2017-2018学年泉州市惠安县九年级数学上期中试卷(含答案和解释)

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2017-2018学年福建省泉州市惠安县九年级(上)期中数学试卷
 
一、选择题(每小题4分,共40分)
1.(4分)下列根式是最简二次根式的是(  )
A.  B.  C.  D.
2.(4分)下列计算正确的是(  )
A.  B.  C.  D.
3.(4分)方程x2﹣16=0的解是(  )
A.x=4 B.x1=4,x2=﹣4 C.x=8 D.x1=8,x2=﹣8
4.(4分)一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为(  )
A.(x﹣3)2=15 B.(x﹣3)2=3 C.(x+3)2=15 D.(x+3)2=3
5.(4分)顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是(  )
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形
6.(4分)若 = ,则 的值为(  )
A.1 B.  C.  D.
7.(4分)如图,已知∠1=∠2,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC∽△ADE的是(  )
 
A.  B.  C.∠B=∠D D.∠C=∠AED
8.(4分)某种品牌运动服经过两次降价,每件零售价由56 0元降为315元,已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.设每次降价的百分率为x,下面所列的方程中正确的是(  )
A.560(1+x)2=315 B.560(1﹣x)2=315 C.560(1﹣2x)2=315 D.560(1﹣x2)=315
9.(4分)如图,点D在△ABC的边AC上,若CD=2,AC=6,且△CDB∽△CBA,则BC的值为(  )
 
A.3 B.2  C.6 D.12
10.(4分)已知P=x2﹣3x,Q=x﹣5(x为任意实数),则P、Q的大小关系为(  )
A.P>Q B.P=Q C.P<Q D.无法确定
 
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.(4分)代数式 在实数范围内有意义,则x的取值范围是     .
12.(4分)如果两个相似三角形对应高的比是3:2,那么它们的面积比是     .
13.(4分)如果一个4米高的旗杆在太阳光下的影长为6 米,同它临近的一个建筑物的影长是24米,那么这个建筑物的高度是     米
14.(4分)若x1,x2是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根,则(x1+1)(x2+1)的值是     .
15.(4分)如图,AD∥BE∥CF,直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F,若AB=1,BC=3,DE=2,则DF的长为     .
 
16.(4分)如图,在矩形ABCD中,∠B的平分线BE与AD交于点E,∠BED的平分线EF与DC交于点F,若AB=9,DF=2FC,则BC=     .(结果保留根号)
 
 
三、解答题(共86分)
17.(8分)计算: ÷ + × ﹣
18.(8分)先化简,再求值:(1﹣ )÷ ,其中a= +1
19.(8分)用配 方法解方程:3x2﹣6x+2=0.
20.(8分)为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选定点B和C,使AB⊥BC,然后,再选点E,使EC⊥BC,用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=120米,DC=60米,EC=50米,求两岸间的大致距离AB.
 
21.(8分)如图,在方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点A的坐标为 (﹣3,5).
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)以点A为位似中心,将△ABC放大到2倍得到△A2B2C2,并直接写出点C2的坐标.
 
22.(10分)已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0.
(1)若该方程有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围;
(2)当该方程的一个根为1时,求a的值及方程的另一根.
23.(10分)商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x元.据此规律,请回答:
 (1)商场日销售量增加     件,每件商品盈利     元(用含x的代数式表示);
(2)在上述条件不变、销售正常情况下,每件商品降价多少元时,商场日盈利可达到2100元?
24.(13分)如图1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=5,BP=1,∠MPN=90°,将∠MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转,PM交边AB于点E,PN交边AD于点F,当PE旋转至PA处时,∠MPN的旋转随即停止.
 
(1)如图2,在旋转中发现当PM经过点A时,PN也经过点D,求证:△ABP∽△PCD;
(2)如图3,在旋转过程中, 的值是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由;
(3)设AE=m,连结EF,则在旋转过程中,当m为何值时,△BPE与△PEF相似.
25.(13分)如图,已知一次函数y=﹣x+7与正比例函数y= x的图象交于点A,且与x轴交于点B,过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l∥y轴.动点P从点O出发,沿O→C→A的路线以每秒1个单位的速度向点A运动;同时点R从点B出发,以相同的速度向点O运动,在运动过程中,过点R作直线l⊥x轴,交线段AB或AO于点Q.当点P到达点A时,点P 和点R都停止运动.在运动过程中,设动点P的运动时间为t秒(t>0)
(1)求点A与点B的坐标;
(2)若点P在线段OC上运动,当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?
(3)若点P线段CA上运动,是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
 
 
 

2017-2018学年福建省泉州市惠安县九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(每小题4分,共40分)
1.(4分)下列根式 是最简二次根式的是(  )
A.  B.  C.  D.
【解答】解:A、 =2 ,此选项不符合题意;
B、 = ,此选项不符合题意;
C、 = ,此选项不符合题意;
D、 是最简二次根式,此选项符合题意;
故选:D.
 
