2018年中考数学总复习专训第3节运动型问题试题(有答案)

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2018年中考数学总复习专训第3节运动型问题试题(有答案)

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第三节 运动型问题
 
近几年来,运动型问题常常被列为中考的压轴问题.动点问题属于运动型问题,这类问题就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上,设计一个或几个动点,并对这些点在运动变化的过程中伴随着等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考察.问题常常集几何、代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性.
 ,中考重难点突破)
  动点类
 
 
【例1】(梅州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5  cm,∠BAC=60°,动点M从点B出发,在BA边上以2  cm/s的速度向点A匀速运动,同时动点N从点C出发,在CB边上以3cm/s的速度向点B匀速运动,设运动时间为t s(0≤t≤5),连接MN.
(1)若BM=BN,求t的值;
(2)若△MBN与△ABC相似,求t的值;
(3)当t为何值时,四边形ACNM的面积最小?并求出最小值.
【解析】(1)由已知条件得出AB=10,BC=53.由题意知:BM=2t,CN=3t,BN=53-3t,由BM=BN得2t=53-3t,解方程即可;(2)分两种情况:当△MBN∽△ABC时,由相似三角形的对应边成比例得出比例式,即可得出t的值;②当△NBM∽△ABC时,由相似三角形的对应边成比例得出比例式,即可得出t的值;(3)过M作MD⊥BC于点D,则MD∥AC,证出△BMD∽△BAC,得出比例式求出MD=t,四边形ACNM的面积y=△ABC的面积-△BMN的面积,得出y是t的二次函数,由二次函数的性质即可得出结果.
【答案】解:(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,∠BAC=60°,
∴AB=10,BC=53,BN=53-3t,
由BM=BN得2t=53-3t,
解得t=532+3=103-15;
(2)①当△MBN∽△ABC时,
∴MBAB=BNBC,即2t10=53-3t53,解得t=52;
②当△NBM∽△ABC时,∴NBAB=BMBC,
即53-3t10=2t53,解得t=157.
∴当t=52或157 s时,△MBN与△ABC相似;
(3)过M作MD⊥BC于点D.
∵∠MBD=∠ABC,∠BDM=∠BCA=90°,
∴△BMD∽△BAC,
∴MDAC=BMAB,∴MD5=2t10,
∴MD=t.
设四边形ACNM的面积为y.
∴y=S△ABC-S△BMN=12AC•BC-12BN•MD
=12×5×53-12(53-3t)•t
=32t2-532t+2532=32t-522+7583.
∴根据二次函数的性质可知,当t=52时,y的值最小.此时,y最小=7583.
 
 
1.(2016遵义升学三模)如图,P,Q分别是等边△ABC的AB和AC边延长线上的两动点,点P由B向A匀速移动,同时点Q以相同的速度由C向AC延长线方向移动,连接PQ交BC边于点D,M为AC中点 ,连接PM,已知AB=6.
(1)若点P,Q的速度均为每秒1个单位,设点P运动时间为x,△APM的面积为y,试求出y关于x的函数关系式;
(2)当时间x为何值时,△APM为直角三角形?
(3)当时间x为何值时,△PQM面积最大?并求此时y的值.
解:(1)∵y=12×(6-x)×332,
∴y=-334x+932;
(2)在Rt△APM中,当PM⊥AC时,则x=0,
当PM⊥AB时,∠AMP=30°,AP=12AM=32,
∴x=6-32=92;
(3)S△PQM=12•(3+x)•32(6-x),
=-34(x+3)(x-6),
当x=-3+62=32时,
△PQM的面积最大,此时y=2738.
2.(汇川升学一模)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(3,0),B(-1,0)两点,与y轴相交于点C(0,-4).
(1)求该二次函数的解析式;
(2)若点P,Q同时从A点出发,以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.
①当点P运动到B点时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请求出E点的坐标;若不存在,请说明理由;
②当P,Q运动到t s时,△APQ沿PQ翻折,点A恰好落在抛物线上D点处,请直接写出t的值及D点的坐标.
    ,备用图)
解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(-1,0),C(0,-4),
∴9a+3b+c=0,a-b+c=0,c=-4,解得a=43,b=-83,c=-4.
∴y=43x2-83x-4;
 
(2)①存在.如答图,过点Q作QD⊥OA于D,此时QD∥OC.
∵A(3,0),B(-1,0),
C(0,4),O(0,0),
∴AB=4,OA=3,OC=4,
∴AC=5.
∵当点P运动到B点时,点Q停止运动,AB=4,
∴AQ=4.
∵QD∥OC,∴QDOC=ADAO=AQAC,
∴QD4=AD3=45,
∴QD=165,AD=125.
ⅰ作AQ的垂直平分线,交AO于E,此时AE=EQ,即△AEQ为等腰三角形,设AE=x,则EQ=x,DE=AD-AE=|125-x|,∴在Rt△EDQ中,125-x2+1652=x2,解得x=103.
∴OA-AE=3-103=-13,∴E-13,0;
ⅱ以Q为圆心,AQ长为半径画圆,交x轴于E,此时QE=QA=4,
∵ED=AD=125,∴AE=245,
∴OA-AE=3-245=-95,∴E-95,0;
ⅲ当AE=AQ=4时,当E在A点左边时,
∵OA-AE=3-4=-1,∴E(-1,0).
当E点在A点右边时,
∵OA+AE=3+4=7,∴E(7,0).
综上所述,E点坐标为-13,0或-95,0或(-1,0)或(7,0);
②t=14564,D点坐标为-58,-2916.
  动线类
 
