九年级下第1章直角三角形的边角关系练习题(北师大版带答案)

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九年级下第1章直角三角形的边角关系练习题(北师大版带答案)

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源莲山 课
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第一单元练习题
1. cos60°的值等于(  )
A.3  B.33  C.22  D.12
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则tanA的值是(  )
A.34  B.43  C.35  D.45
3. 在Rt△ABC中,cosA=12,那么sinA的值是(  )
A.22  B.32  C.33  D.12
 
   图1-Y-1
4. 如图1-Y-1,一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米,已知cosα=1213,则小车上升的高度是(  )
A.5米  B.6米  C.6.5米  D.12米
5.如图1-Y-2,小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离),在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE=BC=0.5米,A,B,C三点共线),把一面镜子水平放置在平台上的点G处,测得CG=15米,然后沿直线CG后退到点E处,这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A,测得EG=3米,小明身高EF=1.6米,则凉亭的高度AB约为(  )
A.8.5米  B.9米 
C.9.5米  D.10米
 图1-Y-2    图1-Y-3
6. 如图1-Y-3,小王在长江边某瞭望台D处,测得江面上的渔船A的俯角为40°,若DE=3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=1∶0.75,坡长BC=10米,则此时AB的长约为(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84)(  )
A.5.1米  B.6.3米 
C.7.1米  D.9.2米
7.如图1-Y-4,一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡,从A滑行至B,已知AB=500米,则这名滑雪运动员的高度下降了________米.(参考数据:sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67)
 图1-Y-4
    图1-Y-5
8.如图1-Y-5,创新小组要测量公园内一棵树的高度AB,其中一名小组成员站在距离树10米的点E处,测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE=1.5米,则这棵树的高度为_______米(结果保留一位小数.参考数据:sin54°≈0.8090,cos54°≈0.5878,tan54°≈1.3764).
9.如图1-Y-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,ED⊥AB交AC于点E.设∠A=α,且tanα=13,则tan2α=________.
 
图1-Y-6
10.某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习,如图1-Y-7所示,消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后,发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者,消防官兵立刻升高云梯将其救出,已知点A与居民楼的水平距离是15米,且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°,求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数(结果精确到1°).
 
图1-Y-7

11.“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志,小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景,然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点,“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1790 m.如图1-Y-8,DE∥BC,BD=1700 m,∠DBC=80°,求斜坡AE的长度.(结果精确到0.1 m)
 
图1-Y-8

 


12.乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程,由主桥AB和引桥BC两部分组成(如图1-Y-9所示).建造前工程师用以下方式做了测量:无人机在A处正上方97 m处的P点,测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测).无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处,此时测得C处的俯角为80°36′.
(1)求主桥AB的长度;
(2)若两观察点P,D的连线与水平方向的夹角为30°,求引桥BC的长度.
(长度均精确到1 m,参考数据:3≈1.73,
sin80°36′≈0.987,cos80°36′≈0.163,tan80°36′≈6.06)
 
图1-Y-9


13.如图1-Y-10,某校教学楼AB后方有一斜坡,已知斜坡CD的长为12米,坡角α为60°,根据有关部门的规定,∠α≤39°时,才能避免滑坡危险,学校为了消除安全隐患,决定对斜坡CD进行改造,在保持坡脚C不动的情况下,学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全?(结果取整数)
(参考数据:sin39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81,2≈1.41,3≈1.73,5≈2.24)
 
图1-Y-10


14.把(sinα)2记作sin2α,根据图1-Y-11①和②完成下列各题:
(1)sin2A1+cos2A1=________,sin2A2+cos2A2=________,sin2A3+cos2A3=________;
(2)观察上述等式猜想:在Rt△ABC中,∠C=90°,总有sin2A+cos2A=________;
(3)如图②,在Rt△ABC中证明(2)题中的猜想;
(4)在△ABC中,∠A+∠B=90°,且sinA=1213,求cosA的值.
 
图1-Y-11

详解
1.D 2.A 3.B 4.A
5.A [解析] 由题意知∠AGC=∠FGE.又∠FEG=∠ACG=90°,∴△FEG∽△ACG,∴FEAC=EGCG,即1.6AC=315,∴AC=8.∴AB=AC+BC=8.5米.故选A.
 
