2018年广西贺州市中考数学真题试卷(含解析)

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2018年广西贺州市中考数学真题试卷(含解析)

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广西贺州市2018年中考数学真题试题
一、选择题:(本大题共12小题,每小题3分,共36分:给出的四个迭项中,只有一项是符合题目要求的。)
1.(3.00分)在﹣1、1、 、2这四个数中,最小的数是(  )
A.﹣1 B.1 C.  D.2
2.(3.00分)如图,下列各组角中,互为对顶角的是(  )
 
A.∠1和∠2 B.∠1和∠3 C.∠2和∠4 D.∠2和∠5
3.(3.00分)4的平方根是(  )
A.2 B.﹣2 C.±2 D.16
4.(3.00分)下列图形中,属于中心对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
5.(3.00分)若一组数据:1、2、x、4、5的众数为5,则这组数据的中位数是(  )
A.1 B.2 C.4 D.5
6.(3.00分)下列运算正确的是(  )
A.a2•a2=2a2 B.a2+a2=a4 C.(a3)2=a6 D.a8÷a2=a4
7.(3.00分)下列各式分解因式正确的是(  )
A.x2+6xy+9y2=(x+3y)2 B.2x2﹣4xy+9y2=(2x﹣3y)2
C.2x2﹣8y2=2(x+4y)(x﹣4y) D.x(x﹣y)+y(y﹣x)=(x﹣y)(x+y)
8.(3.00分)如图,这是一个几何体的三视图,根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积为(  )
 
A.9π B.10π C.11π D.12π
9.(3.00分)如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数y1=kx+b(k、b是常数,且k≠0)与反比例函数y2= (c是常数,且c≠0)的图象相交于A(﹣3,﹣2),B(2,3)两点,则不等式y1>y2的解集是(  )
 
A.﹣3<x<2 B.x<﹣3或x>2 C.﹣3<x<0或x>2 D.0<x<2
10.(3.00分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,E是边BC的中点,AD=ED=3,则BC的长为(  )
 
A.3  B.3  C.6 D.6
11.(3.00分)如图,AB是⊙O的直径,且经过弦CD的中点H,已知sin∠CDB= ,BD=5,则AH的长为(  )
 
A.  B.  C.  D.
12.(3.00分)如图,正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,依此下去,第n个正方形的面积为(  )
 
A.( )n﹣1 B.2n﹣1 C.( )n D.2n
 
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分;请把答案填在答題卡对应的位置上,在试卷上作答无效。)
13.(3.00分)要使二次根式 有意义,则x的取值范围是     .
14.(3.00分)医学家发现了一种病毒,其长度约为0.00000029mm,用科学记数法表示为     mm.
15.(3.00分)从﹣1、0、 、π、5.1、7这6个数中随机抽取一个数,抽到无理数的概率是     .
16.(3.00分)如图,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到△A′B′C,连接BB',若∠A′B′B=20°,则∠A的度数是     .
 
17.(3.00分)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30﹣x)件,若使利润最大,则每件商品的售价应为     元.
18.(3.00分)如图,正方形ABCD的边长为12,点E在边AB上,BE=8,过点E作EF∥BC,分别交BD、CD于G、F两点.若点P、Q分别为DG、CE的中点,则PQ的长为     .
 
 
三、解答题:(本大题共8题,满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。在试卷上作答无效。)
19.(6.00分)计算:(﹣1)2018+|﹣ |﹣( ﹣π)0﹣2sin60°.
20.(6.00分)解分式方程: +1=
21.(8.00分)某中学为了了解学生每周在校体育锻炼时间,在本校随机抽取了若干名学生进行调查,并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表,请根据图表信息解答下列问题:
时间(小时)  频数(人数)  频率
2≤t<3 4 0.1
3≤t<4 10 0.25
4≤t<5 a 0.15
5≤t<6 8 b
6≤t<7 12 0.3
合计 40 1
(1)表中的a=     ,b=     ;
(2)请将频数分布直方图补全;
(3)若该校共有1200名学生,试估计全校每周在校参加体育锻炼时间至少有4小时的学生约为多少名?
 
