2017-2018学年青岛市市北区九年级数学上期末试卷(含答案和解释)

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2017-2018学年青岛市市北区九年级数学上期末试卷(含答案和解释)

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2017-2018学年山东省青岛市市北区九年级(上)期末数学试卷
 
一、选择题 (共8小题,每小题3分,满分24分)
1.(3分)太阳光照射一扇矩形的窗户,投在平行于窗户的墙上的影子的形状是(  )
A.与窗户全等的矩形 B.平行四边形
C.比窗户略小的矩形 D.比窗户略大的矩形
2.(3分)将方程x2+8x+9=0配方后,原方程可变形为(  )
A.(x+4)2=7 B.(x+4)2=25 C.(x+4)2=﹣9 D.(x+8)2=7
3.(3分)如图所示,该几何体的俯视图是(  )
 
A.  B.  C.  D.
4.(3分)如果两个相似五边形的面积和等于65cm2,其中一组对应边的长分别为3cm和4.5cm,那么较大五边形的面积为(  )
A.26cm2 B.39cm2 C.20cm2 D.45cm2
5.(3分)把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为(  )
A.y=﹣(x﹣1)2﹣3 B.y=﹣(x+1)2﹣3 C.y=﹣(x﹣1)2+3 D.y=﹣(x+1)2+3
6.(3分)如图,点C、D在线段AB上,△PCD是等边三角形,当△ACP∽△PDB时,∠APB的度数为(  )
 
A.100° B.120° C.115° D.135°
7.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,下列线段的比值等于cosA的值的有(  )个
(1)     (2)     (3)     (4) .
 
A.1 B.2 C.3 D.4
8.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根,则下列结论:①b2﹣4ac>0;②ac<0;③m>2,其中正确结论的个数是(  )
 
A.0 B.1 C.2 D.3
 
二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分)
9.(3分)小明和小红在阳光下行走,小明身高1.75米,他的影长2.0米,小红比小明矮7厘米,此刻小红的影长是     米.
10.(3分)若 =2,则 =     .
11.(3分)某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x,则可列方程:     .
12.(3分)如图,小明晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影长CD的长为1m,从C处继续往前走3m达到E处时,测得影子EF的长为2m,已知小明的身高时1.5m,那么路灯A的高度AB等于     m.
 
13.(3分)下表是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x和因变量y的对应值表:
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
若点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在这个二次函数的图象上,且3<x1<x2,则y1、y2的大小关 系是y1     y2,.(填写“<”,“>”或“=”)
14.(3分)如图,10个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中,经过A(1,0)点的一条直线1将这10个正方形分成面积相等的两部分,则该直线的解析式为     .
 
 
三、解答题(共10小题,满分78分)
15.(4分)如图,有一块三角形的铁皮
求作:以∠C为一个内角的菱形CEFG,使顶点F在AB边上
要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹.
 
16.(8分)解方程
(1)x2﹣2x﹣2=0
(2)(x+1)2=4(x﹣1)2.
17.(6分)小明和小刚做游戏一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球,球上分别标有数字1,2,3,4,随机从布袋中摸出一个乒乓球,记下数字后放回布袋里,再随机从布袋中摸出一个乒乓球,若这两个乒乓球上的数字之和能被4整除则小明赢;若两个乒乓球上的数字之和能被5整除则小刚赢;这个一个对游戏双方公平的游戏吗?请列表格或画树状图说明理由.
18.(6分)小鹏学完解直角三角形知识后,给同桌小艳出了一道题:“如图所示,把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中,恰好四个顶点都在横格线上,已知α=36°,求长方形卡片的周长.”请你帮小艳解答这道题.(精确到1mm)(参考数据:sin36°≈0.60,cos36°≈0.80,tan36°≈0.75)
 
19.(6分)环保局对某企业排污情况进行检测,结果显示,所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L,环保局要求该企业立即整改,在15天以内(含15天)排污达标,整改过程中,所排污水中硫化物的浓度γ(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示,其中线段AB表示前3天的变化规律,从第3天起,所排污水中硫化物的浓度γ与时间x成反比例关系
(1)求整改过程中硫化物的浓度γ与时间x的函数表达式(要求标注自变量x的取值范围)
(2)该企业所排污水中硫化物的浓度,能否在15天以内(含15天)排污达标?为什么?
 
