2018年北海市中考数学试题含答案(Word版)

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2018年北海市中考数学试题含答案(Word版)

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广西北海市2018年中考数学试题
(考试时间:120 分钟 满分:120 分)
注意事项:
1. 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,请在答题卡上作答,在试卷上作答无效。
2. 答题前,请认真阅读答题卡上的注意事项。
3. 不能使用计算器,考试结束前,将本试卷和答题卡一并交回。


一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.)

1. -3 的倒数是

A. -3 B. 3 C. -1 D. 1

【答案】C
【考点】倒数定义,有理数乘法的运算律,
【解析】根据倒数的定义,如果两个数的乘积等于 1,那么我们就说这两个数互为倒数.除 0
以外的数都存在倒数。因此-3 的倒数为-1

【点评】主要考察倒数的定义
2. 下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是
 
 

【答案】A
【考点】中心对称图形
【解析】在平面内,如果把一个图形绕某个点旋转 180°后,能与自身重合,那么这个图形就叫做中心对称图形。
【点评】掌握中心对称图形的概念,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后两部分重合.
3.2018 年俄罗斯世界杯开幕式于 6 月 14 日在莫斯科卢日尼基球场举行,该球场可容纳 81000
名观众,其中数据 81000 用科学计数法表示为( )

 
A. 81103
 
B. 8.1104
 
C. 8.1105
 
D. 0.81105
 

【答案】B
【考点】科学计数法
【解析】81000  8.1104 ,故选 B
【点评】科学计数法的表示形式为a 10n的形式,其中1  a  10,n为整数

4. 某球员参加一场篮球比赛,比赛分 4 节进行,该球员每节得分如折线统计图所示,则该球员平均每节得分为( )
 
A.7 分 B.8 分
C.9 分 D.10 分
【答案】 B

【考点】求平均分
【解析】12  4 10  6  8
4
【点评】本题考查用折线图求数据的平均分问题

5. 下列运算正确的是
A. a(a+1)=a2+1 B. (a2)3=a5 C. 3a2+a=4a3 D. a5÷a2=a3

【答案】D
【考点】整式的乘法;幂的乘方;整式的加法;同底数幂的除法
【解析】选项 A 错误,直接运用整式的乘法法则,用单项式去乘多项式的每一项,再把结果相加,可得 a(a+1)=a2+a;
选项 B 错误,直接运用幂的乘方法则,底数不变,指数相乘,可得(a2)3=a6; 选项 C 错误,直接运用整式的加法法则,3a2 和 a 不是同类项,不可以合并;
选项 D 正确,直接运用同底数幂的除法,底数不变,指数相减,可得 a5÷a2=a3.
【点评】本题考查整式的四则运算,需要记住运算法则及其公式,属于基础题。
6. 如图,ACD 是ABC 的外角,CE 平分ACD ,若 A =60°,B =40°,则 ECD 等于( )
 
A.40° B.45°
C.50° D.55°
【答案】C

【考点】三角形外角的性质,角平分线的定义
【解析】ABC 的外角ACD  A  B  60  40  100 ,又因为CE 平分ACD ,所以ACE  ECD  1 ACD  1 100  50.
2 2
【点评】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和

7. 若m>n ,则下列不等式正确的是


【答案】B
【考点】不等式的性质
【解析】A:不等式两边同时减去一个相等的数,不等式的符号不改变 错误
B:不等式两边同时除以一个相等的正数,不等式的符号不改变 正确
C:不等式两边同时乘以一个相等的正数,不等式的符号不改变 错误
D:不等式两边同时乘以一个相等的负数,不等式的符号改变 错误
【点评】本题目考察了对于不等式性质的理解与判断,属于基础题目
8. 从 2,1,2 这三个数中任取两个不同的数相乘,积为正数的概率是
 
