湖南长沙市2018年中考数学真题(含解析)

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湖南长沙市2018年中考数学真题(含解析)

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湖南省长沙市2018年中考数学真题试题
一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题卡中填涂符合题意的选项,本大题共12个小题,每小题3分,共36分)
1.(3.00分)﹣2的相反数是(  )
A.﹣2 B.﹣  C.2 D.
2.(3.00分)据统计,2017年长沙市地区生产总值约为10200亿元,经济总量迈入“万亿俱乐部”,数据10200用科学记数法表示为(  )
A.0.102×105 B.10.2×103 C.1.02×104 D.1.02×103
3.(3.00分)下列计算正确的是(  )
A.a2+a3=a5 B.3  C.(x2)3=x5 D.m5÷m3=m2
4.(3.00分)下列长度的三条线段,能组成三角形的是(  )
A.4cm,5cm,9cm B.8cm,8cm,15cm C.5cm,5cm,10cm D.6cm,7cm,14cm
5.(3.00分)下列四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
6.(3.00分)不等式组 的解集在数轴上表示正确的是(  )
A.  B.  C.  D.
7.(3.00分)将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周,可以得到的立体图形是(  )
 
A.  B.  C.  D.
8.(3.00分)下列说法正确的是(  )
A.任意掷一枚质地均匀的硬币10次,一定有5次正面向上
B.天气预报说“明天的降水概率为40%”,表示明天有40%的时间都在降雨
C.“篮球队员在罚球线上投篮一次,投中”为随机事件
D.“a是实数,|a|≥0”是不可能事件
9.(3.00分)估计 +1的值是(  )
A.在2和3之间 B.在3和4之间 C.在4和5之间 D.在5和6之间
10.(3.00分)小明家、食堂、图书馆在同一条直线上,小明从家去食堂吃早餐,接着去图书馆读报,然后回家,如图反映了这个过程中,小明离家的距离y与时间x之间的对应关系.根据图象,下列说法正确的是(  )
 
A.小明吃早餐用了25min
B.小明读报用了30min
C.食堂到图书馆的距离为0.8km
D.小明从图书馆回家的速度为0.8km/min
11.(3.00分)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为(  )
A.7.5平方千米 B.15平方千米 C.75平方千米 D.750平方千米
12.(3.00分)若对于任意非零实数a,抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P(x0﹣3,x02﹣16),则符合条件的点P(  )
A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.有且只有3个 D.有无穷多个
 
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
13.(3.00分)化简: =     .
14.(3.00分)某校九年级准备开展春季研学活动,对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查,把调查结果制成了如下扇形统计图,则“世界之窗”对应扇形的圆心角为     度.
 
15.(3.00分)在平面直角坐标系中,将点A′(﹣2,3)向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,那么平移后对应的点A′的坐标是     .
16.(3.00分)掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,掷得面朝上的点数为偶数的概率是     .
17.(3.00分)已知关于x方程x2﹣3x+a=0有一个根为1,则方程的另一个根为     .
18.(3.00分)如图,点A,B,D在⊙O上,∠A=20°,BC是⊙O的切线,B为切点,OD的延长线交BC于点C,则∠OCB=     度.
 
 
三、解答题(本大题共8个小题,第19、20题每小题6分,第21、22题每小题6分,第22、23题每小题6分,第25、26题每小题6分,共66分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(6.00分)计算:(﹣1)2018﹣ +(π﹣3)0+4cos45°
20.(6.00分)先化简,再求值:(a+b)2+b(a﹣b)﹣4ab,其中a=2,b=﹣ .
21.(8.00分)为了了解居民的环保意识,社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动,并用得到的数据绘制了如图条形统计图(得分为整数,满分为10分,最低分为6分)
请根据图中信息,解答下列问题:
(1)本次调查一共抽取了     名居民;
(2)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数;
(3)社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动,得10分者设为“一等奖”,请你根据调查结果,帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品?
 
