2018年河北中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第2章方程组与不等式组第2节一元二次方程及应用精讲试题

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2018年河北中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第2章方程组与不等式组第2节一元二次方程及应用精讲试题

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第二节 一元二次方程及应用
 
河北五年中考命题规律
年份 题号 考查点 考查内容 分值 总分
2017 19 一元二次方程的解法 综合题,在新定义的背景下用直接开平方法解一元二次方程 3 7
 26(2) 一元二次方程及根的判别式 利用题中已知条件列出方程,并用判别式判断根的情况 4 
2016 14 一元二次方程根的判别式 利用已知条件判断含字母系数的一元二次方程的根的情况 2 2
2015 12 一元二次方程根的判别式 考一元二次方程无实数根求参数的取值范围 2 2
2014 21 解一元二次方程 (1)从推导一元二次方程的求根公式的步骤中找错误,并写出正确的求根公式;
(2)用配方法解一元二次方程 10 10
2013年未考查
命题规律 纵观河北近五年中考,2014、2015、2016、2017年考查了一元二次方程,分值2~10分,涉及的题型有选择、填空、解答,题目难度一般,其中一元二次方程的配方法在选择和解答题中各考查了1次,一元二次方程的应用在选择、填空中各考过1次,一元二次方程根的判别式考查了3次,属基础题.
 

河北五年中考真题及模拟                  

  一元二次方程的解法
1.(2014河北中考)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时,对于b2-4ac>0的情况,她是这样做的:
由于a≠0,方程ax2+bx+c=0变形为:
x2+bax =-ca,第一步
x2+bax+b2a2=-ca+b2a2,第二步
x+b2a2=b2-4ac4a2,第三步
x+b2a=b2-4ac4a(b2-4ac>0),第四步
x=-b+b2-4ac2a.第五步
(1)嘉淇的解法从第__四__步开始出现错误;事实上,当b2-4ac>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为__x=-b±b2-4ac2a__.
(2)用配方法解方程:x 2-2x-24=0.
解:x1=6,x 2=-4.
2.(2017沧州中考模拟)在解方程(x+2)(x-2)=5时,甲同学说:由于5=1×5,可令x+2=1,x-2=5,得方程的根x1=-1,x2=7;乙同学说:应把方程右边化为0,得x2-9=0,再分解因式,即(x+3)(x-3)=0,得方程的根x1=-3,x2=3.对于甲、乙两名同学的说法,下列判断正确的是( A )
A.甲错误,乙正确  B.甲正确,乙错误
C.甲、乙都正确  D.甲、乙都错误
3.(2016石家庄二十八中一模)现定义运算“★”,对于任意实数a,b,都有a★b=a2-3a+b,如3★5=32-3×3+5,若x★2=6,则实数x的值是( B )
A.-4或-1  B.4或-1
C.4或-2  D.-4或2
  一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
4.(2015河北中考)若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根,则a的取值范围是( B )
A.a<1  B.a>1
C.a≤1  D.a≥1

5.(2016河北中考)a,b,c为常数,且(a-c)2>a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是( B )
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.有一根为0
6.(2016唐山十三中三模)已知关于x的方程2x2-mx-6=0的一个根是2,则m=__1__,另一个根为__-32__.
7.(2017唐山二模)对于实数a,b,定义新运算“*”:a*b=a2-ab(a≥b),ab-b2(a<b),例如:4*2,因为4>2,所以4*2=42-4×2=8.
( 1)求(-5)*(-3)的值;
(2)若x1,x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根,求x1*x2的值.
解:(1)∵-5<-3,
∴(-5)*(-3 )=(-5)×(-3)-(-3)2=6;
(2)方程x2-5x+6=0的两根为2或3;
①2*3=2×3-9=-3;②3*2=32-2×3=3.
  一元二次方程的应用
8.(2016邯郸25中模拟)某超市一月份的营业额为36万元,三月份的营业额为48万元,设每月的平均增长率为x,则可列方程为( D )
A.48(1-x)2=36  B.48(1+x)2=36
C.36(1-x)2=48  D.36(1+x)2=48
9.(2016石家庄十八县重点中学一模)为落实“两免一补”政策,某市2014年投入教育经费2 500万元,预计2016年要投入教育经费3 600万元.已知2014年至2016年的教育经费投入以相同的百分 率逐年增长,则2015年该市要投入的教育经费为__3__000__万元.
10.(2017河北中考)某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产,其中x>0.每件的售价为18万元,每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价与月需求量x(件)成反比.经市场调研发现,月需求量x与月份n(n为整数,1≤n≤12)符合关系式x=2n2-2kn+9(k+3)(k为常数),且得到了表中的数据.

