九年级数学上第22章二次函数单元测试卷(人教版有答案)

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九年级数学上第22章二次函数单元测试卷(人教版有答案)

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文 章来
源莲山 课
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2018年九年级上学期 第22章 二次函数 单元测试卷
数  学  试  卷
考试时间:120分钟;满分:150分
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
题号 一 二 三 总分
得分    
 
 评卷人   得  分
  
一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分)
1.(4分)下列函数中,二次函数是(  )
A.y=﹣4x+5    B.y=x(2x﹣3)   C.y=(x+4)2﹣x2     D.y=
2.(4分)已知二次函数y=a(x﹣h)2+k的图象如图所示,直线y=ax+hk的图象经第几象限(  )
 
A.一、二、三      B.一、二、四      C.一、三、四    D.二、三、四
3.(4分)抛物线y=2x2﹣1与直线y=﹣x+3的交点的个数是(  )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4.(4分)设点(﹣1,y1),(2,y2),(3,y3)是抛物线y=﹣x2+a上的三点,则y1、y2、y3的大小关系为(  )
A.y3>y2>y1 B.y1>y3>y2 C.y3>y1>y2 D.y1>y2>y3
5.(4分)设一元二次方程(x﹣2)(x﹣3)=m(m>0)的两根分别为α,β.且α<β,则二次函数y=(x﹣2)(x﹣3)的函数值y>m时自变量x的取值范围是(  )
A.x>3或x<2 B.x>β或x<α C.α<x<β D.2<x<3
6.(4分)已知二次函数y=ax2+bx+c中,y与x的部分对应值如下:
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
y ﹣1.59 ﹣1.16 ﹣0.71 ﹣0.24 0.25 0.76
则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x满足条件(  )
A.1.2<x<1.3 B.1.3<x<1.4 C.1.4<x<1.5 D.1.5<x<1.6
7.(4分)已知二次函数y=﹣(x﹣h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为﹣1,则h的值为(  )
A.3或6 B.1或6 C.1或3 D.4或6
8.(4分)将进货价格为35元的商品按单价40元售出时,能卖出200个,已知该商品单价每上涨2元,其销售量就减少10个.设这种商品的售价为x元时,获得的利润为y元,则下列关系式正确的是(  )
A.y=(x﹣35)(400﹣5x) B.y=(x﹣35)(600﹣10x)
C.y=(x+5)(200﹣5x) D.y=(x+5)(200﹣10x)
9.(4分)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=﹣t2+24t+1.则下列说法中正确的是(  )
A.点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B.点火后24s火箭落于地面
C.点火后10s的升空高度为139m
D.火箭升空的最大高度为145m
10.(4分)如图,OABC是边长为1的正方形,OC与x轴正半轴的夹角为15°,点B在抛物线y=ax2(a<0)的图象上,则a的值为(  )
 
A.          B.         C.﹣2         D.
 
 评卷人   得  分
  
二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)
11.(5分)抛物线y=﹣2x2﹣1的顶点坐标是     .
12.(5分)若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为     .
13.(5分)如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是     .
 
14.(5分)如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,水面下降2m,水面宽度增加     m.
 