A. 2 B.  1
3 2
 
C. 1 3
 
D. 1 4
 

【答案】C
【考点】概率统计、有理数乘法
【解析】总共有三个数字,两两相乘有三种情况;根据同号得正,异号得负,而只有 2 与
 
1相乘时才得正数,所以是 1
3
【点评】此题目考察了对于概率统计基本概念的理解以及有理数乘法的判断

9. 将抛物线 y=1 2-6x+21 向左平移 2 个单位后,得到新抛物线的解析式为
 
A. y=1   -8)2+5 B. y=1
 
-4)2+5
 
2(x 2(x
 
C. y=1   -8)2+3 D. y=1
 
-4)2+3
 
2(x
【答案】D
 
2(x
 

【考点】配方法;函数图像的平移规律;点的平移规律;
【解析】方法 1:先把解析式配方为顶点式,再把顶点平移。抛物线 y=1  2-6x+21 可配方
 
1
2(x
 
-6)2+3,顶点坐标为(6,3).因为图形向左平移 2 个单位,所以顶点向左平移 2 个
 
单位,即新的顶点坐标变为(4,3),而开口大小不变,于是新抛物线解析式为 y=1
 
-4)2+3.
 

方法2:直接运用函数图像左右平移的“左加右减”法则。向左平移2个单位,即原来解析
 
式中所有的“x”均要变为“x+2”,于是新抛物线解析式为 y=1
 
+2)2-6(x+2)+21,整理
 
得 y=1 2-4x+11,配方后得 y=1 -4)2+3.
2x 2(x

【点评】本题可运用点的平移规律,也可运用函数图像平移规律,但要注意的是二者的区别: 其中点的平移规律是上加下减,左减右加;而函数图像的平移规律是上加下减,左加右减。
10. 如图,分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,得到的封闭图形是莱洛三角形,若 AB=2,则莱洛三角形的面积(即阴影部分面积)为


A.  π+ B.  π- C.  2π- D. 2π-2

【答案】 D
 
【考点】等边三角形的性质与面积计算、扇形的面积计算公式.
【解析】莱洛三角形的面积实际上是由三块相同的扇形叠加而成,其面积等于三块扇形的面积相加减去两个等边三角形的面积,即S 阴影=3×S 扇形-2×S∆ABC .
60 2
由题意可得,S 扇形=π×22× = π.
360 3

要求等边三角形 ABC 的面积需要先求高. 如下图,过 AD 垂直 BC 于 D,可知,
在 Rt∆ABD 中 ,sin60°= AD = AD ,
AB 2
所以 AD=2×sin60°= ,
所以 S∆ABC= 1 ×BC×AD= 1 ×2× = .
2 2
所以 S 阴影=3×S 扇形-2×S∆ABC=3× 2 π-2× =2π-2 .
3

 

故选 D.
【点评】求不规则图形面积关键是转化到规则图形中应用公式求解。

11. 某种植基地 2016 年蔬菜产量为 80 吨,预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨,求蔬菜产量的年平均增长率.设蔬菜产量的年平均增长率为𝑥,则可列方程为
A. 80(1 + 𝑥):  = 100 B. 100(1 − 𝑥):  = 80
C. 80(1 + 2𝑥) = 100 D. 80(1 + 𝑥:) = 100
【答案】 A
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
 
【解析】由题意知,蔬菜产量的年平均增长率为𝑥,根据 2016 年蔬菜产量为 80 吨,则 2017 年蔬菜产量为80(1 + 𝑥)吨,2018 年蔬菜产量为80(1 + 𝑥) (1 + 𝑥)吨. 预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨,即80(1 + 𝑥)(1 + 𝑥) = 100,即80(1 + 𝑥):  = 100.
故选 A.
【点评】此题考查了一元二次方程的应用(增长率问题).解题的关键是在于理清题目的意思, 找到 2017 年和 2018 年的产量的代数式,根据条件找出等量关系式,列出方程.
12. 如图,矩形纸片 ABCD,AB=4,BC=3,点 P 在 BC 边上,将△CDP 沿 DP 折叠,点 C
落在点 E 处,PE、DE 分别交 AB 于点 O、F,且 OP=OF,则 cos∠ADF 的值为

