2018年四川乐山市中考数学真题(含解析)

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2018年四川乐山市中考数学真题(含解析)

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来源莲山
课 件 w w w.5y K J.Co m 四川省乐山市2018年中考数学真题试题
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求
1.﹣2的相反数是(  )
A.﹣2      B.2      C.       D.﹣
解:﹣2的相反数是2.
故选B.
2.如图是由长方体和圆柱组成的几何体,它的俯视图是(  )
 
A.       B.       C.       D.
解:从上边看外面是正方形,里面是没有圆心的圆.
 故选A.
3.方程组 = =x+y﹣4的解是(  )
A.       B.       C.       D.
解:由题可得: ,消去x,可得
 2(4﹣ y)=3y,解得y=2,把y=2代入2x=3y,可得
x=3,∴方程组的解为 .
故选D.
4.如图,DE∥FG∥BC,若DB=4FB,则EG与GC的关系是(  )
 
A.EG=4GC      B.EG=3GC      C.EG= GC      D.EG=2GC
解:∵DE∥FG∥BC,DB=4FB,∴ .
故选B.
5.下列调查中,适宜采用普查方式的是(  )
A.调查全国中学生心理健康现状
B.调查一片试验田里五种大麦的穗长情况
C.要查冷饮市场上冰淇淋的质量情况
D.调查你所在班级的每一个同学所穿鞋子的尺码情况
解:A.了解全国中学生心理健康现状调查范围广,适合抽样调查,故A错误;
B.了解一片试验田里五种大麦的穗长情况调查范围广,适合抽样调查,故B错误;
C.了解冷饮市场上冰淇淋的质量情况调查范围广,适合抽样调查,故C错误;
D.调查你所在班级的每一个同学所穿鞋子的尺码情况,适合全面调查,故D正确;
故选D.
6.估计 +1的值,应在(  )
A.1和2之间      B.2和3之间      C.3和4之间      D.4和5之间
解:∵ ≈2.236,∴  +1≈3.236.
 故选C.
7.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就.它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”译为:“今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深1寸(ED=1寸),锯道长1尺(AB=1尺=10寸)”,问这块圆形木材的直径是多少?”
如图所示,请根据所学知识计算:圆形木材的直径AC是(  )
 
A.13寸      B.20寸      C.26寸      D.28寸
解:设⊙O的半径为r.
在Rt△ADO中,AD=5,OD=r﹣1,OA=r,则有r2=52+(r﹣1)2,解得r=13,∴⊙O的直径为26寸.
 故选C.
8.已知实数a、b满足a+b=2,ab= ,则a﹣b=(  )
A.1      B.﹣       C.±1      D.±
解:∵a+b=2,ab= ,∴(a+b)2=4=a2+2ab+b2,∴a2+b2= ,∴(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2=1,∴a﹣b=±1.
 故选C.
9.如图,曲线C2是双曲线C1:y= (x>0)绕原点O逆时针旋转45°得到的图形,P是曲线C2上任意一点,点A在直线l:y=x上,且PA=PO,则△POA的面积等于(  )
 
A.       B.6      C.3      D.12
解:如图,将C2及直线y=x绕点O逆时针旋转45°,则得到双曲线C3,直线l与y轴重合.
双曲线C3,的解析式为y=﹣
过点P作PB⊥y轴于点B
∵PA=PB
∴B为OA中点,∴S△PAB=S△POB
由反比例函数比例系数k的性质,S△POB=3
∴△POA的面积是6
 
故选B.
10.二次函数y=x2+(a﹣2)x+3的图象与一次函数y=x(1≤x≤2)的图象有且仅有一个交点,则实数a的取值范围是(  )
A.a=3±2       B.﹣1≤a<2
C.a=3 或﹣ ≤a<2      D.a=3﹣2 或﹣1≤a<﹣
解:由题意可知:方程x2+(a﹣2)x+3=x在1≤x≤2上只有一个解,即x2+(a﹣3)x+3=0在1≤x≤2上只有一个解,当△=0时,即(a﹣3)2﹣12=0
a=3±2
当a=3+2 时,此时x=﹣ ,不满足题意,当a=3﹣2 时,此时x= ,满足题意,当△>0时,令y=x2+(a﹣3)x+3,令x=1,y=a+1,令x=2,y=2a+1
(a+1)(2a+1)≤0
解得:﹣1≤a≤ ,当a=﹣1时,此时x=1或3,满足题意;
当a=﹣ 时,此时x=2或x= ,不满足题意.
综上所述:a=3﹣2 或﹣1≤a< .
 故选D.
二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,共18分
11.计算:|﹣3|=      .
解:|﹣3|=3.
故答案为:3.
12.化简 + 的结果是     
解:  +
= ﹣
=
=﹣1.
故答案为:﹣1.
13.如图,在数轴上,点A表示的数为﹣1,点B表示的数为4,C是点B关于点A的对称点,则点C表示的数为      .
 
