九年级数学下2.3三角形的内切圆同步练习(浙教版含答案)

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九年级数学下2.3三角形的内切圆同步练习(浙教版含答案)

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2.3 三角形的内切圆                  
一、选择题
1.如图K-50-1所示,已知△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D,E,F,那么点O是△DEF的(  )
A.三条中线的交点
B.三条高线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三条角平分线的交点
2.等边三角形内切圆与外接圆的半径之比为(  )
A.1∶2  B.3∶3  C.1∶2  D.1∶3
3.2017•武汉已知一个三角形的三边长分别为5,7,8,则其内切圆的半径为(  )
A.32  B.32  C.3  D.2 3
 
图K-50-1
4.如图K-50-2是输油管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形,两条直角边长分别为6 m和8 m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连结管道,则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线,中心O为点)是(  )
  
图K-50-2
A.2 m  B.3 m  C.6 m  D.9 m
二、填空
5.如图K-50-3,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则∠PBC+∠PCA+∠PAB=________度.
 
图K-50-3
   
.如图K-50-4所示,⊙O为△ABC的内切圆,点D,E,F为切点,若∠DOB=73°,∠DOE=120°,则∠DOF的度数为______,∠C的度数为________,∠A的度数为________.
 
图K-50-4
7.如图K-50-5,点O在△ABC的内部,∠A=40°,
 
 图K-50-5
 (1)若点O是△ABC的外心,则∠BOC的度数为________;
(2)若点O是△ABC的内心,则∠BOC的度数为________.
8.如图K-50-6,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D,E两点,经测量发现AD和BE的长恰是方程x2-25x+150=0的两根(单位:cm),则该自来水管的半径为________ cm.
 
图K-50-6
9.如图K-50-7,在平面直角坐标系中有一个正方形AOBC,反比例函数y=kx的图象经过正方形AOBC两对角线的交点,半径为4-2 2的圆内切于△ABC,则k的值为________.

三、解答题
10.如图K-50-8所示,已知∠C=90°,⊙O是Rt△ABC的内切圆,AB与⊙O相切于点D,AO的延长线交BC于点E.
求证:AD•AE=AO•AC.
 

11.如图K-50-9所示,在△ABC中,AB=AC,其内切圆⊙O与边BC,AC,AB分别切于点D,E,F.
(1)求证:BF=CE;
(2)若∠ACB=30°,CE=2 3,求AC的长.


12.如图K-50-10,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,AF⊥BC于点F,点O在AF上,⊙O经过点F,并分别与AB,AC边切于点D,E,连结OD,DE.
求:(1)△ADE的周长;
(2)内切圆⊙O的面积.

 13.2017•百色已知△ABC的内切圆⊙O与AB,BC,AC分别相切于点D,E,F,若EF︵=DE︵,如图K-50-11①.
(1)判断△ABC的形状,并证明你的结论;
(2)设AE与DF相交于点M,如图②,AF=2FC=4,求AM的长.链接学习手册例2归纳总结
 

14阅读学习定义:到凸四边形一组对边距离相等,到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内心.如图K-50-12①,PH=PJ,PI=PG,则点P就是四边形ABCD的准内心.
 
图K-50-12
(1)如图②,∠AFD,∠DEC的平分线FP,EP相交于点P.求证:点P是四边形ABCD的准内心;
(2)分别画出图③中平行四边形和图④中梯形的准内心;(作图工具不限,不写作法,但要有必要的说明)
(3)同样,我们定义:到凸四边形一组对角顶点的距离相等,到另一组对角顶点的距离也相等的点叫凸四边形的准外心.若QA=QC,QB=QD,则点Q就是四边形ABCD的准外心.那么你认为Q是________和________的交点.


1.[解析] C 点O是△DEF的外接圆的圆心,即△DEF三边垂直平分线的交点.
2.[解析]  C 如图,连结OB,OD,∵等边三角形的内心、外心重合,∴OD为内切圆的半径,OB为外接圆的半径.在Rt△BOD中,∠OBD=30°,∠ODB=90°,∴sin∠OBD=ODOB=sin30°=12,即OD∶OB=1∶2.
 
3.[解析] C 如图,作三角形一边上的高,不妨作最长边BC上的高AD,设BD=x,则CD=8-x,则有h2=52-x2=72-(8-x)2,解得x=52,从而h=532,∴三角形的面积=12×532×8=12r×(5+7+8),∴r=3. 故选C.
 
