2017-2018学年九年级数学上期末试卷(防城港市带答案和解释)

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2017-2018学年九年级数学上期末试卷(防城港市带答案和解释)

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K J.cOm

2017-2018学年广西防城港市九年级(上)期末数学试卷
 
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意的)
1.(3分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
2.(3分)下列方程是一元二次方程的是(  )
A.x﹣2=0 B.x2﹣4x﹣1=0 C.x3﹣2x﹣3=0 D.xy+1=0
3.(3分)下列事件中,是必然事件的是(  )
A.明天太阳从东方升起
B.打开电视机,正在播放体育新闻
C.射击运动员射击一次,命中靶心
D.经过有交通信号灯的路灯,遇到红灯
4.(3分)如图,点A,B,C都在⊙O上,若∠C=35°,则∠AOB的度数为(  )
 
A.35° B.55° C.145° D.70°
5.(3分)抛物线y=2(x﹣1)2+3的对称轴为(  )
A.直线x=1 B.直线y=1 C.直线y=﹣1 D.直线x=﹣1
6.(3分)在平面直角坐标系中,点P(1,2)关于原点 对称的点的坐标是(  )
A.(﹣1,﹣2) B.(﹣1,2) C.(1,﹣2) D.(2,1)
7.(3分)下列说法正确的是(  )
A.三点确定一个圆
B.三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.圆内接四边形的对角互余
8.(3分)已知袋中有若干个球,其中只有2个红球,它们除颜色外其它都相同.若随机从中摸出一个,摸到红球的概率是 ,则袋中球的总个数是(  )
A.2 B.4 C.6 D.8
9.(3分)在⊙O中,已知半径为5,弦AB的长为8,则圆心O到AB的距离为(  )
A.3 B.4 C.5 D.6
10.(3分)关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的取值范围为(  )
A.m≥1 B.m<1 C.m=1 D.m<﹣1
11.(3分)如图,P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B,CD切⊙O于点E,分别交PA、PB于点C、D,若PA=5,则△PCD的周长为(  )
 
A.5 B.7 C.8 D.10
12.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出下列四个结论:①AC<0;②方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1,x2=3;③b=2a;④函数的最大值是c﹣a.其中正确的是(  )
 
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
 
二、填空题(本大题共6小题,每小题3 分,共18分)
13.(3分)抛物线y=x2+5x﹣1的开口方向是     .
14.(3分)掷一个质地均匀的正方体骰子,向上一面的点数为奇数的概率是     .
15.(3分)将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是     .
16.(3分)如图,把Rt△ABC绕点A逆时针旋转44°,得到Rt△AB′C′,点C′恰好落在边AB上,连接BB′,则∠B′BC′=     .
 
17.(3分)某工程一月份的产值为600万元,三月份的产值达到了726万元,设每月产值的增长率x相同,则可列出方程为     .
18.(3分)如图,点A在以BC为直径的⊙O内,且AB=AC,以点A为圆心,AC长为半径作弧,得到扇形ABC,剪下扇形ABC围成一个圆锥(AB和AC重合),若∠BAC=120°,BC=2 ,则这个圆锥底面圆的半径是     .[来源:学*科*网]
 
 
三、解答题(本大题共8小题,满分66分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
19.(6分)解关于x的方程:x2﹣4x=0.
20.(6分)如图,在⊙O中,弦AB与DC相交于E,且BE=DE,求证:  = .
 
21.(8分)已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根,而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长.
(1)求m的值;
(2)求△ABC的周长.
22.(8分)如图,在方格纸上,每个小方格都是边长为1cm的正方形,△ABC的三个顶点都在格点上,将△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到△A′B′C′(其中A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′).
(1)画出旋转后的△A′B′C′;
(2)求点A在旋转过程中所经过的路线的长.(结果保留π)
 
23.(8分)如图,均匀的正四面体的各面依次标有1,2,3,4四个数字,小明做了60次投掷试验,结果统计如下:
朝下数字 1 2 3 4
出现的次数 16 20 14 10
(1)求上述试验中“2朝下”的频率;
(2)随机投掷正四面体两次,请用列表或画树状图法,求两次朝下的数字之和 大于5的概率.
 
24.(10分)某商品的进货价为每件30元,为了合理定价,先投放市场试销.据市场调查,销售价为每件40元时,每周的销售量是180件,而销售价每上涨1元,则每周的销售量就会减少5件,设每件商品的销售价上涨x元,每周的销售利润为y元.
(1)用含x的代数式表示:每件商品的销售价为     元,每件商品的利润为     元,每周的商品销售量为     件;
(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出x的取值范围);
(3)应怎样确定销售价,使该商品的每周销售利润最大?最大利润是多少?
25.(10分)如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上一点,过点C的直线交AB的延长线于点D,AE⊥DC,垂足为E,F是AE与⊙O的交点,AC平分∠BAE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AE=6,∠D=30°,求图中阴影部分的面积.
 