 
 评卷人   得  分
  
三.解答题(共9小题,满分90分)
15.(8分)已知抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)经过点(﹣1,0),(3,0),求a,b的值.
16.(8分)下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值:
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
﹣x2+bx+c … 5 n c 2 ﹣3 ﹣10 …
(1)根据表格中的数据,确定b,c,n的值;
(2)设y=﹣x2+bx+c,直接写出0≤x≤2时y的最大值.
17.(8分)已知函数y=(m2﹣m)x2+(m﹣1)x+m+1.
(1)若这个函数是一次函数,求m的值;
(2)若这个函数是二次函数,则m的值应怎样?
18.(8分)设方程x2﹣x﹣1=0的两个根为a,b,求满足f(a)=b,f(b)=a,f(1)=1的二次函数f(x).
19.(10分)已知二次函数y=﹣ x2+bx+c的图象经过A(0,3),B(﹣4,﹣ )两点.
(1)求b,c的值.
(2)二次函数y=﹣ x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点?若有,求公共点的坐标;若没有,请说明情况.
20.(10分)已知二次函数y=2(x﹣1)(x﹣m﹣3)(m为常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点;
(2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?
21.(12分)已知函数y=﹣x2+mx+(m+1)(其中m为常数)
(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是     个.
(2)若该函数的图象对称轴是直线x=1,顶点为点A,求此时函数的解析式及点A的坐标.
22.(12分)已知二次函数y=9x2﹣6ax+a2﹣b
(1)当b=﹣3时,二次函数的图象经过点(﹣1,4)
①求a的值;
②求当a≤x≤b时,一次函数y=ax+b的最大值及最小值;
(2)若a≥3,b﹣1=2a,函数y=9x2﹣6ax+a2﹣b在﹣ <x<c时的值恒大于或等于0,求实数c的取值范围.
23.(14分)如图,抛物线y=ax2+bx(a>0,b<0)交x轴于O,A两点,顶点为B
(I)直接写出A,B两点的坐标(用含a,b的代数式表示).
(II)直线y=kx+m(k>0)过点B,且与抛物线交于另一点D(点D与点A不重合),交y轴于点C.过点D作DE⊥x轴于点E,连接AB,CE,求证:CE∥AB.
(III)在(II)的条件下,连接OB,当∠OBA=120, ≤k≤ 时,求  的取值范围.
 
 
 
2018年九年级上学期 第22章 二次函数 单元测试卷
参考答案与试题解析
 
一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分)
1.
【分析】根据二次函数的定义,逐一分析四个选项即可得出结论.
【解答】解:A、y=﹣4x+5为一次函数;
B、y=x(2x﹣3)=2x2﹣3x为二次函数;
C、y=(x+4)2﹣x2=8x+16为一次函数;
D、y= 不是二次函数.
故选:B.
【点评】本题考查了二次函数的定义,牢记二次函数的定义是解题的关键.
 
2.
【分析】根据二次函数的图象可以判断a、h、k的符号,然后根据一次函数的性质即可判断直线y=ax+hk的图象经第几象限,本题得以解决.
【解答】解:由函数图象可知,
y=a(x﹣h)2+k中的a<0,h<0,k>0,
∴直线y=ax+hk中的a<0,hk<0,
∴直线y=ax+hk经过第二、三、四象限,
故选:D.
【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.
 
3.
【分析】根据方程组,转化为一元二次方程,利用根的判别式即可判断;
【解答】解:由 ,消去y得到:2x2+x﹣4=0,
∵△=1﹣(﹣32)=33>0,
∴抛物线y=2x2﹣1与直线y=﹣x+3有两个交点,
故选:C.
【点评】本题考查二次函数的性质,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型.
 
4.
【分析】由题意可得对称轴为y轴,则(﹣1,y1)关于y轴的对称点为(1,y1),根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系.
【解答】解:∵抛物线y=﹣x2+a
∴对称轴为y轴
∴(﹣1,y1)关于对称轴y轴对称点为(1,y1)
∵a=﹣1<0
∴当x>0时,y随x的增大而减小
∵1<2<3
∴y1>y2>y3
故选:D.
【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征,二次函数的增减性,利用增减性比较函数值的大小是本题的关键
 
5.
【分析】依照题意画出图象,观察图形结合二次函数的性质,即可找出结论.
【解答】解:依照题意画出图形,如图所示.
∵一元二次方程(x﹣2)(x﹣3)=m(m>0)的两根分别为α、β,
∴二次函数y=(x﹣2)(x﹣3)的函数值y>m时自变量x的取值范围是x>β或x<α.
故选:B.
 
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数的图象,依照题意画出图形,利用数形结合解决问题是解题的关键.
 
6.
【分析】仔细看表,可发现y的值﹣0.24和0.25最接近0,再看对应的x的值即可得.
【解答】解:由表可以看出,当x取1.4与1.5之间的某个数时,y=0,即这个数是ax2+bx+c=0的一个根.
ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.4<x<1.5.
故选:C.
【点评】本题考查了同学们的估算能力,对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的.
 
