2018届中考数学一模试卷分类汇编:几何证明(上海市16区含答案)

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2018届中考数学一模试卷分类汇编:几何证明(上海市16区含答案)

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上海市16区2018届九年级上学期期末(一模)数学试卷分类汇编

几何证明专题
宝山区
23.(本题满分12分,每小题各6分)
如图,△ABC中,AB=AC,过点C作CF∥AB交△ABC的中位线DE的延长线于F,联结BF,交AC于点G.
(1)求证: ;
(2)若AH平分∠BAC,交BF于H,求证:BH是HG和HF的比例中项.
 
长宁区

23.(本题满分12分,第(1)小题6分,第(2)小题6分)
如图,在 ABC中,点D在边BC上,联结AD,∠ADB=∠CDE,
DE交边AC于点E,DE交BA延长线于点F,且 .
   (1)求证: ∽ ;
(2)求证: .
 


崇明区
23.(本题满分12分,每小题各6分)
  如图,点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,联结DE,过顶点B作 ,垂足为F,BF交边DC于点G.
(1)求证: ;
(2)联结CF,求证: .
 

奉贤区
已知:如图,四边形ABCD,∠DCB=90°,对角线BD⊥AD,点E是边AB的中点,CE与BD相交于点F,
(1)求证:BD平分∠ABC;
(2)求证: .
 

虹口区
如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,DE、BC的延长线相交于点F,且 .
(1)求证 ;
(2)当AB=12,AC=9,AE=8时,求BD的长与 的值.
 
黄浦区
23.(本题满分12分)
    如图,BD是△ABC的角平分线,点E位于边BC上,已知BD是BA与BE的比例中项.
    (1)求证:∠CDE= ∠ABC;
    (2)求证:AD•CD=AB•CE.
 


嘉定区
23.
如图6,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,点E在对角线AC上,且满足∠ADE=∠BAC。
(1)求证:CD·AE=DE·BC;
(2)以点A为圆心,AB长为半径画弧交边BC于点F,联结AF。
求证:AF2=CE·CA。
金山区

23.(本题满分12分,每小题6分)
如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC > BC,CD是Rt△ABC的高,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线相交于点F.
(1)求证:DF是BF和CF的比例中项;
(2)在AB上取一点G,如果AE·AC=AG·AD,
求证:EG·CF=ED·DF.
 


静安区
23.(本题满分12分,其中第(1)小题6分,第(2)小题6分)
已知:如图,梯形ABCD中,DC∥AB,AD=BD ,AD⊥DB,点E是腰AD上一点,作∠EBC=45°,联结CE,交DB于点F.
(1)求证:△ABE∽△DBC;
(2)如果 ,求 的值.
 

闵行区
23.(本题共2小题,每小题6分,满分12分)
如图,已知在△ABC中,∠BAC =2∠B,AD平分∠BAC,
DF//BE,点E在线段BA的延长线上,联结DE,交AC于点G,且∠E =∠C.
(1)求证: ;
(2)求证: .


浦东新区
23.(本题满分12分,其中第(1)小题6分,第(2)小题6分)
如图,已知,在锐角△ABC中,CE⊥AB于点E,点D在边AC上,
联结BD交CE于点F,且 .
(1)求证:BD⊥AC;
(2)联结AF,求证: .
 

普陀区

23.(本题满分12分)
已知:如图9,四边形 的对角线 和 相交于点 , ,
 .
求证:(1)△ ∽△ ;
(2) .

 
青浦区

23.(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题8分)
如图8,已知点D、E分别在△ABC的边AC、BC上,线段BD与AE交于点F,且 .
(1)求证:∠CAE=∠CBD;
(2)若 ,求证: .        

松江区

23. (本题满分12分,每小题各6分)
已知四边形ABCD中,∠BAD=∠BDC=90°, .
(1)求证:AD∥BC;
(2) 过点A作AE∥CD交BC于点E.请完善图形并求证: .
 

徐汇区

23.(本题满分12分,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分7分)
如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在边BC、AB、AC上,且∠ADE=∠B,∠ADF=∠C,线段EF交线段AD于点G.
(1)求证:AE=AF;
(2)若 ,求证:四边形EBDF是平行四边形.
 

杨浦区
23.(本题满分12分,第(1)小题5分,第(2)小题7分)
已知:梯形ABCD中,AD//BC,AD=AB,对角线AC、BD交于点E,点F在边BC上,且∠BEF=∠BAC.
(1)求证:△AED∽△CFE;
(2)当EF//DC时,求证:AE=DE.
 