22.(8.00分)如图,一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B.游轮以20 海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处,此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上,求A处与灯塔B相距多少海里?(结果精确到1海里,参考数据: ≈1.41, ≈1.73)
 
23.(8.00分)某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A型和30辆B型自行车,其中B型车单价是A型车单价的6倍少60元.
(1)求A、B两种型号的自行车单价分别是多少元?
(2)后来由于该经销商资金紧张,投入购车的资金不超过5.86万元,但购进这批自行年的总数不变,那么至多能购进B型车多少辆?
24.(8.00分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O、D分别是边AC、AB的中点,过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E,连接AE.
(1)求证:四边形AECD是菱形;
(2)若四边形AECD的面积为24,tan∠BAC= ,求BC的长.
 
25.(10.00分)如图,AB是⊙O的弦,过AB的中点E作EC⊥OA,垂足为C,过点B作直线BD交CE的延长线于点D,使得DB=DE.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)若AB=12,DB=5,求△AOB的面积.
 
26.(12.00分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点(A在B的左侧),且OA=3,OB=1,与y轴交于C(0,3),抛物线的顶点坐标为D(﹣1,4).
(1)求A、B两点的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)过点D作直线DE∥y轴,交x轴于点E,点P是抛物线上B、D两点间的一个动点(点P不与B、D两点重合),PA、PB与直线DE分别交于点F、G,当点P运动时,EF+EG是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.
 
 
 
参考答案与试题解析
一、选择题:(本大题共12小题,每小题3分,共36分:给出的四个迭项中,只有一项是符合题目要求的。)
1.(3.00分)在﹣1、1、 、2这四个数中,最小的数是(  )
A.﹣1 B.1 C.  D.2
【分析】根据实数大小比较的法则比较即可.
【解答】解:在实数﹣1,1, ,2中,最小的数是﹣1.
故选:A.
【点评】本题考查了有理数的大小比较法则的应用,注意:正数都大于0,负数都小于0,正数都大于一切负数,两个负数比较大小,其绝对值大的反而小.
 
2.(3.00分)如图,下列各组角中,互为对顶角的是(  )
 
A.∠1和∠2 B.∠1和∠3 C.∠2和∠4 D.∠2和∠5
【分析】直接利用对顶角的定义得出答案.
【解答】解:互为对顶角的是:∠1和∠2.
故选:A.
【点评】此题主要考查了对顶角,正确把握对顶角的定义是解题关键.
 
3.(3.00分)4的平方根是(  )
A.2 B.﹣2 C.±2 D.16
【分析】根据平方根的定义,求数a的平方根,也就是求一个数x,使得x2=a,则x就是a的平方根,由此即可解决问题.
【解答】解:∵(±2)2=4,
∴4的平方根是±2.
故选:C.
【点评】本题考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.
 
4.(3.00分)下列图形中,属于中心对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
【分析】根据中心对称图形的概念求解.
【解答】解:A、不是中心对称图形,故此选项错误;
B、不是中心对称图形,故此选项错误;
C、不是中心对称图形,故此选项错误;
D、是中心对称图形,故此选项正确,
故选:D.
【点评】本题主要考查了中心对称图形的概念,中心对称图形关键是要寻找对称中心,图形旋转180°后与原图重合.
 
5.(3.00分)若一组数据:1、2、x、4、5的众数为5,则这组数据的中位数是(  )
A.1 B.2 C.4 D.5
【分析】由众数的定义得出x=5,再将数据重新排列后由中位数的定义可得答案.
【解答】解:∵数据1、2、x、4、5的众数为5,
∴x=5,
将数据从小到大重新排列为1、2、4、5、5,
所以中位数为4,
故选:C.
【点评】本题考查众数、中位数,解答本题的关键是明确题意,求出这组数据的中位数.
 
6.(3.00分)下列运算正确的是(  )
A.a2•a2=2a2 B.a2+a2=a4 C.(a3)2=a6 D.a8÷a2=a4
【分析】根据合并同类项法则,单项式的乘法运算法则,单项式的除法运算法则,对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解答】解:A、a2•a2=a4,错误;
B、a2+a2=2a2,错误;
C、(a3)2=a6,正确;
D、a8÷a2=a6,错误;
故选:C.
【点评】本题考查了整式的除法,单项式的乘法,合并同类项法则,是基础题,熟记运算法则是解题的关键.
 