7.
【分析】分h<2、2≤h≤5和h>5三种情况考虑:当h<2时,根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程,解之即可得出结论;当2≤h≤5时,由此时函数的最大值为0与题意不符,可得出该情况不存在;当h>5时,根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程,解之即可得出结论.综上即可得出结论.
【解答】解:当h<2时,有﹣(2﹣h)2=﹣1,
解得:h1=1,h2=3(舍去);
当2≤h≤5时,y=﹣(x﹣h)2的最大值为0,不符合题意;
当h>5时,有﹣(5﹣h)2=﹣1,
解得:h3=4(舍去),h4=6.
综上所述:h的值为1或6.
故选:B.
 
【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质,分h<2、2≤h≤5和h>5三种情况求出h值是解题的关键.
 
8.
【分析】根据售价减去进价表示出实际的利润;
【解答】解:设这种商品的售价为x元时,获得的利润为y元,根据题意可得:y=(x﹣35)(400﹣5x),
故选:A.
【点评】此题考查了二次函数的应用,解题的关键是理解“商品每个涨价2元,其销售量就减少10个”.
 
9.
【分析】分别求出t=9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项,将解析式配方成顶点式可判断D选项.
【解答】解:A、当t=9时,h=136;当t=13时,h=144;所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同,此选项错误;
B、当t=24时h=1≠0,所以点火后24s火箭离地面的高度为1m,此选项错误;
C、当t=10时h=141m,此选项错误;
D、由h=﹣t2+24t+1=﹣(t﹣12)2+145知火箭升空的最大高度为145m,此选项正确;
故选:D.
【点评】本题主要考查二次函数的应用,解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.
 
10.
【分析】连接OB,过B作BD⊥x轴于D,若OC与x轴正半轴的夹角为15°,那么∠BOD=30°;在正方形OABC中,已知了边长,易求得对角线OB的长,进而可在Rt△OBD中求得BD、OD的值,也就得到了B点的坐标,然后将其代入抛物线的解析式中,即可求得待定系数a的值.
【解答】解:如图,连接OB,过B作BD⊥x轴于D;
则∠BOC=45°,∠BOD=30°;
已知正方形的边长为1,则OB= ;
Rt△OBD中,OB= ,∠BOD=30°,则:
BD= OB= ,OD= OB= ;
故B( ,﹣ ),
代入抛物线的解析式中,得:
( )2a=﹣ ,
解得a=﹣ ;
故选:B.
 
【点评】此题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法,能够正确地构造出与所求相关的直角三角形,是解决问题的关键.
 
二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)
11.
【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标,本题得以解决.
【解答】解:∵y=﹣2x2﹣1,
∴该抛物线的顶点坐标为(0,﹣1),
故答案为:(0,﹣1).
【点评】本题考查二次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用二次和函数的性质解答.
 
12.
【分析】由抛物线与x轴只有一个交点,即可得出关于m的一元一次方程,解之即可得出m的值.
【解答】解:∵函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点,
∴△=22﹣4×1×(﹣m)=0,
解得:m=﹣1.
故答案为:﹣1.
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点,牢记“当△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点”是解题的关键.
 
13.
【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组 的解为 , ,于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解.
【解答】解:∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2,4),B(1,1),
∴方程组 的解为 , ,
即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2,x2=1.
所以方程ax2=bx+c的解是x1=﹣2,x2=1
故答案为x1=﹣2,x2=1.
【点评】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识,解题的关键是灵活运用所学知识,学会利用图象法解决实际问题,属于中考常考题型.
 
14.
【分析】根据已知建立平面直角坐标系,进而求出二次函数解析式,再通过把y=﹣2代入抛物线解析式得出水面宽度,即可得出答案.
【解答】解:建立平面直角坐标系,设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过C点,则通过画图可得知O为原点,
 
抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,OA和OB可求出为AB的一半2米,抛物线顶点C坐标为(0,2),
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2,其中a可通过代入A点坐标(﹣2,0),
到抛物线解析式得出:a=﹣0.5,所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2,
当水面下降1米,通过抛物线在图上的观察可转化为:
当y=﹣2时,对应的抛物线上两点之间的距离,也就是直线y=﹣2与抛物线相交的两点之间的距离,
可以通过把y=﹣2代入抛物线解析式得出:
﹣2=﹣0.5x2+2,
解得:x=±2 ,所以水面宽度增加到4 米,比原先的宽度当然是增加了(4 ﹣4)米,
故答案为:4 ﹣4.
【点评】此题主要考查了二次函数的应用,根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键.
 