11 13 15 17
13 15 17 19


【答案】C
【考点】折叠问题:勾股定理列方程,解三角形,三角函数值
【解析】
由题意得:Rt△DCP≌Rt△DEP,所以 DC=DE=4,CP=EP
在 Rt△OEF 和 Rt△OBP 中,∠EOF=∠BOP,∠B=∠E,OP=OF
Rt△OEF≌Rt△OBP(AAS),所以 OE=OB,EF=BP
设 EF 为 x,则 BP=x,DF=DE-EF=4-x,
又因为 BF=OF+OB=OP+OE=PE=PC,PC=BC-BP=3-x
 
所以,AF=AB-BF=4-(3-x)=1+x
在 Rt△DAF 中,AF2+AD2=DF2,也就是(1+x)2+32=(4-x)2
3 3 3 17
解之得,x=5,所以 EF=5,DF=4-5= 5
AD 15
最终,在 Rt△DAF 中,cos∠ADF=DF=17
【点评】本题由题意可知,Rt△DCP≌Rt△DEP 并推理出 Rt△OEF≌Rt△OBP,寻找出合适的线段设未知数,运用勾股定理列方程求解,并代入求解出所求cos 值即可得。

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)

 
13. 要使二次根式
【答案】 x  5
 
x  5 在实数范围内有意义,则实数 x 的取值范围是  
 

【考点】二次根式有意义的条件.
【解析】根据被开方数是非负数,则有 x  5  0 , x  5 .
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件,利用得出不等式是解题关键.

14.因式分解: 2a2  2=  .
【答案】2a 1a 1

【考点】因式分解
【解析】2a2  2  2a2 1 2a 1a 1
步骤一:先提公因式 2 得到: 2a2  1,
步骤二:再利用平方差公式因式分解得到结果: 2a 1a 1

【点评】此题目考察了对于因式分解的基本判断与认识,属于基础题目


15. 已知一组数据6 ,x ,3,3,5,1的众数是 3和 5,则这组数据的中位数是    。
 
【答案】4
【考点】中位数
【解析】解:因为众数为 3 和 5,所以x  5 ,所以中位数为: 3 5 2  4

【点评】主要考察了众数的知识点,通过众数求中位数
16. 如图,从甲楼底部A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角是 30°,从甲楼顶部B 处测得乙楼底部
D 处的俯角是 45°.已知甲楼的高 AB 是 120m,则乙楼的高 CD 是  m(结果保留根

号)。

【答案】40
【考点】三角函数
【解析】∵俯角是45! , BDA  45!, AB  AD=120m, 又∵ CAD  30!
, 在 Rt△ADC 中 tan∠CDA=tan30°= CD = 3 ,
AD 3

 CD = 40 3 (m)
【点评】学会应用三角函数解决实际问题。
17.观察下列等式: 30  1, 31  3, 32  9 , 33  27 , 34  81, 35  243,…,根据其

中规律可得30   31   32  · · ·   32018 的结果的个位数字是  。

【答案】3
【考点】循环规律
【解析】∵ 30  1 , 31  3 , 32  9 , 33  27 , 34  81 个位数 4 个数一循环,
 
20181 4  504余3 , 1 3  9  13, 30   31   32  ·  ·  ·
 
 32018的个位数字是
 

3 。
【点评】找到循环规律判断个位数。
 

18. 如图,矩形 ABCD 的顶点 A, B 在 x 轴上,且关于 y 轴对称,

反比例函数 y  k1 (x  0) 的图像经过点C ,反比例函数
x

y  k2 (x  0)的图像分别与 AD, CD 交于点 E, F ,
x

 
若 SBEF
 
 7, k1  3k2   0,则k1 等于  .
 