月份n(月) 1 2
成本y(万元/件) 11 12
需求量x(件/月) 120 100
(1)求y与x满足的关系式,请说明一件产品的利润能否是12万元;

(2)求k,并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损;
(3)在这一年12个月中,若第m个月和第(m+1)个月的利润相差最大,求m.
解:(1)由题意,设y=a+bx,
由表中数据得11=a+b120,12=a+b100,
解得a=6,b=600,
∴y=6+600x,
由题意,若12=18-6+600x,则600x=0,
∵x>0,
∴600x>0,
∴不可能;
(2)将n=1,x=120代入x=2n2-2kn+9(k+3),得120=2-2k+9k+27,
解得k=13,
∴x=2n2-26n+144,
将n=2,x=100代入x=2n2-26n+144也符合,
∴k=13;
由题意,得18=6+600x,
解得x=50,
∴50=2n 2-26n+144,即n2-13n+47=0,
∵Δ=(-13)2-4×1×47<0,
∴方程无实数根,
∴不存在;
(3)设第m个月的利润为W,
W=x(18-y)=18x-x6+600x
=12(x-50)
=24(m2-13m+47),
∴第(m+1)个月的利润为W′=24[(m+1)2-13(m+1)+47]=24(m2-11m+35),
若W≥W′,W-W′=48(6-m),m取最小值1时,W-W′取得最大值240;
若W<W′,W′-W=48(m-6),由m+1≤12知m取最大值11时,W′-W取得最大值240;
∴m=1或11.
 

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  一元二次方程的概念
1.只含有__1__个未知数,未知数的最高次数是__2__,像这样的__整式__方程叫一元二次方程.其一般形式是__ax2+bx+c=0(a≠0)__.
【易错警示】判断一个方程是一元二次方程的条件:①是整式方程;②二次项系数不为零;③未知数的最高次数是2,且只含有一个未知数.

  一元二次方程的解法
2.

直接开
平方法 这种方法适合于左边是一个完全平方式,而右边是一个非负数的一元二次方程,即形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
配方法 配方法一般适用于解二次项系数为1,一次项系数为偶数的这类一元二次方程,配方的关键是把方程左边化为含有未知数的__完全平方__式,右边是一个非负常数.

公式法 求根公式为__x=-b±b2-4ac2a(b2-4ac≥0)__,适用于所有的一元二次方程.
因式分
解法 因式分解法的步骤:(1)将方程右边化为__0__;(2)将方程左边分解为一次因式的乘积;(3)令每个因式等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是一元二次方程的解.

【温馨提示】关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解法:
(1)当b=0,c≠0时,x2=-ca,考虑用直接开平方法解;
(2)当c=0,b≠0时,用因式分解法解;
(3)当a=1,b为偶数时,用配方法解简便.

  一元二次方程根的判别式
3.根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由__b2-4ac__来判定,我们将__b2-4ac__称为根的判别式.
4.判别式与根的关系:
(1)b2-4ac>0⇔方程有__两个不相等__的实数根;
(2)b2-4ac<0⇔方程没有实数根;
(3)b2-4ac=0⇔方程有__两个相等__的实数根.
【易错警示】(1)一元二次方程有实数根的前提是b2-4ac≥0;(2)当a,c异号时,Δ>0.

  一元二次方程的应用
5.列一元二次方程解应用题的步骤:
(1)审题;(2)设未知数;(3)列方程;(4)解方程;(5)检验;(6)做结论.
6.一元二次方程应用问题常见的等量关系 :
(1)增长率中的等量关系:增长率=增量÷基础量;
(2)利率中的等量关系:本息和=本金+利息,利息=本金×利率×时间;
(3)利润中的等量关系:毛利润=售出价-进货价,纯利润=售出价-进货价-其他费用,
利润率=利润÷进货价.
 

 ,中考重难点突破                  

  一元二次方程的解法
【例1】(2016保定十七中二月调研)解下列方程:
(1)(x-2)2=12;(2)x2-4x+1=0;(3)x2-3x+1=0;(4)x2=2x.
【解析】(1)可以用直接开平方法解;(2)因为b=-4是偶数,可以用配方法解;(3)因为b=-3是奇数,配方法解较复杂,可用公式法;(4)直接因式分解.
【答案】解:(1)直接开平方,得x-2=±22,即x1=2+22,x2=2-22;
(2)配方,得(x-2)2=3,直接开平方,得x-2=±3,即x1=2+3,x2=2-3;
(3)∵a=1,b=-3,c=1,∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5>0,∴x=-(-3)±52×1,即x1=3+52,x2=3-52;
(4)分解因式,得x(x-2)=0.即x1=2,x2=0.
 
1.方程(x-3)(x+1)=0的解是( C )
A.x=3  B.x=-1
C.x1=3,x2=-1  D.x1=-3,x2=1
2.(2016唐山路北一模)用配方法解一元二次方程x2+4x-5=0,此方程可变形为( A )
A .(x+2)2=9  B.(x-2)2=9
C.(x+2)2=1  D.(x-2)2=1
3.用公式法解方程:
(1)(广东中考)x2-3x+2=0;
解:x1=1,x2=2;
 
(2)(兰州中考)x2-1=2(x+1).
解:x1=-1,x2=3.
 