解:设点C所表示的数为x.
∵数轴上A、B两点表示的数分别为﹣1和4,点B关于点A的对称点是点C,∴AB=4﹣(﹣1),AC=﹣1﹣x,根据题意AB=AC,∴4﹣(﹣1)=﹣1﹣x,解得x=﹣6.
故答案为:﹣6.
14.如图,四边形ABCD是正方形,延长AB到点E,使AE=AC,连结CE,则∠BCE的度数是      度.
 
解:∵四边形ABCD是正方形,∴∠CAB=∠BCA=45°;
△ACE中,AC=AE,则:
∠ACE=∠AEC= (180°﹣∠CAE)=67.5°;
∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°.
故答案为:22.5.
15.如图,△OAC的顶点O在坐标原点,OA边在x轴上,OA=2,AC=1,把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′,使得点O′的坐标是(1, ),则在旋转过程中线段OC扫过部分(阴影部分)的面积为      .
 
解:过O′作O′M⊥OA于M,则∠O′MA=90°,
∵点O′的坐标是(1, ),∴O′M= ,OM=1.
∵AO=2,∴AM=2﹣1=1,∴tan∠O′AM= = ,∴∠O′AM=60°,即旋转角为60°,∴∠CAC′=∠OAO′=60°.
∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′,∴S△OAC=S△O′AC′,∴阴影部分的面积S=S扇形OAO′+S△O′AC′﹣S△OAC﹣S扇形CAC′=S扇形OAO′﹣S扇形CAC′= ﹣ = .
 故答案为: .
16.已知直线l1:y=(k﹣1)x+k+1和直线l2:y=kx+k+2,其中k为不小于2的自然数.
(1)当k=2时,直线l1、l2与x轴围成的三角形的面积S2=      ;
(2)当k=2、3、4,……,2018时,设直线l1、l2与x轴围成的三角形的面积分别为S2,S3,S4,……,S2018,则S2+S3+S4+……+S2018=      .
解:当y=0时,有(k﹣1)x+k+1=0,解得:x=﹣1﹣ ,∴直线l1与x轴的交点坐标为(﹣1﹣ ,0),同理,可得出:直线l2与x轴的交点坐标为(﹣1﹣ ,0),∴两直线与x轴交点间的距离d=﹣1﹣ ﹣(﹣1﹣ )= ﹣ .
联立直线l1、l2成方程组,得:
 ,解得: ,∴直线l1、l2的交点坐标为(﹣1,﹣2).
(1)当k=2时,d= ﹣ =1,∴S2= ×|﹣2|d=1.
故答案为:1.
(2)当k=3时,S3= ﹣ ;当k=4时,S4= ﹣ ;…;S2018= ﹣ ,∴S2+S3+S4+……+S2018= ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = ﹣ =2﹣ = .
故答案为: .
三、简答题:本大题共3小题,每小题9分,共27分
17.计算:4cos45°+(π﹣2018)0﹣
解:原式=4× +1﹣2 =1.
18.解不等式组:
解: .
∵解不等式①得:x>0,解不等式②得:x<6,∴不等式组的解集为0<x<6.
19.如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证:BC=BD.
 
证明:∵∠ABD+∠3=180°∠ABC+∠4=180°,且∠3=∠4,∴∠ABD=∠ABC
在△ADB和△ACB中, ,∴△ADB≌△ACB(ASA),∴BD=CD.
四、本大题共3小题,每小题10分,共30分
20.先化简,再求值:(2m+1)(2m﹣1)﹣(m﹣1)2+(2m)3÷(﹣8m),其中m是方程x2+x﹣2=0的根
解:原式=4m2﹣1﹣(m2﹣2m+1)+8m3÷(﹣8m)
=4m2﹣1﹣m2+2m﹣1﹣m2
=2m2+2m﹣2
=2(m2+m﹣1).
∵m是方程x2+x﹣2=0的根,∴m2+m﹣2=0,即m2+m=2,则原式=2×(2﹣1)=2.
21.某校八年级甲、乙两班各有学生50人,为了了解这两个班学生身体素质情况,进行了抽样调查,过程如下,请补充完整.
(1)收集数据
从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试,测试成绩(百分制)如下:
甲班65 75 75 80 60 50 75 90 85 65
乙班90 55 80 70 55 70 95 80 65 70
(2)整理描述数据
按如下分数段整理、描述这两组样本数据:
 