26.(10分)如图,直线y=x+3 与两坐标轴交于A,B两点, 抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点,且交x轴的正半轴于点C.
(1)直接写出A、B两点的坐标;
(2)求抛物线的解析式和顶点D的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点P,使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.
 
 
 

2017-2018学年广西防城港市九年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意的)
1.(3分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,不合题意;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,不合题意;
C、不是轴对称图形,是中心对称图形,不合题意;
D、是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意.
故选:D.
 
2.(3分)下列方程是一元二次方程的是(  )
A.x﹣2=0 B.x2﹣4x﹣1=0 C.x3﹣2x﹣3=0 D.xy+1=0
【解答】解:A、不是一元二次方程,故此选项错误;
B、是一元二次方程,故此选项正确;
C、不是一元二次方程,故此选项错误;
D、不是一元二次方程,故此选项错误;
故选:B.
 
3.(3分)下列事件中,是必然事件的是(  )
A.明天太阳从东方升起
B.打开电视机,正在播放体育新闻
C.射击运动员射击一次,命中靶心
D.经过有交通信号灯的路灯,遇到红灯
【解答】解:A、明天太阳从东方升起是必然事件,故A符合题意;
B、打开电视机,正在播放体育新闻是随机事件,故B不符合题意;
C、射击运动员射击一次,命中靶心是随机事件,故C不符合题意;
D、经过有交通信号灯的路灯,遇到红灯是随机事件,故D不符合题意;
故选:A.
 
4.(3分)如图,点A,B,C都在⊙O上,若∠C=35°,则∠AOB的度数为(  )
 
A.35° B.55° C.145° D.70°[来源:学科网ZXXK]
【解答】解:∵∠C=35°,
∴∠AOB=2∠C=70°.
故选:D.
 
5.(3分)抛物 线y=2(x﹣1)2+3的对称轴为(  )
A.直线x=1 B.直线y=1 C.直线y=﹣1 D.直线x=﹣1
【解答】解:∵y=2(x﹣1)2+3,
∴该抛物线的对称轴是直线x=1,
故选:A.
 
6.(3分)在平面直角坐标系中,点P(1,2)关于原点对称的点的坐标是(  )
A.(﹣1,﹣2) B.(﹣1,2) C.(1,﹣2) D.(2,1)
【解答】解:∵P(1,2),
∴点P关于原点对称的点的坐标是:(﹣1,﹣2),
故选:A.
 
7.(3分)下列说法正确的是(  )
A.三点确定一个圆
B.三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.圆内接四边形的对角互余
【解答】解:不在同一直线上的三点确定一个圆,A错误;
三角形的外心到三角形各顶点的距离相等,B正确;
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,C错误;
圆内接四边形的对角互补,D错误;
故选:B.
 
8.(3分)已知袋中有若干个球,其中只有2个红球,它们除颜色外其它都相同.若随机从中摸出一个,摸到红球的概率是 ,则袋中球的总个数是(  )
A.2 B.4 C.6 D.8
【解答】解:袋中球的总个数是:2÷ =8(个).
故选:D.
 
9.(3分)在⊙O中 ,已知半径为5,弦AB的长为8,则圆心O到AB的距离为(  )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解答】解:作OC⊥AB于C,连结OA,如图,
∵OC⊥AB,
∴AC=BC= AB= ×8=4,
在Rt△AOC中,OA=5,
∴OC= ,
即圆心O到AB的距离为3.
故选:A.
 
 
10.(3分)关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的取值范围为(  )
A.m≥1 B.m<1 C.m=1 D.m<﹣1
【解答】解:
∵关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根,
∴△=0,即(﹣2)2﹣4m=0,解得m=1,
故选:C.
 
11.(3分)如图,P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B,CD 切⊙O于点E,分别交PA、PB于点C、D,若PA=5,则△PCD的周长为(  )
 
A.5 B.7 C.8 D.10
【解答】解:∵PA、PB为圆的两条相交切线,
∴PA=PB,
同理可得:CA=CE,DE=DB.
∵△PCD的周长=PC+CE+ED+PD,
∴△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA,
∴△PCD的周长=10,
故选:D.
 