22.(8.00分)为加快城乡对接,建设全域美丽乡村,某地区对A、B两地间的公路进行改建.如图,A、B两地之间有一座山.汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线AB行驶.已知BC=80千米,∠A=45°,∠B=30°.
(1)开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走多少千米?
(2)开通隧道后,汽车从A地到B地大约可以少走多少千米?(结果精确到0.1千米)(参考数据: ≈141, ≈1.73)
 
23.(9.00分)随着中国传统节日“端午节”的临近,东方红商场决定开展“欢度端午,回馈顾客”的让利促销活动,对部分品牌粽子进行打折销售,其中甲品牌粽子打八折,乙品牌粽子打七五折,已知打折前,买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元;打折后,买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元.
(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元?
(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒,乙品牌粽子100盒,问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱?
24.(9.00分)如图,在△ABC中,AD是边BC上的中线,∠BAD=∠CAD,CE∥AD,CE交BA的延长线于点E,BC=8,AD=3.
(1)求CE的长;
(2)求证:△ABC为等腰三角形.
(3)求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离.
 
25.(10.00分)如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y= (m为常数,m>1,x>0)的图象经过点P(m,1)和Q(1,m),直线PQ与x轴,y轴分别交于C,D两点,点M(x,y)是该函数图象上的一个动点,过点M分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为A,B.
(1)求∠OCD的度数;
(2)当m=3,1<x<3时,存在点M使得△OPM∽△OCP,求此时点M的坐标;
(3)当m=5时,矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1?请说明你的理由.
 
26.(10.00分)我们不妨约定:对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”.
 
(1)①在“平行四边形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“十字形”的有     ;
②在凸四边形ABCD中,AB=AD且CB≠CD,则该四边形     “十字形”.(填“是”或“不是”)
(2)如图1,A,B,C,D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点,AC与BD交于点E,∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD,当6≤AC2+BD2≤7时,求OE的取值范围;
(3)如图2,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a>0,c<0)与x轴交于A,C两点(点A在点C的左侧),B是抛物线与y轴的交点,点D的坐标为(0,﹣ac),记“十字形”ABCD的面积为S,记△AOB,△COD,△AOD,△BOC的面积分别为S1,S2,S3,S4.求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式;
① =  ;② =  ;③“十字形”ABCD的周长为12 .
 
 
参考答案与试题解析
一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题卡中填涂符合题意的选项,本大题共12个小题,每小题3分,共36分)
1.(3.00分)﹣2的相反数是(  )
A.﹣2 B.﹣  C.2 D.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得答案.
【解答】解:﹣2的相反数是2,
故选:C.
 
2.(3.00分)据统计,2017年长沙市地区生产总值约为10200亿元,经济总量迈入“万亿俱乐部”,数据10200用科学记数法表示为(  )
A.0.102×105 B.10.2×103 C.1.02×104 D.1.02×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:10200=1.02×104,
故选:C.
 
3.(3.00分)下列计算正确的是(  )
A.a2+a3=a5 B.3  C.(x2)3=x5 D.m5÷m3=m2
【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案.
【解答】解:A、a2+a3,无法计算,故此选项错误;
B、3 ﹣2 = ,故此选项错误;
C、(x2)3=x6,故此选项错误;
D、m5÷m3=m2,正确.
故选:D.
 
4.(3.00分)下列长度的三条线段,能组成三角形的是(  )
A.4cm,5cm,9cm B.8cm,8cm,15cm C.5cm,5cm,10cm D.6cm,7cm,14cm
【分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”,分别套入四个选项中得三边长,即可得出结论.
【解答】解:A、∵5+4=9,9=9,
∴该三边不能组成三角形,故此选项错误;
B、8+8=16,16>15,
∴该三边能组成三角形,故此选项正确;
C、5+5=10,10=10,
∴该三边不能组成三角形,故此选项错误;
D、6+7=13,13<14,
∴该三边不能组成三角形,故此选项错误;
故选:B.
 
5.(3.00分)下列四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【解答】解:A、是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项正确;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
C、不是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
D、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;
故选:A.
 
6.(3.00分)不等式组 的解集在数轴上表示正确的是(  )
A.  B.  C.  D.
【分析】先求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可.
【解答】解:解不等式x+2>0,得:x>﹣2,
解不等式2x﹣4≤0,得:x≤2,
则不等式组的解集为﹣2<x≤2,
将解集表示在数轴上如下:
 
故选:C.
 