20.(8分)如图,C地在A地的正东方向,因有大山阻隔,由A地到C地需要绕行附近的B地,已知B地位于A地的北偏东67°方向,距离A地520km,C地位于B地南偏西30°方向,若要打通穿山隧道建高铁,求线段AC的长(结果保留整数)(参考数据: ≈1.73,sin67°≈ ,cos67°≈ ,tan67°≈  )
 
21.(8分)如图,△ABC中,AB=AC,点D、O分别为BC、AB的中点,连接并延长DO到点E,使AE∥BC.
(1)求证:四边形AEBD是矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形?证明你的结论.
 
22.(10分)某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品,利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品,经过统计得到此商品单价在第x天(x为正整数)销售的相关信息,如表所示:
销售量n(件) n=50﹣x
销售单价m(元/件) m=20+ x
(1)请计算第几天该商品单价为25元/件?
(2)求网店销售该商品30天里所获利润y(元)关于x(天)的函数关系式;
(3)这30天中第几天获得的利润最大?最大利润是多少?
23.(10分)探究活动一:
如图1,正方形ABCD和正方形QMNP,∠M=∠B,M是正方形ABCD的对称中心,MN交AB于F,QM交AD于E,线段ME与线段MF的数量关系是     .(不必证明,直接给出结论即可)
探究活动二:
如图2,将上题中的“正方形”改为“矩形”,且AB=mBC,其他条件不变(矩形ABCD和矩形QMNP,∠M=∠B,M是矩形ABCD的对称中心,MN交AB于F,QM交AD于E),探究并证明线段ME与线段MF的数量关系;
探究活动三:
根据前面的探索和图3,平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中,若AB=mBC,∠M=∠B,M是平行四边形ABCD的对称中心,MN交AB于F,QM交AD于E,请探究并证明线段ME与线段MF的数量关系.
 
24.(12分)如图1,正方形ABCD中,AB=4cm,点P从点D出发沿DA向点A匀速运动,速度是1cm/s,同时,点Q从点A出发沿AB方向,向点B匀速运动,速度是2cm/s,连接PQ、CP、CQ,设运动时间为t(s)(0<t<2)
(1)是否存在某一时刻t,使得PQ∥BD?若存在,求出t值;若不存在,说明理由
(2)设△PQC的面积为s(cm2),求s与t之间的函数关系式;
(3)如图2,连接AC,与线段PQ相交于点M,是否存在某一时刻t,使S△QCM:S△PCM=3:5?若存在,求出t值;若不存在,说明理由.
 
 
 

2017-2018学年山东省青岛市市北区九年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(共8小题,每小题3分,满分24分)
1.(3分)太阳光照射一扇矩形的窗户,投在平行于窗户的墙上的影子的形状是(  )
A.与窗户全等的矩形 B.平行四边形
C.比窗户略小的矩形 D.比窗户略大的矩形
【解答】解:太阳光照射一扇矩形的窗户,投在平行于窗户的墙上的影子的形状是与窗户全等的矩形.
故选:A.
 
2.(3分)将方程x2+8x+9=0配方后,原方程可变形为(  )
A.(x+4)2=7 B.(x+4)2=25 C.(x+4)2=﹣9 D.(x+8)2=7
【解答】解:x2+8x=﹣9,
x2+8x+16=7,
(x+4)2=7.
故选:A.
 