2.(4分)下列计算正确的是(  )
A.  B.  C.  D.
【解答】解:A、 =3,此选项错误;
B、 =2,此选项正确;
C、 + =2 ,此选项错误;
D、 + = + ,此选项错误.
故选:B.
 
3.(4分)方程x2﹣16=0的解是(  )
A.x=4 B.x1=4,x2=﹣4 C.x=8 D.x1=8,x2=﹣8
【解答】解:x2﹣16=0
x2 =16,
∴x=±4,
∴x1=﹣4,x2=4,
故选:B.
 
4.(4分)一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为(  )
A.(x﹣3)2=15 B.(x﹣3)2=3 C.(x+3)2=15 D.(x+3)2=3
【解答】解:方程整理得:x2﹣6x=6,
配方得:x2﹣6x+9=15,即(x﹣3)2=15,
故选:A.
 
5.(4分)顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是(  )
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形
【解答】解:如图,连接AC、BD,
∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点,
∴EF=GH= AC,FG=EH= BD(三角形的中位线等于第三边的一半),
∵矩形ABCD的对角线AC=BD,
∴EF=GH=FG=EH,
∴四边形EFGH是菱形.
故选:B.
 
 
6.(4分)若 = ,则 的值为(  )
A.1 B.  C.  D.
【解答】解:∵ = ,
∴设x=3k,y=4k,
∴ = = .
故选:D.
 
7.(4分)如图,已知∠1=∠2,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC∽△ADE的是(  )
 
A.  B.  C.∠B=∠D D.∠C=∠AED
【解答】解:∵∠1=∠2
∴∠DAE=∠BAC
∴A,C,D都可判定△ABC∽△ADE
选项B中不是夹这两个角的边,所以不相似,
故选:B.
 
8.(4分)某种品牌运动服经过两次降价,每件零售价由560元降为315元,已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.设每次降价的百分率为x,下面所列的方程中正确的是(  )
A.560(1+x)2=315 B.560(1﹣x)2=315 C.560(1﹣2x)2=315 D.560(1﹣x2)=315
【解答】解:设每次降价的百分率为x,由题意得:
560(1﹣x)2=315,
故选:B.
 
9.(4分)如图,点D在△ABC的边AC上,若CD=2,AC=6,且△CDB∽△CBA,则BC的值为(  )
 
A.3 B.2  C.6 D.12
【解答】解:∵△CDB∽△CBA,
∴CD:CB=CB:CA,
∴BC2=CD•CA=2×6=12.
∴BC=2 ,
故选:B.
 
10.(4分)已知P=x2﹣3x,Q=x﹣5(x为任意实数),则P、Q的大小关系为(  )
A.P>Q B.P=Q C.P<Q D.无法确定
【解答】解:P﹣Q=x2﹣3x﹣x+5
=x2﹣4x+5
=(x﹣2)2+1≥1
∴P>Q
故选:A.
 
二 、填空题(每小题4分,共24分)
11.(4分)代数式 在实数范围内有意义,则x的取值范围是 x≥3 .
【解答】解:∵代数式 在实数范围内有意义,
∴x﹣3≥0,
解得:x≥3,
∴x的取值范围是:x≥3.
故答案为:x≥3.
 
12.(4分)如果两个相似三角形对应高的比是3:2,那么它们的面积比是 9:4 .
【解答】解:∵两个相似三角形对应高的比是3:2,
∴它们的相似比是3:2,
∴它们的面积比是9:4.
故答案为:9:4.
 
13.(4分)如果一个4米高的旗杆在太阳光 下的影长为6米,同它临近的一个建筑物的影长是24米,那么这个建筑物的高度是 16 米
【解答】解:设建筑物的高为h米,由题意可得:
则4:6=h:24,
解得:h=16(米).
故答案为:16.
 
14.(4分)若x1,x2是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根,则(x1+1)(x2+1)的值是 ﹣2 .
【解答】解:
∵x1,x2是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根,
∴x1+x2=﹣2,x1x2=﹣1,
∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=﹣1+(﹣2)+1=﹣2,
故答案为:﹣2.
 