7.(3.00分)将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周,可以得到的立体图形是(  )
 
A.  B.  C.  D.
【分析】根据面动成体以及圆台的特点进行逐一分析,能求出结果.
【解答】解:绕直线l旋转一周,可以得到圆台,
故选:D.
 
8.(3.00分)下列说法正确的是(  )
A.任意掷一枚质地均匀的硬币10次,一定有5次正面向上
B.天气预报说“明天的降水概率为40%”,表示明天有40%的时间都在降雨
C.“篮球队员在罚球线上投篮一次,投中”为随机事件
D.“a是实数,|a|≥0”是不可能事件
【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案.
【解答】解:A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次,一定有5次正面向上,错误;
B、天气预报说“明天的降水概率为40%”,表示明天有40%的时间都在降雨,错误;
C、“篮球队员在罚球线上投篮一次,投中”为随机事件,正确;
D、“a是实数,|a|≥0”是必然事件,故此选项错误.
故选:C.
 
9.(3.00分)估计 +1的值是(  )
A.在2和3之间 B.在3和4之间 C.在4和5之间 D.在5和6之间
【分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间,然后判断出所求的无理数的范围.
【解答】解:∵32=9,42=16,
∴ ,
∴ +1在4到5之间.
故选:C.
 
10.(3.00分)小明家、食堂、图书馆在同一条直线上,小明从家去食堂吃早餐,接着去图书馆读报,然后回家,如图反映了这个过程中,小明离家的距离y与时间x之间的对应关系.根据图象,下列说法正确的是(  )
 
A.小明吃早餐用了25min
B.小明读报用了30min
C.食堂到图书馆的距离为0.8km
D.小明从图书馆回家的速度为0.8km/min
【分析】根据函数图象判断即可.
【解答】解:小明吃早餐用了(25﹣8)=17min,A错误;
小明读报用了(58﹣28)=30min,B正确;
食堂到图书馆的距离为(0.8﹣0.6)=0.2km,C错误;
小明从图书馆回家的速度为0.8÷10=0.08km/min,D错误;
故选:B.
 
11.(3.00分)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为(  )
A.7.5平方千米 B.15平方千米 C.75平方千米 D.750平方千米
【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案.
【解答】解:∵52+122=132,
∴三条边长分别为5里,12里,13里,构成了直角三角形,
∴这块沙田面积为: ×5×500×12×500=7500000(平方米)=7.5(平方千米).
故选:A.
 
12.(3.00分)若对于任意非零实数a,抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P(x0﹣3,x02﹣16),则符合条件的点P(  )
A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.有且只有3个 D.有无穷多个
【分析】根据题意可以得到相应的不等式,然后根据对于任意非零实数a,抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P(x0﹣3,x02﹣16),即可求得点P的坐标,从而可以解答本题.
【解答】解:∵对于任意非零实数a,抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P(x0﹣3,x02﹣16),
∴x02﹣16≠a(x0﹣3)2+a(x0﹣3)﹣2a
∴(x0﹣4)(x0+4)≠a(x0﹣1)(x0﹣4)
∴(x0+4)≠a(x0﹣1)
∴x0=﹣4或x0=1,
∴点P的坐标为(﹣7,0)或(﹣2,﹣15)
故选:B.
 
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
13.(3.00分)化简: = 1 .
【分析】根据分式的加减法法则:同分母分式加减法法则:同分母的分式想加减,分母不变,把分子相加减计算即可.
【解答】解:原式= =1.
故答案为:1.
 
14.(3.00分)某校九年级准备开展春季研学活动,对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查,把调查结果制成了如下扇形统计图,则“世界之窗”对应扇形的圆心角为 90 度.
 
【分析】根据圆心角=360°×百分比计算即可;
【解答】解:“世界之窗”对应扇形的圆心角=360°×(1﹣10%﹣30%﹣20%﹣15%)=90°,
故答案为90.
 
15.(3.00分)在平面直角坐标系中,将点A′(﹣2,3)向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,那么平移后对应的点A′的坐标是 (1,1) .
【分析】直接利用平移的性质分别得出平移后点的坐标得出答案.
【解答】解:∵将点A′(﹣2,3)向右平移3个单位长度,
∴得到(1,3),
∵再向下平移2个单位长度,
∴平移后对应的点A′的坐标是:(1,1).
故答案为:(1,1).
 
16.(3.00分)掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,掷得面朝上的点数为偶数的概率是   .
【分析】先统计出偶数点的个数,再根据概率公式解答.
【解答】解:正方体骰子共六个面,点数为1,2,3,4,5,6,偶数为2,4,6,
故点数为偶数的概率为 = ,
故答案为: .
 
