2017-2018学年苍溪县九年级数学上期末试卷(带答案和解释)

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2017-2018学年苍溪县九年级数学上期末试卷(带答案和解释)

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2017-2018学年四川省广元市苍溪县九年级(上)期末数学试卷
 
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合要求的)
1.(3分)下列函数中,是二次函数的有(  )
①y=1﹣ x2②y= ③y=x(1﹣x)④y=(1﹣2x)(1+2x)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(3分)已知x=2是一元二次方程(m﹣2)x2+4x﹣m2=0的一个根,则m的值为(  )
A.0 B.4 C.0或4 D.0或﹣4
3.(3分)从 ,0,π,3.14,6这5个数中随机抽取一个数,抽到有理数的概率是(  )
A.  B.  C.  D.
4.(3分)下列事件中,是必然事件的是(  )
A.打开电视,它正在播广告
B.抛掷一枚硬币,正面朝上
C.打雷后会下雨
D.367人中有至少两人的生日相同
5.(3分)如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为E,连接CO,AD,∠BAD=20°,则下列说法中正确的是(  )
 
A.AD=2OB B.CE=EO C.∠OCE=40° D.∠BOC=2∠BAD
6.(3分)如图,一农户要建一个矩形花圃,花圃的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的篱笆围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门,花圃面积为80m2,设与墙垂直的一边长为xm(已标注在图中),则可以列出关于x的方程是(  )
 
A.x(26﹣2x)=80 B.x(24﹣2x)=80 C.(x﹣1)(26﹣2x)=80 D.x(25﹣2x)=80
7.(3分)如图,水平地面上有一面积为30πcm2的灰色扇形OAB,其中OA=6cm,且OA垂直于地面,将这个扇形向右滚动(无滑动)至点B刚好接触地面为止,则在这个滚动过程中,点O移动的距离是(  )
 
A.10πcm B.20πcm C.24πcm D.30πcm
8.(3分)如图,若a<0,b>0,c<0,则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为(  )
A.  B.  C.  D.
9.(3分)二次函数y=a(x﹣4)2﹣4(a≠0)的图象在2<x<3这一段位于x轴的下方,在6<x<7这一段位于x轴的上方,则a的值为(  )
A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2
10.(3分)我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”.如图,直线l:y=kx+4 与x轴、y轴分别交于A、B,∠OAB=30°,点P在x轴上,⊙P与l相切,当P在线段OA上运动时,使得⊙P成为整圆的点P个数是(  )
 
A.6 B.8 C.10 D.12
 
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
11.(3分)若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上,则b的值为      .
12.(3分)在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球,这些球除颜色外完全相同,其中有5个黄球,4个蓝球.若随机摸出一个蓝球的概率为 ,则随机摸出一个红球的概率为     .
13.(3分)在平面直角坐标系内,以点P(﹣1,0)为圆心、 为半径作圆,则该圆与y轴的交点坐标是     .
14.(3分 )如图,AB为⊙O的直径,C、D为⊙O上的点,  = .若∠CAB=40°,则∠CAD=     .
 
15.(3分)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:
①4ac<b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;
③ 3a+c=0;④当y>0时,x的取值范围是﹣1≤x<3;⑤当x<0时,y随x增大而增大,其中结论正确的是     (只需填序号)
 
 
三、简答题(本大题共9小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(6分)解方程:
(1)x2﹣2x﹣4=0
(2)用配方法解方程:2x2+1=3x
17.(6分)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(﹣3,2),B(0,4),C(0,2).
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A1B1C,平移ABC,若A的对应点A2的坐标为(0,﹣4),画出平移后对应的△A2B2C2;
(2)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标.
 
18.(7分)已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m=0有实数根.
(1)求m的取值范围
(2)若两实数根分别为x1和x2,且x12+x22=11,求m的值.
19.(8分)如图,△ABC中,=90°,⊙I为△ABC的内切圆,点O为△ABC的外心,BC=6,AC=8.
(1) 求⊙I的半径;
(2)求线段OI的长.
 
