中考数学复习《圆的相关问题重点精讲》专项练习(人教版含答案)

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中考数学复习《圆的相关问题重点精讲》专项练习(人教版含答案)

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与圆有关的综合问题突破专项练习

1. 如图,已知△ABC是⊙O 的内接三角形,AB=AC,点P是 的中点,连接PA,PB,PC。
(1)如图①,若∠BPC=60°,求证:AC= AP ;
(2)如图②,若sin∠BPC= ,求tan∠PAB的值。
 
2. 如图,在⊙ 的内接△ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线 交⊙O于另一点D,垂足为E.设P是 上异于A,C   的一个动点,射线AP交 于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.
(1)求证:△PAC∽△PDF;
(2)若AB=5, = ,求PD的长;
(3)在点P运动过程中,设 , ,求 与 之间的函数关系式.(不要求写出 的取值范围)
 
3. 如图,已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点, = ,连接AB、AD、BD,弦AB不经过圆心O,延长AB到E,使BE=AB,连接EC,F是EC的中点,连接BF。
(1)若⊙O的半径为3,∠DAB=120°,求劣弧 的长;
(2)求证:BF= BD;
(3)设G是BD的中点,探索:在⊙O上是否存在点P(不同于点B),使得PG=PF?并说明PB与AE的位置关系。
 

 
与圆有关的综合问题突破专项练 习
参考答案

1. (1)证明:∵∠BPC=60°,
∴∠BAC=60°,
∵AB=AC,
∴△ABC 为等边三角形,
∴∠ACB=∠AB C=60°,
∴∠APC=∠ABC=60°,
而点P是 的中点,
∴∠ACP= ∠ACB=30°,
∴∠PAC=90°,
∴tan∠PCA= =tan30°= ,
∴AC= PA。
(2)解:过A点作AD⊥BC交BC于D,连接OP交AB于E,如图②,
 
∵AB=AC,
∴AD平分BC,
∴点O在AD上,
连接OB,则∠BOD=∠BAC,
∵∠BPC=∠BAC,
∴sin∠BOD=sin∠BPC= ,
设OB=25x,则BD=24x,
∴OD= =7x,
在Rt△ABD中,A D=25x+7x=32x,B D=24x,
∴AB= =40x,
∵点P是 的中点,
∴OP垂直平分AB,
 ∴AE= AB=20x,∠AEP=∠AEO=90°,
在Rt△AEO中,OE= =15x,
∴PE=OP-OD=25x-15x=10x,
在Rt△APE中,tan∠PAE= ,
即tan∠PAB的值为 。
2.(1)证明:由四边形APCB内接于圆O,得∠FPC=∠B,
又∵∠B=∠ACE =90°-∠BCE,∠ACE=∠APD,
∴∠APD=∠FPC。
∴∠APD+∠DPC=∠FPC+∠DPC,即∠APC=∠FPD。
又∵∠PAC=∠PDC,
∴△PAC∽△PDF。
(2)解:如图,连接BP,设BC=a,
∵∠ ACB=90°,AB=5,AC=2BC
∴ 。
∴ 。
∵△ACE∽△ABC,
∴ 即 。
∴ .
∵AB⊥CD,∴ 。
 
∵ ,
∴△APB是等腰直角三角形.
∴∠PAB=45°, 。
∴△AEF是等腰直角三角形.
∴EF=AE=4,∴DF=6.
由(1)△PAC∽△PDF得 ,即 。
∴PD的长为 。
(3)如图,连接BP,BD,AD,
∵AC=2BC,
 
∴根据圆的对称性,得AD=2DB,即 。
∵AB⊥CD,BP⊥AP,
∴∠ABP=∠AFD。
∵ ,

∵△AGP∽△DGB,
∴ 。
∵△AGD∽△PGB,
∴ 。
∴ ,即 。
∵ ,
∴ 。
∴ 与 之间的函数关系式为 。
3. (1)解:连接OB,OD,
 
∵∠DAB=120°,∴ 所对圆心角的度数为240°,
∴∠BOD=120°,
∵⊙O的半径为3,
∴劣弧 的长为: ×π×3=2π;
(2)证明:连接AC,
 
∵AB=BE,∴点B为AE的中点,
∵F是EC的中点,∴BF为△EAC的中位线,
∴BF= AC,
∵ ,

∴ ,
∴BD=AC,
∴BF= BD;
(3)解:过点B作AE的垂线,与⊙O的交点即为所求的点P,
 
∵BF为△EAC的中位线,
∴BF∥A C,
∴∠FBE=∠CAE,
∵ ,
∴∠CAB=∠DB A,
∵由作法可知BP⊥AE,
∴∠GBP=∠FBP,
∵G为BD的中点,
∴BG= BD,
∴BG=BF,
在△PBG和△PBF中,
 ,
∴△PBG≌△PBF(SAS),
∴PG=PF。
 

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