人教版九年级数学下第二十七章相似单元测试题(带答案)

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人教版九年级数学下第二十七章相似单元测试题(带答案)

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第二十七章 相似 
                 

一、填空题(每题3分,共18分)
1.若两个相似六边形的周长比是3∶2,其中较大六边形的面积为81,则较小六边形的面积为________.
 
图27-Z-1
2.如图27-Z-1,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,请添加一个条件:________,使△ABC∽
△AED.
3.如图27-Z-2,AE,BD相交于点C,BA⊥AE于点A,ED⊥BD于点D.若AC=4,AB=3,CD=2,则CE=________.
 
图27-Z-2
4.如图27-Z-3,以点O为位似中心,将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′.已知OA=10 cm,OA′=20 cm,则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是________.
 
图27-Z-3
5.如图27-Z-4,路灯距离地面8 m,身高1.6 m的小明站在距离灯的底部(点O)20 m的A处,则小明的影子AM的长为________m.
 
图27-Z-4
6.如图27-Z-5,矩形ABCD中,AB=3,BC=6,点E在对角线BD上,且BE=1.8,连接AE并延长交DC于点F,则CFCD=________.
 
图27-Z-5
二、选择题(每题4分,共32分)
7.由5a=6b(a≠0,b≠0),可得比例式(  )
A.b6=5a  B.b5=6a 
C.ab=56  D.a-bb=15
8.下列各组中的四条线段成比例的是(  )
A.4 cm,4 cm,5 cm,6 cm
B.1 cm,2 cm,3 cm,5 cm
C.3 cm,4 cm,5 cm,6 cm
D.1 cm,2 cm,2 cm,4 cm
9.如图27-Z-6,△ACD和△ABC相似需具备的条件是(  )
 
图27-Z-6
A.ACCD=ABBC  B.CDAD=BCAC
C.AC2=AD·AB  D.CD2=AD·BD
10.如图27-Z-7,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DE∥BC,EF∥AB.若AD=2BD,则CFBF的值为(  )
 
图27-Z-7

A.12  B.13  C.14  D.23
11.如图27-Z-8,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图27-Z-9中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(  )
 
图27-Z-8
 
图27-Z-9
12.已知△ABC在直角坐标系中的位置如图27-Z-10所示,以O为位似中心,把△ABC放大为原来的2倍得到△A′B′C′,那么点A′的坐标为(  )
 
图27-Z-10
A.(-8,-4)  B.(-8,4)
C.(8,-4)  D.(-8,4)或(8,-4)
13.将两个三角尺(含45°角的三角尺ABC与含30°角的三角尺DCB)按图27-Z-11所示方式叠放,斜边交点为O,则△AOB与△COD的面积之比等于(  )
 
图27-Z-11
A.1∶2  B.1∶2  C.1∶3  D.1∶3
14.如图27-Z-12,已知⊙O是等腰直角三角形ABC的外接圆,D是AC︵上一点,BD交AC于点E,若BC=4,AD=45,则AE的长是(  )
 
图27-Z-12
A.3  B.2  C.1  D.1.2
三、解答题(共50分)
15.(10分)已知:如图27-Z-13,△ABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC.
求证:AB·BC=AC·CD.
16.(12分)如图27-Z-14,在平面直角坐标系中,将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1.
(1)△A1B1C1与△ABC的相似比是________;
(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2;
(3)设P(a,b)为△ABC内一点,则依上述两次变换后,点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是________.
 

17.(12分)如图27-Z-15,AB是半圆O的直径,P是BA的延长线上一点,PC是⊙O的切线,切点为C,过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D,连接BC.
求证:(1)∠PBC=∠CBD;
(2)BC2=AB·BD.
 

18.(16分)如图27-Z-16,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5 cm,∠BAC=60°,动点M从点B出发,在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动,同时动点N从点C出发,在CB边上以每秒3 cm的速度向点B匀速运动,设运动时间为t(0<t<5)秒,连接MN.
(1)若BM=BN,求t的值;
(2)若△MBN与△ABC相似,求t的值;
(3)当t为何值时,四边形ACNM的面积最小?并求出最小面积.