17.(3.00分)已知关于x方程x2﹣3x+a=0有一个根为1,则方程的另一个根为 2 .
【分析】设方程的另一个根为m,根据两根之和等于﹣ ,即可得出关于m的一元一次方程,解之即可得出结论.
【解答】解:设方程的另一个根为m,
根据题意得:1+m=3,
解得:m=2.
故答案为:2.
 
18.(3.00分)如图,点A,B,D在⊙O上,∠A=20°,BC是⊙O的切线,B为切点,OD的延长线交BC于点C,则∠OCB= 50 度.
 
【分析】由圆周角定理易求∠BOC的度数,再根据切线的性质定理可得∠OBC=90°,进而可求出求出∠OCB的度°°
【解答】解:
∵∠A=20°,
∴∠BOC=40°,
∵BC是⊙O的切线,B为切点,
∴∠OBC=90°,
∴∠OCB=90°﹣40°=50°,
故答案为:50.
 
三、解答题(本大题共8个小题,第19、20题每小题6分,第21、22题每小题6分,第22、23题每小题6分,第25、26题每小题6分,共66分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(6.00分)计算:(﹣1)2018﹣ +(π﹣3)0+4cos45°
【分析】本题涉及零指数幂、乘方、二次根式化简和特殊角的三角函数值4个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.
【解答】解:原式=1﹣2 +1+4× =1﹣2 +1+2 =2.
 
20.(6.00分)先化简,再求值:(a+b)2+b(a﹣b)﹣4ab,其中a=2,b=﹣ .
【分析】首先计算完全平方,计算单项式乘以多项式,然后再合并同类项,化简后,再代入a、b的值,进而可得答案.
【解答】解:原式=a2+2ab+b2+ab﹣b2﹣4ab=a2﹣ab,
当a=2,b=﹣ 时,原式=4+1=5.
 
21.(8.00分)为了了解居民的环保意识,社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动,并用得到的数据绘制了如图条形统计图(得分为整数,满分为10分,最低分为6分)
请根据图中信息,解答下列问题:
(1)本次调查一共抽取了 50 名居民;
(2)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数;
(3)社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动,得10分者设为“一等奖”,请你根据调查结果,帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品?
 
【分析】(1)根据总数=个体数量之和计算即可;
(2)根据平均数、总数、中位数的定义计算即可;
(3)利用样本估计总体的思想解决问题即可;
【解答】解:(1)共抽取:4+10+15+11+10=50(人),
故答案为50;

(2)平均数= (4×6+10×7+15×8=11×9+10×10)=8.26;
众数:得到8分的人最多,故众数为8.
中位数:由小到大排列,知第25,26平均分为8分,故中位数为8分;

(3)得到10分占10÷50=20%,
故500人时,需要一等奖奖品500×20%=100(份).
 
22.(8.00分)为加快城乡对接,建设全域美丽乡村,某地区对A、B两地间的公路进行改建.如图,A、B两地之间有一座山.汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线AB行驶.已知BC=80千米,∠A=45°,∠B=30°.
(1)开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走多少千米?
(2)开通隧道后,汽车从A地到B地大约可以少走多少千米?(结果精确到0.1千米)(参考数据: ≈141, ≈1.73)
 
【分析】(1)过点C作AB的垂线CD,垂足为D,在直角△ACD中,解直角三角形求出CD,进而解答即可;
(2)在直角△CBD中,解直角三角形求出BD,再求出AD,进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程.
【解答】解:(1)过点C作AB的垂线CD,垂足为D,
∵AB⊥CD,sin30°= ,BC=80千米,
∴CD=BC•sin30°=80× (千米),
AC= (千米),
AC+BC=80+40 ≈40×1.41+80=136.4(千米),
答:开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走136.4千米;
(2)∵cos30°= ,BC=80(千米),
∴BD=BC•cos30°=80× (千米),
∵tan45°= ,CD=40(千米),
∴AD= (千米),
∴AB=AD+BD=40+40 ≈40+40×1.73=109.2(千米),
∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为:AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2(千米).
答:汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米.
 
