2018学年萍乡市芦溪县九年级数学上期中试卷(带答案和解释)

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2018学年萍乡市芦溪县九年级数学上期中试卷(带答案和解释)

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莲山 课件 w ww.5 Y
K J.CO
M

2017-2018学年江西省萍 乡市芦溪县九年级(上)期中数学试卷
 
一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
1.(3分)下列方程是一元二次方程的是(  )
A.x﹣2=0 B.x2﹣4x﹣1=0 C.x2﹣2x﹣3 D.xy+1=0
2.(3分)已知:  = ,则下列式子一定成立的是(  )
A.3x=4y B.x= y C.4x=3y D.  xy=12
3.(3分)将方程x2+8x+9=0配方后,原方程可变形为(  )
A.(x+4)2=7 B.(x+4)2=25 C.(x+4)2=﹣9 D.(x+8)2=7
4.(3分)从一副54张的扑克牌中任意抽一张,以下事件中可能性最大的是(  )
A.抽到方块8 B.抽到K牌 C.抽到梅花 D.抽到大王
5.(3分)已知 = = =k(a+b+c≠0),则k=(  )
A.0 B.1 C.2 D.
6.(3分)如图,在▱ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,BG= ,则△CEF的周长为(  )
 
A.8 B.9.5 C.10 D.11.5
 
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7.(3分)若a是方程x2﹣x﹣1=0的一个根,则代数式a2﹣a的值是     .
8.(3分)线段AB长10cm,点P在线段AB上,且满足 = ,那么AP的长为     cm.
9.(3分)某校九年级共有1,2,3,4四个班,现从这 四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛,则恰好抽到1班和2班的概率是     .
10.(3分)如图,直线AD∥BE∥CF,BC= AC,DE=4,那么EF的值是     .
 
11.(3分)关于x的一元二次方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根,则实数a的取值范围是     .
12.(3分)如图,菱形ABCD中,P为AB中点,∠A=60°,折叠菱形ABCD,使点C落在DP所在的直线上,得到经过点D的折痕DE,则∠DEC的大小为     °.
 
 
三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13.(6分)解方程
(1)(4x﹣1)2﹣x2=0
(2)x2﹣3x﹣2=0.
14.(6分)已知:如图,在矩形ABCD中,E是BC边一点,DE平分∠AD C,EF∥DC角AD边于点F,连结BD.
(1)求证:四边形EFCD是正方形;
(2)若BE=1,ED=2 ,求BD的长.

15.(6分)某花圃用花盆培育某种花苗,经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株?
16.(6分)如图,六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形,AB是其中一个小长方形的对角线,请在大长方形中完成下列画图,要求:①仅用无刻度直尺,②保留必要的画图痕迹.
(1)在图1中画出一个45°角,使点A或点B是这个角的顶点,且AB为这个角的一边;
(2)在图2中画出线段AB的垂直平分线.
 
17.(6分)如图,在正方形ABCD中,对角线A、C与BD相交于点O,E为BC上一点,C E=5,F为DE的中点.若△CEF的周长为18,求OF的长.
 
 
四、解答题(本大题共4小题,共32分)
18.(8分)在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的球(除颜色外其余都相同),其中红球有1个,蓝球有1个,现从中任意摸出一个是红球的概率为 .
(1)求袋中黄球的个数.
(2)第一次摸出一个球(放回),第二次再摸一个球,请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率.
(3)若规定每次摸到红球得5分,每次摸到黄球得3分,每次摸到蓝球得1分,小芳摸6次球(每次摸1个球,摸后放回)合计得20分,请直接写出小芳有哪几种摸法?(不分球颜色的先后顺序)
19.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,△ACD沿AD折叠,使得点C落在斜边AB上的点E处.
(1)求证:△BDE∽△BAC;
(2)已知AC=6,BC=8,求线段AD的长度.
 