7.(3.00分)下列各式分解因式正确的是(  )
A.x2+6xy+9y2=(x+3y)2 B.2x2﹣4xy+9y2=(2x﹣3y)2
C.2x2﹣8y2=2(x+4y)(x﹣4y) D.x(x﹣y)+y(y﹣x)=(x﹣y)(x+y)
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案.
【解答】解:A、x2+6xy+9y2=(x+3y)2,正确;
B、2x2﹣4xy+9y2=无法分解因式,故此选项错误;
C、2x2﹣8y2=2(x+2y)(x﹣2y),故此选项错误;
D、x(x﹣y)+y(y﹣x)=(x﹣y)2,故此选项错误;
故选:A.
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式,正确应用公式是解题关键.
 
8.(3.00分)如图,这是一个几何体的三视图,根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积为(  )
 
A.9π B.10π C.11π D.12π
【分析】由三视图可判断出几何体的形状,进而利用圆锥的侧面积公式求出答案.
【解答】解:由题意可得此几何体是圆锥,
底面圆的半径为:2,母线长为:5,
故这个几何体的侧面积为:π×2×5=10π.
故选:B.
【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体的形状以及圆锥侧面积求法,正确得出几何体的形状是解题关键.
 
9.(3.00分)如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数y1=kx+b(k、b是常数,且k≠0)与反比例函数y2= (c是常数,且c≠0)的图象相交于A(﹣3,﹣2),B(2,3)两点,则不等式y1>y2的解集是(  )
 
A.﹣3<x<2 B.x<﹣3或x>2 C.﹣3<x<0或x>2 D.0<x<2
【分析】一次函数y1=kx+b落在与反比例函数y2= 图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求.
【解答】解:∵一次函数y1=kx+b(k、b是常数,且k≠0)与反比例函数y2= (c是常数,且c≠0)的图象相交于A(﹣3,﹣2),B(2,3)两点,
∴不等式y1>y2的解集是﹣3<x<0或x>2.
故选:C.
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,利用数形结合是解题的关键.
 
10.(3.00分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,E是边BC的中点,AD=ED=3,则BC的长为(  )
 
A.3  B.3  C.6 D.6
【分析】由题意得到三角形ADE为等腰直角三角形,利用勾股定理求出AE的长,再利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半,求出BC即可.
【解答】解:∵AD=ED=3,AD⊥BC,
∴△ADE为等腰直角三角形,
根据勾股定理得:AE= =3 ,
∵Rt△ABC中,E为BC的中点,
∴AE= BC,
则BC=2AE=6 ,
故选:D.
【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线,以及等腰直角三角形,熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解本题的关键.
 
11.(3.00分)如图,AB是⊙O的直径,且经过弦CD的中点H,已知sin∠CDB= ,BD=5,则AH的长为(  )
 
A.  B.  C.  D.
【分析】连接OD,由垂径定理得出AB⊥CD,由三角函数求出BH=3,由勾股定理得出DH= =4,设OH=x,则OD=OB=x+3,在Rt△ODH中,由勾股定理得出方程,解方程即可.
【解答】解:连接OD,如图所示:
∵AB是⊙O的直径,且经过弦CD的中点H,
∴AB⊥CD,
∴∠OHD=∠BHD=90°,
∵sin∠CDB= ,BD=5,
∴BH=4,
∴DH= =4,
设OH=x,则OD=OB=x+3,
在Rt△ODH中,由勾股定理得:x2+42=(x+3)2,
解得:x= ,
∴OH= ;
∴AH=OA+OH= ,
故选:B.
 
【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数.此题难度不大,注意数形结合思想的应用.
 
12.(3.00分)如图,正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,依此下去,第n个正方形的面积为(  )
 
A.( )n﹣1 B.2n﹣1 C.( )n D.2n
【分析】先求出第一个正方形面积、第二个正方形面积、第三个正方形面积,…探究规律后,即可解决问题.
【解答】解:第一个正方形的面积为1=20,
第二个正方形的面积为( )2=2=21,
第三个正方形的边长为22,

第n个正方形的面积为2n﹣1,
故选:B.
【点评】本题考查了规律型:图形的变化类,正方形的性质,考查了学生找规律的能力,本题中找到Sn的规律是解题的关键.
 
