辽宁大连市2018年中考数学真题(有解析)

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辽宁大连市2018年中考数学真题(有解析)

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源莲 山课件 w ww.5 Y
K J.cOm

辽宁省大连市2018年中考数学真题试题
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确)
1.﹣3的绝对值是(  )
A.3      B.﹣3      C.       D.
解:|﹣3|=﹣(﹣3)=3.
故选A.
2.在平面直角坐标系中,点(﹣3,2)所在的象限是(  )
A.第一象限      B.第二象限      C.第三象限      D.第四象限
解:点(﹣3,2)所在的象限在第二象限.
故选B.
3.计算(x3)2的结果是(  )
A.x5      B.2x3      C.x9      D.x6
解:(x3)2=x6.
 故选D.
4.如图是用直尺和一个等腰直角三角尺画平行线的示意图,图中∠α的度数为(  )
 
A.45°      B.60°      C.90°      D.135°
解:如图,
∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠1=45°.
∵l∥l',∴∠α=∠1=45°.
 故选A.
5.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是(  )
 
A.圆柱      B.圆锥      C.三棱柱      D.长方体
解:由三视图知这个几何体是三棱柱.
 故选C.
6.如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若AB=5,AC=6,则BD的长是(  )
 
A.8      B.7      C.4      D.3
解:∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC=3,OB=OD,AC⊥BD.在Rt△AOB中,∠AOB=90°,根据勾股定理,得:OB= = =4,∴BD=2OB=8.
 故选A.
 
7.一个不透明的袋子中有三个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,随机摸出一个小球,记下标号后放回,再随机摸出一个小球并记下标号,两次摸出的小球标号的和是偶数的概率是(  )
A.       B.       C.       D.
解:列表得:
 
所有等可能的情况数有9种,它们出现的可能性相同,其中两次摸出的小球标号的和是偶数的有5种结果,所以两次摸出的小球标号的和是偶数的概率为 .
 故选D.
8.如图,有一张矩形纸片,长10cm,宽6cm,在它的四角各减去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32cm2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是xcm,根据题意可列方程为(  )
 
A.10×6﹣4×6x=32      B.(10﹣2x)(6﹣2x)=32      C.(10﹣x)(6﹣x)=32      D.10×6﹣4x2=32
解:设剪去的小正方形边长是xcm,则纸盒底面的长为(10﹣2x)cm,宽为(6﹣2x)cm,根据题意得:(10﹣2x)(6﹣2x)=32.
故选B.
9.如图,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y= 的图象相交于A(2,3),B(6,1)两点,当k1x+b< 时,x的取值范围为(  )
 
A.x<2      B.2<x<6      C.x>6      D.0<x<2或x>6
解:由图象可知,当k1x+b< 时,x的取值范围为0<x<2或x>6.
故选D.
10.如图,将△ABC绕点B逆时针旋转α,得到△EBD,若点A恰好在ED的延长线上,则∠CAD的度数为(  )
 
A.90°﹣α      B.α      C.180°﹣α      D.2α
解:由题意可得:
∠CBD=α,∠ACB=∠EDB.
∵∠EDB+∠ADB=180°,∴∠ADB+∠ACB=180°.
∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°,∠CBD=α,∴∠CAD=180°﹣α.
 故选C.
二、填空题(本题共6小题,每小题3分,共18分)
11.因式分解:x2﹣x=      .
解:x2﹣x=x(x﹣1).
故答案为:x(x﹣1).
12.五名学生一分钟跳绳的次数分别为189,195,163,184,201,该组数据的中位数是      .
解:这5名学生跳绳次数从小到大排列为163、184、189、195、201,所以该组数据的中位数是189.
 故答案为:189.
13.一个扇形的圆心角为120°,它所对的弧长为6πcm,则此扇形的半径为      cm.
解:∵L= ,∴R= =9.
故答案为:9.
14.《孙子算经》中记载了一道题,大意是:100匹马恰好拉了100片瓦,已知1匹大马能拉3片瓦,3匹小马能拉1片瓦,问有多少匹大马、多少匹小马?设有x匹大马,y匹小马,根据题意可列方程组为      .
解:由题意可得:
 .
 故答案为: .
15.如图,小明为了测量校园里旗杆AB的高度,将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置,在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°,若测角仪的高度是1.5m,则旗杆AB的高度约为      m.(精确到0.1m.参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)
 