20.(8分)如图所示,学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚,一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为19m),另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成.
(1)若围成的面积为180m2,试求出自行车车棚的长和宽;
(2)能围成的面积为200m2自行车车棚吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
 
21.(8分)如图,点E,F为菱形ABCD对角线BD的三等分点.
(1)试判断四边形AECF的形状,并加以证明;
(2)若菱形ABCD的周长为52,BD为24,试求四边形AECF的面积.
 
 
五、解答题(本大题共1小题,共10分)
22.(10分)如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若CE=8,CF=6,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.
 
 
六、解答题(本大题共1小题,共12分)
23.(12分)△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.
(1)观察猜想
如图1,当点D在线段BC上时,
①BC与CF的位置关系为:     .
②BC,CD,CF之间的数量关系为:     ;(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考
如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.
(3)拓展延伸
如图3,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB=2 ,CD= BC,请求出GE的长.
 
 
 

2017-2018学年江西省萍乡市芦溪县九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
1.(3分)下列方程是一元二次方程的是(  )
A.x﹣2=0 B.x2﹣4x﹣1=0 C.x2﹣2x﹣3 D.xy+1=0
【解答】解:A、本方程未知数x的最高次数是1;故本选项错误;
B、本方程符合一元二次方程的定义;故本选项正确;
C、x2﹣2x﹣3是代数式,不是等式;故本选项错误;
D、本方程中含有两个未知数x和y;故本选项错误;
故选:B.
 
2.(3分)已知:  = ,则下列式子一定成立的是(  )
A.3x=4y B.x= y C.4x=3y D.xy=12
【解答】解:∵ = ,
∴4x=3y.
故选:C.
 
3.(3分)将方程x2+8x+9=0配方后,原方程可变形为(  )
A.(x+4)2=7 B.(x+4)2=25 C.(x+4)2=﹣9 D.(x+8)2=7
【解答】解:x2+8x=﹣9,
x2+8x+16=7,
(x+4)2=7.
故选:A.
 
4.(3分)从一副54张的扑克牌中任意抽一张,以下事件中可能性最大的是(  )
A.抽到方块8 B.抽到K牌 C.抽到梅花 D.抽到大王
【解答】解:A、抽到方块8的可能性是 ;
B、抽到K牌的可能行是 = ;
C、抽到梅花的可能行是 ;
D、抽到大王的可能性是 ;
则可能性最大的是抽到梅花;
故选:C.
 
5.(3分)已知 = = =k(a+b+c≠0),则k=(  )
A.0 B.1 C.2 D.
【解答】解;由 = = =k,得
k= = = ,
故选:D.
 
6.(3分)如图,在▱ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,BG= ,则△CEF的周长为(  )
 
A.8 B.9.5 C.10 D.11.5
【解答】解:∵在▱ABCD中,AB=CD=6,AD=BC=9,∠BAD的平分线交BC于点E,
∴AB∥DC,∠BAF=∠DAF,
∴∠BAF=∠F,
∴∠DAF=∠F,
∴AD=FD,
∴△ADF是等腰三角形,
同理△ABE是等腰三角形,
AD=DF=9;
∵AB=BE=6,
∴CF=3;
∴在△ABG中,BG⊥AE,AB=6,BG= ,可得:AG=2,
又BG⊥AE,
∴AE=2AG=4,
∴△ABE的周长等于16,
又∵▱ABCD
∴△CEF∽△BEA,相似比为1:2,
∴△CEF的周长为8.
故选:A.
 
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7.(3分) 若a是方程x2﹣x﹣1=0的一个根,则代数式a2﹣a的值是 1 .
【解答】解:把x=a代入x2﹣x﹣1=0得a2﹣a﹣1=0,
所以a2﹣a=1.
故答案为1.
 
8.(3分)线段AB长10cm,点P在线段AB上,且满足 = ,那么AP的长为 5 ﹣5 cm.
【解答】解:设AP=x,则BP=10﹣x,
∵ = ,
∴ = ,
∴x1=5 ﹣5,x2=﹣5 ﹣5(不合题意,舍去),
∴AP的长为(5 ﹣5)cm.
故答案为:5 ﹣5.
 