3.(3分)如图所示,该几何体的俯视图是(  )
 
A.  B.  C.  D.
【解答】解:从上往下看,可以看到选项C所示的图形.
故选:C.
 
4.(3分)如果两个相似五边形的面积和等于65cm2,其中一组对应边的长分别为3cm和4.5cm,那么较大五边形的面积为(  )
A.26cm2 B.39cm2 C.20cm2 D.45cm2
【解答】解:设较大五边形与较小五边形的面积分别是m,n.则 =( )2= .
因而n= m.
 根据面积之和是65cm2.得到m+ m=65,
解得:m=45,
即较大五边形的面积为45cm2.
故选:D.
 
5.(3分)把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为(  )
A.y=﹣(x﹣1)2﹣3 B.y=﹣(x+1)2﹣3 C.y=﹣(x﹣1)2+3  D.y=﹣(x+1)2+3
【解答】解:当y=﹣x2向左平移1个单位时,顶点由原来的(0,0)变为(﹣1,0),
当向上平移3个单位时,顶点变为(﹣1,3),
则平移后抛物线的解析式为y=﹣(x+1)2+3.
故选:D.
 
6.(3分)如图,点C、D在线段AB上,△PCD是等边三角形,当△ACP∽△PDB时,∠APB的度数为(  )
 
A.100° B.120° C.115° D.135°
【解答】解:∵△ACP∽△PDB,
∴∠A=∠BPD,
∵△PCD是等边三角形,
∴∠PCD=∠C PD=60°,
∴∠PCD=∠A+∠APC=60°,
∴∠APC+∠BPD=60°,
∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠BPD=120°.
故选:B.
 
7.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,下列线段的比值等于cosA的值的有(  )个
(1)     (2)     (3)     (4) .
 
A.1 B.2 C.3 D.4
【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,
∴∠A+∠ACD=90°,∠ACD+∠BCD=90°,
∴∠A=∠BCD,
∴cosA= = = ,
故(1),(2),(4)正确.
故选:C.
 
8.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根,则下列结论:①b2﹣4ac>0;②ac<0;③m>2,其中正确结论的个数是(  )
 
A.0 B.1 C.2 D.3
【解答】解:由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴两个交点,可得b2﹣4ac>0,故①正确,
由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知a<0,c>0,则ac<0,故②正确,
由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知该函数有最大值,最大值是y=2,
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根,则m>2,故③正确,
故选:D.
 
二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分)
9.(3分)小明和小红在阳光下行走,小明身高1.75米,他的影长2.0米,小红比小明矮7厘米,此刻小红的影长是 1.92 米.
【解答】解:根据题意知,小红的身高为175﹣7=168(厘米),
设小红的影长为x厘米
则 = ,
解得:x=192,
∴小红的影长为1.92米,
故答案为:1.92.
 
10.(3分)若 =2,则 = 2 .
【解答】解:两边都乘(x﹣y),得
x=2x﹣2y,
两边都减x,都加2y,

2y=x,
两边都除以y,得
 =2,
故答案为:2.
 
11.(3分)某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x,则可列方程: 2(1+x)+2(1+x)2=8 .
【解答】解:∵去年对实验器材的投资为2万元,该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x,
∴今年的投资总额为2(1+x);明年的投资总额为2(1+x)2;
∵预计今明两年的投资总额为8万元,
∴2(1+x)+2(1+x)2=8.
 
12.(3分)如图,小明晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影长CD的长为1m,从C处继续往前走3m达到E处时,测得影子EF的长为2m,已知小明的身高时1.5m,那么路灯A的高度AB等于 6 m.
 
【解答】解:如图,
 
∵ = ,
当小明在CG处时,Rt△DCG∽Rt△DBA,即 = ,
当小明在EH处时,Rt△FEH∽Rt△FBA,即 = = ,
∴ = ,
∵CG=EH=1.5米,CD=1米,CE=3米,EF=2米,
设AB=x,BC=y,
∴ = ,
解得y=3,
∵ = ,
∴ = ,
解得x=6米,
即路灯A的高度AB=6米.
故答案为:6.
 
