2018学年九年级上期末数学试卷(天津市红桥区带答案和解释)

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2018学年九年级上期末数学试卷(天津市红桥区带答案和解释)

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山课件 w ww.5 Y K j.Co M

2017-2018学年天津市红桥区九年级(上)期末数学试卷
 
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)
1.(3分)下列函数中是二次函数的是(  )
A.y=3x﹣1 B.y=x3﹣2x﹣3 C.y=(x+1)2﹣x2 D.y=3x2﹣1
2.(3分)如图,在△ABC中,点D、E分别为边AB、AC上的点,且DE∥BC,若AD=5,BD=10,AE=3 ,则CE的长为(  )
 
A.3 B.6 C.9 D.12
3.(3分)下列图形中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
4.(3分)抛物线y=3(x﹣4)2+5的顶点坐标为(  )
A.(﹣4,﹣5) B.(﹣4,5) C.(4,﹣5) D.(4,5)
5.(3分)从 ,0,π,3.14,6这5个数中随机抽取一个数,抽到有理数的概率是(  )
A.  B.  C.  D.
6.(3分)对于双曲线y= ,当x>0时,y随x的增大而减小,则m的取值范围为(  )
A.m>0 B.m>1 C.m<0 D.m<1
7.(3分)已知正三角形外接圆半径为2,这个正三角形的边长是(  )
A.2  B.  C.3 D.2
8.(3分)已知,如图,AB是⊙O的直径,点D,C在⊙O上,连接AD、BD、DC、AC,如果∠BAD=25°,那么∠C的度数是(  )
 
A.75° B.65° C.60° D.50°
9.(3分)如图,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置,连接CC′,若CC′∥AB,则∠BAC的大小是(  )
 
A.55° B.60° C.65° D.70°
10.(3分)如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置,若旋 转角为20°,则∠1为(  )
 
A.110° B.120° C.150° D.160°
11.(3分)如图,PA、PB切⊙O于点A、B,PA=10,CD切⊙O于点E,交PA、PB于C、D两点,则△PCD的周长是(  )
 
A.10 B.18 C.20 D.22
12.(3分)如图,点A在双曲线 的第一象限的那一支上,AB垂直于y轴于点B,点C在x轴正半轴上,且OC=2AB,点E在线段AC上,且AE=3EC,点D为OB的中点,若△ADE的面积为3,则k的值为(  )
 
A.16 B.  C.  D.9
 
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
13.(3分)如果抛物线y=(m﹣1)x2的开口向上,那么m的取值范围是     .
14.(3分)如图,已知反比例函数y= (k为常数,k≠0)的图象经过点A,过A点作AB⊥x轴,垂足为B.若△AOB的面积为1,则k=     .
 
15.(3分)如图,已知△ADE∽△ABC,且AD=3,DC=4,AE=2,则BE=     .
 
16.(3分)已知△ABC的三边长分别是6,8,10,则△ABC外接圆的直径是     .
17.(3分)在电视台举办的“超级女生”比赛中,甲乙丙三位评委对选手的综合表现,分别给出“淘汰”或“通过”的结论.比赛规则设定:三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论,那么这位选手才能进入下一轮比赛.试问:对于选手A进入下一轮比赛的概率是     .
18.(3分)如图,沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC,使A点落在BC边上任意一点F处(不与B、C重合).已知△ABC边长为28,D为AB上一点,BD=15,BF=7,则CE=     .
 
19.(3分)如图,△ABC是边长为12的等边三角形,D是BC的中点,E是直线AD上的一个动点,连接EC,将线段 EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF.则在点E的运动过程中,DF的最小值是     .
 
20.(3分)已知抛物线经过A(﹣4,0)、B(0,﹣4)、C(2,0)三点,若点M为第三象限内抛物线上一动点,△AMB的面积为S,则S的最大值为     .
 
