2018届盐城市东台九年级数学上第一次月考试卷(含答案和解释)

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2018届盐城市东台九年级数学上第一次月考试卷(含答案和解释)

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2017-2018学年江苏省盐城市东台九年级(上)第一次月考数学试卷
 
一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
1.下列方程中,关于x的一元二次方程是(  )
A.3(x+1)2=2(x+1) B.  C.ax2+bx+c=0 D.x2+2x=x2﹣1
2.方程x2=9的解是(  )
A.x1=x2=3 B.x1=x2=9 C.x1=3,x2=﹣3 D.x1=9,x2=﹣9
3.如图,已知A,B,C为⊙O上三点,若∠AOB=80°,则∠ACB度数为(  )
 
A.80° B.70° C.60° D.40°
4.如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(1,4),(5,4),(1,﹣2),则以A,B,C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是(  )
 
A.(2,3) B.(3,2) C.(3,1) D.(1,3)
5.如图,AB是⊙O直径,点C在⊙O上,AE是⊙O的切线,A为切点,连接BC并延长交AE于点D.若∠AOC=80°,则∠ADB的度数为(  )
 
A.40° B.50° C.60° D.20°
6.如图,已知在⊙O中,AB是弦,半径OC⊥AB,垂足为点D,要使四边形OACB为菱形,还需要添加一个条件,这个条件可以是(  )
 
A.AD=BD B.OC=2CD C.∠CAD=∠CBD D.∠OCA=∠OCB
 
二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
7.一元二次方程x2﹣2x=0的解为     .
8.关于x的方程kx2﹣4x﹣ =0有实数根,则k的取值范围是     .
9.当x=     时,代数式x2﹣3x比代数式2x2﹣x﹣1的值大2.
10.如图,PA、PB分别切圆O于A、B,并与圆O的切线,分别相交于C、D,已知△PCD的周长等于10cm,则PA=      cm.
 
11.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,以点A为圆心,以3cm为半径作⊙A,当AB=     cm时,BC与⊙A相切.
 
12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=70°,△ABC的内切圆⊙O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F,则∠DEF的度数为     °.
 
13.已知⊙O的半径为2,则其内接正三角形的面积为     .
14.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆,若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则r的取值范围是     .
 
15.如图,将长为10cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形,则S扇形=     cm2.
 
16.如图,OA在x轴上,OB在y轴上,OA=8,AB=10,点C在边OA上,AC=2,⊙P的圆心P在线段BC上,且⊙P与边AB,AO都相切.若反比例函数y= (k≠0)的图象经过圆心P,则k=     .
 
 
三、解答题(本大题共11小题,共102分)
17.解下列方程:
(1)3(x﹣2)2=x(x﹣2)
(2)x2﹣5x+1=0(用配方法).
18.已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0.
(1)若该方程有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围;
(2)当该方程的一个根为1时,求a的值及方程的另一根.
19.已知某等腰三角形的腰和底分别是一元二次方程x2﹣6x+5=0的两根,求此三角形的周长.
20.已知A,B,C,D是⊙O上的四点,延长DC,AB相交于点E,若BC=BE.
求证:△ADE是等腰三角形.
 
21.如图,要建一个面积为45m2的长方形养鸡场(分为两片),养鸡场的一边靠着一面长为14m的墙,另几条边用总长为22m的竹篱笆围成,每片养鸡场的前面各开一个宽1m的门、求这个养鸡场的长与宽.
 
22.如图,在△ABC中,∠CAB=90°,∠CBA=50°,以AB为直径作⊙O交BC于点D,点E在边AC上,且满足ED=EA.
(1)求∠DOA的度数;
(2)求证:直线ED与⊙O相切.
 
23.如图所示,要把残破的轮片复制完整,已知弧上的三点A,B,C.
(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)设△ABC是等腰三角形,底边BC=8cm,腰AB=5cm,求圆片的半径R.
 
24.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作⊙O的切线DE,交AC于点F.
(1)求证:DF⊥AC;
(2)若⊙O的半径为4,∠C=22.5°,求阴影部分的面积.
 
25.已知⊙O的直径AB的长为4cm,C是⊙O上一点,∠BAC=30°,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P,求CP的长.
 