参考答案
宝山区
 
长宁区
23.(本题满分12分,第(1)小题6分,第(2)小题6分)
证明:(1)∵      ∴
∵     ∴ ∽              (2分)
      ∴                                       (1分)
又∵∠ADB=∠CDE    ∴∠ADB+∠ADF=∠CDE+∠ADF
即∠BDF=∠CDA                                            (2分)
∴ ∽                                           (1分)
(2)∵ ∽   ∴                         (2分)
∵       ∴                          (1分)
∵ ∽     ∴ ∴             (1分)
∴     ∴ .                  (2分)
崇明区
23、(1)∵四边形 是正方形
        ∴ ,   …………………………1分
        ∵    ∴ 
∴   ………………………………………………1分
∵四边形 是正方形,BD是对角线
∴   ……………………………………1分
∴  ……………………………………………………1分
奉贤区
 
虹口区
 
黄浦区
23. 证:(1)∵BD是AB与BE的比例中项,
∴ ,————————————————————————(1分)
又BD是∠ABC的平分线,则∠ABD=∠DBE, ——————————(1分)
∴△ABD∽△DBE,——————————————————————(2分)
           ∴∠A=∠BDE.  ———————————————————————(1分)
           又∠BDC=∠A+∠ABD,
           ∴∠CDE=∠ABD= ∠ABC,即证. ———————————————(1分)
(2)∵∠CDE=∠CBD,∠C=∠C, ——————————————————(1分)
     ∴△CDE∽△CBD,——————————————————————(1分)
∴ .————————————————————————(1分)
又△ABD∽△DBE,
∴ —————————————————————————(1分)
∴ ,————————————————————————(1分)
∴ .———— —————————————————(1分)
嘉定区

23.
如图6,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,点E在对角线AC上,且满足∠ADE=∠BAC。
(3)求证:CD·AE=DE·BC;
(4)以点A为圆心,AB长为半径画弧交边BC于点F,联结AF。
求证:AF2=CE·CA。
【评析】(1)因为AD∥BC,所以∠DAE=∠ACB,又因为∠ADE=∠BAC,所以△ADE∽△CAB,因此 ,又因为AB=CD,所以 ,所以CD·AE=DE·BC。
(2)因为△ADE∽△CAB,所以∠AED=∠B,因为梯形ABCD是等腰梯形,所以∠B=∠DCB,即∠AED=∠DCB,又因为∠DCB+∠CDA=180°,∠AED+∠CED=180°,所以∠CDA=∠CED,又因为∠DCA=∠EDC,所以△CDA∽△CED,所以 ,即CD2=CE·CA,又因为半径为AB,所以AF=AB,即AF=CD,所以AF2=CE·CA
【解答】证明同上
金山区
 
静安区
23.证明:(1)∵AD=BD ,AD⊥DB,∴∠A=∠DBA =45°………………………(1分)
又∵DC∥AB ,∴∠CDB =∠DBA=45°, ∴∠CDB =∠A,     ………………………(2分)
∵∠EBC=45°,∴∠EBC=∠DBA,      ……………………………………………(1分)
∴∠EBC-∠DBE =∠DBA-∠DBE,即∠DBC =∠ABE       ………………………(1分)
∴△ABE∽△DBC      ……………………………………………………………………(1分)
(2)∵△ABE∽△DBC,  ∴    ………………………………………………(2分)
∴ ,且∠EBC=∠DBA,∴△BCE∽△BDA  ………………………………(2分)
又∵ ,∴ .  ……………………………………………(2分)
闵行区
23.证明:(1)∵AD平分∠BAD,∴∠BAD=∠CAD.
∵∠BAC=2∠B,∴∠BAD=∠CAD=∠B.……………………………(1分)
∵DF∥BE,∴∠BAD=∠ADF.…………………………………………(1分)
∴∠ADF=∠B.……………………………………………………………(1分)
∴△ABD∽△ADF.………………………………………………………(1分)
∴ .……………………………………………………………(1分)
∴ .………………………………………………………(1分)
(2)∵∠CAD=∠B,∠C=∠C,
∴△CDA∽△CAB.……………………………………………………(1分)
∴ .……………………………………………………………(1分)
∵∠BAD=∠B, …………………………………………………………(1分)
∴AD=AB.
又∵∠CAD=∠B,∠E=∠C,
∴△CAD≌△EBD.………………………………………………………(1分)
∴DE=DC,BE=AC.
∴ .……………………………………………………………(1分)
∴ .……………………………………………………(1分)
浦东新区
23.证明:(1)∵  ,
∴  .  ………………………(1分)
∵ ∠EFB=∠DFC,  …………………(1分)
∴  △EFB∽△DFC. …………………(1分)
∴  ∠FEB=∠FDC. ………………… (1分)
∵  CE⊥AB,
∴  ∠FEB= 90°.……………………… (1分)
∴  ∠FDC= 90°.
∴  BD⊥AC. ………………………… (1分)
(2)∵  △EFB∽△DFC,
              ∴  ∠ABD =∠ACE. …………………………………………… (1分)
 ∵  CE⊥AB,
∴  ∠FEB= ∠AEC= 90°.
              ∴  △AEC∽△FEB.  ……………………………………………(1分)
              ∴   .……………………………………………………(1分)
              ∴   .  …………………………………………………(1分)
∵  ∠AEC=∠FEB= 90°,
              ∴  △AEF∽△CEB.………………………………………………(1分)
              ∴   ,∴  . ………………………(1分)
普陀区
22.证明:
(1)∵ ,∴ .  (1分)
又∵ ,∴△ ∽△ . (1分)
∴ . (1分)
∵ ,∴ .  (1分)
∴ . (1分)
又∵ ,∴△ ∽△ . (1分)