三、解答题(本大题共6小题,共60分)
21.(10分)甲、乙两位同学玩转盘游戏,游戏规则:将圆盘平均分成三份,分别涂上红,黄,绿三种颜色,两位同学分别转动转盘两次(若压线,重新转).若两次指针指到的颜色相同,则甲获胜;若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜;其余情况则视为平局.
(1)请用画树状图的方法,列出所有可能出现的结果;
(2)试用概率说明游戏是否公平.
 
22.(10分)如图,已知点A(1,a)是反比例函数y1= 的图象上一点,直线y2=﹣ 与反比例函数y1= 的图象的交点为点B、D,且B(3,﹣1),求:
(Ⅰ)求反比例函数的解析式;
(Ⅱ)求点D坐标,并直接写出y1>y2时x的取值范围;
(Ⅲ)动点P(x,0)在x轴的正半轴上运动,当线段PA与线段PB之差达到最大时,求点P的 坐标.
 
23.(10分)已知:如图,D是AC上一点,DE∥AB,∠B=∠DAE.
(Ⅰ)求证:△ABC∽△DAE;
(Ⅱ)若AB=8,AD=6,AE=4,求BC的长.
 
24.(10分)如图所示,AB是⊙O的直径,AD与⊙O相切于点A,DE与⊙O相切于点E,点C为DE延长线上一点,且CE=CB.
(1)求证:BC为⊙O的切线;
(2)若AB=4,AD=1,求线段CE的长.
 
25.(10分)已知,△ABC中,AB=AC,点E是边AC上一点,过点E作EF∥BC交AB于点F
(1)如图①,求证:AE=AF;
(2)如图②,将△AEF绕点A逆时针旋转α(0°<α<144°)得到△AE′F′.连接CE′BF′.
①若BF′=6,求CE′的长;
②若∠EBC=∠BAC=36°,在图②的旋转过程中,当CE′∥AB时,直接写出旋转角α的大小.
26.(10分)如图, 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0)两点,与y轴相交于点C(0,﹣3)
(1)求该二次函数的解析式;
(2)设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点,过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F,过点F作FG垂直于x轴于点G,再过点E作EH垂直于x轴于点H,得到矩形EFGH,则在点E的运动过程中,当矩形EFGH为正方形时,求出该正方形的边长;
(3)设P点是x轴下方的抛物线上的一个动点,连接PA、PC,求△PAC面积的取值范围,若△PAC面积为整数时,这样的△PAC有几个?
 
 
 

2017-2018学年天津市红桥区九年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)
1.(3分)下列函数中是二次函数的是(  )
A.y=3x﹣1 B.y=x3﹣2x﹣3 C.y=(x+1)2﹣x2 D.y=3x2﹣1
【解答】解:二次函数的一般式是:y=ax2+bx+c,(其中a≠0)
(A)最高次数项为1次,故A错误;
(B)最高次数项为3次,故B错误;
(C)y=x2+2x+1﹣x2=2x﹣1,故C错误;
故选(D)
 
2.(3分)如图,在△ABC中,点D、E分别为边AB、AC上的点,且DE∥BC,若AD=5,BD=10,AE=3,则CE的长为(  )

A.3 B.6 C.9 D.12
【解答】解:∵DE∥BC,
∴ 即
解得:EC=6.
故选B.
 
3.(3分)下列图形中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(  )
A.  B.  C.  D.
【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
B、是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项正确;
C、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
故选:B.
 
4.(3分)抛物线y=3(x﹣4)2+5的顶点坐标为(  )
A.(﹣4,﹣5) B.(﹣4,5) C.(4,﹣5) D.(4,5)
【解答】解:∵二次函数的解析式为y=3(x﹣4)2+5,
∴其顶点坐标为:(4,5).
故选D.
 
5.(3分)从 ,0,π,3.14,6这5个数中随机抽取一个数,抽到有理数的概率是(  )
A.  B.  C.  D.
【解答】解:∵在 ,0,π,3.14,6这5个数中只有0、3.14和6为有理数,
∴从 ,0,π,3.14,6这5个数中随机抽取一个数,抽到有理数的概率是 .
故选C.
 