13.(3分)下表是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x和因变量y的对应值表:
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
若点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在这个二次函数的图象上,且3<x1<x2,则y1、y2的大小关系是y1 < y2,.(填写“<”,“>”或“=”)
【解答】解:∵当﹣3<x<1时,﹣4<y<12,y随x增大而减小;当1<x<3时,﹣4<y<0,y随x增大而增大,
∴当3<x1<x2时,y1<y2,
故答案为:<
 
14.(3分)如图,10个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中,经过A(1,0)点的一条直线1将这10个正方形分成面积相等的两部分,则该直线的解析式为 y= x﹣  .
 
【解答】解:将由图中1补到2的位置,
∵10个正方形的面积之和是10,
∴梯形ABCD的面积只要等于5即可,
∴设BC=4﹣x,则[(4﹣x)+3]×3÷2=5,
解得,x= ,
∴点B的坐标为( ,3),
设过点A和点B的直线的解析式为y=kx+b,
 ,
解得, ,
即过点A和点B的直线的解析式为y= ,
故答案为:y= .
 
 
三、解答题(共10小题,满分78分)
15.(4分)如图,有一块三角形的铁皮
求作:以∠C为一个内角的菱形CEFG,使顶点F在AB边上
要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹.
 
【解答】解:如图所示,菱形CEFD即为所求.
 
 
16.(8分)解方程
(1)x2﹣2x﹣2=0
(2)(x+1)2=4(x﹣1)2.
【解答】解:(1)x2﹣2x﹣2=0,
x2﹣2x+1=2+1,
(x﹣1)2=3,
x﹣1= ,
x=1 ,
x1=1 ,x2=1﹣ ,
(2)(x+1)2=4(x﹣1)2.
(x+1)2﹣4(x﹣1)2=0.
(x+1)2﹣[2(x﹣1)]2=0.
(x+1)2﹣(2x﹣2)2=0.
(x+1﹣2x+2)(x+1+2x﹣2)=0.
(﹣x+3)(3x﹣1)=0.
x1=3,x2= .
 
17.(6分)小明和小刚做游戏一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球,球上分别标有数字1,2,3,4,随机从布袋中摸出一个乒乓球,记下数字后放回布袋里,再随机从布袋中摸出一个乒乓球,若这两个乒乓球上的数字之和能被4整除则小明赢;若两个乒乓球上的数字之和能被5整除则小刚赢;这个一个对游戏双方公平的游戏吗?请列表格或画树状图说明理由.
【解答】解:列表如下:
 
共有16种可能,其中和能被4整除的有4种,能被5整除的有4种,
∴P(小明胜)= ,P(小刚胜)= ,
∵P(小明胜)=P(小刚胜)
∴游戏是公平的.
 
18.(6分)小鹏学完解直角三角形知识后,给同桌小艳出了一道题:“如图所示,把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中,恰好四个顶点都在横格线上,已知α=36°,求长方形卡片的周长.”请你帮小艳解答这道题.(精确到1mm)(参考数据:sin36°≈0.60,cos36°≈0.80,tan36°≈0.75)
 
【解答】解:作BE⊥l于点E,DF⊥l于点F.
∵α+∠DAF=180°﹣∠BAD=180°﹣90°=90°,
∠ADF+∠DAF=90°,
∴∠ADF=α=36°.
根据题意,得BE=24mm,DF=48mm.
在Rt△ABE中,sin ,
∴AB= =40(mm).
在Rt△ADF中,cos∠ADF= ,
∴AD= =60(mm ).
∴矩形ABCD的周长=2(40+60)=200(mm).
 
 
19.(6分)环保局对某企业排污情况进行检测,结果显示,所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化物 的浓度超过最高允许的1.0mg/L,环保局要求该企业立即整改,在15天以内(含15天)排污达标,整改过程中,所排污水中硫化物的浓度γ(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示,其中线段AB表示前3天的变化规律,从第3天起,所排污水中硫化物的浓度γ与时间x成反比例关系
(1)求整改过程中硫化物的浓度γ与时间x的函数表达式(要求标注自变量x的取值范围)
(2)该企业所排污水中硫化物的浓度,能否在15天以内(含15天)排污达标?为什么?
 