26.如图,⊙O的半径为1,A,P,B,C是⊙O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.
(1)判断△ABC的形状:     ;
(2)试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)当点P位于 的什么位置时,四边形APBC的面积最大?求出最大面积.
 
27.如图,四边形ABCD为菱形,对角线AC,BD相交于点E,F是边BA延长线上一点,连接EF,以EF为直径作⊙O,交DC于D,G两点,AD分别与EF,GF交于I,H两点.
(1)求∠FDE的度数;
(2)试判断四边形FACD的形状,并证明你的结论;
(3)当G为线段DC的中点时,
①求证:FD=FI;
②设AC=2m,BD=2n,求m:n的值.
 
 
 

2017-2018学年江苏省盐城市东台九年级(上)第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
1.下列方程中,关于x的一元二次方程是(  )
A.3(x+1)2=2(x+1) B.  C.ax2+bx+c=0 D.x2+2x=x2﹣1
【考点】A1:一元二次方程的定义.
【分析】一元二次方程有四个特点:
(1)只含有一个未知数;
(2)未知数的最高次数是2;
(3)是整式方程.
(4)二次项系数不为0.
【解答】解:
A、3(x+1)2=2(x+1)化简得3x2+4x﹣4=0,是一元二次方程,故正确;
B、方程不是整式方程,故错误;
C、若a=0,则就不是一元二次方程,故错误;
D、是一元一次方程,故错误.
故选:A.
 
2.方程x2=9的解是(  )
A.x1=x2=3 B.x1=x2=9 C.x1=3,x2=﹣3 D.x1=9,x2=﹣9
【考点】A5:解一元二次方程﹣直接开平方法.
【分析】利用直接开平方法求解即可.
【解答】解:x2=9,
两边开平方,得x1=3,x2=﹣3.
故选C.
 
3.如图,已知A,B,C为⊙O上三点,若∠AOB=80°,则∠ACB度数为(  )
 
A.80° B.70° C.60° D.40°
【考点】M5:圆周角定理.
【分析】根据圆周角定理得出∠ACB= ∠AOB,代入求出即可.
【解答】解:∵∠AOB=80°,
∴∠ACB= ∠AOB=40°,
故选D.
 
4.如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(1,4),(5,4),(1,﹣2),则以A,B,C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是(  )
 
A.(2,3) B.(3,2) C.(3,1) D.(1,3)
【考点】MA:三角形的外接圆与外心;D5:坐标与图形性质.
【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”,作两条弦的垂直平分线,交点即为圆心.
【解答】解:根据垂径定理的推论,则
作弦AB、AC的垂直平分线,交点O1即为圆心,且坐标是(3,1).
故选C.
 
 
5.如图,AB是⊙O直径,点C在⊙O上,AE是⊙O的切线,A为切点,连接BC并延长交AE于点D.若∠AOC=80°,则∠ADB的度数为(  )
 
A.40° B.50° C.60° D.20°
【考点】MC:切线的性质.
【分析】由AB是⊙O直径,AE是⊙O的切线,推出AD⊥AB,∠DAC=∠B= ∠AOC=40°,推出∠AOD=50°.
【解答】解:∵AB是⊙O直径,AE是⊙O的切线,
∴∠BAD=90°,
∵∠B= ∠AOC=40°,
∴∠ADB=90°﹣∠B=50°,
故选B.
 
6.如图,已知在⊙O中,AB是弦,半径OC⊥AB,垂足为点D,要使四边形OACB为菱形,还需要添加一个条件,这个条件可以是(  )
 
A.AD=BD B.OC=2CD C.∠CAD=∠CBD D.∠OCA=∠OCB
【考点】M2:垂径定理;L9:菱形的判定.
【分析】利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形,进而求出即可.
【解答】解:OC=2CD.理由如下:
∵在⊙O中,AB是弦,半径OC⊥AB,
∴AD=DB,
∵OC=2CD,
∴AD=BD,DO=CD,AB⊥CO,
∴四边形OACB为菱形.
故选B.
 