20.(8分)已知抛物线y=(x﹣m)2﹣(x﹣m),其中m是常数.
(1)求证:不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点;
(2)若该抛物线的对称轴为直线x= .
①求该抛物线的函数解析式;
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.
21.(8分)如图,△ABC是等腰三角形,且AC=BC,∠ACB=120°,在AB上取一点O,使OB=OC,以O为圆心,OB为半径作圆,过C作CD∥AB交⊙O于点D,连接BD.
(1)猜想AC与⊙O的位置关系,并证明你的猜想;
(2)已知AC=6,求扇形OBC围成的圆锥的底面圆半径.
 
22.(10分)一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球,分别标有数字1,2,3,4,另有一个可以自由旋转的圆盘,被分成面积相等的3个扇形区域,分别标有数字1,2,3(如图).小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛,游戏规则为:一人从口袋中摸出一个小球,另一个人转动圆盘,如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4,那么小颖去,否则小亮去.
(1)用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率;
(2)你认为该游戏公平吗?请说明理由;若不公平,请修改该游戏规则,使游戏公平.
 
23.(10分)某网店销售某款童装,每件售价60元,每星期可卖300件,为了促销,该网店决定降价销售.市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖30件.已知该款童装每件成本价40元,设该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当每件售价定为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润多少元?
(3)若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润,每星期至少要销售该款童装多少件?
24.(12分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣3,0),B(﹣2,3),C(0,3),其顶点 为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点M(1,m),当MB+MD的值最小时,求m的值;
(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值;
(4)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N,E为直线AC上任意一点,过点E作EF∥ND交抛物线于点F,以N,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由.
 
 
 

2017-2018学年四川省广元市苍溪县九年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合要求的)
1.(3分)下列函数中,是二次函数的有(  )
①y=1﹣ x2②y= ③y=x(1﹣x)④y=(1﹣2x)(1+2x)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解答】解:①y=1﹣ x2=﹣ x2+1,是二次函数;
②y= ,分母中含有自变量,不是二次函数;
③y=x(1﹣x)=﹣x2+x,是二次函数;
④y=(1﹣2x)(1+2x)=﹣4x2+1,是二次函数.
二次函数共三个,故选C.
 
2.(3分)已知x=2是一元二次方程(m﹣2)x2+4x﹣m2=0的一个根,则m的值为(  )
A.0 B.4 C.0或4 D.0或﹣4
【解答】解:把x=2代入(m﹣2)x2+4x﹣m2=0得4(m﹣2)+8﹣m2=0,
整理得m2﹣4m=0,
解得m1=0,m2=4.
此时m﹣2≠0,
所以m的值为0或4.
故选:C.
 
3.(3分)从 ,0,π,3.14,6这5个数中随机抽取一个数,抽到有理数的概率是(  )
A.  B.  C.  D.
【解答】解:∵在 ,0,π,3.14,6这5个数中只有0、3.14和6为有理数,
∴从 ,0,π,3.14,6这5个数中随机抽取一个数,抽到有理数的概率是 .
故选:C.
 
4.(3分)下列事件中,是必然事件的是(  )
A.打开电视,它正在播广告
B.抛掷一枚硬币,正面朝上
C.打雷后会下雨
D.367人中有至少两人的生日相同
【解答】解:A、打开电视,它正在播广告是随机事件,故A不符合题意;
B、抛掷一枚硬币,正面朝上是随机事件,故B不符合题意;
C、打雷后会下雨是随机事件,故C不符合题意;
D、367人中有至少两人的生日相同是必然事件,故D符合题意.
故选:D.
 
5.(3分)如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为E,连接CO,AD,∠BAD=20°,则下列说法中正确的是(  )
 
A.AD=2OB B.CE=EO C.∠OCE=40° D.∠BOC=2∠BAD
【解答】解:∵AB⊥CD,
∴ = ,CE=DE,
∴∠BOC=2∠BAD=40°,
∴∠OCE=90°﹣40°=50°.
故选:D.
 
6.(3分)如图,一农户要建一个矩形花圃,花圃的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的篱笆围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门,花圃面积为80m2,设与墙垂直的一边长为xm(已标注在图中),则可以列出关于x的方程是(  )
 
A.x(26﹣2x)=80 B.x(24﹣2x)=80 C.(x﹣1)(26﹣2x)=80 D.x(25﹣2x)=80
【解答】解:设与墙垂直的一边长为xm,则与墙平行的一边长为(26﹣2x)m,
根据题意得:x(26﹣2x)=80.
故选:A.
 