解:过D作DE⊥AB,
∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°,∴∠ADE=53°.
∵BC=DE=6m,∴AE=DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m,∴AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.48m≈9.5m.
 故答案为:9.5.
16.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点E为AD上一点,且∠ABE=30°,将△ABE沿BE翻折,得到△A′BE,连接CA′并延长,与AD相交于点F,则DF的长为      .
 
解:如图作A′H⊥BC于H.
 
∵∠ABC=90°,∠ABE=∠EBA′=30°,∴∠A′BH=30°,∴A′H= BA′=1,BH= A′H= ,∴CH=3﹣ .
∵△CDF∽△A′HC,∴  = ,∴  = ,∴DF=6﹣2 .
 故答案为:6﹣2 .
三、解答题(本题共4小题,其中17、18、19题各9分,20题12分,共39分)
17.计算:(  +2)2﹣ +2﹣2
解:原式=3+4 +4﹣4 +
= .
18.解不等式组:
解:
∵解不等式①得:x≤﹣1,解不等式②得:x≤3,∴不等式组的解集为x≤﹣1.
19.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E、F在AC上,且AF=CE.
求证:BE=DF.
 
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OD=OB.
∵AE=CF,∴OE=OF.在△BEO和△DFO中, ,∴△BEO≌△DFO,∴BE=DF.
20.某校为了解学生最喜欢的球类运动情况,随机选取该校部分学生进行调查,要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动.以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分.
 
根据以上信息,解答下列问题:
(1)被调查的学生中,最喜欢乒乓球的有      人,最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为      %;
(2)被调查学生的总数为      人,其中,最喜欢篮球的有      人,最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为      %;
(3)该校共有450名学生,根据调查结果,估计该校最喜欢排球的学生数.
 
解:(1)由题可得:被调查的学生中,最喜欢乒乓球的有4人,最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为32%.
 故答案为:4;32;
(2)被调查学生的总数为10÷20%=50人,最喜欢篮球的有50×32%=16人,最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比= ×100%=24%;
故答案为:50;16;24;
(3)根据调查结果,估计该校最喜欢排球的学生数为 ×450=54人.
四、解答题(本题共3小题,其中21、22题各9分,23题10分,共28分)
21.甲、乙两名学生练习打字,甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同.已知甲平均每分钟比乙少打20个字,求甲平均每分钟打字的个数.
解:设甲平均每分钟打x个字,则乙平均每分钟打(x+20)个字,根据题意得:  = ,解得:x=60,经检验,x=60是原分式方程的解.
答:甲平均每分钟打60个字.
22.【观察】1×49=49,2×48=96,3×47=141,…,23×27=621,24×26=624,25×25=625,26×24=624,27×23=621,…,47×3=141,28×2=96,49×1=49.
【发现】根据你的阅读回答问题:
(1)上述内容中,两数相乘,积的最大值为      ;
(2)设参与上述运算的第一个因数为a,第二个因数为b,用等式表示a与b的数量关系是      .
【类比】观察下列两数的积:1×59,2×58,3×57,4×56,…,m×n,…,56×4,57×3,58×2,59×1.
猜想mn的最大值为      ,并用你学过的知识加以证明.
解:【发现】(1)上述内容中,两数相乘,积的最大值为625.
故答案为:625;
(2)设参与上述运算的第一个因数为a,第二个因数为b,用等式表示a与b的数量关系是a+b=50.
故答案为:a+b=50;
【类比】由题意,可得m+n=60,将n=60﹣m代入mn,得mn=﹣m2+60m=﹣(m﹣30)2+900,∴m=30时,mn的最大值为900.
故答案为:900.
23.如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD=90°,点E在BC的延长线上,且∠DEC=∠BAC.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AC∥DE,当AB=8,CE=2时,求AC的长.
 