15.(4分)如图,AD∥BE∥CF,直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F,若AB=1,BC=3,DE=2,则DF的长为 8 .
 
【解答】解:∵AD∥BE∥CF,
∴ ,
∴ ,
∴EF=6,
∴DF=EF+DE=8,
故答案为:8;
 
16.(4分)如图,在矩形ABCD中,∠B的平分线BE与AD交于点E,∠BED的平分线EF与DC交于点F,若AB=9,DF =2FC,则BC=   .(结果保留根号)
 
【解答】解:延长EF和BC,交于点G
∵矩形ABCD中,∠B的角平分线BE与AD交于点E,
∴∠ABE=∠AEB=45°,
∴AB=AE=9,
∴直角三角形ABE中,BE= = ,
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F,
∴∠BEG=∠DEF
∵AD∥BC
∴∠G=∠DEF
∴∠BEG=∠G
∴BG=BE=
由∠G=∠DEF,∠EFD=∠GFC,可得△EFD∽△GFC

设CG=x,DE=2x,则AD=9+2x=BC
∵BG=BC+CG
∴ =9+2x+x
解得x=
∴BC=9+2( ﹣3)=
故答案为:
 
 
三、解答题(共86分)
17.(8分)计算: ÷ + × ﹣
【解答】解:原式=4+ ﹣
=4+2 ﹣3
=4﹣
 
18.(8分)先化简,再求值:(1﹣ )÷ ,其中a= +1
【解答】解:原式= ÷
= •
= ,
当a= +1时,
原式= = = .
 
19.(8分)用配方法解方程:3x2﹣6x+2=0.
【解答】解:移项,得
3x2﹣6x=﹣2,
二次项系数化为1,得
x2﹣2x=﹣ ,
配方,得
(x﹣1)2= ,
开方,得
x1= ,x2= .
 
20.(8分)为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选定点B和C,使AB⊥BC,然后,再选点E,使EC⊥BC,用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=120米,DC=60米,EC=50米,求两岸间的大致距离AB.
 
【解答】解:∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,
∴△ABD∽△ECD,
∴ , ,
解得= (米).
答:两岸间的大致距离为100米.
 
21.(8分)如图,在方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点A的坐标为 (﹣3,5).
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)以点A为位似中心,将△ABC放大到2倍得到△A2B2C2,并直接写出点C2的坐标.
 
【解答】解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求;
 

(2)如图所示,△A2B2C2即为所求,点C2的坐标为(1,﹣3).
 
22.(10分)已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0.
(1)若该方程有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围;
(2)当该方程的一个根为1时,求a的值及方程的另一根.
【解答】解:(1)∵b2﹣4ac=(2)2﹣4×1×(a﹣2)=12﹣4a>0,
解得:a<3.
∴a的取值范围是a<3;

(2)设方程的另一根为x1,由根与系数的关系得:
 ,
解得: ,
则a的值是﹣1,该方程的另一根为﹣3.
 
23.(10分)商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x元.据此规律,请回答:
(1)商场日销售量增加 2x 件,每件商品盈利 (50﹣x) 元(用含x的代数式表示);
(2)在上述条件不变、销售正常情况下,每件商品降价多少元时,商场日盈利可达到2100元?
【解答】解:(1) 降价1元,可多售出2件,降价x元,可多售出2x件,盈利的钱数=50﹣x,故答案为2x;50﹣x;
(2)由题意得:(50﹣x)(30+2x)=2100(0≤x<50)
化简得:x2﹣35x+300=0,即(x﹣15)(x﹣20)=0,
解得:x1=15,x2=20
∵该商场为了尽快减少库存,
∴降的越多,越吸引顾客,
∴选x=20,
答:每件商品降价20元,商场日盈利可达2100元.
 
24.(13分)如图1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=5,BP=1,∠MPN=90°,将∠MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转,PM交边AB于点E,PN交边AD于点F,当PE旋转至PA处时,∠MPN的旋转随即停止.
 