【解答】解:(1)分情况讨论:
①当0≤x≤3时,
设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b;
把A(0,10),B(3,4)代入得:
 ,
解得: ,
∴y=﹣2x+10;
②当x>3时,设y= ,
把(3,4)代入得:m=3×4=12,
∴y= ;
综上所述:当0≤x≤3时,y=﹣2x+10;当x>3时,y= ;

(2)能;理由如下:
令y= =1,则x=12,
3<12<15,
故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L.
 
20.(8分)如图,C地在A地的正东方向,因有大山阻隔,由A地到C地需要绕行附近的B地,已知B地位于A地的北偏东67°方向,距离A地520km,C地位于B地南偏西30°方向,若要打通穿山隧道建高铁,求线段AC的长(结果保留整数)(参考数据: ≈1.73,sin67°≈ ,cos67°≈ ,tan67°≈  )
 
【解答】解:如图,
 
过点B作BD⊥AC于点D ,
∵B地位于A地北偏东67°方向,距离A地520km,
∴∠ABD=67°,
∴AD=AB•sin67°=520× = =480km,
BD=AB•cos67°=520× = =200km.
∵C地位于B地南偏东30°方向,
∴∠CBD=30°,
∴CD=BD•tan30°=200× = ,
∴AC=AD﹣CD=480﹣ ≈480﹣115=365(km).
答:A地到C地之间高铁线路的长为365km.
 
21.(8分)如图,△ABC中,AB=AC,点D、O分别为BC、AB的中点,连接并延长DO到点E,使AE∥BC.
(1)求证:四边形AEBD是矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形?证明你的结论.
 
【解答】解:(1)∵AE∥BC,
∴∠EAO=∠DBO、∠AEO=∠BDO,
∵O是AB 的中点,
∴AO=BO,
在△AOE和△BOD 中,
∵ ,
∴△AOE≌△BOD(AAS),
∴AE=BD,
∴四边形AEBD是平行四边形,
∵AB=AC、D是BC中点,
∴AD⊥BC,即∠ADB=90°,
∴四边形AEBD是矩形;

(2)当∠BAC=90°时,
理由:∵∠BAC=90°,AB=AC,AD是BC边的中线,
∴AD=BD=CD,
∵由(1)得四边形AEBD是矩形,
∴矩形AEBD是正方形.
 
22.(10分)某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品,利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品,经过统计得到此商品单价在第x天(x为正整数)销售的相关信息,如表所示:
销售量n(件) n=50﹣x
销售单价m(元/件) m=20+ x
(1)请计算第几天该商品单价为25元/件?
(2)求网店销售该商品30天里所获利润y(元)关于x(天)的函数关系式;
(3)这30天中第几天获得的利润最大?最大利润是多少?
【解答】解:(1)当m=25时,20+ x=25,
解得:x=10,
所以第10天时该商品的销售单价为25元/件;

(2)y=n(m﹣10)
=(50﹣x)(20+ x﹣10)
=﹣ x2+15x+500;

(3)y=﹣ x2+15x+500
=﹣ (x﹣15)2+ ,
∴当x=15时,y最大= ,
答:这30天中第15天获得的利润最大,最大利润是 元.
 
23.(10分)探究活动一:
如图1,正方形ABCD和正方形QMNP,∠M=∠B,M是正方形ABCD的对称中心,MN 交AB于F,QM交AD于E,线段ME与线段MF的数量关系是 ME=MF .(不必证明,直接给出结论即可)
探究活动二:
如图2,将上题中的“正方形”改为“矩形”,且AB=mBC,其他条件不变(矩形ABCD和矩形QMNP,∠M=∠B,M是矩形ABCD的对称中心,MN交AB于F,QM交AD于E),探究并证明线段ME与线段MF的数量关系;
探究 活动三:
根据前面的探索和图3,平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中,若AB=mBC,∠M=∠B,M是平行四边形ABCD的对称中心,MN交AB于 F,QM交AD于E,请探究并证明线段ME与线段MF的数量关系.
 
