中考数学复习《中考数学高效备考方案》专项练习(人教版附答案)

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中考数学复习《中考数学高效备考方案》专项练习(人教版附答案)

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中考数学高效备考方案(上)专项练习

1. 已知:关于x的一元二次 方程mx2﹣(4m+1)x+3m+3=0 (m>1)。
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2(其中x1>x2),若y 是关于m的函数,且y=x1﹣3x2,求这个函数的解析式;
(3)将(2) 中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:当关于m的函数y=2m+b的图象 与此图象有两个公共点时,b的取值范围。
 
2. 已知在 为边的 是等边三角形,求AP的最大、最小值。
3. 问 题:已知△ABC中,∠BAC=2∠ACB,点D是△ABC内的一点,且AD=CD,BD=BA,探究∠DBC与∠ABC度数的比值。
请你完成下列探究过程:
先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明。
( 1)当∠BAC=90°时,依问题中的条件补全下图;
观察图形,AB与AC的数量关系为        ;当推出∠DAC=15°时,可进一步推出∠DBC的度数为          ;可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为          ;
(2)当∠BAC<90°时,请你画出图形,研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同,写出你的猜想并加以证明。
 
 
中考数学高效备考方案(上)专项练习
参考答案

1. 解:(1)证明:
 
 
所以方程有两个不等实根;
 
(3)作出函数 的图象,并将图象在直线 左侧部分沿此直线翻折,所得新图象如图所示,易知点 的坐标分别为 ,
当直线y=2m+b 过点 A 时,可求得b=-9,
过点B时,可求得
因此, 。
 
2. 解:将 绕点P逆时针旋转 到 ,如图,
 

可得 是等边三角形, ,则
由于 ,
所以 。
即AP的最大值为5,最小值为1。
3. 解:(1)①当∠BAC=90°时,
∵∠BAC=2∠ACB,
∴ ∠ACB=45°,
在△ABC中,∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=45°,
∴∠ACB=∠ABC,
∴AB=AC(等角对等边);
②当∠DAC=15°时,
∠DAB=90°-15°=75°,
∵BD=BA,
∴∠BAD=∠BDA=75°,
∴∠DBA=180°-75°-75°=30°,
∴∠DBC=45°-30°=15°,即∠DBC=15°,
∴∠DBC的度数为15°;
③∵∠DBC=15°,∠ABC=45°,
∴∠DBC=15°,∠ABC=45°,
∴∠DBC:∠ABC=1:3,
∴∠DBC与∠ABC度数的比 值为1:3 ;
(2)猜想:∠DBC与∠ABC度数的比值与(1)中结论相同。
 
证明:如图,作∠KCA=∠BA C,过B点作BK∥AC交C K于点K,连接DK,
∴四边形ABKC是等腰梯形,
∴CK=AB,
∵DC=DA,
∴∠DCA=∠DAC,
∵∠KCA=∠BAC,
∴∠KCD=∠3,
 ∴△KCD≌△BAD,
∴∠2=∠4,KD=BD,
∴KD=BD=BA=KC。
∵BK∥AC,
∴∠ACB=∠6,
 ∵∠BAC=2∠ACB,且∠KCA=∠BAC,
∴∠KCB =∠ACB,
∴∠5=∠ACB,
∴∠5=∠6,
∴KC=KB,
∴KD=BD=KB,
∴∠KBD=60°,
∵∠ACB=∠6=60°-∠1,
∴∠BAC=2∠ACB=120°-2∠1,
∵∠1+(60°-∠1)+(120°-2∠1)+∠2=180°,
∴∠2=2∠1,
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1:3。

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