2018届中考数学专项训练(三)相似图形(冀教版附答案)

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2018届中考数学专项训练(三)相似图形(冀教版附答案)

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专项训练(三)  相似图形

一、选择题
1.如图,线段AB∶BC = 1∶2,那么AC∶BC等于(    )
A.1∶3    B.2∶3    C.3∶1      D.3∶2
    
     第1题图                  第2题               第3题
2.如图,在△FBC中,A是BF上的一点,过A点作AE∥BC交CF于点E,过C点作CD∥BF交AE的延长线于点D,若AE=2ED,CD=3cm,则AF的长为(     )
A.5cm       B.6cm      C.7cm      D.8cm
3.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C;直线DF分别交l1,l2,l3于点D,E,F.AC与DF相交于点H,且AH=2,HB=1,BC=5,则的值为(  )
A.         B.2        C.         D.
4.如图所示,已知点C、D都是线段AB的黄金分割点,如果CD=4,则AB长度是(    )
A.2 -2     B.6-2      C.8+4    D.2+
          

        第4题               第5题           第6题                 第7题
5.如图,在△ABC中,点D在边AB上,BD=2AD,DE∥BC交AC于点E,若线段DE=5,则线段BC的长为(  )
A.7.5     B.10         C.15     D.20
6.如图,△ABC中,AE交BC于点D,∠C= ∠E,AD:DE=3:5,AE=8,BD=4,则CD的长等于(  )
A.        B.        C.      D.
7.如图,A,B两地被池塘隔开,小明通过下列方法测出了A、B间的距离:先在AB外选一点C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的长为12m,由此他就知道了A、B间的距离.有关他这次探究活动的描述错误的是(  )
A.AB=24m                 B.MN∥AB          
C.△ CMN∽△CAB           D.CM:MA=1:2


8. 如图,点A,B,C,D的坐标 分别是A(1,7),B(1,1), C(4,1),D(6,1),以C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则点E的坐标不可能是(  )
A.(6,0)     B.(6,3)  C.(6,5)    D.(4,2)
 
二、填空
9.如图,在边长为3的菱形ABCD中,点E在边CD上,点F为BE延长线与AD延长线的交点.若DE=1,则DF的长为  .
          
第9题                          第10题       第11题   
10.将一副三角板按图叠放,则△AOB与△D OC的面积之比等于          .
11.顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形,如图,△ABC,△BDC,△DEC都是黄金三角形,已知AB=10,则DE的长度为              .
         
      第12题                    第13题                 第14题
12.如图,在 边长为9的正三角形ABC中,D、E分别是BC、AC上的一点,BD=3,已知∠ADE=60°,则AE的长为       .
13.如图所示,在小孔成像问题中,若O到物体AB的距离是18cm,O到物体的像CD的距离是6cm,,则CD的长是AB长的            .
14. 如图,在△ABC中,AB=AC=a,BC=b(a>b).在△ABC内依次 作∠CBD=∠A,∠DCE=∠CBD,∠EDF=∠DCE.则EF等于    .

三、解答题
15.如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE于点D,BE⊥CE于点E.
(1)求证:ACD△≌△CBE;
(2)已知AD=4,DE=1,求EF的长.
 

16. 如图所示,在△ABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,动点 P在射线EF上,BP交CE于D,∠CBP的平分线交CE于点Q,当CQ= CE时,求EP + BP的长.
 

17.如图,某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度,他们通过调整测量位置,使斜边DF与地面保持平行,并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上,已知DE=0.5米,EF=0.25米,目测点D到地面的距离DG=1.5米,到旗杆的水平距离CD=20米,求旗杆的高度.
 
18.如图,正方形ABCD的边长为l,AB边上有一动点P,连接PD,线段P D绕点P顺时针旋转90°后,得到线段PE,且PE交BC于F,连接DF,过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q.
(1)求线段PQ的长;
(2)问:点P在何处时,△PFD∽△BFP,并说明理由.