6.(3分)对于双曲线y= ,当x>0时,y随x的增大而减小,则m的取值范围为(  )
A.m>0 B.m>1 C.m<0 D.m<1
【解答】解:∵双曲线y= ,当x>0时,y随x的增大而减小,
∴1﹣m>0,
解得:m<1.
故选D.
 
7.(3分)已知正三角形外接圆半径为2,这个正三角形的边长是(  )
A.2  B.  C.3 D.2
【解答】解:如图OA=2,求AB长.
∠AOB=360°÷3=120°
连接OA,OB,作OC⊥AB于点C,
∵OA=OB,
∴AB=2AC,∠AOC=60°,
∴AC=OA×sin60°= cm,
∴AB=2AC=2 cm,
故选A.
 
 
8.(3分)已知,如图,AB是⊙O的直径,点D,C在⊙O上,连接AD、BD、DC、AC,如果∠BAD=25°,那么∠C的度数是(  )
 
A.75° B.65° C.60° D.50°
【解答】解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
又∠BAD=25°,
∴∠B=65°.
∴∠C=65°.
故选B.
 
9.(3分)如图,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置,连接CC′,若CC′∥AB,则∠BAC的大小是(  )
 
A.55° B.60° C.65° D.70°
【解答】解:∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置,
∴AC=AC′,∠CAC′=40°,
∴∠AC′C=∠ACC′=70°,
∵CC′∥AB,
∴∠BAC=∠ACC′=70°,
故选D.
 
10.(3分)如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置,若旋转角为20°,则∠1为(  )
 
A.110° B.120° C.150° D.160°
【解答】解:设C′D′与BC交于点E,如图所示.
∵旋转角为20°,
∴∠DAD′=20°,
∴∠BAD′=90°﹣∠DAD′=70°.
∵∠BAD′+∠B+∠BED′+∠D′=360°,
∴∠BED′=360°﹣70°﹣90°﹣90°=110°,
∴∠1=∠BED′=110°.
 
 
11.(3分)如图,PA、PB切⊙O于点A、B,PA=10,CD切⊙O于点E,交PA、PB于C、D两点,则△PCD的周长是(  )
 
A.10 B.18 C.20 D.22
【解答】解:∵PA、PB切⊙O于点A、B,CD切⊙O于点E,
∴PA=PB=10,CA=CE,DE=DB,
∴△PCD的周长是PC+CD+PD
=PC+AC+DB+PD
=PA+PB
=10+10
=20.
故选C.
 
12.(3分)如图,点A在双曲线 的第一象限的那一支上,AB垂直于y轴于点B,点C在x轴正半轴上,且OC=2AB,点E在线段AC上,且AE=3EC,点D为OB的中点,若△ADE的面积为3,则k的值为(  )
 
A.16 B.  C.  D.9
【解答】解:连DC,如图,
∵AE=3EC,△ADE的面积为3,
∴△CDE的面积为1,
∴△ADC的面积为4,
设A点坐标为(a,b),则AB=a,OC=2AB=2a,
而点D为OB的中点,
∴BD=OD= b,
∵S梯形OBAC=S△ABD+S△ADC+S△ODC,
∴ (a+2a)× b= a× b+4+ ×2a× b,
∴ab= ,
把A(a,b)代入双曲线y= ,
∴k=ab= .
故选B.
 
 
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
13.(3分)如果抛物线y=(m﹣1)x2的开口向上,那么m的取值范围是 m>1 .
【解答】解:因为抛物线y=(m﹣1)x2的开口向上,
所以m﹣1>0,即m>1,故m的取值范围是m>1.
 
14.(3分)如图,已知反比例函数y= (k为常数,k≠0)的图象经过点A,过A点作AB⊥x轴,垂足为B.若△AOB的面积为1,则k= ﹣2 .
 
【解答】解:依据比例系数k的几何意义可得两个三角形的面积都等于 |k|=1,解得k=﹣2,
故答案为:﹣2.
 