二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
7.一元二次方程x2﹣2x=0的解为 x1=0,x2=2 .
【考点】A8:解一元二次方程﹣因式分解法.
【分析】方程整理后,利用因式分解法求出解即可.
【解答】解:方程整理得:x(x﹣2)=0,
可得x=0或x﹣2=0,
解得:x1=0,x2=2.
故答案为:x1=0,x2=2
 
8.关于x的方程kx2﹣4x﹣ =0有实数根,则k的取值范围是 k≥﹣6 .
【考点】AA:根的判别式;85:一元一次方程的解.
【分析】由于k的取值不确定,故应分k=0(此时方程化简为一元一次方程)和k≠0(此时方程为二元一次方程)两种情况进行解答.
【解答】解:当k=0时,﹣4x﹣ =0,解得x=﹣ ,
当k≠0时,方程kx2﹣4x﹣ =0是一元二次方程,
根据题意可得:△=16﹣4k×(﹣ )≥0,
解得k≥﹣6,k≠0,
综上k≥﹣6,
故答案为k≥﹣6.
 
9.当x= ﹣1 时,代数式x2﹣3x比代数式2x2﹣x﹣1的值大2.
【考点】A5:解一元二次方程﹣直接开平方法.
【分析】代数式x2﹣3x比代数式2x2﹣x﹣1的值大2,即将两式相减值为2,即可得到关于x的方程,解方程可得出答案.
【解答】解:由题意得:x2﹣3x﹣(2x2﹣x﹣1)=2
∴可得:﹣x2﹣2x﹣1=0
∴(x+1)2=0,故x=﹣1.
 
10.如图,PA、PB分别切圆O于A、B,并与圆O的切线,分别相交于C、D,已知△PCD的周长等于10cm,则PA= 5  cm.
 
【考点】MG:切线长定理.
【分析】由于DA、DC、BC都是⊙O的切线,可根据切线长定理,将△PCD的周长转换为PA、PB的长,然后再进行求解.
【解答】解:如图,设DC与⊙O的切点为E;
∵PA、PB分别是⊙O的切线,且切点为A、B;
∴PA=PB;
同理,可得:DE=DA,CE=CB;
则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10(cm);
∴PA=PB=5cm,
故答案为:5.
 
11.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,以点A为圆心,以3cm为半径作⊙A,当AB= 6 cm时,BC与⊙A相切.
 
【考点】MD:切线的判定.
【分析】当BC与⊙A相切,点A到BC的距离等于半径即可.
【解答】解:如图,过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB=AC,∠B=30°,
∴AD= AB,即AB=2AD.
又∵BC与⊙A相切,
∴AD就是圆A的半径,
∴AD=3cm,
则AB=2AD=6cm.
故答案是:6.
 
 
12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=70°,△ABC的内切圆⊙O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F,则∠DEF的度数为 80 °.
 
【考点】MI:三角形的内切圆与内心.
【分析】连接DO,FO,利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=90°,再利用三角形内角和以及四边形内角和定理求出∠DOF的度数,进而利用圆周角定理得出∠DEF的度数.
【解答】解:连接DO,FO,
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=70°
∴∠A=20°,
∵内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F,
∴∠ODA=∠OFA=90°,
∴∠DOF=160°,
∴∠DEF的度数为80°.
 
 
13.已知⊙O的半径为2,则其内接正三角形的面积为 3  .
【考点】MM:正多边形和圆.
【分析】连接OB、OC,作OD⊥BC于D,则∠ODB=90°,BD=CD,∠OBC=30°,由含30°角的直角三角形的性质得出OD,由勾股定理求出BD,得出BC,根据△ABC的面积=3S△OBC计算即可.
【解答】解:如图所示,
连接OB、OC,作OD⊥BC于D,
则∠ODB=90°,BD=CD,∠OBC=30°,
∴OD= OB=1,
∴BD= = ,
∴BC=2BD=2 ,
∴△ABC的面积=3S△OBC=3× ×BC×OD=3× ×2 ×1=3 .
 
 
14.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆,若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则r的取值范围是 3<r<5 .
 
【考点】M8:点与圆的位置关系.
【分析】要确定点与圆的位置关系,主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断.当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;当d<r时,点在圆内.
【解答】解:在直角△ABD中,CD=AB=4,AD=3,
则BD= =5.
由图可知3<r<5.
故答案为:3<r<5.
 
15.如图,将长为10cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形,则S扇形= 6 cm2.
 