4.[答案] C
5.[答案] 90
6.[答案] 146° 60° 86°
[解析] 由题意知,Rt△OBD≌Rt△OBF,
∴∠BOD=∠BOF=73°,
∴∠DOF=73°+73°=146°.
∵∠ODC=∠OEC=90°,
∴∠C=360°-90°×2-120°=60°.
又∵∠ABC=360°-∠BDO-∠BFO-∠DOF=360°-90°-90°-146°=34°.
∴∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-34°-60°=86°.
7.[答案] 80° 110°
8.[答案] 5
[解析] 设圆心为O,如图,连结OD,OE.
 
解方程x2-25x+150=0,
得x1=10,x2=15.
∴设AD=10,BE=15,水管的半径为x,
∴AB=AD+BE=25,
∴(AD+x)2+(BE+x)2=AB2,
∴(10+x)2+(15+x)2=252,解得x=5.
9.[答案] 4
10.证明: 连结OD.∵AB与⊙O相切于点D,
∴∠ADO=90°.
又∵∠C=90°,∴∠ADO=∠C.
又∵点O是Rt△ABC的内心,
∴∠DAO=∠EAC,
∴△ADO∽△ACE,
∴ADAC=AOAE,
即AD•AE=AO•AC.
11.解:(1)证明:连结AO并延长,∵AB=AC,
∴AO的延长线交BC于切点D,则BD=CD.
又由切线长定理,得BF=BD,CD=CE,
∴BF=CE.
(2)∵CE=2 3,∴CD=2 3.
又∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°.
又∵∠ACB=30°,
∴AC=CDcos∠ACB=2 3cos30°=2 332=4.
12.解:(1)∵AB=AC,BC=12,AF⊥BC于点F,∴BF=FC=6.
∵⊙O经过点F,并分别与AB,AC边切于点D,E,
∴BD=BF=6,CE=CF=6.
∵AB=AC=10,∴AD=AE=4,
∴AD∶AB=AE∶AC.
又∵∠DAE=∠BAC,∴△ADE∽△ABC,
∴DE∶BC=AD∶AB,即DE∶12=4∶10,
∴DE=4.8,
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=4+4.8+4=12.8.
(2)∵AF⊥BC于点F,∴∠AFB=90°.
∵AB=10,BF=6,∴AF=AB2-BF2=8.
∵⊙O与AB边切于点D,∴∠ADO=90°,
∴∠ADO=∠AFB.
又∵∠OAD=∠BAF,
∴△ADO∽△AFB,
∴AO∶AB=OD∶BF,
即(8-OD)∶10=OD∶6,∴OD=3,
∴S⊙O=π•OD2=9π.
13.解:(1)△ABC是等腰三角形.
证明:∵AC,AB,BC是⊙O的切线,∴AF=AD,CF=CE,BE=BD,∠CFO=∠CEO=90°.
连结CO,BO,则△CFO≌△CEO,∴∠COF=∠COE,同理∠BOE=∠BOD.
∵EF︵=DE︵,∴∠EOF=∠EOD,
∴∠COE=∠BOE.
又∠CEO=∠BEO=90°,OE=OE,
∴△COE≌△BOE,∴CE=BE.
∵CF=CE,BE=BD,∴CF=BD.
∵AF=AD,∴AC=AB,
即△ABC是等腰三角形.
(2)∵AC=AB,CE=BE,
∴AE⊥BC,∠FAO=∠DAO.
∵AF=AD,∴FM=DM,FM⊥AM,

∴AE过圆心O,DF∥BC,
∴AF∶AC=DF∶BC,
即4∶6=DF∶4,
∴DF=83,∴FM=43,
∴AM=AF2-FM2=823.
14解:(1)证明:如图①,过点P作PI⊥FD,PJ⊥DE,PG⊥AF,PH⊥EC,垂足分别是I,J,G,H.
 
∵EP平分∠DEC,∴∠PED=∠PEC.
在△PEJ和△PEH中,∠PED=∠PEC,∠PJE=∠PHE,PE=PE,
∴△PEJ≌△PEH,
∴PJ=PH.
同理,可证△PGF≌△PIF,∴PG=PI,
∴点P是四边形ABCD的准内心.
(2)平行四边形两条对角线的交点P1就是它的准内心,如图②;
或者平行四边形两对边中点连线的交点P1就是它的准内心,如图③;
梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点P2就是它的准内心,如图④.
 
(3)根据凸四边形的准外心的定义即可得出四边形ABCD的准外心Q是AC的中垂线和BD的中垂线的交点.
故答案为:AC的中垂线,BD的中垂线.

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