23.(9.00分)随着中国传统节日“端午节”的临近,东方红商场决定开展“欢度端午,回馈顾客”的让利促销活动,对部分品牌粽子进行打折销售,其中甲品牌粽子打八折,乙品牌粽子打七五折,已知打折前,买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元;打折后,买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元.
(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元?
(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒,乙品牌粽子100盒,问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱?
【分析】(1)设打折前甲品牌粽子每盒x元,乙品牌粽子每盒y元,根据“打折前,买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元;打折后,买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”,即可得出关于x、y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)根据节省钱数=原价购买所需钱数﹣打折后购买所需钱数,即可求出节省的钱数.
【解答】解:(1)设打折前甲品牌粽子每盒x元,乙品牌粽子每盒y元,
根据题意得: ,
解得: .
答:打折前甲品牌粽子每盒40元,乙品牌粽子每盒120元.
(2)80×40+100×120﹣80×0.8×40﹣100×0.75×120=3640(元).
答:打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元.
 
24.(9.00分)如图,在△ABC中,AD是边BC上的中线,∠BAD=∠CAD,CE∥AD,CE交BA的延长线于点E,BC=8,AD=3.
(1)求CE的长;
(2)求证:△ABC为等腰三角形.
(3)求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离.
 
【分析】(1)证明AD为△BCE的中位线得到CE=2AD=6;
(2)通过证明△ABD≌△CAD得到AB=AC;
(3)如图,连接BP、BQ、CQ,先利用勾股定理计算出AB=5,设⊙P的半径为R,⊙Q的半径为r,在Rt△PBD中利用勾股定理得到(R﹣3)2+42=R2,解得R= ,则PD= ,再利用面积法求出r= ,即QD= ,然后计算PD+QD即可.
【解答】(1)解:∵AD是边BC上的中线,
∴BD=CD,
∵CE∥AD,
∴AD为△BCE的中位线,
∴CE=2AD=6;
(2)证明:∵BD=CD,∠BAD=∠CAD,AD=AD,
∴△ABD≌△CAD,
∴AB=AC,
∴△ABC为等腰三角形.
(3)如图,连接BP、BQ、CQ,
在Rt△ABD中,AB= =5,
设⊙P的半径为R,⊙Q的半径为r,
在Rt△PBD中,(R﹣3)2+42=R2,解得R= ,
∴PD=PA﹣AD= ﹣3= ,
∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC,
∴ •r•5+ •r•8+ •r•5= •3•8,解得r= ,
即QD= ,
∴PQ=PD+QD= + = .
答:△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为 .
 
 
25.(10.00分)如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y= (m为常数,m>1,x>0)的图象经过点P(m,1)和Q(1,m),直线PQ与x轴,y轴分别交于C,D两点,点M(x,y)是该函数图象上的一个动点,过点M分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为A,B.
(1)求∠OCD的度数;
(2)当m=3,1<x<3时,存在点M使得△OPM∽△OCP,求此时点M的坐标;
(3)当m=5时,矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1?请说明你的理由.
 
【分析】(1)想办法证明OC=OD即可解决问题;
(2)设M(a, ),由△OPM∽△OCP,推出 = = ,由此构建方程求出a,再分类求解即可解决问题;
(3)不存在分三种情形说明:①当1<x<5时,如图1中;②当x≤1时,如图2中;③当x≥5时,如图3中;
【解答】解:(1)设直线PQ的解析式为y=kx+b,则有 ,
解得 ,
∴y=﹣x+m+!,
令x=0,得到y=m+1,∴D(0,m+1),
令y+0,得到x=m+1,∴C(m+1,0),
∴OC=OD,
∵∠COD=90°,
∴∠OCD=45°.

(2)设M(a, ),
∵△OPM∽△OCP,
∴ = = ,
∴OP2=OC•OM,
当m=3时,P(3,1),C(4,0),
OP2=32+12=10,OC=4,OM= ,
∴ = ,
∴10=4 ,
∴4a4﹣25a2+36=0,
(4a2﹣9)(a2﹣4)=0,
∴a=± ,a=±2,
∵1<a<3,
∴a= 或2,
当a= 时,M( ,2),
PM= ,CP= ,
 ≠ (舍弃),
当a=2时,M(2, ),PM= ,CP= ,
∴ = = ,成立,
∴M(2, ).