15.(3分)如图,已知△ADE∽△ABC,且AD=3,DC=4,AE=2,则BE= 8.5 .
 
【解答】解:∵AD=3,DC=4,
∴AC=AD+DC=3+4=7,
∵△ADE∽△ABC,
∴ = ,
即 = ,
解得AB=10.5,
∴DE=AB﹣AE=10.5﹣2=8.5.
故答案为:8.5.
 
16.(3分)已知△ABC的三边长分别是6,8,10,则△ABC外接圆的直径是 10 .
【解答】解:
∵AC=6,BC=8,AB=10,
∴AC2+BC2=AB2,
∴∠C=90°,
∴△ABC的外接圆的半径是 ×10=5,即外接圆的直径是10,
故答案为:10.
 
17.(3分)在电视台举办的“超级女生”比赛中,甲乙丙三位评委对选手的综合表现,分别给出“淘汰”或“通过”的结论.比赛规则设定:三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论,那么这位选手才能进入下一轮比赛.试问:对于选手A进入下一轮比赛的概率是   .
【解答】解:画出树状图来说明评委给出A选手的所有可能结果:
 
由上可知评 委给出A选手所有可能的结果有8种.并且它们是等可能的,
∴对于A选手,进入下一轮比赛的概率是 ,
故答案为: .
 
18.(3分)如图,沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC,使A点落在BC边上任意一点F处(不与B、C重合).已知△ABC边长为28,D为AB上一点,BD=15,BF=7,则CE=   .
 
【解答】解:由翻转变换的性质可知,∠DFE=∠A=60°,
∵∠EFC=180°﹣∠DFB﹣∠DFE,∠FDB=180°﹣∠DFB﹣∠B,
∴∠EFC=∠FDB,又∠B=∠C=60°,
∴△BDF∽△CFE,
∴ = ,即 = ,
解得,CE= ,
故答案为: .
 
19.(3分)如图,△ABC是边长为12的等边三角形,D是BC的中点,E是直线AD上的一个动点,连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF.则在点E的运动过程中,DF的最小值是 3 .
 
【解答】解:取线段AC的中点G,连接EG,如图所示.
∵△ABC为等边三角形,且AD为△ABC的对称轴,
∴CD=CG= AB=6,∠ACD=60°,
∵∠ECF=60°,
∴∠FCD=∠ECG.
在△FCD和△ECG中,
 ,
∴△FCD≌△ECG(SA S),
∴DF=GE.
当EG∥BC时,EG最小,
∵点G为AC的中点,
∴此时EG=DF= CD= BC=3.
故答案为3.
 
 
20.(3分)已知抛物线经过A(﹣4,0)、B(0,﹣4)、C(2,0)三点,若点M为第三象限内抛物线上一动点,△AMB的面积为S,则S的最大值为 4 .
【解答】解:设抛物线解析式为y=a(x+4)(x﹣2),
将B(0,﹣4)代入得:﹣4=﹣8a,即a= ,
则抛物线解析式为y= (x+4)(x﹣2)= x2+x﹣4;
过M作MN⊥x轴,设M的横坐标为m,则M(m,  m2+m﹣4),
∴MN=| m2+m﹣4|=﹣ m2﹣m+4,ON=﹣m,
∵A(﹣4,0),B(0,﹣4),∴OA=OB=4,
∴△AMB的面积为S=S△AMN+S梯形MNOB﹣S△AOB
= ×(4+m)×(﹣ m2﹣m+4)+ ×(﹣m)×(﹣ m2﹣m+4+4)﹣ ×4×4
=2(﹣ m2﹣m+4)﹣2m﹣8
=﹣m2﹣4m
=﹣(m+2)2+4,
当m=﹣2时,S取得最大值,最大值为4.
故答案为4.
 
