中考数学专题复习练习(三)第2课时解三角形和三角形相似(带答案)

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中考数学专题复习练习(三)第2课时解三角形和三角形相似(带答案)

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第2课时 解三角形和三角形相似
 
1.(2016•北京)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.
(1)求证:BM=MN;
(2)若∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.
 
解:(1)证明:在△CAD中,
∵M,N分别是AC,CD的中点,
∴MN∥AD,且MN=12AD.
在Rt△ABC中,∵M是AC的中点,∴BM=12AC.
又∵AC=AD,∴MN=BM.
(2)∵∠BAD=60°,且AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC=30°.
由(1)知BM=12AC=AM=MC.
∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°.
∵MN∥AD,∴∠NMC=∠DAC=30°.
∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°.
∴BN2=BM2+MN2.
由(1)知,MN=BM=12AC= 12×2=1.
∴BN=2.
2.(2016•白银)如图,已知EC∥AB, ∠EDA=∠ABF.
(1)求证:四边形ABCD为平行四边形;
(2)求证:OA2=OE•OF.
 
证明:(1)∵EC∥AB,
∴∠C=∠ABF.
又∵∠EDA=∠ABF,
∴∠C=∠EDA.
∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)∵EC∥AB,∴OAOE=OBOD.
又∵AD∥BC,∴OFOA=OBOD.
∴OAOE=OFOA,即OA2=OE•OF.
3.(2015•南充)如图,矩形纸片ABCD,将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP>AM),点A和点B都与点E重合 ;再将△CQD沿DQ折叠,点C落在线段EQ上点F处.
(1)判断△AMP,△BPQ,△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形?(不需说明理由)
(2)如果AM=1,sin∠DMF=35,那么AB的长为6.

 
解:(1)有三对 相似三角形,即△AMP∽△BPQ∽△CQD.
(2)设AP=x,由折叠关系可得BP=AP=EP=x,AB=DC=2x,AM=1. 
由△AMP∽△BPQ,得AMBP=APBQ,即BQ=x2.  
由△AMP∽△CQD,得APCD=AMCQ,即CQ=2.  
AD=BC=BQ+CQ=x2+2,
MD=AD-AM=x2+2-1=x2+1.  
又∵ 在Rt△FDM中,sin∠DMF=35,
DF=DC=2x,
∴sin∠DMF=DFMD=2xx2+1=35. 
解得x=3或x=13(不合题意,舍去).
∴AB=2x=6.
4.(2016•唐山路北区模拟)如图,在等腰△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点D是边AC的中点,点E是斜边AB上的动点,将△AED沿DE所在的直线折叠得到△A1DE.
(1)当点A1落在边BC(含边BC的端点)上时,折痕DE的长是多少?
(2)连接A1B,当点E在边AB上移动时,求A1B长的最小值.
 
解:(1)∵点D到边BC的距离是DC=DA=1,
∴点A1落在边BC上时,点A1与点C重合,如备用图所示.此时,DE为AC的垂直平分线,即DE为△ABC的中位线,
∴DE=12BC=1.
(2)连接BD.
在Rt△BCD中,BD=BC2+CD2=5.
由△A1DE≌△ADE,可得A1D=AD=1.
由A1B+A1D≥BD,得A1B≥BD-A1D=5-1.
∴A1B长的最小值是5-1.
5.(2015•资阳)E,F分别是正方形ABCD的边DC,CB上的点,且DE=CF,以AE为边作正方形AEHG,HE与BC交于点Q,连接DF.
(1)求证:△ADE≌△DCF;
(2)若E是CD的中点,求证:Q为CF的中点;
(3)连接AQ,设S△CEQ=S1,S△AED=S2,S△EAQ=S3,在(2)的条件下,判断S1+S2=S3是否成立?并说明理由.
 