7.(3分)如图,水平地面上有一面积为30πcm2的灰色扇形OAB,其中OA=6cm,且OA垂直于地面,将这个扇形向右滚动(无滑动)至点B刚好接触地面为止,则在这个滚动过程中,点O移动的距离是(  )
 
A.10πcm B.20πcm C.24πcm D.30πcm
【解答】解:设扇形的圆心角为n度,则
 =30π
∴n=300.
∵扇形的弧长为 =10π(cm),
∴点O移动的距离10πcm.
故选:A.
 
8.(3分)如图,若a<0,b>0,c<0,则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为(  )
A.  B.  C.  D.
【解答】解:∵a<0,
∴抛物线的开口方向向下,
故第三个选项错误;
∵c<0,
∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上,
故第一个选项错误;
∵a<0、b>0,对称轴为x= >0,
∴对称轴在y轴右侧,
故第四个选项错误.
故选:B.
 
9.(3分 )二次函数y=a(x﹣4)2﹣4(a≠0)的图象在2<x<3这一段位于x轴的下方,在6<x<7这一段位于x轴的上方,则a的值为(  )
A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2
【解答】解:∵抛物线y=a(x﹣4)2﹣4(a≠0)的对称轴为直线x=4,
而抛物线在6<x<7这一段位于x轴的上方,
∴抛物线在1<x<2这一段位于x轴的上方,
∵抛物线在2<x<3这一段位于x轴的下方,
∴抛物线过点(2,0),
把(2,0)代入y=a(x﹣4)2﹣4(a≠0)得4a﹣4=0,解得a=1.
故选:A.
 
10.(3分)我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”.如图,直线l:y=kx+4 与x轴、y轴分别交于A、B,∠OAB=30°,点P在x轴上,⊙P与l相切,当P在线段OA上运动时,使得⊙P成为整圆的点P个数是(  )
 
A.6 B.8 C.10 D.12
【解答】解:∵直线l:y=kx+4 与x轴、y轴分别交于A、B,
∴B(0,4 ),
∴OB=4 ,
在RT△AOB中,∠OAB=30°,
∴OA= OB= × =12,
∵⊙P与l相切,设切点为M,连接PM,则PM⊥AB,
∴PM= PA,
设P(x,0),
∴PA=12﹣x,
∴⊙P的半径PM= PA=6﹣ x,
∵x为整数,PM为整数,
∴x可以取0,2,4,6,8,10,6个数,
∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6.
故选:A.
 
 
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
11.(3分)若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上,则b的值为 ±6 .
【解答】解:∵抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上,
∴顶点的纵坐标为零,即y= = =0,
解得b=±6.
 
12.(3分)在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球,这些球除颜色外完全相同,其中有5个黄球,4个蓝球.若随机摸出一个蓝球的概率为 ,则随机摸出一个红球的概率为   .
【解答】解:∵在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球,三种球除颜色外其他完全相同,其中有5个黄球,4个蓝球,
随机摸出一个蓝球的概率是 ,
设红球有x个,
∴ = ,
解得:x=3
∴随机摸出一个红球的概率是:  = .
故答案为: .
 
13.(3分)在平面直角坐标系内,以点P(﹣1,0)为圆心、 为半径作圆,则该圆与y轴的交点坐标是 (0,2),(0,﹣2) .
【解答】解:如图,∵由题意得,OM=1,MP= ,
∴OP= =2,
∴P(0,2).
同理可得,N(0,﹣2).
故答案为:(0,2),(0,﹣2).
 
 
14.(3分)如图,AB为⊙O的直径,C、D为⊙O上的点,  = .若∠CAB=40°,则∠CAD= 25° .
 
【解答】解:如图,连接BC,BD,
∵AB为⊙O的直径,
 ∴∠ACB=90°,
∵∠CAB=40°,
∴∠ABC=50°,
∵ = ,
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=25°,
∴∠CAD=∠CBD=25°.
故答案为:25°.
 
