华东师大版九年级数学上册第22章一元二次方程同步练习(共21套含答案)

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华东师大版九年级数学上册第22章一元二次方程同步练习(共21套含答案)

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因式分解法解一元二次方程
1.方程 的根的个数是(    )
A.4    B.2    C.1    D.0
2.若x=2是关于x的一元二次方程 的一个根,则a的值是(    )
A.1或4    B.1或-4
C.-1或-4    D.-1或4
3.设一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m>0)的两 实根分别为α,β(α<β),则α,β满足(    )
A.1<α<β<2    B.1<α<2<β
C.α<1<β<2    D.α<1且β>2
写出下列一元二次方程的根
4. ______________________________.
5 .(x+1)(x-1)=2._______________________________.
6.(x-2)2=(2x+5)2.______________________________.
用因式分解法解下列关于x的方程
7.x2+2mx+m2-n2=0. 8.


9.x2-bx-2b2=0.


10.用适当的方法解下列方程:
(1)2(x-1)2-18=0;
(2)x2+4x-1=0;
(3)9(x+1)2=(2x-5)2;
(4)9x2-12x-1=0.


11.阅读材料,回答问题
材料:为解方程x4-x2-6=0,可将方程变形为(x2)2-x2-6=0,然后设x2=y,则(x2)2=y2,原方程化为y2-y-6=0,①
解得:y1=-2,y2=3.
当y=-2时,x2=-2无意义,舍去;
当y=3时,x2=3,解得 .
所以原方程的解为 , .
问题:
(1)在由方程x4-x2-6=0得到方程①的过程中,利用_____________法达到了降次的目的,体现了_____________的数学思想.
(2)利用本题的解题方法,解方程(x2-x)2-4(x2-x)-12=0.

 


12.(压轴题)已知△ABC的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边的长为5.
(1)当k为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形;
(2)当k为何值时,△ABC是等腰三角形,并求△ABC的周长.
 
参考答案
1.B  解析  当x≥0时,原方程可变为x2-x-2=0,
解得x1=2,x2=-1(舍去);
当x<0时,原方程可变为x2+x-2=0,
解得x1=-2,x2=1(舍去).
∴原方程有2个根.
2.B  解析  ∵x=2是关于x的一元二次方程 的一个根,∴ ,
整理得a2+3a-4=0,
∴(a-1)(a+4)=0,解得a1=1,a2=-4.
3.D  解析  用类比法进行判断.当A•B=0时,A=0或B=0.
此题m> 0,所以 或
由此得出x>2或x<1.而方程的两实根分别为α,β(α<β),所以α,β满足的条件是α<1且β>2.故选D.
4.x1=0,         5.
6.x1=-1,x2=-7.  
7.x1=-m+n,x2=-m-n.   8. 
9.x1=2b,x2=-b.
10.解:(1)2(x-1)2-18=0,整理,得(x-1)2=9,
开平方,得x-1=±3,
即x-1=3或x-1=-3,所以x1=4,x2=-2.
(2)x2+4x-1=0,
移项并配方,得x2+4x+22=1+22,
即(x+2)2=5,由此可得  ,
所以 , .
(3)9(x+1)2=(2x-5)2,
整理,得[3(x+1)]2-(2x-5)2=0,
因式分解,得[3(x+1)+(2x-5)][3(x+1)-(2x-5)]=0,
于是得3(x+1)+(2x-5)=0或3(x+1)-(2x-5)=0,
即5x-2=0或x+8=0,所以 ,x2=-8.
(4)9x2-12x-1=0,a=9,b=-12,c=-1,
∆=b2-4ac=(-12)2-4×9×(-1)=144+36=180>0,
方程有两个不相等的实数根,
 