【考点】MO:扇形面积的计算.
【分析】扇形的周长等于AB的长,AB得长﹣2r求得扇形的弧长,再根据S扇形= lr计算即可.
【解答】解:l+4=10,
l=6,
S扇形= lr= ×6×2=6,
故答案为6.
 
16.如图,OA在x轴上,OB在y轴上,OA=8,AB=10,点C在边OA上,AC=2,⊙P的圆心P在线段BC上,且⊙P与边AB,AO都相切.若反比例函数y= (k≠0)的图象经过圆心P,则k= ﹣5 .
 
【考点】MC:切线的性质;F8:一次函数图象上点的坐标特征;G6:反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】作PD⊥OA于D,PE⊥AB于E,作CH⊥AB于H,如图,设⊙P的半径为r,根据切线的性质和切线长定理得到PD=PE=r,AD=AE,再利用勾股定理计算出OB=6,则可判断△OBC为等腰直角三角形,从而得到△PCD为等腰直角三角形,则PD=CD=r,AE=AD=2+r,通过证明△ACH∽△ABO,利用相似比计算出CH= ,接着利用勾股定理计算出AH= ,所以BH=10﹣ = ,然后证明△BEP∽△BHC,利用相似比得到即 = ,解得r=1,从而易得P点坐标,再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值.
【解答】解:作PD⊥OA于D,PE⊥AB于E,作CH⊥AB于H,如图,设⊙P的半径为r,
∵⊙P与边AB,AO都相切,
∴PD=PE=r,AD=AE,
在Rt△OAB中,∵OA=8,AB=10,
∴OB= =6,
∵AC=2,
∴OC=6,
∴△OBC为等腰直角三角形,
∴△PCD为等腰直角三角形,
∴PD=CD=r,
∴AE=AD=2+r,
∵∠CAH=∠BAO,
∴△ACH∽△ABO,
∴ = ,即 = ,解得CH= ,
∴AH= = = ,
∴BH=10﹣ = ,
∵PE∥CH,
∴△BEP∽△BHC,
∴ = ,即 = ,解得r=1,
∴OD=OC﹣CD=6﹣1=5,
∴P(5,﹣1),
∴k=5×(﹣1)=﹣5.
故答案为﹣5.
 
 
三、解答题(本大题共11小题,共102分)
17.解下列方程:
(1)3(x﹣2)2=x(x﹣2)
(2)x2﹣5x+1=0(用配方法).
【考点】A8:解一元二次方程﹣因式分解法;A6:解一元二次方程﹣配方法.
【分析】(1)因式分解法求解可得;
(2)配方法求解可得.
【解答】解:(1)∵3(x﹣2)2﹣x(x﹣2)=0,
∴(x﹣2)[3(x﹣2)﹣x]=0,即(x﹣2)(2x﹣6)=0,
则x﹣2=0或2x﹣6=0,
解得:x=2或x=3;

(2)∵x2﹣5x=﹣1,
∴x2﹣5x+ =﹣1+ ,即(x﹣ )2= ,
则x﹣ =± ,
∴x= .
 
18.已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0.
(1)若该方程有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围;
(2)当该方程的一个根为1时,求a的值及方程的另一根.
【考点】AA:根的判别式;A3:一元二次方程的解;AB:根与系数的关系.
【分析】(1)关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根,即判别式△=b2﹣4ac>0.即可得到关于a的不等式,从而求得a的范围.
(2)设方程的另一根为x1,根据根与系数的关系列出方程组,求出a的值和方程的另一根.
【解答】解:(1)∵b2﹣4ac=(2)2﹣4×1×(a﹣2)=12﹣4a>0,
解得:a<3.
∴a的取值范围是a<3;

(2)设方程的另一根为x1,由根与系数的关系得:
 ,
解得: ,
则a的值是﹣1,该方程的另一根为﹣3.
 
19.已知某等腰三角形的腰和底分别是一元二次方程x2﹣6x+5=0的两根,求此三角形的周长.
【考点】A8:解一元二次方程﹣因式分解法;K6:三角形三边关系;KH:等腰三角形的性质.
【分析】利用因式分解法解方程得到x1=1,x2=5,利用三角形三边的关系得等腰三角形的腰为5,底为1,然后计算三角形的周长.
【解答】解:(x﹣1)(x﹣5)=0,
x﹣1=0或x﹣5=0,
所以x1=1,x2=5,
因为1+1=2<5,
所以等腰三角形的腰为5,底为1,
所以三角形的周长为5+5+1=11.
 