教师详解详析
1.36 [解析] ∵两个相似六边形的周长比是3∶2,
∴它们的面积比为9∶4.
∵较大六边形的面积为81,
∴较小六边形的面积为81×49=36.
故答案为36.
2.∠B=∠AEB(答案不唯一) [解析] ∵∠B=∠AEB,∠A=∠A,
∴△ABC∽△AED.
故添加条件∠B=∠AEB即可使得△ABC∽△AED.
3.2.5 [解析] ∵BA⊥AE,AC=4,AB=3,∴BC=32+42=5.
∵BA⊥AE,ED⊥BD,
∴∠A=∠D=90°.
又∵∠ACB=∠DCE,
∴△ABC∽△DEC,
∴ACBC=CDCE,
即45=2CE,
∴CE=2.5.
故答案为2.5.
4.12
 
5.5 [解析] 如图,设路灯为点C.由题意可得
△MAB∽△MOC,
所以ABCO=AMOM,
即1.68=AMAM+20,
解得AM=5.
6.13 [解析] ∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°.
又∵AB=3,BC=6,
∴AD=BC=6,
∴BD=AB2+AD2=3.
∵BE=1.8,
∴DE=3-1.8=1.2.
∵AB∥CD,
∴DFAB=DEBE,即DF3=1.21.8,
解得DF=2 33,
则CF=CD-DF=33,
∴CFCD=333=13.
7.D 8.D 
9.C [解析] ∵在△ACD和△ABC中,∠A=∠A,
∴根据两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似,得出需添加的条件是ACAB=ADAC,
∴AC2=AD·AB.
故选C.
10.A [解析] ∵DE∥BC,EF∥AB,
∴四边形BDEF是平行四边形,∠FEC=∠A,∠C=∠AED,
∴△EFC∽△ADE,
∴CFDE=EFAD,
∴CFBF=CFDE=EFAD=BDAD=12.
故选A.
11.C [解析] A项,阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意;
B项,阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意;
C项,两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似,故本选项符合题意;
D项,两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意.
故选C.
12.D
13.D [解析] 由题意,知∠ABC=∠BCD=90°,
∴AB∥CD,
∴△AOB∽△COD.
设BC=a,则AB=a,CD=3a,
∴AB∶CD=1∶3,
∴S△AOB∶S△COD=1∶3.
故选D.
14.C [解析] ∵△ABC是等腰直角三角形,BC=4,
∴AB为⊙O的直径,AC=4,AB=4 2,
∴∠D=90°.
在Rt△ABD中,AD=45,AB=4 2,
∴BD=285.
∵∠D=∠C,∠DAC=∠CBE,
∴△ADE∽△BCE.
∵AD∶BC=45∶4=1∶5,
∴△ADE与△BCE的相似比为1∶5.
设AE=x,则BE=5x,
∴DE=285-5x,
∴CE=28-25x.
∵AC=4,
∴x+28-25x=4,
解得x=1.
15.证明:∵∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=∠C,
∴BD=CD.
在△ABD和△ACB中,
∠A=∠A,∠ABD=∠C,
∴△ABD∽△ACB,
∴ABAC=BDBC,
即AB·BC=AC·BD,
∴AB·BC=AC·CD.
16.解:(1)△A1B1C1与△ABC的相似比=A1B1AB=42=2.故答案为2.
(2)如图所示:
 
(3)P(a,b)为△ABC内一点,依次经过上述两次变换后,点P的对应点P2的坐标为(-2a,2b).故答案为(-2a,2b).
17.证明:(1)如图,连接OC,
∵PC与⊙O相切,
∴OC⊥PC,即∠OCP=90°.
∵BD⊥PD,
∴∠BDP=90°,
∴∠OCP=∠BDP,
∴OC∥BD,
∴∠BCO=∠CBD.
∵OB=OC,
∴∠PBC=∠BCO,
∴∠PBC=∠CBD.
 
(2)如图,连接AC,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°=∠CDB.
又∵∠ABC=∠CBD,
∴△ABC∽△CBD,
∴BCBD=ABBC,
即BC2=AB·BD.
18.解:(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
AC=5 cm,∠BAC=60°,
∴AB=10 cm,BC=5 3 cm.
由题意知BM=2t cm,CN=3t cm,
∴BN=(5 3-3t)cm.
由BM=BN,得2t=5 3-3t,
解得t=5 32+3=10 3-15.
(2)①当△MBN∽△ABC时,
MBAB=BNBC,
即2t10=5 3-3t5 3,
解得t=52.

②当△NBM∽△ABC时,NBAB=BMBC,
即5 3-3t10=2t5 3,解得t=157.
∴当t=52或t=157时,△MBN与△ABC相似.
(3)过点M作MD⊥BC于点D,可得MD=t.
设四边形ACNM的面积为y cm2,
则y=S△ABC-S△BMN=12AC·BC-12BN·MD
=12×5×5 3-12×(5 3-3t)t
=32t2-5 32t+25 32=32(t-52)2+758 3.
根据二次函数的性质可知,
当t=52时,y的值最小,为758 3.
即当t=52时,四边形ACNM的面积最小,最小面积为758 3 cm2.

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