2017-2018学年洛阳市洛龙区九年级数学上期中试卷(附答案和解释)

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2017-2018学年洛阳市洛龙区九年级数学上期中试卷(附答案和解释)

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源莲山 课件 w w
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2017-2018学年河南省洛阳市洛龙区九年级(上)期中数学试卷
 
一、选择题(本题共10个小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)下列方程中,是一元二次方程的是(  )
A.2x+1=0 B.y2+x=0 C.x2﹣x=0 D.  +x2=0
2.(3分)下面四个手机应用图标中,属于中心对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
3. (3分)关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是(  )
A.没有实数根 B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根
4.(3分)用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时,下列变形正确的为(  )
A.(x+3)2=1 B.(x﹣3)2=1 C.(x+3)2=19 D.(x﹣3)2=19
5.(3分)S型电视机经过连续两次降价,每台售价由原来的1500元降到了980元.设平均每次降价的百分率为x,则下列方程中正确的是(  )
A.1500(1+x)2=980 B.980(1+x)2=1500 C.1500(1﹣x)2=980 D.980(1﹣x)2=1500
6.(3分)抛物线y=3x2先向上平移2个单位,再向右平移3个单位,所得的抛物线为(  )
A.y=3(x+3)2﹣2 B.y=3(x+3)2+2 C.y=3(x﹣3)2﹣2 D.y=3(x﹣3)2+2
7.(3分)如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,点C的对应点E恰好落在AB延长线上,连接AD.下列结论错误的是(  )
 
A.BD平分∠ABC B.AD∥BC
C.S△ABD=2S△BED D.△ABD是等边三角形
8.(3分)若函数y=(m﹣1)x2﹣6x+ m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为(  )
A.﹣2或3 B.﹣2或﹣3 C.1或﹣2或3 D.1或﹣2或﹣3
9.(3分)如图,已知钝角三角形ABC,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′,连接BB′,若AC′∥BB′,则∠CAB′的度数为(  )
 
A.55° B.65° C.75° D.85°
10.(3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,下列结论:
①ab<0;②b2>4ac;③a+b+2c<0;④3a+c<0.
其中正确的是(  )
 
A.①④ B.②④ C.①②③ D.①②③④
 
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
11.(3分)方程3x(x﹣1)=2(x﹣1)的根为     .
12.(3分)已知点(a,﹣1)与点(2,b)关于原点对称,则a+b=     .
13.(3分)关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0,则k的值是     .
14.(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,且经过点P(3,0),则抛物线与x轴的另一个交点坐标为     .
15.(3分)把一副三角板如图(1)放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=6厘米,DC=7厘米.把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1,如图(2),这时AB与CD1相交于点O,与D1E1相交于点F.则AD1=     cm.
 
 
三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16.(8分)解方程:
(1)4(x﹣5)2=36
(2)x2﹣ x+1=0.
17.(9分)已知关于x的一元二次方程:x2﹣(t﹣1)x+t﹣2=0.
(1)求证:对于任意实数t,方程都有实数根;
(2)当t为何值时,二次函数y=x2﹣(t﹣1)x+t﹣2的图象与x轴的两个交点横坐标互为相反数?请说明理由.
18.(9分)如图,下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成,每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影,请在下面每个图形中,选取2个空白小正方形涂上阴影,使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形.
19.(9分)已知抛物线y=a(x﹣3)2+2经过点(1,﹣2)
(1)该抛物线的顶点坐标是     
(2)求a的值;
(3)若点A(m,y1)、B(n,y2)(m<n<3)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小.
20.(9分)如图,四边形ABCD,AB=3,AC=2,把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD,此时发现点A、C、E恰好在一条直线上,求∠BAD的度数与AD的长.
 
21.(10分)某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.
(1)当销售单价为70元时,每天的销售利润是多少?
(2)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;
(3)如果该企业每天的总成本不超过7000元,那么销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)
22.(10分)(1)问题发现:
如图①,△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,点B在线段AE上,点C在线段AD上,请直接写出线段BE与线段CD的数量与位置关系是关系:     ;
(2)操作探究:
如图②,将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),(1)小题中线段BE与线段CD的关系是否成立?如果不成立,说明理由,如果成立,请你结合图②给出的情形进行证明;
(3)解决问题:
将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),若DE=2AC,在旋转的过程中,当以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形时,在备用图中画出其中的一个情形,并写出此时旋转角α的度数是     度.
 
23.(11分)如图,抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,△CBF的面积最大?求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标.
 