9.(3分)某校九年级共有1,2,3,4四个班,现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛,则恰好抽到1班和2班的概率是   .
【解答】解:画树状图为:
 
共有12种等可能的结果数,其中恰好抽到1班和2班的结果数为2,
所以恰好抽到1班和2班的概率= = .
故答案为: .
 
10.(3分)如图,直线AD∥BE∥CF,BC= AC,DE=4,那么EF的值是 2 .
 
【解答】解:∵BC= AC,
∴ = ,
∵AD∥BE∥CF,
∴ = ,
∵DE=4,
∴ =2,
∴EF=2.
故答案为:2.
 
11.(3分)关于x的一元二次方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根,则实数a的取值范围是 a≥1且a≠5 .
【解答】解:因为关于x的一元二次方程有实根,
所以△=b2﹣4ac=16+4(a﹣5)≥0,
解之得a≥1.
∵a﹣5≠0
∴a≠5
∴实数a的取值范围是a≥1且a≠5
故答案为a≥1且a≠5.
 
12.(3分)如图,菱形ABCD中,P为AB中点,∠A=60°,折叠菱形ABCD,使点C落在DP所在的直线上,得到经过点D的折痕DE,则∠DEC的大小为 75 °.
 
【解答】解:连接BD,
∵四边形ABCD为菱形,∠A=60°,
∴△ABD为等边三角形,∠ADC=120°,∠C=60°,
∵P为AB的中点,
∴DP为∠ADB的平分线,即∠ADP=∠BDP=30°,
∴∠PDC=90°,
∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°,
在△DEC中,∠DEC=180°﹣(∠CDE+∠C)=75°.
故答案为:75.
 
 
三、解答题(本大 题共5小题,每小题6分,共30分)
13.(6分)解方程
(1)(4x﹣1)2﹣x2=0
(2)x2﹣3x﹣2=0.
【解答】解:(1)(4x﹣1)2﹣x2=0,
(4x﹣1+x)(4x﹣1﹣x)=0,
(5x﹣1)(3x﹣1)=0,
解得x1= ,x2=﹣ ;

(2)x2﹣3x﹣2=0,
b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×(﹣2)=17,
x= ,
x1= ,x2= .
 
14.(6分)已知:如图,在矩形ABCD中,E是BC边一点,DE平分∠ADC,EF∥DC角AD边于点F,连结BD.
(1)求证:四边形EFCD是正方形;
(2)若BE=1,E D=2 ,求BD的长.
 
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠ADC=∠C=90°,
∵EF∥DC,
∴四边形FECD为平行四边形,
∵DE平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE,
∵AD∥BC,
∴∠ADE=∠DEC,
∴∠CDE=∠DEC,
∴CD=CE,
∴四边形FECD是菱形,
又∵∠C=90°,
∴平行四边形FECD是正方形;
(2)∵四边形FECD是正方形,
∴∠CDE=45°,
∵ ,
∴CE=CD=ED•sin45°=2 × =2,
∴BC=BE+EC=1+2=3,
∴BD2=BC2+CD2=32+22=13,
∴BD= .
 
15.(6分)某花圃用花盆培育某种花苗,经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株?
【解答】解:设每盆花苗增加x株,则每盆花苗有(x+3)株,
平均单株盈利为:(3﹣0.5x)元,
由题意得:(x+3)(3﹣0.5x)=10.
化简,整理,的x2﹣3x+2=0.
解这个方程,得x1=1,x2=2,
则3+1=4,2+3=5,
答:每盆应植4株或者5株.
 
16.(6分)如图,六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形,AB是其 中一个小长方形的对角线,请在大长方形中完成下列画图,要求:①仅用无刻度直尺,②保留必要的画图痕迹.
(1)在图1中画出一个45°角,使点A或点B是这个角的顶点,且AB为这个角的一边;
(2)在图2中画出线段AB的垂直平分线.
 