 
15.(3分)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:
①4ac<b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;
③3a+c=0;④当y>0时,x的取值范围是﹣1≤x<3;⑤当x<0时,y随x增大而增大,其中结论正确的是 ①②③⑤ (只需填序号)
 
【解答】解:①∵抛物线与x轴有两个交点,
∴△=b2﹣4ac>0,
∴4ac<b2,结论①正确;
②∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3,0),
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3,结论②正确;
③∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,
∴﹣ =1,
∴b=﹣2a.
∵当x=﹣1时 ,y=0,
∴a﹣b+c=0,即3a+c=0,结论③正确;
④∵抛物线与x轴的交点坐标为(﹣1,0)、(3,0),
∴当y>0时,x的取值范围是﹣1<x<3,结论④错误;
⑤∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=1,
∴当x<0时,y随x增大而增大,结论⑤正确.
综上所述:正确的结论有①②③⑤.
故答案为:①②③⑤.
 
三、简答题(本大题共9小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(6分)解方程:
(1)x2﹣2x﹣4=0
(2)用配方法解方程:2x2+1=3x
【解答】解:(1)∵x2﹣2x=4,
∴x2﹣2x+1=4+1,即(x﹣1)2=5,
则x﹣1=± ,
∴x=1± ;

(2)∵2x2﹣3x=﹣1,
∴x2﹣ x=﹣ ,
∴x2﹣ x+ =﹣ + ,即(x﹣ )2= ,
则x﹣ =± ,
解得:x1=1、x2= .
 
17.(6分)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(﹣3,2),B(0,4),C(0,2).
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A1B1C,平移ABC,若A的对应点A2的坐标为(0,﹣4),画出平移后对应的△A2B2C2;
(2)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标.
 
【解答】解:(1)△A1B1C1如图所示,△A2B2C2如图所示;

(2)如图,旋转中心为( ,﹣1);
 
 
18.(7分)已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m=0有实数根.
(1)求m的取值范围
(2)若两实数根分别为x1和x2,且x12+x22=11,求m的值.
【解答】解:(1)∵关于x的一元二次方程 x2+3x﹣m=0有实数根,
∴△=b2﹣4ac=32+4m≥0,
解得:m≥﹣ ;
(2)∵x1+x2=﹣3、x1x2=﹣m,
∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1•x2=11,
∴(﹣3)2+2m=11,
解得:m=1.
 
19.(8分)如图,△ABC中,  =90°,⊙I为△ABC的内切圆,点O为△ABC的外心,BC=6,AC=8.
(1)求⊙I的半径;
(2)求线段OI的长.
 
【解 答】解:(1)设⊙I的 半径为r,
∵△ABC中,∠C=90゜,BC=6,AC=8,
∴AB= =10,
∴S△ABC= AC•BC= (AB+AC+BC)•r,
∴r= =2;
(2)设⊙I与△ABC的三边分别切于点D,E,F,连接ID,IE,IF,
∴∠IEC=∠IFC=90°,
∵∠C=90°,
∴四边形IECF是矩形,
∵IE=IF,
∴四边形IECF是正方形,
∴CE=IE=2,
∴BD=BE=BC﹣CE=6﹣2=4,
∵点O为△ABC的外心,
∴AB是直径,
∴OB= AB=5,
∴OD=OB﹣BD=5﹣4=1,
∴OI= .
 
 
20.(8分)已知抛物线y=(x﹣m)2﹣(x﹣m),其中m是常数.
(1)求证:不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点;
(2)若该抛物线的对称轴为直线x= .
①求该抛物线的函数解析式;
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.
【解答】(1)证明:y=(x﹣m)2﹣(x﹣m)=x2﹣(2m+1)x+m2+m,
∵△=(2m+1)2﹣4(m2+m)=1>0,
∴不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点;
(2)解:①∵x=﹣ = ,
∴m=2,
∴抛物线解析式为y=x2﹣5x+6;
②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点,则平移后抛物线解析式为y=x2﹣5x+6+k,
∵抛物线y=x2﹣5x+6+k与x轴只有一个公共点,
∴△=52﹣4(6+k)=0,
∴k= ,
即把该抛物线沿y轴向上平移 个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.
 
21.(8分)如图,△ABC是等腰三角形,且AC=BC,∠ACB=120°,在AB上取一点O,使OB=OC,以 O为圆心,OB为半径作圆,过C作CD∥AB交⊙O于点D,连接BD.
(1)猜想AC与⊙O的位置关系,并证明你的猜想;
(2)已知AC=6,求扇形OBC围成的圆锥的底面圆半径.
 