【答案】k1  9

【考点】反比例函数综合题
【解析】设 B 的坐标为(a,0),则 A 为(a,0),其中 k1  3k2  0,即 k1  3k2
 
根据题意得到
 

C(a,
 
k1 )
a
 
, E(a, k2 ), D(a,
a
 
k1 )
a
 
, F ( a ,
3
 
k1 )
a
 
矩形面积 2a  k1  2k

a 1
2 a ( 2k2 )
 
SDEF
 
 DF  DE  3
2
 
a   2 k
2 3 2
 
4 a  k1
 
S  CF  BC  3

 
a  2 k

 
BCF
 
2 2 3 1
2a ( k2 )


 
SABE
 
 AB  AE 
2
 
a  k
2 2
 
!SBEF   7
2k  2 k  2 k  k  7
 
1 3  2 3  1 2
把k   1 k 代入上式,得到

2 3 1
4 k  5 ( 1 k )  7
  
3  1 3 3 1
4 k  5 k  7
 
3  1 9 1
7 k  7

9 1

k1  9
 

【点评】该题考察到反比例函数中k 值得计算,设点是关键,把各点坐标求出来,根据割补法求面积列式,求出k1 的值。

三、解答题(本大题共 8 小题,共 66 分,解答题因写出文字说明、证明过程或演算步骤)

19.(本题满分 6 分) 计算: 
【答案】
【考点】实数的运算;负指数幂;特殊角的三角函数值;根号的化简
【解析】解:原式=
=

【点评】本题先根据实数运算的步骤和法则分别进行计算,再把所得结果合并即可
 
20.(本题满分 6 分)解分式方程:
【答案】 x  1.5
 
x  x 1
 
1 
 
2x .
3x  3
 

【考点】解分式方程
【解答】
解:方程左右两边同乘3(x 1),得
3x  3(x 1)  2x
3x  3x  3  2x
2x  3
x  1.5
 
检验:当
 
x  1.5
 
时 , 3(x 1)  0
 
所以,原分式方程的解为 x  1.5 .
【点评】根据解分式的一般步骤进行去分母,然后解一元一次方程,最后记得检验即可.
 

21. (本题满分 8 分)如图,在平面直角坐标系中, 已知ABC 的三个顶点坐标分别是 A(1,1),
B(4,1),C(3,3) .

(1) 将ABC 向下平移 5 个单位后得到A1B1C1 , 请画出A1B1C1 ;
(2) 将ABC 绕原点O 逆时针旋转90 后得到
A2 B2C2 ,请画出A2 B2C2 ;
(3) 判断以O, A1 , B 为顶点的三角形的形状.(无须说明理由)
【答案】详情见解析
【考点】平面直角坐标系中的作图变换--平移与旋转
【解析】(1)如图所示, A1B1C1即为所求;
(2) 如图所示, A2 B2C2 即为所求;
(3) 三角形的形状为等腰直角三角形。

 

【点评】常规题型,涉及到作图变换的两种类型:平
移变换和旋转变换,要求数清格子,且按要求作图即可。


22. (本题满分 8 分)某市将开展以“走进中国数学史”为主题的知识竞赛活动,红树林学校对本校 100 名参加选拔赛的同学的成绩按 A, B, C, D 四个等级进行统计,绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图.
 

 


(1) 求 m , n ;
(2) 在扇形统计图中,求“ C 等级”所对应圆心角的度数;
(3) 成绩等级为 A 的4 名同学中有 1 名男生和 3 名女生,现从中随机挑选 2 名同学代表学校参加全市比赛.请用树状图法或者列表法求出恰好选中“1 男 1 女”的概率.
【答案】(1) m  51, n  30;(2)108°;(3) 1
2
【考点】统计表;扇形统计图;概率统计
【解析】(1) m  0.51100  51;
看扇形可知 D 的百分数为15% ,则其频率为 0.15,则人数为 0.15100  15 , 总人数为100 ,则C 的人数总人数 (A、B、D)人数,
即n  100  4  5115  30 ;
(2) 圆周角为360! ,根据频率之和为 1,求出C 的频率为0.3 , 则“ C 等级”对应圆心角的度数为 0.3×360°=108°
(3) 将1名男生和3 名女生标记为 A1、A2、A3、A4 ,用树状图表示如下:
 