 
【例2】(青岛中考)已知:如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC=12  cm,BD=16  cm.点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为1 cm/s;同时,直线EF从点D出发,沿DB方向匀速运动,速度为1 cm/s,EF⊥BD,且与AD,BD,CD分别交于点E,Q,F;当直线EF停止运动时,点P也停止运动.连接PF,设运动时间为t(s)(0<t<8).解答下列问题:
(1)当t为何值时,四边形APFD是平行四边形?
(2)设四边形APFE的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式.
【解析】本题考查相似三角形性质;二次函数的有关性质.
【答案】解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,AC⊥BD,OA=OC=12AC=6,
OB=OD=12BD=8.
在Rt△AOB中,AB=62+82=10.
∵EF⊥BD,∴EF∥AC,∴△DFQ∽△DCO,
∴DFDC=QDOD,即DF10=t8,∴DF=54t.
∵四边形APFD是平行四边形,
∴AP=DF.即10-t=54t,
解得t=409,
∴当t=409 s时,四边形APFD是平行四边形;
(2)过点C作CG⊥AB于点G.
∵S菱形ABCD=AB•CG=12AC•BD,
即10•CG=12×12×16,∴CG=485,
∴S梯形APFD=12(AP+DF)•CG
=12(10-t+54t)•485=65t+48.
∵△DFQ∽△DCO,∴QDOD=QFOC,
即t8=QF6,∴QF=34t.
同理,EQ=34t,∴EF=QF+EQ=32t,
∴S△EFD=12EF•QD=12×32t×t=34t2,
∴y=S梯形APFD-S△EFD=65t+48-34t2
=-34t2+65t+48.
【规律总结】解决运动问题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形,把握运动与变化的全过程,以静制动,抓住其中的特殊位置或特殊图形,通过数形结合、分类讨论、函数等思想方法解决问题.
 
3.(红花岗中考)如图,已知⊙O的直径AB=4,点P是直径AB左侧半圆上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为点C,PC与⊙O交于点D,连接PA,PB,且∠APC=∠BAP,设PC的长为x(2<x<4).
 
(1)若直线l过点A,判断直线l与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)当x=2.5时,在线段AP上是否存在一个点M,使得△AOM与△ABP相似.若存在,求出AM的长;若不存在,说明理由;
(3)当x为何值时,PD•CD的值最大?最大值是多少?
解:(1)直线l与⊙O相切.理由如下:
∵∠APC=∠BAP
∴AB∥CP.
∵PC⊥AC,∴BA⊥CA.
∵AB为⊙O的直径,
∴直线l与⊙O相切;
(2)存在.当AM=102或4105时,△AOM与△ABP相似;
(3)过O作OE⊥PD,垂足为E.
∵PD是⊙O的弦,OE⊥PD,∴PE=ED.
又∵∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°,
∴四边形OACE为矩形,∴CE=OA=2.
又∵PC=x,
∴PE=ED=PC-CE=x-2,PD=2(x-2),
∴CD=PC-PD=x-2(x-2)=4-x,
∴PD•CD=2(x-2)•(4-x)=-2x2+12x-16
=-2(x-3)2+2,
∵2<x<4,
∴当x=3时,PD•CD的值最大,最大值是2.
4.(湖州中考)如图,已知二次函数y=-x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(3,1),点C(0,4),顶点为点M,过点A作AB∥x轴,
 
交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连接BC.
(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标;
(2)若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位长度,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),求m的取值范围;
(3)点P是直线AC上的动点,若点P,点C,点M所构成的三角形与△BCD相似,请直接写出所有点P的坐标.(直接写出结果,不必写解答过程)
解:(1)把点A(3,1),点C(0,4)代入二次函数y=-x2+bx+c得
-32+3b+c=1,c=4,解得b=2,c=4,
∴二次函数解析式为y=-x2+2x+4,
配方得y=-(x-1)2+5,∴点M坐标为(1,5);
(2)设直线AC解析式为y=kx+b,把点A(3,1),点C(0,4)代入,得
3k+b=1,b=4,解得k=-1,c=4,
 

∴直线AC解析式为y=-x+4.如图所示,对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E,点F,
把x=1代入直线AC解析式y=-x+4,
解得y=3,
则点E坐标为(1,3),点F坐标为(1,1),
 ∴1<5-m<3,解得2<m<4;
(3)所有符合题意的点P坐标有4个,分别为P113,113,P2-13,133,P3(3,1),P4(-3,7)。

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