2018年四川攀枝花市中考数学真题试卷(带解析)

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2018年四川攀枝花市中考数学真题试卷(带解析)

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5Y k J. c oM 四川省攀枝花市2018年中考数学真题试题
一、选择题:本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的
1.下列实数中,无理数是(  )
A.0      B.﹣2      C.       D.
解:0,﹣2, 是有理数, 是无理数.
 故选C.
2.下列运算结果是a5的是(  )
A.a10÷a2      B.(a2)3      C.(﹣a)5      D.a3•a2
解:A.a10÷a2=a8,错误;
B.(a2)3=a6,错误;
C.(﹣a)5=﹣a5,错误;
D.a3•a2=a5,正确;
故选D.
3.如图,实数﹣3、x、3、y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q,这四个数中绝对值最小的数对应的点是(  )
 
A.点M      B.点N      C.点P      D.点Q
解:∵实数﹣3,x,3,y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q,∴原点在点M与N之间,∴这四个数中绝对值最小的数对应的点是点N.
 故选B.
4.如图,等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上,若a∥b,∠1=30°,则∠2的度数为(  )
 
A.30°      B.15°      C.10°      D.20°
解:如图所示:
∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠BAC=90°,∠ACB=45°,∴∠1+∠BAC=30°+90°=120°.
∵a∥b,∴∠ACD=180°﹣120°=60°,∴∠2=∠ACD﹣∠ACB=60°﹣45°=15°;
故选B.
 
5.下列平面图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是(  )
A.菱形      B.等边三角形      C.平行四边形      D.等腰梯形
解:A.菱形既是中心对称图形,也是轴对称图形,故本选项正确;
B.等边三角形不是中心对称图形,是轴对称图形,故本选项错误;
C.平行四边形是中心对称图形,不是轴对称图形,故本选项错误;
D.等腰梯形不是中心对称图形,是轴对称图形,故本选项错误.
故选A.
6.抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为(  )
A.(1,1)      B.(﹣1,1)      C.(1,3)      D.(﹣1,3)
解:∵y=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1,∴顶点坐标为(1,1).
故选A.
7.若点A(a+1,b﹣2)在第二象限,则点B(﹣a,1﹣b)在(  )
A.第一象限      B.第二象限      C.第三象限      D.第四象限
解:∵点A(a+1,b﹣2)在第二象限,∴a+1<0,b﹣2>0,解得:a<﹣1,b>2,则﹣a>1,1﹣b<﹣1,故点B(﹣a,1﹣b)在第四象限.
故选D.
8.布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球,搅匀后从中摸出一个球,放回搅匀,再摸出第二个球,两次都摸出白球的概率是(  )
A.       B.       C.       D.
解:画树状图得:
 
则共有9种等可能的结果,两次都摸到白球的有4种情况,∴两次都摸到白球的概率为 .
 故选A.
9.如图,点A的坐标为(0,1),点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作Rt△ABC,使∠BAC=90°,∠ACB=30°,设点B的横坐标为x,点C的纵坐标为y,能表示y与x的函数关系的图象大致是(  )
 
A.       B.
C.       D.
解:如图所示:过点C作CD⊥y轴于点D.
∵∠BAC=90°,∴∠DAC+∠OAB=90°.
∵∠DCA+∠DAC=90°,∴∠DCA=∠OAB.又∵∠CDA=∠AOB=90°,∴△CDA∽△AOB,∴  = = =tan30°,则 = ,故y= x+1(x>0),则选项C符合题意.
故选C.
 