12.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出下列四个结论:①AC<0;②方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1,x2=3;③b=2a;④函数的最大值是c﹣a.其中正确的是(  )
 
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
【解答】解:∵图象与x轴有两个交点,则方程有两个不相等的实数根,两根是x1=﹣1,x2=3,故②正确;
∵函数图象开口向下,故a<0,有﹣ >0,则b>0,故①正确;
对称轴为x=1=﹣ ,则2a+b=0,故③错误;
又∵当x=1时,y=a+b+c=a﹣2a+c=c﹣a,故④正确;
故选:B.
 
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.(3分)抛物线y=x2+5x﹣1的开口方向是 向上 .
【解答】解:
在y=x2+5x﹣1中,
∵a=1>0,
∴抛物线开口向上,
故答案为:向上.
 
14.(3分)掷一个质地均匀的正方体骰子,向上一面的点数为奇数的概率是   .
【解答】解:根据题意知,掷一次骰子6个可能结果,而奇数有3个,
所以掷到上面为奇数的概率为: .
故答案为: .
 
15.(3分)将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是 y=﹣x2﹣4x﹣4 .
【解答】解:由“左加右减”的原则可知,抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是y=﹣(x+2)2,即y=﹣x2﹣4x﹣4.
故答案为:y=﹣x2﹣4x﹣4.
 
16.(3分)如图,把Rt△ABC绕点A逆时针旋转44°,得到Rt△AB′C′,点C′恰好落在边AB上,连接BB′,则∠B′BC′= 68° .
 
【解答】解:∵把△ABC绕点A逆时针旋转44°,得到△AB′C′,点C′恰好落在边AB上,
∴∠BAB′=44°,AB=AB′.
∴∠AB′B=∠ABB′.
∴∠B′BC′= (180°﹣44°)=68°.
故答案为:68°.[来源:Z|xx|k.Com]
 
17.(3分)某工程一月份的产值为600万元,三月份的产值达到了726万元,设每月产值的增长率x相同,则可列出方程为 600(1+x)2=726 .
【解答】解:设平均每月增长率是x,由题意得:600(1+x)2=726,
故答案为600(1+x)2=726.
 
18.(3分)如图,点A在以BC为直径的⊙O内,且AB=AC,以点A为圆心,AC长为半径作弧,得到扇形ABC,剪下扇形ABC围成一个圆锥(AB和AC重合),若∠BAC=120°,BC=2 ,则这个圆锥底面圆的半径是   .
 
【解答】解:如图,连接AO,∠BAC=120°,
∵BC=2 ,∠OAC=60°,
∴OC= ,
∴AC=2,
设圆锥的底面半径为r,则2πr= = π,
解得:r= ,
故答案是: .
 
 
三、解答题(本大题共8小题,满分66分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
19.(6分)解关于x的方程:x2﹣4x=0.
【解 答】解:x2﹣4x=0,
x(x﹣4)=0,
则x=0,x﹣4=0,
解得x1=0,x2=4.
 
20.(6分)如图,在⊙O中,弦AB与DC相交于E,且BE=DE,求证:  = .
 
【解答】证明:在△AED和△CEB中,
 ,
∴△AED≌△CEB(AAS).    
∴AD=BC,
∴ = .
 
21.(8分)已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根,而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长.
(1)求m的值;
(2)求△ABC的周长.
【解答】解:(1)把x=2代入方程得4﹣4m+3m=0,解得m=4;
(2)当m=4时,原方程变为x2﹣8x+12=0,解得x1=2,x2=6,
∵该方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长,且不存在三边为2,2,6的等腰三角形
∴△ABC的腰为6,底边为2,
∴△ABC的周长为6+6+2=14.
 
22.(8分)如图,在方格纸上,每个小方格都是边长为1cm的正方形,△ABC的三个顶点都在格点上,将△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到△A′B′C′(其中A、B、C的对应点分别为A′ 、B′、C′).
(1)画出旋转后的△A′B′C′;
(2)求点A在旋转过程中所经过的路线的长.(结果保留π)
 
【解答】解:(1)△A′B′C′如图所示:
 

(2)由勾股定理得:OA= =2 ,
∴点A在旋转过程中所经过的路线的长为 = π.
 
23.(8分)如图,均匀的正四面体的各面依次标有1,2,3,4四个数字,小明做了60次投掷试验,结果统计如下:
朝下数字 1 2 3 4
出现的次数 16 20 14 10
(1)求上述试验中“2朝下”的频率;
(2)随机投掷正四面体两次,请用列表或画树状图法,求两次朝下的数字之和大于5的概率.
 
【解答】解:(1)“2朝下”的频率:  = ,

(2)根据题意列表如下:
第一次
第二次 1 2 3 4
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4)
总共有16种结果,每种结果出现的可能性相同,而两次朝下数字之和大于5的结果有6种.
则P(两次朝下的数字之和大于5)= = .
 