 


由树状图可知随机挑选2 名学生的情况总共有12 种,其中恰好选中1男和1女的情况有6 种,
 
概率
 
6  1
 
12 2

【点评】该题属于常规题,是我们平常练得较多的题目,懂得看扇形统计图以及抓住样本总量与频率和为 1 是关键。


23.(本题满分 8 分)如图,在▱ABCD 中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为 E、F,且 BE=DF.
(1) 求证:▱ABCD 是菱形;
(2) 若 AB=5,AC=6,求▱ABCD 的面积。
【解答】
证明:(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴∠B=∠D.
∵AE⊥BC,AF⊥DC,
∴∠AEB=∠AFD=90°,
又∵BE=DF,
∴△AEB≌△AFD(ASA).
∴AB=AD,
∴四边形 ABCD 是菱形.
 
(2)如图, 连接 BD 交 AC 于点O
∵由(1)知四边形ABCD 是菱形,AC = 6.
∴AC⊥BD, AO=OC== AC = = × 6 = 3,
: :

∵AB=5,AO=3,

在 Rt△AOB 中,BO = √AB:  − AO:  = √5:  − 3:  = 4,
∴BD=2BO=8,
∴S▱ABCD == AC ∙ BD = = × 6 × 8 = 24
: :

【考点】平行四边形的性质;全等三角形的性质与判定;勾股定理;菱形的判定与性质、面积计算.
【解析】(1)由平行四边形的性质得出∠B=∠D,由题目 AE⊥BC,AF⊥DC 得出∠AEB=∠
AFD=90°,因为 BE=DF,由 ASA 证明△AEB≌△AFD,可得出 AB=AD,根据菱形的判定,即可得出四边形ABCD 为菱形。
(2)由平行四边形的性质得出 AC⊥BD,AO=OC== AC=3,在 Rt△AOB 中,由勾股定理
BO = √AB:  − AO:可求 BD,  再根据菱形面积计算公式可求出答案。
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、菱形的性质和判定、菱形的面积计算等知识点,解题的关键是灵活综合运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.

24.(本题满分10 分)某公司在甲、乙仓库共存放某种原料450 吨,如果运出甲仓库所存原料的60% ,乙仓库所存原料的40% ,那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30 吨.
(1) 求甲、乙两仓库各存放原料多少吨?
(2) 现公司需将300 吨原料运往工厂,从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120 元/吨和

100 元/吨。经协商,从甲仓库到工厂的运价可优惠a 元/吨( 10   a   30 ),从乙仓库到
 
工厂的运价不变。设从甲仓库运m 吨原料到工厂,请求出总运费W 关于 m 的函数解析式(不

要求写出m 的取值范围);

(3) 在(2)的条件下,请根据函数的性质说明:随着m 的增大,W 的变化情况 .

【答案】(1)设甲仓库存放原料x 吨,乙仓库存放原料y 吨.

 
根据题意得: x  y
 
 450
 

解得x
y
 
(1  40%)y
 240
.
 210
 
 (1  60%)x
 
 30
 

故甲仓库存放原料240 吨,乙仓库存放原料210 吨.

(2)据题意,从甲仓库运m 吨原料到工厂,则从乙仓库运300  m 吨原料到工厂

 
总运费. W
 
 (120  a)m
 
 100(300  m )  (20  a)m
 
 30000
 

 
(3)①当10
 
 a<20 , 20  a>0 ,由一次函数的性质可知,W
 
随着m的增大而增大.
 