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分;请把答案填在答題卡对应的位置上,在试卷上作答无效。)
13.(3.00分)要使二次根式 有意义,则x的取值范围是 x≥3 .
【分析】直接利用二次根式的定义得出答案.
【解答】解:二次根式 有意义,故x﹣3≥0,
则x的取值范围是:x≥3.
故答案为:x≥3.
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件,正确把握二次根式的定义是解题关键.
 
14.(3.00分)医学家发现了一种病毒,其长度约为0.00000029mm,用科学记数法表示为 2.9×10﹣7 mm.
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【解答】解:0.00000029=2.9×10﹣7,
故答案为:2.9×10﹣7.
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
 
15.(3.00分)从﹣1、0、 、π、5.1、7这6个数中随机抽取一个数,抽到无理数的概率是   .
【分析】在6个数中找出无理数,再根据概率公式即可求出抽到无理数的概率.
【解答】解:∵在﹣1、0、 、π、5.1、7这6个数中无理数有 、π这2个,
∴抽到无理数的概率是 = ,
故答案为: .
【点评】本题考查了概率公式以及无理数,根据无理数的定义找出无理数的个数是解题的关键.
 
16.(3.00分)如图,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到△A′B′C,连接BB',若∠A′B′B=20°,则∠A的度数是 65° .
 
【分析】根据旋转的性质可得BC=B′C,然后判断出△BCB′是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得∠CBB′=45°,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠B′A′C,然后根据旋转的性质可得∠A=∠B′A′C.
【解答】解:∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C,
∴BC=B′C,
∴△BCB′是等腰直角三角形,
∴∠CBB′=45°,
∴∠B′A′C=∠A′B′B+∠CBB′=20°+45°=65°,
由旋转的性质得∠A=∠B′A′C=65°.
故答案为:65°.
【点评】本题考查了旋转的性质,等腰直角三角形的判定与性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记各性质并准确识图是解题的关键.
 
17.(3.00分)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30﹣x)件,若使利润最大,则每件商品的售价应为 25 元.
【分析】本题是营销问题,基本等量关系:利润=每件利润×销售量,每件利润=每件售价﹣每件进价.再根据所列二次函数求最大值.
【解答】解:设利润为w元,
则w=(x﹣20)(30﹣x)=﹣(x﹣25)2+25,
∵20≤x≤30,
∴当x=25时,二次函数有最大值25,
故答案是:25.
【点评】本题考查了把实际问题转化为二次函数,再利用二次函数的性质进行实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.
 
18.(3.00分)如图,正方形ABCD的边长为12,点E在边AB上,BE=8,过点E作EF∥BC,分别交BD、CD于G、F两点.若点P、Q分别为DG、CE的中点,则PQ的长为 2  .
 
【分析】根据题意作出合适的辅助线,利用三角形中位线定理、三角形的相似可以求得PH和QH的长,然后根据勾股定理即可求得PQ的长.
【解答】解:作QM⊥EF于点M,作PN⊥EF于点N,作QH⊥PN交PN的延长线于点H,如右图所示,
∵正方形ABCD的边长为12,BE=8,EF∥BC,点P、Q分别为DG、CE的中点,
∴DF=4,CF=8,EF=12,
∴MQ=4,PN=2,MF=6,
∵QM⊥EF,PN⊥EF,BE=8,DF=4,
∴△EGB∽△FGD,
∴ ,
即 ,
解得,FG=4,
∴FN=2,
∴MN=6﹣2=4,
∴QH=4,
∵PH=PN+QM,
∴PH=6,
∴PQ= = ,
故答案为:2 .
 
【点评】本题考查三角形中位线定理、正方形的性质、勾股定理、三角形相似,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.
 
三、解答题:(本大题共8题,满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。在试卷上作答无效。)
19.(6.00分)计算:(﹣1)2018+|﹣ |﹣( ﹣π)0﹣2sin60°.
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案.
【解答】解:原式=1+ ﹣1﹣2×
=1+ ﹣1﹣
=0.
【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.
 