6.A [解析] 如图,延长DE交AB的延长线于点P,过点C作CQ⊥AP于点Q.
∵CE∥AP,∴DP⊥AP,∴四边形CEPQ为矩形,
∴CE=PQ=2,CQ=PE.
∵i=CQBQ=10.75=43,∴设CQ=4x,BQ=3x.
由BQ2+CQ2=BC2可得(4x)2+(3x)2=102,解得x=2或x=-2(舍去).
则CQ=PE=8,BQ=6,∴DP=DE+PE=11.
在Rt△ADP中,AP=DPtanA=11tan40°≈13.1,
∴AB=AP-BQ-PQ≈13.1-6-2=5.1(米).
7.280 8.15.3
9.34 [解析] 如图,连接BE,
 
∵D是AB的中点,ED⊥AB,
∴ED是AB的垂直平分线,∴EB=EA,
∴∠EBA=∠A=α,∴∠BEC=2α.
设DE=a,∵tanα=13,
∴AD=3a,AE=10a,
∴AB=6a,∴BC=310a5,AC=910a5,
∴CE=AC-AE=910a5-10a=4105a,
∴tan2α=BCCE=3105a410a5=34.故答案为34.
 
10.解: 如图,延长AD交BC所在直线于点E.
由题意,得BC=17米,AE=15米,∠CAE=60°,∠AEB=90°.
在Rt△ACE中,tan∠CAE=CEAE,
∴CE=AE·tan60°=15 3米.
在Rt△ABE中,tan∠BAE=BEAE=17+15 315,
∴∠BAE≈71°.
答:第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数约为71°.
11.解:如图,过点D作DF⊥BC于点F,延长DE交AC于点M.
 
由题意可得EM⊥AC,DF=MC,∠AEM=29°.
在Rt△DFB中,sin80°=DFBD,
则DF=BD·sin80°,
AM=AC-MC=AC-DF=1790-1700·sin80°,
在Rt△AME中,sin29°=AMAE,
故AE=AMsin29°=1790-1700·sin80°sin29°≈238.9(m).
答:斜坡AE的长度约为238.9 m.
12.解:(1)由题意知∠ABP=30°,AP=97 m,
∴AB=APtan∠ABP=97tan30°=9733=97 3≈168(m).
答:主桥AB的长度约为168 m.
(2)∵∠ABP=30°,AP=97 m,∴PB=2AP=194 m.
∵∠DBA=90°,∠PBA=30°,
∴∠DBP=60°.
又∠DPB=30°+30°=60°,
∴△PBD是等边三角形,∴DB=PB=194 m.
在Rt△BCD中,∵∠C=80°36′,
∴BC=DBtanC=194tan80°36′≈32(m).
答:引桥BC的长度约为32 m.
13.解:假设点D移动到点D′的位置时,恰好∠α=39°,过点D作DE⊥AC于点E,过点D′作D′E′⊥AC于点E′.
 
∵CD=12米,∠DCE=60°,
∴DE=CD·sin60°=12×32=6 3(米),CE=CD·cos60°=12×12=6(米).
∵DE⊥AC,D′E′⊥AC,DD′∥CE′,
∴四边形DEE′D′是矩形,
∴DD′=EE′,D′E′=DE=6 3米.
∵∠D′CE′=39°,
∴CE′=D′E′tan39°≈6 30.81≈12.8(米),
∴DD′=EE′=CE′-CE≈12.8-6=6.8≈7(米).
答:学校至少要把坡顶D向后水平移动约7米才能保证教学楼的安全.
14.解:(1)sin2A1+cos2A1=(12)2+(32)2=14+34=1,
sin2A2+cos2A2=(12)2+(12)2=12+12=1,
sin2A3+cos2A3=(35)2+(45)2=925+1625=1.
故答案为:1,1,1.
(2)观察上述等式猜想:在Rt△ABC中,∠C=90°,总有sin2A+cos2A=1.
故答案为:1.
(3)证明:在Rt△ABC中,∵sinA=ac,cosA=bc,且a2+b2=c2,
∴sin2A+cos2A=(ac)2+(bc)2=a2c2+b2c2=a2+b2c2=c2c2=1,即sin2A+cos2A=1.
(4)∵在△ABC中,∠A+∠B=90°,
∴∠C=90°,
∴sin2A+cos2A=1,
即(1213)2+cosA2=1,
解得cosA=513或cosA=-513(舍),
即cosA的值为513.
 

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