10.如图,在矩形ABCD中,E是AB边的中点,沿EC对折矩形ABCD,使B点落在点P处,折痕为EC,连结AP并延长AP交CD于F点,连结CP并延长CP交AD于Q点.给出以下结论:
①四边形AECF为平行四边形;
②∠PBA=∠APQ;
③△FPC为等腰三角形;
④△APB≌△EPC.
其中正确结论的个数为(  )
 
A.1      B.2      C.3      D.4
解:①如图,EC,BP交于点G;
∵点P是点B关于直线EC的对称点,∴EC垂直平分BP,∴EP=EB,∴∠EBP=∠EPB.
∵点E为AB中点,∴AE=EB,∴AE=EP,∴∠PAB=∠PBA.
∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°,即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2(∠PAB+∠PBA)=180°,∴∠PAB+∠PBA=90°,∴AP⊥BP,∴AF∥EC;
∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形,故①正确;
②∵∠APB=90°,∴∠APQ+∠BPC=90°,由折叠得:BC=PC,∴∠BPC=∠PBC.
∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°,∴∠ABP=∠APQ,故②正确;
③∵AF∥EC,∴∠FPC=∠PCE=∠BCE.
∵∠PFC是钝角,当△BPC是等边三角形,即∠BCE=30°时,才有∠FPC=∠FCP,如右图,△PCF不一定是等腰三角形,故③不正确;
④∵AF=EC,AD=BC=PC,∠ADF=∠EPC=90°,∴Rt△EPC≌△FDA(HL).
∵∠ADF=∠APB=90°,∠FAD=∠ABP,当BP=AD或△BPC是等边三角形时,△APB≌△FDA,∴△APB≌△EPC,故④不正确;
其中正确结论有①②,2个.
 故选B.
 
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.
11.分解因式:x3y﹣2x2y+xy=      .
解:原式=xy(x2﹣2x+1)=xy(x﹣1)2.
故答案为:xy(x﹣1)2.
12.如果a+b=2,那么代数式(a﹣ )÷ 的值是      .
解:当a+b=2时,原式= •
= •
=a+b
=2
故答案为:2.
13.样本数据1,2,3,4,5.则这个样本的方差是      .
解:∵1、2、3、4、5的平均数是(1+2+3+4+5)÷5=3,∴这个样本方差为s2=  [(1﹣3)2+(2﹣3)2+(3﹣3)2+(4﹣3)2+(5﹣3)2]=2;
故答案为:2.
14.关于x的不等式﹣1<x≤a有3个正整数解,则a的取值范围是      .
解:∵不等式﹣1<x≤a有3个正整数解,∴这3个整数解为1、2、3,则3≤a<4.
 故答案为:3≤a<4.
15.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,矩形内部有一动点P满足S△PAB= S矩形ABCD,则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为      .
 
解:设△ABP中AB边上的高是h.
∵S△PAB= S矩形ABCD,∴  AB•h= AB•AD,∴h= AD=2,∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上,如图,作A关于直线l的对称点E,连接AE,连接BE,则BE的长就是所求的最短距离.
 
在Rt△ABE中,∵AB=4,AE=2+2=4,∴BE= = =4 ,即PA+PB的最小值为4 .
故答案为:4 .
16.如图,已知点A在反比例函数y= (x>0)的图象上,作Rt△ABC,边BC在x轴上,点D为斜边AC的中点,连结DB并延长交y轴于点E,若△BCE的面积为4,则k=      .
 
解:∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线,∴BD=DC,∠DBC=∠ACB,又∠DBC=∠EBO,∴∠EBO=∠ACB,又∠BOE=∠CBA=90°,∴△BOE∽△CBA,∴ ,即BC×OE=BO×AB.
又∵S△BEC=4,∴  BC•EO=4,即BC×OE=8=BO×AB=|k|.
∵反比例函数图象在第一象限,k>0,∴k=8.
故答案为:8.
三、解答题:本大题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.解方程: ﹣ =1.
解:去分母得:3(x﹣3)﹣2(2x+1)=6,去括号得:3x﹣9﹣4x﹣2=6,移项得:﹣x=17,系数化为1得:x=﹣17.
18.某校为了预测本校九年级男生毕业体育测试达标情况,随机抽取该年级部分男生进行了一次测试(满分50分,成绩均记为整数分),并按测试成绩m(单位:分)分成四类:A类(45<m≤50),B类(40<m≤45),C类(35<m≤40),D类(m≤35)绘制出如图所示的两幅不完整的统计图,请根据图中信息解答下列问题:
 