20.已知A,B,C,D是⊙O上的四点,延长DC,AB相交于点E,若BC=BE.
求证:△ADE是等腰三角形.
 
【考点】M6:圆内接四边形的性质;KI:等腰三角形的判定.
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠A=∠BCE,根据等腰三角形的判定和性质定理证明.
【解答】证明:∵A,B,C,D是⊙O上的四点,
∴∠A=∠BCE,
∵BC=BE,
∴∠E=∠BCE,
∴∠A=∠E,
∴DA=DE,即△ADE是等腰三角形.
 
21.如图,要建一个面积为45m2的长方形养鸡场(分为两片),养鸡场的一边靠着一面长为14m的墙,另几条边用总长为22m的竹篱笆围成,每片养鸡场的前面各开一个宽1m的门、求这个养鸡场的长与宽.
 
【考点】&E:二元二次方程组.
【分析】设鸡场的长为xm,宽为ym,根据鸡场的面积和周长列出两个等量关系,解方程组即可,注意鸡场的长小于围墙的长.
【解答】解:设鸡场的长为xm,宽为ym,由题意可得:
 ,且x<14,解得y=3或5;
当y=3,x=15;
∵x<14,
∴不合题意,舍去;
当y=5时,x=9,经检验符合题意.
答:这个养鸡场的长为9m,宽为5m.
 
22.如图,在△ABC中,∠CAB=90°,∠CBA=50°,以AB为直径作⊙O交BC于点D,点E在边AC上,且满足ED=EA.
(1)求∠DOA的度数;
(2)求证:直线ED与⊙O相切.
 
【考点】MD:切线的判定.
【分析】(1)根据圆周角定理即可得到结论;
(2)连接OE,通过△EAO≌△EDO,即可得到∠EDO=90°,于是得到结论.
【解答】(1)解;∵∠DBA=50°,
∴∠DOA=2∠DBA=100°,

(2)证明:连接OE.
在△EAO与△EDO中, ,
∴△EAO≌△EDO,
∴∠EDO=∠EAO,
∵∠BAC=90°,
∴∠EDO=90°,
∴DE与⊙O相切.
 
 
23.如图所示,要把残破的轮片复制完整,已知弧上的三点A,B,C.
(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)设△ABC是等腰三角形,底边BC=8cm,腰AB=5cm,求圆片的半径R.
 
【考点】M3:垂径定理的应用;KH:等腰三角形的性质.
【分析】(1)作两弦的垂直平分线,其交点即为圆心O;
(2)构建直角△BOE,利用勾股定理列方程可得结论.
【解答】解:(1)作法:分别作AB和AC的垂直平分线,设交点为O,则O为所求圆的圆心;
(2)连接AO、BO,AO交BC于E,
∵AB=AC,
∴AE⊥BC,
∴BE= BC= ×8=4,
在Rt△ABE中,AE= = =3,
设⊙O的半径为R,在Rt△BEO中,
OB2=BE2+OE2,
即R2=42+(R﹣3)2,
R= ,
答:圆片的半径R为 cm.
 
 
24.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作⊙O的切线DE,交AC于点F.
(1)求证:DF⊥AC;
(2)若⊙O的半径为4,∠C=22.5°,求阴影部分的面积.
 
【考点】MC:切线的性质;KH:等腰三角形的性质;MO:扇形面积的计算.
【分析】(1)连接OD,易得∠ABC=∠ODB,由AB=AC,易得∠ABC=∠ACB,等量代换得∠ODB=∠ACB,利用平行线的判定得OD∥AC,由切线的性质得DF⊥OD,得出结论;
(2)连接OE,利用(1)的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°,易得∠BAC=45°,得出∠AOE=90°,利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论.
【解答】解:
(1)证明:连接OD,
∵OB=OD,
∴∠ABC=∠ODB,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ODB=∠ACB,
∴OD∥AC,
∵DF是⊙O的切线,
∴DF⊥OD,
∴DF⊥AC.
(2)解:连接OE,
∵DF⊥AC,∠CDF=22.5°,
∴∠ABC=∠ACB=67.5°,
∴∠BAC=45°,
∵OA=OE,
∴∠AOE=90°,
∵⊙O的半径为4,
∴S扇形AOE=4π,S△AOE=8 ,
∴S阴影=4π﹣8.
 