 
 

2017-2018学年河南省洛阳市洛龙区九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本题共10个小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)下列方程中,是一元二次方程的是(  )
A.2x+1=0 B.y2+x=0 C.x2﹣x=0 D.  +x2=0
【解答】解:A、方程2x+1=0未知数的最高次数是1,属于一元一次方程;故本选项错误;
B、y2+x=0中含有2个未知数,属于二元二次方程,故本选项错误;
C、x2﹣x=0符合一元二次方程的定义;故本选项正确;
D、该方程是分式方程;故本选项错误;
故选:C.
 
2.(3分)下面四个手机应用图标中,属于中心对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
【解答】解:A图形不是中心对称图形;
B图形是中心对称图形;
C图形不是中心对称图形;
D图形不是中心对称图形,
故选:B.
 
3.(3分)关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是(  )
A.没有实数根 B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根
【解答】解:∵△=a2+4>0,
∴,方程有两个不相等的两个实数根.
故选:D.
 
4.(3分)用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时,下列变形正确的为(  )
A.(x+3)2=1 B.(x﹣3)2=1 C.(x+3)2=19 D.(x﹣3)2=19
【解答】解:方程移项得:x2﹣6x=10,
配方得:x2﹣6x+9=19,即(x﹣3)2=19,
故选:D.
 
5.(3分)S型电视机经过连续两次降价,每台售价由原来的1500元降到了980元.设平均每次降价的百分率为x,则下列方程中正确的是(  )
A.1500(1 +x)2=980 B.980(1+x)2=1500 C.1500(1﹣x)2=980 D.980(1﹣x)2=1500
【解答】解:依题意得:第一次降价的售价为:1500(1﹣x),
则第二次降价后的售价为:1500(1﹣x)(1﹣x)=1500(1﹣x)2,
∴1500(1﹣x)2=980.
故选:C.
 
6.(3分)抛物线y=3x2先向上平移2个单位,再向右平移3个单位,所得的抛物线为(  )
A.y=3(x+3)2﹣2 B.y=3(x+3)2+2 C.y=3(x﹣3)2﹣2 D.y=3(x﹣3)2+2
【解答】解:抛物线y=3x2的顶点坐标为(0,0),抛物线y=3x2向上平移2个单位,再向右平移3个单位后顶点坐标为(3,2),此时解析式为y=3(x﹣3)2+2.
故选:D.
 
7.(3分)如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,点C的对应点E恰好落在AB延长线上,连接AD.下列结论错误的是(  )
 
A.BD平分∠ABC B.AD∥BC
C.S△ABD=2S△BED D.△ABD是等边三角形
【解答】解:∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,
∴∠ABD=∠CBE=60°,AB=BD,
∴△ABD是等边三角形,故D正确,
∴∠DAB=60°,
∴∠DAB=∠CBE,
∴AD∥BC,故B正确;
∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,
∴∠ABD=∠CBE=60°,
∴∠DBC=180°﹣60°﹣60°=60°,
∴∠ABD=∠DBC,
即BD平分∠ABC,故A正确;
故选:C.
 
8.(3分)若函数y=(m﹣1)x2﹣6x+ m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为(  )
A.﹣2或3 B.﹣2或﹣3 C.1或﹣2或3 D.1或﹣2或﹣3
【解答】解:当m=1时,函数解析式为:y=﹣6x+ 是一次函数,图象与x轴有且只有一个交点 ,
当m≠1时,函数为二次函数,
∵函数y=(m﹣1)x2﹣6x+ m的图象与x轴有且只有一个交点,
∴62﹣4×(m﹣1)× m=0,
解得,m=﹣2或3,
故选:C.
 
9.(3分)如图,已知钝角三角形ABC,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′,连接BB′,若AC′∥BB′,则∠CAB′的度数为(  )
 
A.55° B.65° C.75° D.85°
【解答】解:∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l10°得到△AB′C′,
∴∠BAB′=∠CAC′=110°,AB=AB′,
∴∠AB′B= (180°﹣110°)=35°,
∵AC′∥BB′,
∴∠C′AB′=∠AB′B=35°,
∴∠CAB′=∠CAC′﹣∠ C′AB′=110°﹣35°=75°.
故选:C.
 
10.(3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,下列结论:
①ab<0;②b2>4ac;③a+b+2c<0;④3a+c<0.
其中正确的是(  )
 
A.①④ B.②④ C.①②③ D.①②③④
【解答】解:∵抛物线开口向上,
∴a>0,
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1,
∴b=﹣2a<0,
∴ab<0,所以①正确;
∵抛物线与x轴有2个交点,
∴△=b2﹣4ac>0,所以②正确;
∵x=1时,y<0,
∴a+b+c<0,
而c<0,
∴a+b+2c<0,所以③正确;
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1,
∴b=﹣2a,
而x=﹣1时,y>0,即a﹣b+c>0,
∴a+2a+c>0,所以④错误.
故选:C.
 