即  , .
规律:解一元二次方程时,不要急于化为一般形式,应观察其特点,看能否用直接开平方法或因式分解法;若不能,再化为一般形式求解.
11.思路建立  (1)通过阅读材料可以发现材料中采用了换元法降次,将一元四次方程转化为我们熟悉的一元二次方程;(2)令x2-x=y,将原方程变形为y2-4y-12=0,求出y的值,就可以求出x的值.
解:(1)换元转化
(2)令x2-x=y,则原方程可化为y2-4y-12=0,   
即(y+2)(y-6)=0.
所以y+2=0或y-6=0,解得y1=-2,y2=6.
当y=-2时,x2-x=-2,即x2-x+2=0,此方程无解;
当y=6时,x2-x=6,(x+2)(x-3)=0,
解得x1=-2,x2=3.  
所以原方程的解为x1=-2,x2=3.
点拨:解阅读理解题要注意以下两点:(1)认真阅读材料,看懂题目提供的材料所蕴含的数学思想和方法;(2)合理地模仿和迁移题目中所提供的数学方法.
12.思路建立  (1)要求出k的值,题中给出含k的方程及直角三角形的条件,则需将两者联系起来,得到求解k的条件.先求出含k的一元二次方程的解,即x1=k+1,x2=k+2,然后利用勾股定理得到AB2+ AC2=25,再把用k表示的边长代入即可求出k的值.(2)要使△ABC是等腰三角形,应根据原方程的解分两种情况讨论:当k+1=5时,得出k的值,进而求出方程的解;当k+2=5时,求出k的值,进而求出方程的解,从而得到△ABC的周长.
解:(1)x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0,
x2-(2k+3)x+(k+1)(k+2))=0,
[x-(k+1)][x-(k+2)]=0,
∴x1=k+1,x2=k+2.
∵AB,AC的长是一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,△ABC是以为斜边的直角三角形,
∴(k+1)2+(k+2)2=25,
解得k=2或k=-5(舍去).
故当k=2时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形.
(2) 由(1)可知,方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的解为k+1,k+2.
当k+1=5,即k=4时,此方程的另一解为k+2=6,
∴△ABC的周长为5+5+6=16;
当k+2=5,即k=3时,此方程的另一解为k+1=4,
∴△ABC的周长为5+5+4=14.
∴△ABC的周长为14或16.

因式分解法解一元二次方程
一、选择题.
1.方程(x-a)(x-b)=0的两个根是(    ).
A.x1=a,x2=b  B.x1=a,x2=-b
C.x1=-a,x2=b  D.x1=-a,x2=-b
2.下列解方程的过程,正确的是(    ).
A.x2=x,两边同除以x,得x=1
B.x2+4=0,直接开平方法可得,x=±2
C.(x-2)(x+1)=3×2  ∵x-2=3,x+1=2,  ∴x1=5,x2=1
D.(2-3x)+(3x-2)2=0整理得  3(3x-2)(x-1)=0  ∴x1= ,x2=1
3.方程x(x-2)=2(2-x)的根 为(    ).
A.x=-2  B.x=2
C.x1=2,x2=-2  D. x1=x2=2
4.方程(x-1)2=1-x的根为(    ).
A.0 B.-1和0 C.1 D.1和0
5.若实数x 、 y满足(x-y)(x-y+3)=0,则x-y的值是(    ).
A.-1或-2 B.-1或2 C.0或3 D.0或-3
6.方程x2=x的根为(    )
A.x=1  B.x1=1,x2=0   C.x=-1   D.x1=-1,x2=0
7.方程(x-16)(x+8)=0的根是(    )
A.x1=-16,x2=8   B.x1=16,x2=-8  
C.x1=16,x2=8    D.x1=-16,x2=-8
8.方程5x(x+3)=3(x+3)解为(    )
A.x1= ,x2=3   B.x=    C.x1=- ,x2=-3  D.x 1= ,x2=-3
二、填空
9.方程x2-9=0的解为______           ____.
10.方程x2-2x+1=0的解为___          _____.
11.方程x2=2x的解为_____              _____.
三、解答题.
12.用分解因式法解方程
①4x2-12x=0           ② 25x2-9=0          ③3y2-5y=0       

④                   ⑤4(x+3)2-(x -2)2=0.      

⑥ 4y2+12y+9=0                        ⑦

⑧ 4(x-3) 2-x(x-3)=0                      ⑨(x-3)2-2(x-3)+1=0  
 
参考答案
1.A.   2.D.
3.C.  4.D.  5.D.
6 .B  7.B  8.D;
9.  ;
10.  ;
11.  ;
12. ① ; ② ;③ ; ④ ;
⑤ ;⑥ ;⑦ ;⑧ ;
⑨ ;

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