20.(6.00分)解分式方程: +1=
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
【解答】解:去分母得:4+x2﹣1=x2﹣2x+1,
解得:x=﹣1,
经检验x=﹣1是增根,分式方程无解.
【点评】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验.
 
21.(8.00分)某中学为了了解学生每周在校体育锻炼时间,在本校随机抽取了若干名学生进行调查,并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表,请根据图表信息解答下列问题:
时间(小时)  频数(人数)  频率
2≤t<3 4 0.1
3≤t<4 10 0.25
4≤t<5 a 0.15
5≤t<6 8 b
6≤t<7 12 0.3
合计 40 1
(1)表中的a= 6 ,b= 0.2 ;
(2)请将频数分布直方图补全;
(3)若该校共有1200名学生,试估计全校每周在校参加体育锻炼时间至少有4小时的学生约为多少名?
 
【分析】(1)根据题意列式计算即可;
(2)根据b的值画出直方图即可;
(3)利用样本估计总体的思想解决问题即可;
【解答】解:解:(1)总人数=4÷0.1=40,
∴a=40×0.15=6,b= =0.2;
故答案为6,0.2

(2)频数分布直方图如图所示:
 

(3)由题意得,估计全校每周在校参加体育锻炼时间至少有4小时的学生约为1200×(0.15+0.2+0.3)=780名.
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力;利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.
 
22.(8.00分)如图,一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B.游轮以20 海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处,此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上,求A处与灯塔B相距多少海里?(结果精确到1海里,参考数据: ≈1.41, ≈1.73)
 
【分析】直接过点C作CM⊥AB求出AM,CM的长,再利用锐角三角三角函数关系得出BM的长即可得出答案.
【解答】解:过点C作CM⊥AB,垂足为M,
在Rt△ACM中,∠MAC=90°﹣45°=45°,则∠MCA=45°,
∴AM=MC,
由勾股定理得:AM2+MC2=AC2=(20 ×2)2,
解得:AM=CM=40,
∵∠ECB=15°,
∴∠BCF=90°﹣15°=75°,
∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75°﹣45°=30°,
在Rt△BCM中,tanB=tan30°= ,即 = ,
∴BM=40 ,
∴AB=AM+BM=40+40 ≈40+40×1.73≈109(海里),
答:A处与灯塔B相距109海里.
 
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用,正确作出辅助线是解题关键.
 
23.(8.00分)某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A型和30辆B型自行车,其中B型车单价是A型车单价的6倍少60元.
(1)求A、B两种型号的自行车单价分别是多少元?
(2)后来由于该经销商资金紧张,投入购车的资金不超过5.86万元,但购进这批自行年的总数不变,那么至多能购进B型车多少辆?
【分析】(1)设A型自行车的单价为x元/辆,B型自行车的单价为y元/辆,根据总价=单价×数量结合B型车单价是A型车单价的6倍少60元,即可得出关于x、y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设购进B型自行车m辆,则购进A型自行车(130﹣m)辆,根据总价=单价×数量结合投入购车的资金不超过5.86万元,即可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最大值即可得出结论.
【解答】解:(1)设A型自行车的单价为x元/辆,B型自行车的单价为y元/辆,
根据题意得: ,
解得: .
答:A型自行车的单价为260元/辆,B型自行车的单价为1500元/辆.
(2)设购进B型自行车m辆,则购进A型自行车(130﹣m)辆,
根据题意得:260(130﹣m)+1500m≤58600,
解得:m≤20.
答:至多能购进B型车20辆.
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量间的关系,正确列出一元一次不等式.
 
24.(8.00分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O、D分别是边AC、AB的中点,过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E,连接AE.
(1)求证:四边形AECD是菱形;
(2)若四边形AECD的面积为24,tan∠BAC= ,求BC的长.
 