 
三、解答题(本大题共6小题,共60分)
21.(10分)甲、乙两位同学玩转盘游戏,游戏规则:将圆盘平均分成三份,分别涂上红,黄,绿三种颜色,两位 同学分别转动转盘两次(若压线,重新转).若两次指针指到的颜色相同,则甲获胜;若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜;其余情况则视为平局.
(1)请用画树状图的方法,列出所有可能出现的结果;
(2)试用概率说明游戏是否公平.
 
【解答】解:(1)如图所示:
 
(红,红),(红,黄),(红,绿),(黄,红),(黄,黄),
(黄,绿),(绿,红),(绿,黄),(绿,绿) 共9种情况;
(2)P(甲获胜)= = ,
 P(乙获胜)= ,
P(甲获胜)>P(乙获胜),
所以游戏不公平.
 
22.(10分)如图,已知点A(1,a)是反比例函数y1= 的图象上一点,直线y2=﹣ 与反比例函数y1= 的图象的交点为点B、D,且B(3,﹣1),求:
(Ⅰ)求反比例函数的解析式;
(Ⅱ)求点D坐标,并直接写出y1>y2时x的取值范围;
(Ⅲ)动点P(x,0)在x轴的正半轴上运动,当线段PA与线段PB之差达到最大时,求点P的坐标.
 
【解答】解:(Ⅰ)∵点B(3,﹣1)在y1= 图象上,
∴ =﹣1,
∴m=﹣3,
∴反比例函数的解析式为y=﹣ ;

(Ⅱ)
∴﹣ =﹣ x+ ,即x2﹣x﹣6=0,
则(x﹣3)(x+2)=0,
解得:x1=3、x2=﹣2,
当x=﹣2时,y= ,
∴D(﹣2, );
结合函数图象知y1>y2时﹣2<x<0或x>3;

(Ⅲ)∵点A(1,a)是反比例函数y=﹣ 的图象上一点
∴a=﹣3
∴A(1,﹣3)
设直线AB为y=kx+b,

∴ ,
∴直线AB解析式为y=x﹣4
令y=0,则x=4
∴P(4,0).
 
23.(10分)已知:如图,D是AC上一点,DE∥AB,∠B=∠DAE.
(Ⅰ)求证:△ABC∽△DAE;
(Ⅱ)若AB=8,AD=6,AE=4,求BC的长.
 
【解答】(Ⅰ)证明:∵DE∥AB,
∴∠CAB=∠EDA,
又∵∠B=∠DAE,
∴△ABC∽△DAE;   

(Ⅱ)解:∵△ABC∽△DAE,
∴ = ,
∵AB=8,AD=6,A E=4,
∴ = ,
∴BC= .
 
24.(10分)如图所示,AB是⊙O的直径,AD与⊙O相切于点A,DE与⊙O相切于点E,点C为DE延长线上一点,且CE=CB.
(1)求证:BC为⊙O的切线;
(2)若AB=4,AD=1,求线段CE的长.
 
【解答】(1)证明:连接OE,OC;如图所示:
∵DE与⊙O相切于点E
∴∠OEC=90°,
在△OBC和△OEC中,
 ,
∴△OBC≌△OEC(SSS),
∴∠OBC=∠OEC=90°,
∴BC为⊙O的切线;
(2)过点D作DF⊥BC于F;如图所示:设CE=x
∵CE,CB为⊙O切线,
∴CB=CE=x,
∵DE,DA为⊙O切线,
∴DE=DA=1,
∴DC=x+1,
∵∠DAB=∠ABC=∠DFB=90°
∴四边形ADFB为矩形,
∴DF=AB=4 BF=AD=1,
∴FC=x﹣1,
Rt△CDF中,根据勾股定理得:
(x+1)2﹣(x﹣1)2=16,
解得:x=4,
∴CE=4.
 