参考答案与解析
1.D
2.B 解析:在平行四边形ABCD,AB∥CD,所以 = .因AE=2ED,CD=3,所以 = ,解得AF=6.
3.D  解析:∵AH=2,HB=1,∴AB=3.∵l1∥l2∥l3,
∴ = = = = .
4.C  解析:观察图形,得CD=AD-AC=AD-(AB-BC)=2AD-AB=2× -AB=( -2)AB=4,则AB= =8+4 .
5.C  解析:由BD=2AD,得 = ,由DE∥BC ,得△ADE∽△ABC,所以 = ,即 = ,解得DE=15.
6.A   解析:由∠C=∠E,∠ADC=∠BDE,得△ ADC∽△BDE, = .又AD:DE=3:5,AE =8,BD=4,得AD=3,DE=5所以CD= ×5= .
7.D   解析:因为M、N分别是AC,BC的中点,所以MN∥AB,MN= AB,得AB=2MN=2×12=24m,A,B正确;由MN∥AB,得△CMN∽△CAB,C正确;因为M是AC的中点,所以CM=MA,即CM:MA=1:1,D错误.
8.B   解析:当点E为(6,0)时,CD与AB是对应边且△CDE∽△ABC;当点E为(6,3)时,△CDE为等腰直角三角形,不与△ABC相似;当点E为(6,5)时,CD与BC为对应边,且△EDC∽△ABC;当点E为(4,2)时,CD与AB为对应边,且△DCE∽△ABC,故B.
9.    解析: 因为DE=1,DC=3,所以CE=3﹣1=2.因为四边形ABCD是菱形,所以AD∥BC,则△DEF∽△CEB,得 = ,即 = ,解得DF= .
10.1:3  解析:解:由AB∥CD,得△AOB∽△COD.又因为AB:CD=BC:CD=tan30°=1: ,所以△AOB与△DOC的面积之比等于1:3.
易错点拨:在利用相 似三角形的面积之比等于相似比的平方解题时,最容易因为麻 痹大意出现丢掉平方的错误,因此一定要高度警惕.
11.5(3- )  解析:根据题意,△CDE∽△CAB,则DE:AB=CD: AC,即DE=CD= AB
12.7 解析:因为△ABC是等边三角形,所以CD=BC﹣BD=9﹣3=6,由此可证△ABD∽△DCE,则 = ,即 = ,解得CE=2,故AE=AC﹣CE=9﹣2=7.
13.  
14.   解析:根据题意,得△ABC、△BCD、△CDE、△DEF都是等腰三角形,且△ABC∽△BCD∽△CDE∽△DEF,则 = = = ,由此即可求出CD,进而求得DE,再求得EF.
15.解:(1)证明:∵AD⊥CE,∴∠2+∠3=90°.又∵∠1+∠2=90°,∴∠1=∠3.
又∵BE⊥CE、AD⊥CE,∴∠E=∠ADC=90°.在△ACD和△CBE中,  ,∴△ACD≌△CBE.
(2)解:∵△ACD≌△CBE,∴CE=AD=4.∴CE=CE-DE=4-1=3.∵∠E=∠ADF,∠BFE=∠AFD,∴△BEF∽△ ADF.∴ = .
设EF=x,则DF=1-x∴ = ,解得x= ,即EF= .
16.解:如图,延长BQ交射线EF于M,如答图所示.∵E、F分别是AB、AC的中点,
∴EF∥BC,∴∠M=∠CBM.∵BQ是∠CBP的平分线,∴∠PBM=∠CBM.
∴∠M=∠PBM,∴BP=PM.∴EP+BP=EP+PM=EM.∵CQ=  CE,∴EQ=2CQ,
由EF∥BC得,△MEQ∽△BCQ.∴ =2.∴EM=2BC=2×6=12,即EP+BP=12.
 
17.解:∵AB⊥BG,CD∥BG,∴∠ACD=∠FED=900.又∵∠ADC=∠FDE,∴△DEF∽△DCA,则 = .∵DE=0.5米,EF=0.25米,DG=1.5m,DC=20m,∴ = ,解得AC=10.
∴AB=AC+BC=10+1.5=11.5(m),
答:旗杆的高度为11.5m.
方法点拨:利用相似三角形测量物体的高度(或长度、深度)时,关键是能利用图中的相似三角形,进而利用“相似三角形对应边的比等于相似比”求解,当题目中没有所需要的相似三角形时,需要作辅助线构造相似三角形.构造相似三角形常用的方法有三种,即:①构造“A型”相似三角形;②构造“X型”相似三角形;③构造“子母型”相似三角形等.
18.解:(1)根据题意得:PD=PE,∠DPE=90°,∴∠APD+∠QPE=90°.
∵四边形ABCD是正方形,∴∠ A=90°.∴∠ADP+∠APD=90°.∴∠ADP=∠QPE.
∵EQ⊥AB,∴∠A=∠Q=90°.
在△ADP和△QPE中, ,∴△ADP≌△QPE(AAS).
∴PQ=AD=1.
(2)∵△PFD∽△BFP,∴ = .∵∠ADP=∠EPB,∠CBP=∠A,∴△DAP∽△PBF.
∴ = .∴ = ,得PA=PB.∴PA= AB = .∴当PA= 时,△PFD∽△BFP.

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