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
11.(3分)方程3x(x﹣1)=2(x﹣1)的根为 x=1或x=  .
【解答】解:3x(x﹣1)=2(x﹣1),
移项得:3x(x﹣1 )﹣2(x﹣1)=0,
即(x﹣1)(3x﹣2)=0,
∴x﹣1=0,3x﹣2=0,
解方程得:x1=1,x2= .
故答案为:x=1或x= .
 
12.(3分)已知点(a,﹣1)与点(2,b)关于原点对称,则a+b= ﹣1 .
【解答】解:∵点(a,﹣1)与点(2,b)关于原点对称,
∴a=﹣2,b=1,
∴a+b=﹣1,
故答案为:﹣1.
 
13.(3分)关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0,则k的值是 0 .
【解答】解:由于关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0,
把x=0代入方程,得k2﹣k=0,
解得,k1=1,k2=0
当k=1时,由于二次项系数k﹣1=0,
方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0不是关于 x的二次方程,故k≠1.
所以k的值是0.
故答案为:0
 
14.(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,且经过点P(3,0),则抛物线与x轴的另一个交点坐标为 (﹣1,0) .
【解答】解:由于函数对称轴为x=1,而P(3,0)位于x轴上,
则设与x轴另一交点坐标为(m,0),
根据题意得:  =1,
解得m=﹣1,
则抛物线与x轴的另一个交点坐标为(﹣1,0),
故答案是:(﹣1,0).
 
15.(3分)把一副三角板如图(1)放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=6厘米,DC=7厘米.把三角板DCE 绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1,如图(2),这时AB与CD1相交于点O,与D1E1相交于点F.则AD1= 5 cm.
 
【解答】解:由题意易知:∠CAB=45°,∠ACD=30°.
若旋转角度为15°,则∠ACO=30°+15°=45°.
∴∠AOC=180°﹣∠ACO﹣∠CAO=90°.
在等腰Rt△ABC中,AB=6,则AC=BC=3 .
同理可求得:AO=OC=3.
在Rt△AOD1中,OA=3,OD1=CD1﹣OC=4,
由勾股定理得:AD1=5.
 
三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16.(8分)解方程:
(1)4(x﹣5)2=36
(2)x2﹣ x+1=0.
【解答】解:(1)开方得:2(x﹣5)=6或2(x﹣5)=﹣6,
解得:x1=8,x2=2;
(2)这里a=1,b=﹣ ,c=1,
∵△=10﹣4=6,
∴x= .
 
17.(9分)已知关于x的一元二次方程:x2﹣(t﹣1)x+t﹣2=0.
(1)求证:对于任意实数t,方程都有实数根;
(2)当t为何值时,二次函数y=x2﹣(t﹣1)x+t﹣2的图象与x轴的两个交点横坐标互为相反数?请说明理由.
【解答】解:(1)证明:在方程x2﹣(t﹣1)x+t﹣2=0中,△=[﹣(t﹣1)]2﹣4×1×(t﹣2)=t2﹣6t+9=(t﹣3)2≥0,
∴对于任意实数t,方程都有实数根;
(2)解:令y=0,得到x2﹣(t﹣1)x+t﹣2=0
设方程的两根分别为m、n,
由题意可知,方程的两个根互为相反数,
∴m+n=t﹣1=0,
解得:t=1.
∴当t=1时,方程的两个根互为相反数.
 
18.(9分)如图,下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成,每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影,请在下面每个图形中,选取2个空白小正方形涂上阴影,使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形.
【解答】解:(1)在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影,使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形,答案如图所示;
 
 
19.(9分)已知抛物线y=a(x﹣3)2+2经过点(1,﹣2)
(1)该抛物线的顶点坐标是 (3,2) 
(2)求a的值;
(3)若点A(m,y1)、B(n,y2)(m<n<3)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小.
【解答】解:(1)∵y=a(x﹣3)2+2,
∴ 该抛物线的顶点坐标是(3,2),
故答案为:(3,2);
(2)∵y=a(x﹣3)2+2经过点(1,﹣2),
∴﹣2=a(1﹣3)2+2,
解得,a=﹣1,
即a的值是﹣1;
(3))∵y=a(x﹣3)2+2,a=﹣1,
∴该抛物线的图象在x<3时,y随x的增大而增大,在x>3时,y随x的增大而减小,
∵点A(m,y1)、B(n,y2)(m<n<3)都在该抛物线上,
∴y1<y2.
 