 
25.(10分)已知,△ABC中,AB=AC,点E是边AC上一点,过点E作EF∥BC交AB于点F
(1)如图①,求证:AE=AF;
(2)如图②,将△AEF绕点A逆时针旋转α(0°<α<144°)得到△AE′F′.连接CE′BF′.
①若BF′=6,求CE′的长;
②若∠EBC=∠BAC=36°,在图②的旋转过程中,当CE′∥AB时,直接写出旋转角α的大小.
【解答】(1)证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
∵EF∥BC,
∴∠AFE=∠B,∠AEF=∠C,
∴∠AFE=∠AEF,
∴AE=AF.
(2)解:①由旋转的性质得,∠E′AC=∠F′AB,AE′=AF′,
在△CAE′和△BAF′中,
 ,
∴△CAE′≌△BAF′(SAS),
∴CE′=BF′=6;
②由(1)可知AE=BC,
所以,在△AEF绕点A逆时针旋转过程中,点E经过的路径(圆弧)与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N,如图,
 
①当点E的像E′与点M重合时,四边形ABCM是等腰梯形,
所以,∠BAM=∠ABC=72°,
又∵∠BAC=36°,
∴α=∠CAM=36°;
②当点E的像E′与点N重合时,
∵CE′∥AB,
∴∠AM N=∠BAM=72°,
∵AM=AN,
∴∠ANM=∠AMN=72°,
∴∠MAN=180°﹣72°×2=36°,
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°,
综上所述,当旋转角α为36°或72°.
 
26.(10分)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0)两点,与y轴相交于点C(0,﹣3)
(1)求该二次函数的解析式;
(2)设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点,过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F,过点F作FG垂直于x轴于点G,再过点E作EH垂直于x轴于点H,得到矩形EFGH,则在点E的运动过程中,当矩形EFGH为正方形时,求出该正方形的边长;
(3)设P点是x轴 下方的抛物线上的一个动点,连接PA、PC,求△PAC面积的取值范围,若△PAC面积为整数时,这样的△PAC有几个?
 
【解答】解:(1)设抛物线解析式为y=a (x+1)(x﹣3),
把C(0,﹣3)代入得﹣3a=﹣3,解得a=1,
所以抛物线解析式为y=(x+1)(x﹣3),
即y=x2﹣2x﹣3;
(2)抛物线的对称轴为直线x=1,
设E(t,t2﹣2t﹣3),
当0<t<1时,如图1,EF=2(1﹣t),EH=﹣(t2﹣2t﹣3),
∵矩形EFGH为正方形,
∴EF=EH,即2(1﹣t)=﹣(t2﹣2t﹣3),
整理得t2﹣4t﹣1=0,解得t1=2+ (舍去),t2=2﹣ (舍去);
当1<t<3时,如图2,EF=2(t﹣1),EH=﹣(t2 ﹣2t﹣3),
∵矩形EFGH为正方形,
∴EF=EH,即2(t﹣1)=﹣(t2﹣2t﹣3),
整理得t2﹣5=0,解得t1= ,t2=﹣ (舍去),
此时正方形EFGH的边长为2 ﹣2;
当t>3时,EF=2(t﹣1),EH=t2﹣2t﹣3,
∵矩形EFGH为正方形,
∴EF=EH,即2(t﹣1)=t2﹣2t﹣3,
整理得t2﹣4t﹣1=0,解得t1=2+ ,t2=2﹣ (舍去),
此时正方形EFGH的边长为2 +2,
综上所述,正方形EFGH的边长为2 ﹣2或2 +2;
(3)设P(x,x2﹣2x﹣3),
当﹣1<x<0时,
∵S△ABC= ×4×3=6,
∴0<S△APC<6,
当0<x<3时,作PM∥y轴交AC于点M,如图3,
易得直线AC的解析式为y=x﹣3,则M(x,x﹣3),
∴PM=x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x,
∴S△APC= •3•(﹣x2+3x)
=﹣ x2+ x
=﹣ (x﹣ )2+ ,
当x= 时,S△APC的面积的最大值为 ,即0<S△APC< ,
综上所述,0<S△APC<6,
∴△PAC面积为整数时,它的值为1、2、3、4、5,即△PAC有5个.

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来源莲
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