三.解答题(共9小题,满分90分)
15.
【分析】根据抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)经过点(﹣1,0),(3,0),可以求得a、b的值,本题得以解决.
【解答】解:∵抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)经过点(﹣1,0),(3,0),
∴ ,
解得,
 ,
即a的值是1,b的值是﹣2.
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.
 
16.
【分析】(1)把(﹣2,5)、(1,2)分别代入﹣x2+bx+c中得到关于b、c的方程组,然后解方程组即可得到b、c的值;然后计算x=﹣1时的代数式的值即可得到n的值;
(2)利用表中数据求解.
【解答】解:(1)根据表格数据可得 ,解得 ,
∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5,
当x=﹣1时,﹣x2﹣2x+5=6,即n=6;
(2)根据表中数据得当0≤x≤2时,y的最大值是5.
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.
 
17.
【分析】(1)根据二次项的系数等于零,一次项的系数不等于零,可得方程组,根据解方程组,可得答案;
(2)根据二次项的系数不等于零,可得方程,根据解方程,可得答案.
【解答】解:依题意得

∴m=0;

(2)依题意得m2﹣m≠0,
∴m≠0且m≠1.
【点评】本题考查了二次函数的定义,二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键.
 
18.
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系求得ab=﹣1,a+b=1,a2+b2=(a+b)2﹣2ab=3.根据题意知,二次函数经过点(a,b),(b,a),(1,1).把它们代入二次函数解析式f(x)=kx2+dx+c(k≠0),列出方程组,通过解方程组可以求得k、d、c的值.
【解答】解:∵方程x2﹣x﹣1=0的两个根为a、b,
∴ab=﹣1,a+b=1,
∴a2+b2=(a+b)2﹣2ab=3.
设f(x)=kx2+dx+c(k≠0),
∵f(a)=b,f(b)=a,f(1)=1,
∴ ,
由①﹣②,得(a+b)k+d=﹣1,即k+d=﹣1,④
由①+②,得k(a2+b2)+d(a+b)+2c=a+b,即3k+d+2c=1,⑤
把④代入③解得c=2.
则由⑤得3k+d=﹣3,⑥
由③⑥解得,k=﹣1,d=0.
故该二次函数是f(x)=﹣x2+2.
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点,二次函数解析式的求解及其常用方法,解方程组.解题时要认真审题,仔细解答.
 
19.
【分析】(1)把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值;
(2)利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点,由题意得到方程﹣ x2+ x+3=0,通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标.
【解答】解:(1)把A(0,3),B(﹣4,﹣ )分别代入y=﹣ x2+bx+c,得
 ,
解得 ;

(2)由(1)可得,该抛物线解析式为:y=﹣ x2+ x+3.
△=( )2﹣4×(﹣ )×3= >0,
所以二次函数y=﹣ x2+bx+c的图象与x轴有公共点.
∵﹣ x2+ x+3=0的解为:x1=﹣2,x2=8
∴公共点的坐标是(﹣2,0)或(8,0).
【点评】考查了抛物线与x轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征.注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系.
 
20.
【分析】(1)代入y=0求出x的值,分m+3=1和m+3≠1两种情况考虑方程解的情况,进而即可证出:不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点;
(2)利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标,令其大于0即可求出结论.
【解答】(1)证明:当y=0时,2(x﹣1)(x﹣m﹣3)=0,
解得:x1=1,x2=m+3.
当m+3=1,即m=﹣2时,方程有两个相等的实数根;
当m+3≠1,即m≠﹣2时,方程有两个不相等的实数根.
∴不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点;
(2)解:当x=0时,y=2(x﹣1)(x﹣m﹣3)=2m+6,
∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6,
∴当2m+6>0,即m>﹣3时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方.
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式,解题的关键是:(1)由方程2(x﹣1)(x﹣m﹣3)=0有解证出该函数的图象与x轴总有公共点;(2)利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标.
 