【解答】解:(1)AC与⊙O相切,
理由:
∵AC=BC,∠ACB=120°,
∴∠ABC=∠A=30°.
∵OB=OC,∠CBO=∠BCO=30°,
∴∠OCA=120°﹣30°=90°,
∴AC⊥OC,
又∵OC是⊙O的半径,
∴AC与⊙O相切;

(2)在Rt△AOC中,∠A=30°,AC=6,
则tan30°= = = ,∠COA=60°,
解得:CO=2 ,
∴弧BC的弧长为:  = ,
设底面圆半径为:r,
则2πr= ,
解得:r= .
 
 
22.(10分)一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球,分别标有数字1,2,3,4,另有一个可以自由旋转的圆盘,被分成面积相 等的3个扇形区域,分别标有数字1,2,3(如图).小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛,游戏规则为:一人从口袋中摸出一个小球,另一个人转动圆盘,如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4,那么小颖去,否则小亮去.
(1)用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率;
(2)你认为该游戏公平吗?请说明理由;若不公平,请修改该游戏规则,使游戏公平.
 
【解答】解:(1)画树状图:
 
共有12种等可能性结果,其中数字之和小于4的有3种情况,
所以P(和小于4)= = ,
即小颖参加比赛的概率为 ;
(2)该游戏不公平.理由如下:
因为P(和不小于4)= ,
所以P(和小于4)≠P(和不小于4),
所以游戏不公平,可改为:若数字之和为偶数,则小颖去;若数字之和为奇数,则小亮去.
 
23.(10分)某网店销售某款童装,每件售价60元,每星期可卖300件,为了促销,该网店决定降价销售.市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖30件.已知该款童装每件成本价40元,设该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当每件售价定为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润多少元?
(3)若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润,每星期至少要销售该款童装多少件?
【解答】解:(1)y=300+30(60﹣x)=﹣30x+2100.
(2)设每星期利润为W元,
W=(x﹣40)(﹣30x+2100)=﹣30(x﹣55)2+6750.
∴x=55时,W最大值=6750.
∴每件售价定为55元时,每星期的销售利润最大,最大利润6750元.
(3)由题意(x﹣40)(﹣30x+2100)≥6480,解得52≤x≤58,
当x=52时,销售300+30×8=540,
当x=58时,销售300+30×2=360,
∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润,每星期至少要销售该款童装360件.
 
24.(12分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣3,0),B(﹣2,3),C(0,3),其顶点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点M(1,m),当MB+MD的值最小时,求m的值;
(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值;
(4)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N,E为直线AC上任意一点,过点E作EF∥ND交抛物线于点F,以N,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由.
 
【解答】解:(1)将A,B,C点的坐标代入解析式,得
 ,
解得 ,
抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3
(2)配方,得y=﹣(x+1)2+4,顶点D的坐标为(﹣1,4)
作B点关于直线x=1的对称点B′,如图1 ,
则B′(4,3),由(1)得D(﹣1,4),
可求出直线DB′的函数关系式为y=﹣ x+ ,
当M(1,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小,
则m=﹣ ×1+ = .
(3)作PE⊥x轴交AC于E点,如图2 ,
AC的解析式为y=x+3,设P(m,﹣m2﹣2m+3),E(m,m+3),
PE=﹣m2﹣2m+3﹣(m+3)=﹣m2﹣3m
S△APC = PE•|xA|= (﹣m2﹣3m)×3=﹣ (m+ )2+ ,
当m=﹣ 时,△APC的面积的最大值是 ;
(4)由(1)、(2)得D(﹣1,4),N(﹣1,2)
点E在直线AC上,设E(x,x+3),
①当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F(x,﹣x2﹣2x+3),
∵EF=DN
∴﹣x2﹣2x+3﹣(x+3)=4﹣2=2,
解得,x=﹣2或x=﹣1(舍去),
则点E的坐标为:(﹣2,1).
②当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,则F(x,﹣x2﹣2x+3),
∵EF=DN,
∴(x+3)﹣(﹣x2﹣2x+3)=2,
解得x= 或x= ,
即点E的坐标为:( , )或( , )
综上可得满足条件的点E为E(﹣2,1)或:( , )或( , ).


章 来源莲山课件 ww w.
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