(2)∵△ ∽△ ,∴ . (1分)
∴ . (1分)
∵ ,∴△ ∽△ . (1分)
∵△ ∽△ ,∴△ ∽△ . (1分)
∴ . (1分)
∴ . (1分)
青浦区
23.(1)证明:∵ ,∴ , ………………………………………(1分)
∵∠ECA=∠DCB,……………………………………………………………………(1分)
∴△CAE∽△CBD,……………………………………………………………………(1分)
∴∠CAE=∠CBD.……………………………………………………………………(1分)
(2)证明:过点C作CG//AB,交AE的延长线于点G.
∴ ,…………………………………………………………………………(1分)  
∵ ,∴ ,……………………………………………………………(1分)
∴CG=CA, ……………………………………………………………………………(1分)
∴∠G=∠CAG,………………………………………………………………………(1分)
∵∠G=∠BAG,∴∠CAG=∠BAG.………………………………………………(1分)
∵∠CAE=∠CBD,∠AFD=∠BFE,∴∠ADF=∠BEF.…………………………(1分)
∴△ADF∽△AEB,……………………………………………………………………(1分)
∴ ,∴ .…………………………………………………(1分)
松江区
23.证明(1)∵
∴ ……………………………2分
又 ∵∠BAD=∠BDC=90°
∴△ ∽△ ……………………2分
∴  ……………………1分
∴AD∥BC…………………………………1分
(2)∵AD∥BC, ∠BAD =90°,

又 ∵∠BDC=90°
∴ …………………1分
∵AE∥CD 
∴ ……………………………1分
∴△ ∽△ ………………………1分

∴ ……………………1分
又 ∵AD∥BC  AE∥CD
∴四边形ADCE是平行四边形
∴AE=CD……………………………………1分
∴ …………………………1分
徐汇区
23.在△ABC中,∵∠EAD=∠BAD,∠ADE=∠B,
∴     ……………………………………………………(2分)
∴ …………………………………………………………(1分)
同理有 ,  ………………………………(1分)
∴ ,∴AE=AF. ……………………………………(1分)

(2)∵ AB=AC,AE=AF,∴ ,∴EF∥BC.………………………………(1分)
        由(1) 有 ,………………………………………(1分)
 有 , 且 ; ……………………………(1分)
∴ ,即      ………………………………………………(1分)
∵ ,∴ ,    ………………………………………………(1分)
∵ ,∴ ,   ……………………………………………………(1分)
∴ DF∥AB.   ………………………………………………………………………(1分)
∴ 四边形EBDF是平行四边形.  
杨浦区
23.(本题满分12分,第(1)小题5分,第(2)小题7分)
证明:(1)∵∠BEC=∠BAC+∠ABD,
∠BEC=∠BEF+∠FEC,
又∵∠BEF=∠BAC,∴∠ABD=∠FEC.------------------------------------ (1分)
∵AD=AB,∴∠ABD=∠ADB.------------------------------------------------- (1分)
∴∠FEC=∠ADB.      -------------------------------------------------------- (1分)
∵AD//BC,∴∠DAE=∠ECF.--------------------------------------------------- (1分)
∴△AED∽△CFE.     --------------------------------------------------------- (1分)
(2)∵EF//DC,∴∠FEC=∠ECD.   --------------------------------------------------- (1分)
     ∵∠ABD=∠FEC ,∴∠ABD=∠ECD.--------------------------------------------- (1分)
     ∵∠AEB=∠DEC. ∴△AEB∽△DEC. ----------------------------------------------- (1分)
     ∴ .------------------------------------------------------------------------------(1分)
     ∵AD//BC,∴ .----------------------------------------------------------------(1分)
     ∴ .即 .-------------------------------------------(1分)
∴ AE=DE.  ----------------------------------------------------------------------------- (1分)
 

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