21.
【分析】(1)表示出根的判别式,判断其正负即可得到结果;
(2)先依据抛物线的对称轴方程求得m的值,从而可得到抛物线的解析式,然后利用配方法可求得点A的坐标.
【解答】解:(1)∵函数y=﹣x2+mx+(m+1)(m为常数),
∴△=m2+4(m+1)=(m+2)2≥0,
∴该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2.
故答案为:1或2.
(2)∵抛物线的对称轴是直线x=1,
∴ =1,解得m=2,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.
y=﹣x2+2x+3═﹣x2+2x﹣1+4=﹣(x﹣1)2+4,
∴A(1,4).
【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点,掌握抛物线与x轴交点个数与△之间的关系是解题的关键.
 
22.
【分析】先求出该抛物线的对称轴,然后根据对称轴的位置即可求出a的取值范围.
【解答】解:(1)①∵y=9x2﹣6ax+a2﹣b,当b=﹣3时,
二次函数的图象经过点(﹣1,4)
∴4=9×(﹣1)2﹣6a×(﹣1)+a2+3,
解得,a1=﹣2,a2=﹣4,
∴a的值是﹣2或﹣4;
②∵a≤x≤b,b=﹣3
∴a=﹣2舍去,
∴a=﹣4,
∴﹣4≤x≤﹣3,
∴一次函数y=﹣4x﹣3,
∵一次函数y=﹣4x﹣3为单调递减函数,
∴当x=﹣4时,函数取得最大值,y=﹣4×(﹣4)﹣3=13
x=﹣3时,函数取得最小值,y=﹣4×(﹣3)﹣3=9
(2)∵b﹣1=2a
∴y=9x2﹣6ax+a2﹣b可化简为y=9x2﹣6ax+a2﹣2a﹣1
∴抛物线的对称轴为:x= ≥1,
抛物线与x轴的交点为( ,0)( ,0)
∵函数y=9x2﹣6ax+a2﹣b在﹣ <x<c时的值恒大于或等于0
∴c≤ ,
∵a≥3,
∴﹣ <c≤ .
【点评】本题考查二次函数的性质,解题的关键是熟练运用二次函数的图象,本题属于中等题型.
 
23.
【分析】(Ⅰ)令y=0,可求A点坐标,根据顶点公式可求B点坐标.
(Ⅱ)如图作BF⊥AO,根据根与系数关系可求D的横坐标,即可求OC,OE,AF,BF的长度(用a,b,m表示),可证△OEC∽△ABF,即可证AB∥EC
(Ⅲ)由∠ABO=120°,根据抛物线的对称性可得∠FBA=60°,可求b的值,则可求B点坐标,直线y=kx+m过B点,可求m与k的关系,由△OEC∽△ABF,可求得 的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)当y=0时,有ax2+bx=0,
解得:x1=0,x2=﹣ ,
∴点A的坐标为(﹣ ,0).
∵抛物线y=ax2+bx=a(x+ )2﹣ ,
∴点B的坐标为(﹣ ,﹣ ).
(II)如图作BF⊥AO
 
∵直线y=kx+m(k>0)与抛物线相交于B,D
∴kx+m=ax2+bx
∴ax2+bx﹣kx﹣m=0
∴xB×xD=﹣
∴﹣ ×xD=﹣
∴xD=
∴OE=
∵C(0,m),B(﹣ ,﹣ ),A(﹣ ,0)
∴OC=﹣m,AF=﹣ ,BF=
∴ ,且∠COA=∠BFA=90°
∴△ABF∽△OCE
∴∠FAB=∠OEC
∴AB∥CE
(Ⅲ)∵∠OBA=120°
∴∠FBA=60°
∴tan∠FBA=
∴b=﹣
∴B( ,﹣ )
∵直线y=kx+m过B点
∴﹣ = k+m
∴m=﹣ ﹣ k
∵△ABF∽△OCE

∵ ≤k≤
∴ ≤ ≤

【点评】本题考查了二次函数综合题,二次函数的性质,相似三角形的判定和性质,通过相似三角形证明角相等是本题的关键.
 

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