24.(10分)某商品的进货价为每件30元,为了合理定价,先投放市场试销.据市场调查,销售价为每件40元时,每周的销售量是180件,而销售价每上涨1元,则每周的销售量就会减少5件,设每件商品的销售价上涨x元,每周的销售利润为y元.
(1)用含x的代数式表示:每件商品的销售价为 x+40 元,每件商品的利润为 x+10 元,每周的商品销售量为 180﹣5x 件;
(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出x的取值范围);
(3)应怎样确定销售价,使该商品的每周销售利润最大?最大利润是多少?
【解答】解:(1)每件商品的销售价为:(x+40)元,每件商品的利润为:(x+10)元,
每周的商品销售量为:(180﹣5x)件;
故答案为:x+40,x+10,180﹣5x;

(2)所求函数关系式为:y=(x+10)(18﹣5x)               
即y=﹣5x2+130x+1800;

(3)∵在y=﹣5x2+130x+1800中,
a=﹣5<0,b=130,x=1800,
∴当x=﹣ =﹣ =13时,x+40=13+40=53,[来源:Zxxk.Com]
y有最大值且最大值为:  =1800﹣ =2645(元),
∴当售价为53元时,可获得最大利润2645元.
 
25.(10分)如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上一点,过点C的直线交AB的延长线于点D,AE⊥DC,垂足为E,F是AE与⊙O的交点,AC平分∠BAE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AE=6,∠D=30°,求图中阴影部分的面积.
 
【解答】(1)证明:连接OC,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵AC平分∠BAE,
∴∠OAC=∠CAE,
∴∠OCA=∠CAE,
∴OC∥AE,
∴∠OCD=∠E,
∵AE⊥DE,
∴∠E=90°,
∴∠OCD=90°,
∴OC⊥CD,
∵点C在圆O上,OC为圆O的半径,
∴CD是圆O的切线;

(2)
∵在Rt△AED中,∠D=30°,AE=6,
∴AD=2AE=12,
在Rt△AED中,∵∠D=30°,
∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC,
∴DB=OB=OC= AD=4,DO=8,
∴CD= ,
∴S△OCD= ,
∵∠D=30°,∠OCD=90°,
∴∠DOC=60°,
∴S扇形OBC= ×π×OC2= ,
∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC
∴S阴影=8 ﹣ ,
∴阴影部分的面积为8 ﹣ .
 
 
26.(10分)如图,直线y=x+3与两坐标轴交于A,B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点,且交x轴的正半轴于点C.
(1)直接写出A、B两点的坐标;
(2)求抛物线的解析式和顶点D的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点P,使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.
 
【解答】解: (1)当x=0时,y=3,
∴B(0,3),
当y=0时,x+3=0,x=﹣3,
∴A(﹣3,0);…(2分)
(2)把A(﹣3,0),B(0,3)分别代入y=﹣x2+bx+c得:
 ,解得: ,
∴抛物线解析式为:y=﹣x2﹣2x+3;   …(5分)
顶点D坐标为(﹣1,4)…(6分)
(3) 存在.       
设点P的坐标为(t,﹣t2﹣2t+3).
∵A(﹣3,0),B(0,3),
∴AB2=32+32=18,AP2=(t+3)2+(﹣t2﹣2t+3)2,BP2=t2+(﹣t2﹣2t)2.…(8分)[来源:学科网]
当△PAB是以AB为直角边的直角三角形时,可分两种情况:
①如图1,如果点B为直角顶点,那么AB2+BP2=AP2
(事实这里的点P与点D 重合)
即18+t2+(﹣t2﹣2t)2=(t+3)2+(﹣t2﹣2t+3)2,
整理 得t2+t=0,解得t1=﹣1,t2=0(不合题意舍去),
则点P的坐标为(﹣1,4);                     …(9分)
②如图2,如果点A为直角顶点,那么AP2+AB2=BP2,
即18+(t+3)2+(﹣t2﹣2t+3)2=t2+(﹣t2﹣2t)2,
整理得t2+t﹣6=0,解得t1=2,t2=﹣3(不合题意舍去),
则点P的坐标为(2,﹣5);
综上所述,所有符合条件的点P的坐标为(﹣1,4)或(2,﹣5).…(10分)
另解:如图3,作DE⊥y轴于点E,发现∠ABO=∠DBE=45°
可知顶点D满足△DAB是直角三角形,这时点P的坐标为(﹣1,4);
作PA⊥AB交抛物线于点P,作PF⊥x轴于点F,发现∠PAF=∠APF=45°,
由PF=AF求出另一点P为(2,﹣5).
说明:不同解法,请参照评分说明给分.

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