中考数学复习一元二次方程的应用突破难点专项练习(人教版有答案)

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中考数学复习一元二次方程的应用突破难点专项练习(人教版有答案)

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一元二次方程的应用难点突破(上)专项练习

1. 已知二次函数y=kx2(k3)x3在x=0和x=4时的函数值相等。
(1)求该二次函数的表达式;
(2)画出该函数的图象,并结合图象直接写出当y<0时,自变量x的取值范围;
(3)已知关于x的一元二次方程 ,当1≤m≤3时 ,判断此方程根的情况。
 
2. 已知关于x的一元二次方程x2+2(m+1)x+m2-1=0。
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围;
(2)若方程两实数根分别为x1,x2,且满足(x1-x2)2=16-x1x2,求实数m的值。
3. 已知x1,x2是一元二次方程 的两个实数根。
(1)是否存在实数k,使 成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由。
(2)求使 的值为整数的实数k的整数值。
4. 若方程 有整数根,且m、n为自然数,则m、n的值有几个。
 
一元二次方程的应用难点突破(上)专项练习
参考答案

1. 解析:(1)由题意可知,此二次函数图象的对称轴为 ,
即 ,
∴ ,
∴y =x24x3;
(2)如图1
 
图1
1<x<3;
(3)由(1 )得此方程为 ;
 =m2+4m;
∴Δ是m的二次函数,
由图2可知,当1≤m<0时,Δ<0;
当m=0时,Δ=0;当0<m≤3时,Δ>0.
∴当1≤m<0时,原方程 没有实数根;当m=0时,
原方程有两个相等的实数根 ;当0<m≤3时,原方程有
两个不相等 的实数根。
 
图2
2. 解:(1)由题意有Δ=[2(m+1)]2-4(m2-1)≥0,整理得8m+8≥0,解得m ≥-1,
∴实数m的取值范围是m≥-1 
(2)由两根关系,得x1+x2=-2(m+1),x1•x2=m2-1,
(x1-x2)2=16-x1x2,(x1+x2)2-3x1x2-16=0,
∴[-2(m+1)]2-3(m2-1)-16=0,
∴m2+8m-9=0,解得m=-9或m=1,
∵m≥-1,
∴m=1。
3. 解  (1)假设存在满 足条件的k值。
∵一元二次方程 有两个实数根,则k≠0,且
 
 。
又∵ ,
 
若 ,
则 。
而k<0,故不存 在实数k,满足题设条件。
(2)∵
 
∴要使 的值为整数,只须k+1能整除4。
而k为整数,故k+1只能取:
±1,±2,±4。
∵k<0,∴k+1<1,
∴k+1只能取-1,-2,-4。
∴使 的值为整数的k的整数值为- 2,-3,-5。
4. 解: 有整数根,则 为一完全平方式,设为 ,于是
    即
    视<1>为m的一元二次方程,它应有整数解,由
    
    可见
    (1)令 ,则<1>式为
    
    (2)若要有整数解,则
     应为完全平方式。
    令  ,则
    
    因为
    所 以有如下两 种情形。
     无整数解,舍去。
    
    代入<2>式得:
    所以 或 (舍去)
    将 代入(*)式得:
    
     所以 满足条件。由对称性(方程系数是对称的)知 也是所求。
    (2)令 ,则<1>式为
    
    <3>若有整数解,则 应为某一完全平方式,故令 ,则
     
    因为
    所以又有两种情形。
    
    代入<3>式得: 或 (舍去)
    将 代入(*)得:
    
    所以 为所求。
    
    代入<3>式得: 或 (舍去)
    将 代入(*)式得:
     ,有整数解,故 为所求。
    由对称性知 也为所求。
    故符合题意的整数对m 、n有(5,1)、(1,5)、(3,2)、(2,3)、(2,2)共5个。

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