【分析】(1)由ASA证明△AOD≌△COE,得出对应边相等AD=CE,证出四边形AECD是平行四边形,即可得出四边形AECD是菱形;
(2)由菱形的性质得出AC⊥ED,再利用三角函数解答即可.
【解答】(1)证明:∵点O是AC中点,
∴OA=OC,
∵CE∥AB,
∴∠DAO=∠ECO,
在△AOD和△COE中,
 ,
∴△AOD≌△COE(ASA),
∴AD=CE,
∵CE∥AB,
∴四边形AECD是平行四边形,
又∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,
∴CD=AD,
∴四边形AECD是菱形;
(2)由(1)知,四边形AECD是菱形,
∴AC⊥ED,
在Rt△AOD中,tan∠DAO= ,
设OD=3x,OA=4x,
则ED=2OD=6x,AC=2OA=8x,由题意可得: ,
解得:x=1,
∴OD=3,
∵O,D分别是AC,AB的中点,
∴OD是△ABC的中位线,
∴BC=2OD=6.
【点评】本题考查了菱形的判定方法、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识;熟练掌握菱形的判定方法,证明三角形全等是解决问题的关键.
 
25.(10.00分)如图,AB是⊙O的弦,过AB的中点E作EC⊥OA,垂足为C,过点B作直线BD交CE的延长线于点D,使得DB=DE.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)若AB=12,DB=5,求△AOB的面积.
 
【分析】(1)根据等腰三角形的性质和切线的判定方法可以求得∠OBD的度数,从而可以证明结论成立;
(2)要求△AOB的面积只要求出OE的长即可,根据题目中的条件和三角形相似的知识可以求得OE的长,从而可以解答本题.
【解答】(1)证明:∵OA=OB,DB=DE,
∴∠A=∠OBA,∠DEB=∠DBE,
∵EC⊥OA,∠DEB=∠AEC,
∴∠A+∠DEB=90°,
∴∠OBA+∠DBE=90°,
∴∠OBD=90°,
∵OB是圆的半径,
∴BD是⊙O的切线;
(2)过点D作DF⊥AB于点F,连接OE,
∵点E是AB的中点,AB=12,
∴AE=EB=6,OE⊥AB,
又∵DE=DB,DF⊥BE,DB=5,DB=DE,
∴EF=BF=3,
∴DF= =4,
∵∠AEC=∠DEF,
∴∠A=∠EDF,
∵OE⊥AB,DF⊥AB,
∴∠AEO=∠DFE=90°,
∴△AEO∽△DFE,
∴ ,
即 ,得EO=4.5,
∴△AOB的面积是: =27.
 
【点评】本题考查切线的判定与性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.
 
26.(12.00分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点(A在B的左侧),且OA=3,OB=1,与y轴交于C(0,3),抛物线的顶点坐标为D(﹣1,4).
(1)求A、B两点的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)过点D作直线DE∥y轴,交x轴于点E,点P是抛物线上B、D两点间的一个动点(点P不与B、D两点重合),PA、PB与直线DE分别交于点F、G,当点P运动时,EF+EG是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.
 
【分析】(1)根据OA,OB的长,可得答案;
(2)根据待定系数法,可得函数解析式;
(3)根据相似三角形的判定与性质,可得EG,EF的长,根据整式的加减,可得答案.
【解答】解:(1)由抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点(A在B的左侧),且OA=3,OB=1,得
A点坐标(﹣3,0),B点坐标(1,0);
(2)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1),
把C点坐标代入函数解析式,得
a(0+3)(0﹣1)=3,
解得a=﹣1,
抛物线的解析式为y=﹣(x+3)(x﹣1)=﹣x2﹣2x+3;
(3)EF+EG=8(或EF+EG是定值),理由如下:
过点P作PQ∥y轴交x轴于Q,如图.
设P(t,﹣t2﹣2t+3),
则PQ=﹣t2﹣2t+3,AQ=3+t,QB=1﹣t,
∵PQ∥EF,
∴△AEF∽△AQP,
∴ = ,
∴EF= = = ×(﹣t2﹣2t+3)=2(1﹣t);
又∵PQ∥EG,
∴△BEG∽△BQP,
∴ = ,
∴EG= = =2(t+3),
∴EF+EG=2(1﹣t)+2(t+3)=8.
【点评】本题考查了二次函数综合题,解(1)的关键是利用点的坐标表示方法;解(2)的关键是利用待定系数法;解(3)的关键是利用相似三角形的性质得出EG,EF的长,又利用了整式的加减.

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来源莲山
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