(1)求本次抽取的样本容量和扇形统计图中A类所对的圆心角的度数;
(2)若该校九年级男生有500名,D类为测试成绩不达标,请估计该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有多少名?
解:(1)本次抽取的样本容量为10÷20%=50,扇形统计图中A类所对的圆心角的度数为360°×20%=72°;
(2)估计该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有500×(1﹣ )=470名.
19.攀枝花市出租车的收费标准是:起步价5元(即行驶距离不超过2千米都需付5元车费),超过2千米以后,每增加1千米,加收1.8元(不足1千米按1千米计).某同学从家乘出租车到学校,付了车费24.8元.求该同学的家到学校的距离在什么范围?
解:设该同学的家到学校的距离是x千米,依题意:
 24.8﹣1.8<5+1.8(x﹣2)≤24.8,解得:12<x≤13.
故该同学的家到学校的距离在大于12小于等于13的范围.
20.已知△ABC中,∠A=90°.
(1)请在图1中作出BC边上的中线(保留作图痕迹,不写作法);
(2)如图2,设BC边上的中线为AD,求证:BC=2AD.
 
(1)解:如图1,AD为所作;
 
(2)证明:延长AD到E,使ED=AD,连接EB、EC,如图2.
∵CD=BD,AD=ED,∴四边形ABEC为平行四边形.
∵∠CAB=90°,∴四边形ABEC为矩形,∴AE=BC,∴BC=2AD.
21.如图,在平面直角坐标系中,A点的坐标为(a,6),AB⊥x轴于点B,cos∠OAB═ ,反比例函数y= 的图象的一支分别交AO、AB于点C、D.延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E.已知点D的纵坐标为 .
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求直线EB的解析式;
(3)求S△OEB.
 
解:(1)∵A点的坐标为(a,6),AB⊥x轴,∴AB=6.
∵cos∠OAB═ = ,∴ ,∴OA=10,由勾股定理得:OB=8,∴A(8,6),∴D(8, ).
∵点D在反比例函数的图象上,∴k=8× =12,∴反比例函数的解析式为:y= ;
(2)设直线OA的解析式为:y=bx.
∵A(8,6),∴8b=6,b= ,∴直线OA的解析式为:y= x,则 ,x=±4,∴E(﹣4,﹣3),设直线BE的解式为:y=mx+n,把B(8,0),E(﹣4,﹣3)代入得: ,解得: ,∴直线BE的解式为:y= x﹣2;
(3)S△OEB= OB•|yE|= ×8×3=12.
22.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E,过点D作DF⊥AC于点F.
(1)若⊙O的半径为3,∠CDF=15°,求阴影部分的面积;
(2)求证:DF是⊙O的切线;
(3)求证:∠EDF=∠DAC.
 