解:(1)如图,连接BD.∵∠BAD=90°,∴点O必在BD上,即:BD是直径,∴∠BCD=90°,∴∠DEC+∠CDE=90°.
∵∠DEC=∠BAC,∴∠BAC+∠CDE=90°.
∵∠BAC=∠BDC,∴∠BDC+∠CDE=90°,∴∠BDE=90°,即:BD⊥DE.
∵点D在⊙O上,∴DE是⊙O的切线;
(2)∵DE∥AC.
∵∠BDE=90°,∴∠BFC=90°,∴CB=AB=8,AF=CF= AC.
∵∠CDE+∠BDC=90°,∠BDC+∠CBD=90°,∴∠CDE=∠CBD.
∵∠DCE=∠BCD=90°,∴△BCD∽△DCE,∴ ,∴ ,∴CD=4.在Rt△BCD中,BD= =4
同理:△CFD∽△BCD,∴ ,∴ ,∴CF= ,∴AC=2AF= .
 
五、解答题(本题共3小题,其中24题11分,25、26题各12分,共35分)
24.如图1,直线AB与x轴、y轴分别相交于点A、B,将线段AB绕点A顺时针旋转90°,得到AC,连接BC,将△ABC沿射线BA平移,当点C到达x轴时运动停止.设平移距离为m,平移后的图形在x轴下方部分的面积为S,S关于m的函数图象如图2所示(其中0<m≤a,a<m≤b时,函数的解析式不同).
(1)填空:△ABC的面积为      ;
(2)求直线AB的解析式;
(3)求S关于m的解析式,并写出m的取值范围.
 
解:(1)
结合△ABC的移动和图2知,点B移动到点A处,就是图2中,m=a时,S=S△A'B'D= ,点C移动到x轴上时,即:m=b时,S=S△A'B'C'=S△ABC= .
 故答案为: ,.
(2)如图2,过点C作CE⊥x轴于E,∴∠AEC=∠BOA=90°.
∵∠BAC=90°,∴∠OAB+∠CAE=90°.
∵∠OAB+∠OBA=90°,∴∠OBA=∠CAE,由旋转知,AB=AC,∴△AOB≌△CEA,∴AE=OB,CE=OA,由图2知,点C的纵坐标是点B纵坐标的2倍,∴OA=2OB,∴AB2=5OB2,由(1)知,S△ABC= = AB2= ×5OB2,∴OB=1,∴OA=2,∴A(2,0),B(0,1),∴直线AB的解析式为y=﹣ x+1;
(3)由(2)知,AB2=5,∴AB= ,①当0≤m≤ 时,如图3.
∵∠AOB=∠AA'F,∠OAB=∠A'AF,∴△AOB∽△AA'F,∴ ,由运动知,AA'=m,∴ ,∴A'F= m,∴S= AA'×A'F= m2,②当 <m≤2 时,如图4
同①的方法得:A'F= m,∴C'F= ﹣ m,过点C作CE⊥x轴于E,过点B作BM⊥CE于E,∴BM=3,CM=1,易知,△ACE∽△FC'H,∴ ,∴
∴C'H= .在Rt△FHC'中,FH= C'H=
由平移知,∠C'GF=∠CBM.
∵∠BMC=∠GHC',∴△BMC∽△GHC',∴ ,∴
 
∴GH= ,∴GF=GH﹣FH=
∴S=S△A'B'C'﹣S△C'FG= ﹣ × × = ﹣ (2 ﹣m)2,即:S= .
 
 
 
25.阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:
如图1,△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,且∠BAC=2∠DCB,求证:AC=AD.
小明发现,除了直接用角度计算的方法外,还可以用下面两种方法:
方法1:如图2,作AE平分∠CAB,与CD相交于点E.
方法2:如图3,作∠DCF=∠DCB,与AB相交于点F.
(1)根据阅读材料,任选一种方法,证明AC=AD.
用学过的知识或参考小明的方法,解决下面的问题:
(2)如图4,△ABC中,点D在AB上,点E在BC上,且∠BDE=2∠ABC,点F在BD上,且∠AFE=∠BAC,延长DC、FE,相交于点G,且∠DGF=∠BDE.
①在图中找出与∠DEF相等的角,并加以证明;
②若AB=kDF,猜想线段DE与DB的数量关系,并证明你的猜想.
 