 
②当a 
 
20 时,
 
20  a=0 ,W
 
随着 m 的增大没有变化.
 

 
③当20  a
 
 30 ,则20  a<0 ,W
 
随着 m 的增大而减小.
 

【考点】二元一次方程组;一次函数的性质及应用
【解析】(1)根据题意,可设甲仓库存放原料x 吨,乙仓库存放原料y 吨,利用甲、乙两仓库的原料吨数之和为450 吨以及乙仓库剩余的原料比甲的30 吨.,即可列出二元一次方程组求解.
(2) 据题意,从甲仓库运m 吨原料到工厂,则从乙仓库运300  m 吨原料到工厂,甲仓库到工厂的运价为120  a 元/吨,由乙仓库到工厂的运价不变即为100 元/吨,利用“运费=运价
×数量”即可求出甲、乙仓库到工厂的总运费W .

(3) 本题考察一次函数的性质,一次项系数 20 − a 的大小决定W 随着m 的增大而如何变化,

需根据题中所给参数a的取值范围, 进行3种情况讨论,判断20  a 的正负,可依次得到
 
20  a>0 、20  a=0 即20  a<0,即得W 随着 m 的增大的变化情况.

【点评】此题考察二元一次方程组及一次函数的性质及应用,根据题中的数量关系不难列出

二元一次方程组及总运费W 关于 m 的函数解析式,难点在于最后一问函数性质的运用,需

利用题中所给的数量参数a 的范围,讨论一次项系数,W 随着 m 的增大而产生的变化情况.

 

25. 如图,△ABC 内接于⊙O,∠CBG=∠A,CD为直径,OC与 AB相交于点E , 过点E 作EF⊥BC ,垂足为F ,延长CD交GB的延长线于点P,连接BD。

(1) 求证: PG与⊙O 相切;
(2) 若 EF  5,求 BE 的值;
AC 8 OC
(3) 在(2)的条件下,若⊙O 的半径为 8, PD  OD,求OE 的长.

【答案】】解:(1)证:
如图 1,连接OB ,则OB  OD
BDC  DBO
∵弧 BC=弧 BC
A  BDC
A  DBO
又∵∠CBG=∠A
CBG  DBO
∵CD 是⊙O 直径
DBO  OBC  90
CBG  OBC  90
OBG  90 点 B 在圆上,

 PG 与⊙O 相切
 
(2)方法一:
如 图 2 过 O 作 OM ⊥AC 于 点 M
AM = 1 AC
2
∵弧 AC =弧 AC
∴∠ABC = 1 ∠AOC
2
又∵∠EFB =∠OGA = 90°
∴ ΔBEF ∽ ΔOAM
 

, 链接 OA ,则∠AOM =∠COM = 1∠AOC ,

 

M
 

∴  EF  = BE
AM OA
∵ AM = 1 AC , OA = OC
2
∴   EF   = BE
 
1 AC OC
2
又 ∵ EF  5
AC 8

∴ BE = 2× EF = 2× 5 = 5
OC AC 8 4


方法二:

∵CD 是⊙O 直径
DBC  90
∵ EF ⊥ BC
EFC  90
又 ∵ ∠DCB =∠ECF

DCB ∽ ECF
 EF  EC ①
DB DC
 
又∵∠ BDE =∠ EAC
DEB  AEC
DEB ∽ AEC
 DB  BE ②
AC EC
①×② 得 : EF  DB  EC  BE
 
DB AC
即  EF   BE
AC DC
 
DC EC
 
 BE   5
DC 8
又∵ DC = 2OC
 BE  5 2OC 8
 BE   5
OC 4

(3)∵ PD = OD ,∠PDO = 90°
 BD  OD  8
在 RtDBC 中, BC   8
又 ∵ OD = OB
DOB 是等边三角形
DOB  60
∵∠DOB =∠OBC +∠OCB , OB  OC
OCB  30
 EF  1 , FC 
CE 2 EF
可设 EF = x, EC = 2x, FC = 3x

