入方程得1+k﹣3=0,
解得k=2.
故选:B.
【点评】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
 
4.
【分析】先移项得到x2=9,然后利用直接开平方法解方程.
【解答】解:x2=9,
x=±3,
所以x1=3,x2=﹣3.
故选:D.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法:形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.
 
5.
【分析】根据配方法即可求出答案.
【解答】解:y2﹣y﹣ =0
y2﹣y=
y2﹣y+ =1
(y﹣ )2=1
故选:B.
【点评】本题考查一元二次方程的配方法,解题的关键是熟练运用配方法,本题属于基础题型.
 
6.
【分析】求出方程的解,求出方程的最小值,即可求出答案.
【解答】解:2x2﹣4x= ,
8x2﹣16x﹣5=0,
 ,
∵x1为一元二次方程2x2﹣4x= 较小的根,
 ,
∵5< <6,
∴﹣1<x1<0.
故选:B.
【点评】本题考查了求一元二次方程的解和估算无理数的大小的应用,关键是求出方程的解和能估算无理数的大小.
 
7.
【分析】先移项,再将方程左边进行因式分解,转化成一次方程,求解即可.
【解答】解:移项得:x2+2x﹣3=0,
方程左边因式分解得:(x+3)(x﹣1)=0,
x+3=0或x﹣1=0,
解得:x1=﹣3,x2=1,
较适宜的方法是因式分解法,
故选:C.
【点评】本题考查解一元二次方程,掌握多种方法解一元二次方程,并针对不同的题目找到最适宜的方法是解决本题的关键.
 
8.
【分析】根据根与系数的关系可得出x1x2=0,此题得解.
【解答】解:∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2,
∴x1x2=0.
故选:D.
【点评】本题考查了根与系数的关系,牢记两根之积等于 是解题的关键.
 
9.
【分析】设剪去的小正方形边长是xcm,则纸盒底面的长为(10﹣2x)cm,宽为(6﹣2x)cm,根据长方形的面积公式结合纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32cm2,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.
【解答】解:设剪去的小正方形边长是xcm,则纸盒底面的长为(10﹣2x)cm,宽为(6﹣2x)cm,
根据题意得:(10﹣2x)(6﹣2x)=32.
故选:B.
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
 
10.
【分析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x,根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总额,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
【解答】解:设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x,
根据题意得:2(1+x)2=2.88,
解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去).
答:该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%.
故选:C.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
 
二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)
11.
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入x2+mx+2n=0得到4+2m+2n=0得n+m=﹣2,然后利用整体代入的方法进行计算.
【解答】解:∵2(n≠0)是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根,
∴4+2m+2n=0,
∴n+m=﹣2,
故答案为:﹣2.
【点评】本题考查了一元二次方程的解(根):能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.
 
12.
【分析】利用题中的新定义化简已知等式,求出解即可得到x的值.
【解答】解:当(x+1)2<x2,即x<﹣ 时,方程为(x+1)2=1,
开方得:x+1=1或x+1=﹣1,
解得:x=0(舍去)或x=﹣2;
当(x+1)2>x2,即x>﹣ 时,方程为x2=1,
开方得:x=1或x=﹣1(舍去),
综上,x=1或﹣2,
故答案为:1或﹣2
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
 
13.
【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根,可知其判别式为0,据此列出关于m的方程,解答即可.
【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根,
∴△=0,
∴22﹣4m=0,
∴m=1,
故答案为:1.
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识,解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根,则可得△=0,此题难度不大.
 
14.
【分析】设每次降价的百分率都是m,根据某商品的原价为120元,经过两次降价后的价格可用代数式表示出.
【解答】解:设每次降价的百分率都是m,
该商品现在的价格是;120(1﹣m)2.
故答案为:120(1﹣m)2.
【点评】本题考查理解题意的能力,知道原来的价格,知道降价的百分率,经过两次降价后可求出现在的价格,是个增长率问题.
 
三.解答题(共9小题,满分90分)
15.
【分析】利用因式分解法解方程即可;
【解答】解:∵2x2﹣4x﹣30=0,
∴x2﹣2x﹣15=0,
∴(x﹣5)(x+3)=0,
∴x1=5,x2=﹣3.
【点评】本题考查一元二次方程的解法﹣因式分解法,解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的解法,属于中考基础题.
 
16.
【分析】根据x=2是关于x的方程x2﹣mx﹣4m2=0的一个根,将x=2代入方程变形即可求得所求式子的值.
【解答】解:∵x=2是关于x的方程x2﹣mx﹣4m2=0的一个根,
∴22﹣2m﹣4m2=0,
∴4=4m2+2m,
∴2=m(2m+1),
∴m(2m+1)=2.
【点评】本题考查一元二次方程的解,解答本题的关键是明确题意,利用方程的思想解答.
 