【解答】解:(1)如图所示,∠ABC=45°.(AB、AC是小长方形的对角线).
 
(2)线段AB的垂直平分线如图所示,
 
点M是长方形AFBE是对角线交点,点N是正方形ABCD的对角线的交点,直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线.
 
17.(6分)如图,在正方形ABCD中,对角线A、C与BD相交于点O,E为BC上一点 ,CE=5,F为DE的中点.若△CEF的周长为18,求OF的长.
 
【解答】解:∵CE=5,△CEF的周长为18,
∴CF+EF=18﹣5=13.
∵F为DE的中点,
∴DF=EF.
∵∠BCD=90°,
∴CF= DE,
∴EF=CF= DE=6.5,
∴DE=2EF=13,
∴CD= = =12.
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD=12,O为BD的中点,
∴OF是△BDE的中位线,
∴OF= (BC﹣CE)= (12﹣5)= .
 
 
四、解答题(本大题共4小题,共32分)
18.(8分)在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜 色的球(除颜色外其余都相同),其中红球有1个,蓝球有1个,现从中任意 摸出一个是红球的概率为 .
(1)求袋中黄球的个数.
(2)第一次摸出一个球(放回),第二次再摸一个球,请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率.
(3)若规定每次摸到红球得5分, 每次摸到黄球得3分,每次摸到蓝球得1分,小芳摸6次球(每次摸1个球,摸后放回)合计得20分,请直接写出小芳有哪几种摸法?(不分球颜色的先后顺序)
【解答】解:(1)设袋中黄球的个数为x,根据题意得 = ,
解得x=1,
即袋中有1个黄球;

(2)画树状图为:
 ,
共有9种等可能的结果数,其中两次摸到都是红球的占1种,
所有两次摸到都是红球的概率= ;

(3)设摸到红球、黄球、蓝球的次数分别为x、y、z,
根据题意得 ,
由①变形得z=6﹣x﹣y③,
把③代入②得5x+3y+6﹣x﹣y=20,
整理得2x+y=7,
当x=0,y=7(舍去);当x=1时,y=5,z=0;当x=2,y=3,此时z=1;当x=3,y=1,此时z=2,
所以小芳的摸法有:1次摸到红球、5次摸到黄球;2次摸到红球、3次摸到黄球,1次摸到蓝球;3次摸到红球、1次摸到黄球,2次摸到蓝球.
 
19.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,△ACD沿AD折叠,使得点C落在斜边AB上的点E处.
(1)求证:△BDE∽△BAC;
(2)已知AC=6,BC=8,求线段AD的长度.
 
【解答】证明:(1)∵∠C=90°,△ACD沿AD折叠,
∴∠C=∠AED=90°,
∴∠DEB=∠C=90°,
又∵∠B=∠B,
∴△BDE∽△BAC;
(2)由勾股定理得,AB=10.
由折叠的性质知,AE=AC=6,DE=CD,∠AED=∠C=90°.
∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4,
在Rt△BDE中,由勾股定理得,
DE2+BE2=BD2,
即CD2+42=(8﹣CD)2,
解得:CD=3,
在Rt△ACD中,由勾股定理得AC2+CD2=AD2,
即32+62=AD2,
解得:AD=3 .
 
20.(8分)如图所示,学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚,一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为19m),另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成.
(1)若围成的面积为180m2,试求出自行车车棚的长和宽;
(2)能围成的面积为200m2自行车车棚吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
 
【解答】解:(1)设AB=x,则BC=38﹣2x;
根据题意列方程的,
x(38﹣2x)=180,
解得x1=10,x2=9;
当x=10,38﹣2x=18(米),
当x=9,38﹣2x=20(米),而墙长19m,不合题意舍去,
答:若围成的面积为180m2,自行车车棚的长和宽分别为10米,18米;

(2)根据题意列方程的,
x(38﹣2x)=200,
整理得出:x2﹣19x+100=0;
△=b2﹣4ac=361﹣400=﹣39<0,
故此方程没有实数根,
答:因此如果墙长19m,满足条件的花园面积不能达到200m2.
 