 BF  8  3x

在 RtBEF 中, BE2  EF 2  BF 2
 
100  x2  8
解得: x  6 
 
   3x2
 
∵!6 
 x  6 
 
 8,舍去
 

 
 EC  12  2
OE  8  12  2
 

13  2  4
 


【考点】切线的性质和判断;相似三角形
【解析】(1)要证为切线只需证明OBG 为 90 度,A 与BDC 为同弧所对圆周角相等, 又BDC  DBO ,得CBG  DBO 即可证明。
(2)通过证明 2 组三角形相似,建立比例关系,消元后,再在直角三角形 BEF 中利用勾股定理求解即可。
【点评】本题第一问比较常规,第二问需要建立相似比之间的数量关系,第三问需要转化到一个直角三角形中利用勾股定理解题,还要对两个解进行处理,思路复杂,而且计算量较大, 属于较难的题目。


26.(本题满分 10 分)如图,抛物线 y  ax2  5ax  c 与坐标轴分别交于点 A,C, E 三点,其中
A(3, 0), C(0, 4) ,点 B 在 x 轴上, AC  BC ,过点 B 作 BD  x 轴交抛物线于点 D ,点
M,N 分别是线段CO, BC 上的动点,且CM  BN ,连接 MN, AM , AN.
(1) 求抛物线的解析式及点 D 的坐标;
(2) 当△CMN 是直角 三角形时,求点 M 的坐标 ;
(3) 试求出 AM  AN 的最小值.

【答案】(1)抛物线的解析式为: y   1 x2  5 x  4 ;
6 6
D(3,5).
 
(2)M(0, 16 )或 M(0, 11)
9 9
(3)

【考点】①用待定系数法求解析式;②动点形成相似三角形的运用;③全等三角形的证明, 动点中线段和最值问题的转化
【解析】解:(1)  把点 A(-3,0)、C(0,4)带入 y  ax2  5ax  c得

 
9a 15a  c  0
 
a   1

 
c  4
 

解得 6
c  4
 
∴抛物线的解析式为: y   1 x2  5 x  4
6 6
∵AC=BC, OC=OC
∴Rt△AOC  Rt△BOC(HL)
∴OA=OB
∵A(-3,0)
∴B(3,0)
∵BD⊥ x 轴,D 在抛物线上
∴D(3,5)

(2)由(1)得OC=4, BC=5,设 M(0, a )
∵CM=BN

 
∴CM=BN=4- a ,CN=BC-BN=5-(4- a
①当∠CMN=90°时,△CMN∽△COB
 
)=1+ a
 
由 CM  CN 得
 
4 - a  1 a
 
解得: a  16
 
CO CB 4 5 9
∴M(0, 16 )
9
②当∠CNM=90°时,△CNM∽△COB
 
由   CM  CN 得
 
4 - a  1 a
 
解得: a  11
 
CB CO 5 4 9
∴M(0, 11)
9
综上所述:当△CMN 是直角三角形时 M(0, 16 )或 M(0, 11)
9 9
(3)连接 DN、AD,如右图,
∵BD⊥ y 轴
∴∠OCB=∠DBN
∵∠OCB=∠ACM
∴∠ACM =∠DBN
又∵CM=BN,AC=BD
∴△CAM  △BDN(SAS)
∴AM=DN
∴AM+AN=DN+AN
当 A、N、D 三点共线时,DN+AN=AD 即 AM+AN 的最小值为AD
∵AB=6 , BD=5
∴在 Rt △ABD 中,由勾股定理得,

AD= 

∴AM+AN 的最小值为 .
【点评】此题是二次函数综合题,考查了待定系数法求二次函数解析式,相似三角形的综合运用,直角三角形的分类讨论,全等三角形的证明及线段和最值问题的转化思想,此题 1、
2 问难度适中,3 问综合性较强,难度较大。

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