  一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
【例2】(2017包头中考)若关于x的不等式x-a2<1的解集为x<1,则关于x的一元二次方程x2+ax+1=0根的情况是( A )
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
【解析】解不等式x-a2<1得x<1+a2,而不等式x-a2<1的解集为x<1,所以1+a2=1,解得a=0,又因为Δ=a2-4=-4,所以关于x的一元二次方程x2+ax+1=0没有实数根.故选C.
【答案】C
 
4.(2016唐山丰润二模)方程x2-x+3=0根的情况是( D )
A.只有一个实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.没有实数根
5.(2016保定博野模拟)已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( C )
A.a>2  B.a<2
C.a<2且a≠1  D.a<-2
6.(2017咸宁中考)已知a,b,c为常数,点P(a,c)在第二象限,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是( B )
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
  一元二次方程的应用
【例3】(2017达州中考)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本,其中固定成 本每年均为4万元,可变成本逐年增长,已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元,设可变成本平均每年增长的百分率为x.
(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为________万元;
(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元,求可变成本平均每年增长的百分率.
【解析】(1)根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6(1+x)万元,则第三年的可变成本为2.6(1+x)2万元;(2)根据养殖成本=固定成本+可变成本建立方程即可.
【答案】(1)2.6(1+x)2;
(2)由题意,得4+2.6(1+x)2=7.146.
解得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意,舍去).
答:可变成本平均每年增长的百分率为10%.
【例4】有一人患了流感,经过两轮传染后共有256人患了流感,则每轮传染中平均一个人传染( A )
A.17人  B.16人
C.15人  D.10人
【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮传染了x个人;患流感的人把病毒传染给别人,自己也包括在总数中,第二轮作为传染源的是(x+1)人,每人传染x个人,则传 染x(x+1)人.两轮后得流感的总人数为: 一开始的1人+第一轮传染的x个人+第二轮传染的x(x+1)人,列方程:1+x+x(1+x)=256,解得x1=15,x2=-17.因为x表示人数,所以x=-17不合题意,应舍去;取x=15,故选C.
【答案】C
【例5】商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x元.据此规律,正常销售情况下,每件商品降价多少元时,商场日盈利可达到2 100元?
【解析】设降价x元,则每件盈利(50-x)元,数量增多2x件,再由单件利润×数量=2 100即可.
【答案】解:设每件商品降价x元,则商场日销售量增加 2x件,每件商品盈利(50-x)元.由题意,得(50-x)(30+2x)=2 100.
整理,得x2-35x+300=0.
解得x1=15,x2=20.
∵要尽快减少库存,
∴x=15不合题意,舍去,只取x=20.
答:每件商品降价20元时,商场日盈利可达到2 100元.
【例6】(2017南通中考)如图,为美化校园环境,某校计划在一块长为60 m,宽为40 m的长方形空地上修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的甬道,设甬道宽为a m.
(1)用含a的式子表示花圃的面积;
(2)如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的38,求出此时甬道的宽.
 
【解析】(1)用含a的式子先表示出花圃的长和宽,再利用矩形面积公式列出式子即可;(2)甬道所占面积等于大长方形空地面积减去中间小花圃的面积,再根据甬道所占面积是 整个长方形空地面积的38,列出方程进行计算即可.
【答案】解:(1)(60-2a)(40-2a);
(2)由题意,得
60×40-(60-2a)(40-2a)=38×60×40,
解得a1=5,a2=45(舍去).
答:此时甬道的宽为5 m.
 
7.(2017巴中中考)某地2014年外贸收入为2.5亿元,2016年外贸收入达到了4亿元,若平均每年的增长率为x,则可以列出方程为( A )
A.2.5(1+x)2=4
B.(2.5+x%)2=4
C.2.5(1+x)(1+2x)=4
D.2.5(1+x%)2=4
 
8.公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了1 m,另一边减少了2 m,剩余空地的面积为18 m2,求原正方形空地的边长.设原正方形的空地的边长为x m,则可列方程为( C )
A.(x+1)(x+2)=18
B.x2-3x+16=0
C.(x-1)(x-2)=18
D.x2+3x+16=0
9.(2017原创)有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患 了流感,问每轮传染中平均一个人传染__7__个人.如果不及时控制,第三轮又将有__448__人被传染.
10.为了绿化校园环境,学校向某园林公司购买了一批树苗.园林公司规定;如果购买树苗不超过60棵,每棵售价120元;如果购买树苗超过60棵,每增加1棵,每棵所出售的这批树苗售价均降低0.5元,但每棵树苗最低售价不得少于100元.该校最终向园林公司支付树苗款8 800元,那么该校共购买了多少棵树苗?
解:设该校共买了x棵树苗.
120×60=7 200(元).
∵7 200<8 800,
∴购买树苗超过60棵;
x[120-0.5(x-60)]=8 800,
x1=220,x2=80,
当x=220时,120-0.5×(220-60)=40<100,
∴x=220舍去.∴x=80.
答:该校共购买了80棵树苗.

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