21.(8分)如图,点E,F为菱形ABCD对角线BD的三等分点.
(1)试判断四边形AECF的形状,并加以证明;
(2)若菱形ABCD的周长为52,BD为24,试求四边形AECF的面积.
 
【解答】解:(1)四边形ABCD为菱形.
理由如下:如图,连接AC交BD于点O,
∵四边形AECF是菱形,
∴AC⊥BD,AO=OC,EO=OF,
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点,
∴BE=FD,
∴BO=OD,
∵AO=OC,
∴四边形ABCD为平行四边形,
∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD为菱形;

(2) ∵四边形ABCD为菱形,且周长为52,
∴AB=BC=13,
∵BD=24,
∴EF=8,OB= BD=12,
由勾股定理得,AO= =5,
∴AC=2AO=2×5=10,
∴S四边形AECF= EF•AC= ×8×10=40.
 
 
五、解答题(本大题共1小题,共10分)
22.(10分)如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若CE=8,CF=6,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.
 
【解答】:(1)证明:∵MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F,
∴∠2=∠5,∠4=∠6,
∵MN∥BC,
∴∠1=∠5,∠3=∠6,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴EO=CO,FO=CO,
∴OE=OF;

(2)解:∵∠2=∠5,∠4=∠6,
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°,
∵CE=8,CF=6,
∴EF= =10,
∴OC= EF=5;

(3)答:当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.
证明:当O为AC的中点时,AO=CO,
∵EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵∠ECF=90°,
∴平行四边形AECF是矩形.
 
 
六、解答题(本大题共1小题,共12分)
23.(12分)△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.
(1)观察猜想
如图1,当点D在线段BC上时,
①BC与CF的位置关系为: 垂直 .
②BC,CD,CF之间的数量关系为: BC=CD+CF ;(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考
如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.
(3)拓展延伸
如图3,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB=2 ,CD= BC,请求出GE的长.
 
【解答】解:(1)①正方形ADEF中,AD=AF,
∵∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△DAB与△FAC中, ,
∴△DAB≌△FAC,
∴∠B=∠ACF,
∴∠ACB+∠ACF=90°,即BC⊥CF;
故答案为:垂直;
②△DAB≌△FAC,
∴CF=BD,
∵BC=BD+CD,
∴BC=CF+CD;
故答案为:BC=CF+CD;

(2)CF⊥BC成立;BC=CD+CF不成立,CD=CF+BC.
∵正方形ADEF中,AD=AF,
∵∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△DAB与△FAC中, ,
∴△DAB≌△FAC,
∴∠ABD=∠ACF,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=45°.
∴∠ABD=180°﹣45°=135°,
∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°,
∴CF⊥BC.
∵CD=DB+BC,DB=CF,
∴CD=CF+BC.

(3)解:过A作AH⊥BC于H,过E作EM⊥BD于M,EN⊥CF于N,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴BC= AB=4,AH= BC=2,
∴CD= BC=1,CH= BC=2,
∴DH=3,
由(2)证得BC⊥CF,CF=BD=5,
∵四边形ADEF是正方形,
∴AD=DE,∠ADE=90°,
∵BC⊥CF,EM⊥BD,EN⊥CF,
∴四边形CMEN是矩形,
∴NE=CM,EM=CN,
∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°,
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°,
∴∠ADH=∠DEM,
在△ADH与△DEM中, ,
∴△ADH≌△DEM,
∴EM=DH=3,DM=AH=2,
∴CN=EM=3,EN=CM=3,
∵∠ABC=45°,
∴∠BGC=45°,
∴△BCG是等腰直角三角形,
∴CG=BC=4,
∴GN=1,
∴EG= = .
 

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