(1)如图2,在旋转中发现当PM经过点A时,PN也经过点D,求证:△ABP∽△PCD;
(2)如图3,在旋转过程中, 的值是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由;
(3)设AE=m,连结EF,则在旋转过程中,当m为何值时,△BPE与△PEF相似.
【解答】解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=90°,
∴∠BAP+∠BPA=90°,
∵∠MPN=90°,
∴∠CPD+∠BPA=90°,
∴∠BAP=∠CPD,
∴△ABP∽△PC D;     

(2) 的值为定值.
如图,过点F作FG⊥BC于G,
∴∠FGP=90°,
∴∠FGP=∠B,∠PFG+∠FPG=90°,
易知四边形ABGF是矩形,
∴FG=AB=2,
∵∠MPN=90°,
∴∠EPB+∠FPG=90°,
∴∠EPB=∠FPG,
∴△EBP∽△PGF,
∴ = = ,
∴ 的值是定值,该定值为 ;

(3)∵AE=m,
∴BE=2﹣m,
①当 时,∵∠B=∠EPF=90°,
∴△BPE∽△PFE,
∴ ,
∴ ,
∴m= ;
②当 时,∵∠B=∠EPF=90°,
∴△BPE∽△PEF,
∴ ,
∴ ,
∴m=0,
综上,当m=0或 时,△BPE与△PEF相似.
 
 
 
25.(13分)如图,已知一次函数y=﹣x+7与正比例函数y= x的图象交于点A,且与x轴交于点B,过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l∥y轴.动点P从点O出发,沿O→C→A的路线以每秒1个单位的速度向点A运动;同时点R从点B出发,以相同的速度向点O运动,在运动过程中,过点R作直线l⊥x轴,交线段AB或AO于点Q.当点P到达点A时,点P 和点R都停止运动.在运动过程中,设动点P的运动时间为t秒(t>0)
(1)求点A与点B的坐标;
(2)若点P在线段OC上运动,当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?
(3)若点P线段CA上运动,是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
 
【解答】解:(1)∵一次函数y=﹣x+7与正比例函数y= x的图象交于点A,且与x轴交于点B.
∴ ,
解得: ,
∴A点坐标为:(3,4);
∵y=﹣x+7=0,
解得:x=7,
∴B点坐标为:(7,0).

(2)①当P在OC上运动时,0≤t<4时,PO=t,PC=4﹣t,BR=t,OR=7﹣t,
∵当以A、P、R为顶点的三角形的面积为8,
∴S梯形ACOB﹣S△ACP﹣S△POR﹣S△ARB=8,
∴ (AC+BO)×CO﹣ AC×CP﹣ PO×RO﹣ AM×BR=8,
∴(AC+BO)×CO﹣AC×CP﹣PO×RO﹣AM×BR=16,
∴(3+7)×4﹣3×(4﹣t)﹣t×(7﹣t)﹣4t=16,
∴t2﹣8t+12=0,
解得:t1=2,t2=6(舍去),
当t=4时,无法构成三角形,
当4<t<7时,S△APR= AP×OC=2(7﹣t)=8,解得t=3,不符合4<t<7;
综上所述,当t=2时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8;

②存在.延长CA到直线l交于一点D,当l与AB相交于Q,
∵一次函 数y=﹣x+7与x轴交于(7,0)点,与y轴交于(0,7)点,
∴NO=OB,
∴∠OBN=∠ONB=45°,
∵直线l∥y轴,
∴RQ=RB,CD⊥L,
当0≤t<4时,如图1,
RB=OP=QR=t,DQ =AD=(4﹣t),AC=3,PC=4﹣t,
∵以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形,则AP=AQ,
∴AC2+PC2=AP2=AQ2=2AD2,
∴9+(4﹣t)2=2(4﹣t)2,解得:t1=1,t2=7(舍去),
当AP=PQ时 32+(4﹣t)2=(7﹣t)2,
解得t=4 (舍去)
 当PQ=AQ时,2(4﹣t)2=(7﹣t)2,
解得t1=1+3 (舍去),t2=1﹣3 (舍去),
当t=4时,无法构成三角形,
当4<t<7时,如图(备用图),过A作AD⊥OB于D,则AD=BD=4,
设直线l交AC于E,则QE⊥AC,AE=RD=t﹣4,AP=7﹣t,
由cos∠OAC= = ,
得AQ= (t﹣4),
若AQ=AP,则 (t﹣4)=7﹣t,解得t= ,
当AQ=PQ时,AE=PE, 即AE= AP,
得t﹣4= (7﹣t),
解得:t=5,
当AP=PQ时,过P作PF⊥AQ于F,
AF= AQ= × (t﹣4),
在Rt△APF中,由cos∠PAF= = ,
得AF= AP,
即 × (t﹣4)= (7﹣t),
解得:t= .
综上所述,当t=1、5、 、 秒时,存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形.

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