(1)解:
连接OE,过O作OM⊥AC于M,则∠AMO=90°.
∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°.
∵∠FDC=15°,∴∠C=180°﹣90°﹣15°=75°.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=75°,∴∠BAC=180°﹣∠ABC∠C=30°,∴OM= OA= = ,AM= OM= .
∵OA=OE,OM⊥AC,∴AE=2AM=3 ,∴∠BAC=∠AEO=30°,∴∠AOE=180°﹣30°﹣30°=120°,∴阴影部分的面积S=S扇形AOE﹣S△AOE= ﹣ =3π﹣ ;
(2)证明:连接OD,
∵AB=AC,OB=OD,∴∠ABC=∠C,∠ABC=∠ODB,∴∠ODB=∠C,∴AC∥OD.
∵DF⊥AC,∴DF⊥OD.
∵OD过O,∴DF是⊙O的切线;
(3)证明:连接BE,
∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=90°,∴BE⊥AC.
∵DF⊥AC,∴BE∥DF,∴∠FDC=∠EBC.
∵∠EBC=∠DAC,∴∠FDC=∠DAC.
∵A、B、D、E四点共圆,∴∠DEF=∠ABC.
∵∠ABC=∠C,∴∠DEC=∠C.
∵DF⊥AC,∴∠EDF=∠FDC,∴∠EDF=∠DAC.
23.如图,在△ABC中,AB=7.5,AC=9,S△ABC= .动点P从A点出发,沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动,动点Q从C点同时出发,以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动,当点P运动到B点时,P、Q两点同时停止运动,以PQ为边作正△PQM(P、Q、M按逆时针排序),以QC为边在AC上方作正△QCN,设点P运动时间为t秒.
(1)求cosA的值;
(2)当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM= S△QCN时,求t的值;
(3)当t为何值时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN的边上.
 
解:(1)如图1中,作BE⊥AC于E.
 
∵S△ABC= •AC•BE= ,∴BE= .在Rt△ABE中,AE= =6,∴coaA= = = .
(2)如图2中,作PH⊥AC于H.
 
∵PA=5t,PH=3t,AH=4t,HQ=AC﹣AH﹣CQ=9﹣9t,∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+(9﹣9t)2.
∵S△PQM= S△QCN,∴  •PQ2= × •CQ2,∴9t2+(9﹣9t)2= ×(5t)2,整理得:5t2﹣18t+9=0,解得t=3(舍弃)或 ,∴当t= 时,满足S△PQM= S△QCN.
(3)①如图3中,当点M落在QN上时,作PH⊥AC于H.
 
易知:PM∥AC,∴∠MPQ=∠PQH=60°,∴PH= HQ,∴3t= (9﹣9t),∴t= .
②如图4中,当点M在CQ上时,作PH⊥AC于H.
 
同法可得PH= QH,∴3t= (9t﹣9),∴t= .
综上所述:当t= s或 s时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN的边上.
24.如图,对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)两点,与y轴交于C点,且 + =﹣ .
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线顶点为D,直线BD交y轴于E点;
①设点P为线段BD上一点(点P不与B、D两点重合),过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F,求△BDF面积的最大值;
②在线段BD上是否存在点Q,使得∠BDC=∠QCE?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
 
解:(1)∵抛物线对称轴为直线x=1
∴﹣
∴b=2
由一元二次方程根与系数关系:
x1+x2=﹣ ,x1x2=
∴ + = =﹣
∴﹣
则c=﹣3
∴抛物线解析式为:y=x2﹣2x﹣3
(2)由(1)点D坐标为(1,﹣4)
当y=0时,x2﹣2x﹣3=0
解得x1=﹣1,x2=3
∴点B坐标为(3,0)
①设点F坐标为(a,b)
∴△BDF的面积S= ×(4﹣b)(a﹣1)+ (﹣b)(3﹣a)﹣ ×2×4
整理的S=2a﹣b﹣6
∵b=a2﹣2a﹣3
∴S=2a﹣(a2﹣2a﹣3)﹣6=﹣a2+4a﹣3
∵a=﹣1<0
∴当a=2时,S最大=﹣4+8﹣3=1
②存在
由已知点D坐标为(1,﹣4),点B坐标为(3,0)
∴直线BD解析式为:y=2x﹣6
则点E坐标为(0,﹣6)
连BC、CD,则由勾股定理
 
CB2=(3﹣0)2+(﹣3﹣0)2=18
CD2=12+(﹣4+3)2=2
BD2=(﹣4)2+(3﹣1)2=20
∴CB2+CD2=BD2
∴∠BDC=90°
∵∠BDC=∠QCE
∴∠QCE=90°
∴点Q纵坐标为﹣3
代入﹣3=2x﹣6
∴x=
∴存在点Q坐标为( ,﹣3)
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