【解答】解:(1)ME=MF.
理由:如图1,过点M作MH⊥AB于H,MG⊥AD于G,连接AM,
则∠MHF=∠MGE=90°,
∵M是正方形ABCD的对称中心,
∴AM平分∠BAD,
∴MH=MG,
在正方形ABCD中,∠DAB=90°,而∠MHA=∠MGA=90°,
∴∠EM F=∠HMG=90°,
∴∠FMH=∠EMG,
在△MHF和△MGE中,
 
∴△MHF≌△MGE(ASA),
∴MF=ME,
故答案为:MF=ME;

(2)ME=mMF.
理由:如图2,过点M作MG⊥AB于G,MH⊥AD于H,
则∠MHE=∠MGF=90°,
在矩形ABCD中,∠A=90°,
∴在四边形GMHA中,∠GMH=90°,
又∵∠EMF=90°,
∴∠HME=∠GMF,
又∵∠MGF=∠MHE=90°,
∴△MGF∽△MHE,
∴ = ,
又∵M是矩形ABCD的对称中心,
∴MG= BC,MH= AB,
∵AB=mBC,
∴ = =m,
∴ME=mMF;

(3)ME=mMF.
理由:如图3,过点M作MG⊥AB于G,MH⊥AD于H,
则∠MHE=∠MGF=90°,
在平行四边形ABCD中,∠A+∠B=180°,而∠EMF=∠B,
∴∠A+∠EMF=180°,
又∵在四边形AGMH中,∠A+∠HMG=180°,
∴∠EMF=∠GMF,
又∵∠MGF=∠MHE=90°,
∴△MGF∽△MHE,
∴ = ,
又∵M是矩形ABCD的对称中心,
∴MG= BC,MH= AB,
∵AB=mBC,
∴ = = =m,
∴ME=mMF.
 
 
 
 
24.(12分)如图1,正方形ABCD中,AB=4cm,点P从点D出发沿DA向点A匀速运动,速度是1cm/s,同时,点Q从点A出发沿AB方向,向点B匀速运动,速度是2cm/s,连接PQ、CP、CQ,设运动时间为t(s)(0<t<2)
(1)是否存在某一时刻t,使得PQ∥BD?若存在,求出t值;若不存在,说明理由
(2)设△PQC的面积为s(cm2),求s与t之间的函数关系式;
(3)如图2,连接AC,与线段PQ相交于点M,是否存在某一时刻t,使S△QCM:S△PCM=3:5?若存在,求出t值;若不存在,说明理由.
 
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD=4,
由运动知,DP=t,AQ=2t,
∴AP=4﹣t,BQ=4﹣2t,
(1)连接BD,如图1,
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
∵PQ∥BD,
∴∠ABD=∠AQP,∠APQ=∠ADB,
∴∠APQ=∠AQP,
∴AQ=AP,
∴2t=4﹣t,
∴t= ;

(2)S=S正方形ABCD﹣S△APQ﹣S△BCQ﹣S△CDP
=AB2﹣ AQ×AP﹣ BQ×BC﹣ DP×CD
=16﹣ ×2t×(4﹣t)﹣ ×(4﹣2t)×4﹣ t×4
=16+t2﹣4t﹣8+4t﹣2t
=t2﹣2t+8(0<t<2);

(3)如图2,
过点C作CN⊥PQ于N,
∴S△MCQ= MQ×CN,S△MCP= MP×CN,
∵S△QCM:S△PCM=3:5,
∴ = ,
∴ ,
过点M作MG⊥AB于G,MH⊥AD于H,
∵点M是正方形ABCD的对角线AC上的一点,
∴MG=MH,
∴S△AMQ= AQ×MG,S△APM= AP×MH,
∴ ,
∴ ,
∴t= .

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来源莲
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