20.(9分)如图,四边形ABCD,AB=3,AC=2,把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD,此时发现点A、C、E恰好在一条直线上,求∠BAD的度数与AD的长.
 
【解答】解:∵点A、C、E在一 条直线上,
而△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD,
∴∠ADE=60°,DA=DE,∠BAD=∠E=60°
∴△ADE为等边三角形,
∴∠E=60°,AD=AE,
∴∠BAD=60°,
∵点A、C、E在一条直线上,
∴AE=AC+CE,
∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD,
∴CE=AB,
∴AE=AC+AB=2+3=5,
∴AD=AE=5.
 
21.(10分)某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.
(1)当销售单价为70元时,每天的销售利润是多少?
(2)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;
(3)如果该企业每天的总成本不超过7000元,那么销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)
【解答】解:(1)当销售单价为70元时,每天的销售利润=(70﹣50)×[50+5×(100﹣70)]=4000元;
(2)由题得 y=(x﹣50)[50+5(100﹣x)]=﹣5x2+800x﹣27500(x≥50).
∵销售单价不得低于成本,
∴50≤x≤100.
(3)∵该企业每天的总成本不超过7000元
∴50×[50 +5(100﹣x)]≤7000(8分)
解得x≥82.
由(2)可知 y=(x﹣50)[50+5(100﹣x)]=﹣5x2+800x﹣27500
∵抛物线的对称轴为x=80且a=﹣5<0
∴抛物线开口向下,在对称轴右侧,y随x增大而减小.
∴当x=82时,y有最大,最大值=4480,
即 销售单价为82元时,每天的销售利润最大,最大利润为4480元.
 
22.(10分)(1)问题发现:
如图①,△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,点B在线段AE上,点C在线段AD上,请直接写出线段BE与线段CD的数量与位置关系是关系: BE=CD,BE⊥CD ;
(2)操作探究:
如图②,将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),(1)小题中线段BE与线段CD的关系是否成立?如果不成立,说明理由,如果成立,请你结合图②给出的情形进行证明;
(3)解决问题:
将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),若DE=2AC,在旋转的过程中,当以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形时, 在备用图中画出其中的一个情形,并写出此时旋转角α的度数是 45°或225°或315 度.
 
【解答】解:(1)∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,
∴AB=AC,AE=AD,BE⊥CD,
∴AE﹣AB=AD﹣AC,
∴BE=CD;
故答案为:BE=CD,BE⊥CD;

(2)(1)结论成立,
理由:如图,
∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,
∴AB=AC,AE=AD,
由旋转的性质得,∠BAE=∠CAD,
在△BAE与△CAD中, ,
∴△BAE≌△CAD(SAS)
∴BE=CD;∠AEB=∠ADC,
∴∠BED+∠EDF= ∠AED+∠AEB+∠EDF=∠AED+∠ADC+∠EDF=∠AED+∠ADE=90°,
∴∠EFD=90°,
即:BE⊥CD
 
(3)如图,
 
∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形,△ABC和△AED都是等腰直角三角形,
∴∠ABC=∠ADC=45°,
∵ED=2AC,
∴AC=CD,
∴∠CAD=45°
或360°﹣90°﹣45°=225°,或360°﹣45°=315°
∴角α的度数是45°或225°或315°.
故答案为:45°或225°或315.
 
23.(11分)如图,抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,△CBF的面积最大?求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标.
 
【解答】解:(1)把A(﹣1,0),C(0,2)代入y=﹣ x2+bx+c得 ,
解得 ,c=2,
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+2.

(2)存在.如图1中, ∵C(0,2),D( ,0),
∴OC=2,OD= ,CD= =
 
①当CP=CD时,可得P1( ,4).
②当DC=DP时,可得P2( , ),P3( ,﹣ )
综上所述,满足条件的P点的坐标为 或 或 .

(3)如图2中,
 
对于抛物线y=﹣ x2+ x+2,当y=0时,﹣ x2+ x+2=0,解得x1=4,x2=﹣1
∴B(4,0),A(﹣1,0),
由B(4,0),C(0,2)得直线BC的解析式为y=﹣ x+2,
设E 则F ,
EF=  ﹣ =
∴ <0,∴当m=2时,EF有最大值2,
此时E是BC中点,
∴当E运动到BC的中点时,△FBC面积最大,
∴△FBC最大面积= ×4×EF= ×4×2=4,此时E(2,1).

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