在表中:m=      ,n=      .
(3)分析数据
①两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示:
 
在表中:x=      ,y=      .
②若规定测试成绩在80分(含80分)以上的叙述身体素质为优秀,请估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有      人.
③现从甲班指定的2名学生(1男1女),乙班指定的3名学生(2男1女)中分别抽取1名学生去参加上级部门组织的身体素质测试,用树状图和列表法求抽到的2名同学是1男1女的概率.
解:(2)由收集的数据得知m=3、n=2.
 故答案为:3、2;
(3)①甲班成绩为:50、60、65、65、75、75、75、80、85、90,∴甲班成绩的中位数x= =75,乙班成绩70分出现次数最多,所以的众数y=70.
 故答案为:75、70;
②估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有50× =20人;
③列表如下:
 
由表可知,共有6种等可能结果,其中抽到的2名同学是1男1女的有3种结果,所以抽到的2名同学是1男1女的概率为 = .
22.某蔬菜生产基地的气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度y (℃)与时间x(h)之间的函数关系,其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.
请根据图中信息解答下列问题:
(1)求这天的温度y与时间x(0≤x≤24)的函数关系式;
(2)求恒温系统设定的恒定温度;
(3)若大棚内的温度低于10℃时,蔬菜会受到伤害.问这天内,恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使蔬菜避免受到伤害?
 
解:(1)设线段AB解析式为y=k1x+b(k≠0)
∵线段AB过点(0,10),(2,14)
代入得
解得
∴AB解析式为:y=2x+10(0≤x<5)
∵B在线段AB上当x=5时,y=20
∴B坐标为(5,20)
∴线段BC的解析式为:y=20(5≤x<10)
设双曲线CD解析式为:y= (k2≠0)
∵C(10,20)
∴k2=200
∴双曲线CD解析式为:y= (10≤x≤24)
∴y关于x的函数解析式为:
y=
(2)由(1)恒温系统设定恒温为20°C
(3)把y=10代入y= 中,解得:x=20
∴20﹣10=10
答:恒温系统最多关闭10小时,蔬菜才能避免受到伤害.
五、本大题共2小题,每小题10分,共20分
23.已知关于x的一元二次方程mx2+(1﹣5m)x﹣5=0(m≠0).
(1)求证:无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根;
(2)若抛物线y=mx2+(1﹣5m)x﹣5=0与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且|x1﹣x2|=6,求m的值;
(3)若m>0,点P(a,b)与Q(a+n,b)在(2)中的抛物线上(点P、Q不重合),求代数式4a2﹣n2+8n的值.
(1)证明:由题意可得:
△=(1﹣5m)2﹣4m×(﹣5)
=1+25m2﹣20m+20m
=25m2+1>0,故无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根;
(2)解:mx2+(1﹣5m)x﹣5=0,解得:x1=﹣ ,x2=5,由|x1﹣x2|=6,得|﹣ ﹣5|=6,解得:m=1或m=﹣ ;
(3)解:由(2)得:当m>0时,m=1,此时抛物线为y=x2﹣4x﹣5,其对称轴为:x=2,由题已知,P,Q关于x=2对称,∴  =2,即2a=4﹣n,∴4a2﹣n2+8n=(4﹣n)2﹣n2+8n=16.
24.如图,P是⊙O外的一点,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B是切点,PO交AB于点F,延长BO交⊙O于点C,交PA的延长交于点Q,连结AC.
(1)求证:AC∥PO;
(2)设D为PB的中点,QD交AB于点E,若⊙O的半径为3,CQ=2,求 的值.
 
(1)证明:∵PA、PB是⊙O的两条切线,A、B是切点,∴PA=PB,且PO平分∠BPA,∴PO⊥AB.
∵BC是直径,∴∠CAB=90°,∴AC⊥AB,∴AC∥PO;
(2)解:连结OA、DF,如图,
 ∵PA、PB是⊙O的两条切线,A、B是切点,∴∠OAQ=∠PBQ=90°.
在Rt△OAQ中,OA=OC=3,∴OQ=5.
由QA2+OA2=OQ2,得QA=4.
在Rt△PBQ中,PA=PB,QB=OQ+OB=8,由QB2+PB2=PQ2,得82+PB2=(PB+4)2,解得PB=6,∴PA=PB=6.
∵OP⊥AB,∴BF=AF= AB.
又∵D为PB的中点,∴DF∥AP,DF= PA=3,∴△DFE∽△QEA,∴  = = ,设AE=4t,FE=3t,则AF=AE+FE=7t,∴BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t,∴  = = .
 