解:(1)方法一:如图2中,作AE平分∠CAB,与CD相交于点E.
 
∵∠CAE=∠DAE,∠CAB=2∠DCB,∴∠CAE=∠CDB.
∵∠CDB+∠ACD=90°,∴∠CAE+∠ACD=90°,∴∠AEC=90°.
∵AE=AE,∠AEC=∠AED=90°,∴△AEC≌△AED,∴AC=AD.
方法二:如图3中,作∠DCF=∠DCB,与AB相交于点F.
 
∵∠DCF=∠DCB,∠A=2∠DCB,∴∠A=∠BCF.
∵∠BCF+∠ACF=90°,∴∠A+∠ACF=90°,∴∠AFC=90°.
∵∠ACF+∠BCF=90°,∠BCF+∠B=90°,∴∠ACF=∠B.
∵∠ADC=∠DCB+∠B=∠DCF+∠ACF=∠ACD,∴AC=AD.
(2)①如图4中,结论:∠DEF=∠FDG.
 
理由:在△DEF中,∵∠DEF+∠EFD+∠EDF=180°.在△DFG中,∵∠GFD+∠G+∠FDG=180°.
∵∠EFD=∠GFD,∠G=∠EDF,∴∠DEF=∠FDG.
②结论:BD=k•DE.
理由:如图4中,如图延长AC到K,使得∠CBK=∠ABC.
∵∠ABK=2∠ABC,∠EDF=2∠ABC,∴∠EDF=∠ABK.
∵∠DFE=∠A,∴△DFE∽△BAK,∴  = = ,∴BK=k•DE,∴∠AKB=∠DEF=∠FDG.
∵BC=BC,∠CBD=∠CBK,∴△BCD≌△BCK,∴BD=BK,∴BD=k•DE
26.如图,点A,B,C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5(其中﹣ <a<0)上,AB∥x轴,∠ABC=135°,且AB=4.
(1)填空:抛物线的顶点坐标为      (用含m的代数式表示);
(2)求△ABC的面积(用含a的代数式表示);
(3)若△ABC的面积为2,当2m﹣5≤x≤2m﹣2时,y的最大值为2,求m的值.
 
解:(1)∵y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5=a(x﹣m)2+2m﹣5,∴抛物线的顶点坐标为(m,2m﹣5).
故答案为:(m,2m﹣5).
(2)过点C作直线AB的垂线,交线段AB的延长线于点D,如图所示.
∵AB∥x轴,且AB=4,∴点B的坐标为(m+2,4a+2m﹣5).
∵∠ABC=135°,∴设BD=t,则CD=t,∴点C的坐标为(m+2+t,4a+2m﹣5﹣t).
∵点C在抛物线y=a(x﹣m)2+2m﹣5上,∴4a+2m﹣5﹣t=a(2+t)2+2m﹣5,整理,得:at2+(4a+1)t=0,解得:t1=0(舍去),t2=﹣ ,∴S△ABC= AB•CD=﹣ .
(3)∵△ABC的面积为2,∴﹣  =2,解得:a=﹣ ,∴抛物线的解析式为y=﹣ (x﹣m)2+2m﹣5.
分三种情况考虑:
①当m>2m﹣2,即m<2时,有﹣ (2m﹣2﹣m)2+2m﹣5=2,整理,得:m2﹣14m+39=0,解得:m1=7﹣ (舍去),m2=7+ (舍去);
②当2m﹣5≤m≤2m﹣2,即2≤m≤5时,有2m﹣5=2,解得:m= ;
③当m<2m﹣5,即m>5时,有﹣ (2m﹣5﹣m)2+2m﹣5=2,整理,得:m2﹣20m+60=0,解得:m3=10﹣2 (舍去),m4=10+2 .
综上所述:m的值为 或10+2 .
 

 

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