17.
【分析】(1)把x=2代入方程x2﹣(2m+3)x+m2+3m+2=0得到关于m的一元二次方程,然后解关于m的方程即可;
(2)先计算出判别式,再利用求根公式得到x1=m+2,x2=m+1,则AC=m+2,AB=m+1.然后讨论:当AB=BC时,有m+1= ;当AC=BC时,有m+2= ,再分别解关于m的一次方程即可.
【解答】解:(1)∵x=2是方程的一个根,
∴4﹣2(2m+3)+m2+3m+2=0,
∴m=0或m=1;
(2)∵△=(2m+3)2﹣4(m2+3m+2)=1,
=1;
∴x=
∴x1=m+2,x2=m+1,
∵AB、AC(AB<AC)的长是这个方程的两个实数根,
∴AC=m+2,AB=m+1.
∵BC= ,△ABC是等腰三角形,
∴当AB=BC时,有m+1= ,
∴m= ﹣1;
当AC=BC时,有m+2= ,
∴m= ﹣2,
综上所述,当m= ﹣1或m= ﹣2时,△ABC是等腰三角形.
【点评】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.也考查了等腰三角形的判定.
 
18.
【分析】设m=4x﹣5,n=3x﹣2,则m﹣n=(4x﹣5)﹣(3x﹣2)=x﹣3,代入后求出mn=0,即可得出(4x﹣5)(3x﹣2)=0,求出即可.
【解答】解:(4x﹣5)2+(3x﹣2)2=(x﹣3)2,
设m=4x﹣5,n=3x﹣2,则m﹣n=(4x﹣5)﹣(3x﹣2)=x﹣3,
原方程化为:m2+n2=(m﹣n)2,
整理得:mn=0,
即(4x﹣5)(3x﹣2)=0,
4x﹣5=0,3x﹣2=0,
x1= ,x2= .
【点评】本题考查了解一元二次方程,能把一元二次方程转化成(4x﹣5)(3x﹣2)=0是解此题的关键.
 
19.
【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式,求得判别式△≥0恒成立,因此得证,
(2)利用求根公式求根,根据有一个跟大于0且小于1,列出关于k的不等式组,解之即可.
【解答】(1)证明:△=b2﹣4ac=[﹣(k+1)]2﹣4×(2k﹣2)=k2﹣6k+9=(k﹣3)2,
∵(k﹣3)2≥0,即△≥0,
∴此方程总有两个实数根,
(2)解:
解得 x1=k﹣1,x2=2,
∵此方程有一个根大于0且小于1,
而x2>1,
∴0<x1<1,
即0<k﹣1<1.
∴1<k<2,
即k的取值范围为:1<k<2.
【点评】本题考查了根的判别式,解题的关键是:(1)牢记“当△≥0时,方程总有两个实数根”,(2)正确找出不等量关系列不等式组.
 
20.
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△>0,即可得出关于a的一元一次不等式,解之即可得出a的取值范围.
【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2﹣(2a+1)x+a2=0有两个不相等的实数根,
∴△=[﹣(2a+1)]2﹣4a2=4a+1>0,
解得:a>﹣ .
【点评】本题考查了根的判别式,牢记“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.
 
21.
【分析】(1)设每个月生产成本的下降率为x,根据2月份、3月份的生产成本,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论;
(2)由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×(1﹣下降率),即可得出结论.
【解答】解:(1)设每个月生产成本的下降率为x,
根据题意得:400(1﹣x)2=361,
解得:x1=0.05=5%,x2=1.95(不合题意,舍去).
答:每个月生产成本的下降率为5%.
(2)361×(1﹣5%)=342.95(万元).
答:预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出一元二次方程;(2)根据数量关系,列式计算.
 
22.
【分析】(1)根据销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件,可得若降价3元,则平均每天可多售出2×3=6件,即平均每天销售数量为20+6=26件;
(2)利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可.
【解答】解:(1)若降价3元,则平均每天销售数量为20+2×3=26件.
故答案为26;

(2)设每件商品应降价x元时,该商店每天销售利润为1200元.
根据题意,得 (40﹣x)(20+2x)=1200,
整理,得x2﹣30x+200=0,
解得:x1=10,x2=20.
∵要求每件盈利不少于25元,
∴x2=20应舍去,
解得:x=10.
答:每件商品应降价10元时,该商店每天销售利润为1200元.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用,利用基本数量关系:平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键.
 
23.
【分析】(1)直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理,共使Q值降低了12,得出等式求出答案;
(2)利用从第二年起,每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m,三年来用乙方案治理的工厂数量共190家得出等式求出答案;
(3)利用n的值即可得出关于a的等式求出答案.
【解答】解:(1)由题意可得:40n=12,
解得:n=0.3;

(2)由题意可得:40+40(1+m)+40(1+m)2=190,
解得:m1= ,m2=﹣ (舍去),
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为:40(1+m)=40(1+50%)=60(家),

(3)设第一年用乙方案治理降低了100n=100×0.3=30,
则(30﹣a)+2a=39.5,
解得:a=9.5,
则Q=20.5.
设第一年用甲方案整理降低的Q值为x,
第二年Q值因乙方案治理降低了100n=100×0.3=30,
解法一:(30﹣a)+2a=39.5
a=9.5
x=20.5
解法二:
解得:
【点评】考查了一元二次方程和一元一次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.
 

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