六、本大题共2小题,第25题12分,第26题13分,共25分
25.已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、E分别在BC、AC边上,连结BE、AD交于点P,设AC=kBD,CD=kAE,k为常数,试探究∠APE的度数:
(1)如图1,若k=1,则∠APE的度数为      ;
(2)如图2,若k= ,试问(1)中的结论是否成立?若成立,请说明理由;若不成立,求出∠APE的度数.
(3)如图3,若k= ,且D、E分别在CB、CA的延长线上,(2)中的结论是否成立,请说明理由.
 
解:(1)如图1,过点A作AF∥CB,过点B作BF∥AD相交于F,连接EF,∴∠FBE=∠APE,∠FAC=∠C=90°,四边形ADBF是平行四边形,∴BD=AF,BF=AD.
∵AC=BD,CD=AE,∴AF=AC.
∵∠FAC=∠C=90°,∴△FAE≌△ACD,∴EF=AD=BF,∠FEA=∠ADC.
∵∠ADC+∠CAD=90°,∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD.
∵AD∥BF,∴∠EFB=90°.
∵EF=BF,∴∠FBE=45°,∴∠APE=45°.
 故答案为:45°.
(2)(1)中结论不成立,理由如下:
如图2,过点A作AF∥CB,过点B作BF∥AD相交于F,连接EF,∴∠FBE=∠APE,∠FAC=∠C=90°,四边形ADBF是平行四边形,∴BD=AF,BF=AD.
∵AC= BD,CD= AE,∴ .
∵BD=AF,∴ .
∵∠FAC=∠C=90°,∴△FAE∽△ACD,∴  = ,∠FEA=∠ADC.
∵∠ADC+∠CAD=90°,∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD.∵AD∥BF,∴∠EFB=90°.在Rt△EFB中,tan∠FBE= ,∴∠FBE=30°,∴∠APE=30°,(3)(2)中结论成立,如图3,作EH∥CD,DH∥BE,EH,DH相交于H,连接AH,∴∠APE=∠ADH,∠HEC=∠C=90°,四边形EBDH是平行四边形,∴BE=DH,EH=BD.
∵AC= BD,CD= AE,∴ .
∵∠HEA=∠C=90°,∴△ACD∽△HEA,∴ ,∠ADC=∠HAE.
∵∠CAD+∠ADC=90°,∴∠HAE+∠CAD=90°,∴∠HAD=90°.在Rt△DAH中,tan∠ADH= = ,∴∠ADH=30°,∴∠APE=30°.
 
 
 
26.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C(0,﹣ ),OA=1,OB=4,直线l过点A,交y轴于点D,交抛物线于点E,且满足tan∠OAD= .
(1)求抛物线的解析式;
(2)动点P从点B出发,沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动,动点Q从点A出发,沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动,当点P运动到点A时,点Q也停止运动,设运动时间为t秒.
①在P、Q的运动过程中,是否存在某一时刻t,使得△ADC与△PQA相似,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
②在P、Q的运动过程中,是否存在某一时刻t,使得△APQ与△CAQ的面积之和最大?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
 
解:(1)∵OA=1,OB=4
∴A(1,0),B(﹣4,0)
设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x﹣1)
∵点C(0,﹣ )在抛物线上
∴﹣
解得a=
∴抛物线的解析式为y=
(2)存在t,使得△ADC与△PQA相似.
理由:①在Rt△AOC中,OA=1,OC=
则tan∠ACO=
∵tan∠OAD=
∴∠OAD=∠ACO
∵直线l的解析式为y=
∴D(0,﹣ )
∵点C(0,﹣ )
∴CD=
由AC2=OC2+OA2,得AC=
在△AQP中,AP=AB﹣PB=5﹣2t,AQ=t
由∠PAQ=∠ACD,要使△ADC与△PQA相似
只需 或
则有 或
解得t1= ,t2=
∵t1<2.5,t2<2.5
∴存在t= 或t= ,使得△ADC与△PQA相似
②存在t,使得△APQ与△CAQ的面积之和最大
理由:作PF⊥AQ于点F,CN⊥AQ于N
在△APF中,PF=AP•sin∠PAF=
在△AOD中,由AD2=OD2+OA2,得AD=
在△ADC中,由S△ADC=
∴CN=
∴S△AQP+S△AQC=
=﹣
∴当t= 时,△APQ与△CAQ的面积之和最大
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