(3)不存在.理由如下:
当m=5时,P(5,1),Q(1,5),设M(x, ),
OP的解析式为:y= x,OQ的解析式为y=5x,
①当1<x<5时,如图1中,
 
∴E( , ),F(x, x),
S=S矩形OAMB﹣S△OAF﹣S△OBE
=5﹣ •x• x﹣ • • =4.1,
化简得到:x4﹣9x2+25=0,
△<O,
∴没有实数根.
②当x≤1时,如图2中,
 
S=S△OGH<S△OAM=2.5,
∴不存在,
③当x≥5时,如图3中,
 
S=S△OTS<S△OBM=2.5,
∴不存在,
综上所述,不存在.
 
26.(10.00分)我们不妨约定:对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”.
 
(1)①在“平行四边形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“十字形”的有 菱形,正方形 ;
②在凸四边形ABCD中,AB=AD且CB≠CD,则该四边形 不是 “十字形”.(填“是”或“不是”)
(2)如图1,A,B,C,D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点,AC与BD交于点E,∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD,当6≤AC2+BD2≤7时,求OE的取值范围;
(3)如图2,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a>0,c<0)与x轴交于A,C两点(点A在点C的左侧),B是抛物线与y轴的交点,点D的坐标为(0,﹣ac),记“十字形”ABCD的面积为S,记△AOB,△COD,△AOD,△BOC的面积分别为S1,S2,S3,S4.求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式;
① =  ;② =  ;③“十字形”ABCD的周长为12 .
【分析】(1)利用“十字形”的定义判断即可;
(2)先判断出∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB,进而判断出∠AED=∠AEB=90°,即:AC⊥BD,再判断出四边形OMEN是矩形,进而得出OE2=2﹣ (AC2+BD2),即可得出结论;
(3)由题意得,A( ,0),B(0,c),C( ,0),D(0,﹣ac),求出S= AC•BD=﹣ (ac+c)× ,S1= OA•OB=﹣ ,S2= OC•OD=﹣ ,S3= OA×OD=﹣ ,S4= OB×OC=﹣ ,进而建立方程 + = + ,求出a=1,再求出b=0,进而判断出四边形ABCD是菱形,求出AD=3 ,进而求出c=﹣9,即可得出结论.
【解答】解:(1)①∵菱形,正方形的对角线互相垂直,
∴菱形,正方形是:“十字形”,
∵平行四边形,矩形的对角线不一定垂直,
∴平行四边形,矩形不是“十字形”,
故答案为:菱形,正方形;
②如图,
当CB=CD时,在△ABC和△ADC中, ,
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BAC=∠DAC,
∵AB=AD,
∴AC⊥BD,
∴当CB≠CD时,四边形ABCD不是“十字形”,
故答案为:不是;

(2)∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB,∠CBD=∠CDB=∠CAB,
∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB,
∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB,
∴∠AED=∠AEB=90°,
∴AC⊥BD,
过点O作OM⊥AC于M,ON⊥BD于N,连接OA,OD,
∴OA=OD=1,OM2=OA2﹣AM2,ON2=OD2﹣DN2,AM= AC,DN= BD,四边形OMEN是矩形,
∴ON=ME,OE2=OM2+ME2,
∴OE2=OM2+ON2=2﹣ (AC2+BD2),
∵6≤AC2+BD2≤7,
∴2﹣ ≤OE2≤2﹣ ,
∴ ≤OE2≤ ,
∴  (OE>0);

(3)由题意得,A( ,0),B(0,c),C( ,0),D(0,﹣ac),
∵a>0,c<0,
∴OA= ,OB=﹣c,OC= ,OD=﹣ac,AC= ,BD=﹣ac﹣c,
∴S= AC•BD=﹣ (ac+c)× ,S1= OA•OB=﹣ ,S2= OC•OD=﹣ ,
S3= OA×OD=﹣ ,S4= OB×OC=﹣ ,
∵ = + , = + ,
∴ + = + ,
∴ =2,
∴a=1,
∴S=﹣c ,S1=﹣ ,S4=﹣ ,
∵ ,
∴S=S1+S2+2 ,
∴﹣c =﹣ +2 ,
∴﹣ =﹣c• ,
∴ = ,
∴b=0,
∴A(﹣ ,0),B(0,c),C( ,0),d(0,﹣c),
∴四边形ABCD是菱形,
∴4AD=12 ,
∴AD=3 ,
即:AD2=90,
∵AD2=c2﹣c,
∴c2﹣c=90,
∴c=﹣9或c=10(舍),
即:y=x2﹣9.
 
 

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