解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠ADE=∠DCF=90°.
∵DE=CF,
∴△ADE≌△DCF(SAS).
(2)证明:∵四边形AEHG是正方形,∴∠AEH=90°.
∴∠AED+∠QEC=90°.
∵∠ADE=90°,∴∠AED+∠EAD=90°.
∴∠QEC=∠EAD .
∴△ADE∽△ECQ.∴CQDE=CEAD.
∵CEAD=DEAD=12,∴CQDE=CQCF=12.
∴点Q是CF中点.
(3)S1+S2=S3成立.
理由:∵△ADE∽△ECQ,∴CQDE=QEAE.
又∵DE=CE,∴CQCE=QEAE.
∵∠C=∠AEQ=90°, ∴△AEQ∽△ECQ.
∴ △AEQ∽△ECQ∽△ADE.
∴S1S3=(EQAQ)2,S2S3=(AEAQ)2.
∴S1S3+S2S3=(EQAQ)2+(AEAQ)2=EQ2+AE2AQ2.
由勾股定理得EQ2+AE2=AQ2,
∴S1S3+S2S3=1,即S1+S2=S3.
 
6.(2015•丽水)如图,在矩形ABCD中,E为CD的中点,F为BE上的一点,连接C F并延长交AB于点M,MN⊥CM交AD于点N.
(1)当F为BE中点时,求证:AM=CE;
(2)若ABBC=EFBF=2,求ANND的值;
(3)若ABBC=EFBF=n,当n为何值时 ,MN∥BE.
解:(1)证明:∵F为BE中点,∴BF=EF.
∵在矩形ABCD中 ,AB∥CD,
∴∠MBF=∠CEF,∠BMF=∠ECF.
∴△BMF≌△ECF(AAS).
∴MB=CE.
∵AB=CD,CE=DE,
∴MB=AM.∴AM=C E.
(2)设MB=a,
∵AB∥CD,∴△BMF∽△ECF.
∴EFBF=CEMB=2.∴CE=2a.
∴AB=CD=2CE=4a,AM=AB-MB=3a.
∵ABBC=2,∴BC=AD=2 a.
∵MN⊥MC,∠A=∠ABC=90°,
∴∠AMN+∠BMC=90°.
又∵∠AMN+∠ANM=90°,
∴∠BMC=∠ANM.
∴△AMN∽△BCM.
∴ANMB=AMBC,即ANa=3a2a.
∴AN=32a,ND=AD-AN=12a.
∴ANND=32a12a=3.
 
(3)设MB=a,
∵EFBF=n,且△MBF∽△CEF,
∴CEMB=EFBF.
∴CE=na,AB=CD=2na.
∵ABBC=n,∴BC=2a.
如图,当MN∥BE时,CM⊥BE.
∵∠BMC+∠BCM=90°,∠EBC+∠BCM=90°,∴∠BCM=∠EBC.
∴△MBC∽△BCE.
∴MBBC=BCCE,即aBC=BCna.
∴BC=na.
又∵BC=2a,∴na=2a.解得n=4.
∴当n=4时,MN∥BE.
7.(2016•石家庄模拟)提出问题:
(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,H分别在BC,AB上,若AE⊥DH于点O,求证:A E=DH;
类比探究:
(2)如图2,在正方形ABCD中,点H,E,G,F分别在AB,BC,CD,DA上,若EF⊥HG于点O,探究线段EF与HG的数量关系,并说明理由;
综合运用:
(3)在(2)问条件下,HF∥GE,如图3所示,已知BE=EC=2,EO=2FO,求图中阴影部分的面积.
 
解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=DA,∠ABE=90°=∠DAH.
∴∠HAO+∠O AD=90°.
∵AE⊥DH,∴∠ADO+∠OAD=90°.
∴∠HAO=∠ADO.
∴△ABE≌△DAH(ASA).∴AE=DH.
(2)EF=GH.理由:
将FE平移到AM处,则AM∥EF,AM=EF.
将GH平移到DN处,则DN∥GH,DN=GH.
∵EF⊥GH,∴AM⊥DN.
根据(1)的结论得AM=DN,∴EF=GH.
(3)∵四边形 ABCD是正方形,∴AB∥CD.
∴∠AHO=∠CGO.
∵FH∥EG,∴∠FHO=∠EGO.
∴∠AHF=∠CGE.
∴△AHF∽△CGE.∴AFCE=FHEG=FOOE=12.
又∵EC=2,∴AF=1.
过点F作FP⊥BC于点P,根据勾股定理得EF=17.
∵FH∥EG,∴FOFE=HOHG.
根据(2)知EF=GH,∴FO=HO.
∴S△FOH=12FO2=12×(13EF)2=1718,
S△EOG=12EO2=12×(23EF)2=6818.
∴阴影部分面积为1718+6818=8518.

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