 
25.已知⊙O的直径AB的长为4cm,C是⊙O上一点,∠BAC=30°,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P,求CP的长.
 
【考点】MC:切线的性质.
【分析】连接OC,即可求得∠P=30°,从而求得OP的长,再根据勾股定理即可求CP的长.
【解答】解:连接OC,
∵OA=OC,
∴∠BAC=∠ACO=30°,
∴∠COB=60°,
∵PC是切线,
∴OC⊥PC,
∴∠P=30°,
∴OP=2OC=4cm,
∴CP= =2 .
 
 
26.如图,⊙O的半径为1,A,P,B,C是⊙O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.
(1)判断△ABC的形状: 等边三角形 ;
(2)试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)当点P位于 的什么位置时,四边形APBC的面积最大?求出最大面积.
 
【考点】M5:圆周角定理;KD:全等三角形的判定与性质;KM:等边三角形的判定与性质;M2:垂径定理.
【分析】(1)利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC,而∠APC=∠CPB=60°,所以∠BAC=∠ABC=60°,从而可判断△ABC的形状;
(2)在PC上截取PD=AP,则△APD是等边三角形,然后证明△APB≌△ADC,证明BP=CD,即可证得;
(3)过点P作PE⊥AB,垂足为E,过点C作CF⊥AB,垂足为F,把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算,当点P为 的中点时,PE+CF=PC从而得出最大面积.
【解答】证明:(1)△ABC是等边三角形.
证明如下:在⊙O中
∵∠BAC与∠CPB是 所对的圆周角,∠ABC与∠APC是 所对的圆周角,
∴∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC,
又∵∠APC=∠CPB=60°,
∴∠ABC=∠BAC=60°,
∴△ABC为等边三角形;
(2)在PC上截取PD=AP,如图1,
又∵∠APC=60°,
∴△APD是等边三角形,
∴AD=AP=PD,∠ADP=60°,即∠ADC=120°.
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°,
∴∠ADC=∠APB,
在△APB和△ADC中,
 ,
∴△APB≌△ADC(AAS),
∴BP=CD,
又∵PD=AP,
∴CP=BP+AP;
(3)当点P为 的中点时,四边形APBC的面积最大.
理由如下,如图2,过点P作PE⊥AB,垂足为E.
过点C作CF⊥AB,垂足为F.
∵S△APB= AB•PE,S△ABC= AB•CF,
∴S四边形APBC= AB•(PE+CF),
当点P为 的中点时,PE+CF=PC,PC为⊙O的直径,
∴此时四边形APBC的面积最大.
又∵⊙O的半径为1,
∴其内接正三角形的边长AB= ,
∴S四边形APBC= ×2× = .
27.如图,四边形ABCD为菱形,对角线AC,BD相交于点E,F是边BA延长线上一点,连接EF,以EF为直径作⊙O,交DC于D,G两点,AD分别与EF,GF交于I,H两点.
(1)求∠FDE的度数;
(2)试判断四边形FACD的形状,并证明你的结论;
(3)当G为线段DC的中点时,
①求证:FD=FI;
②设AC=2m,BD=2n,求m:n的值.
 
【考点】MR:圆的综合题.
【分析】(1)直接利用圆周角定理得出∠FDE的度数;
(2)利用平行四边形的判定方法,两组对边分别平行的四边形是平行四边形,进而得出答案;
(3)①利用圆周角定理可得出∠1=∠2,进而得到∠3=∠4,即可得出答案;
②利用菱形的性质以及平行四边形的性质得出EF=FI+IE=FD+AE=3m,进而利用勾股定理得出答案.
【解答】解:(1)∵EF是⊙O的直径,
∴∠FDE=90°;

(2)四边形FACD是平行四边形.
理由如下:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,AC⊥BD,
∴∠AEB=90°.
又∵∠FDE=90°,
∴∠AEB=∠FDE,
∴AC∥DF,
∴四边形FACD是平行四边形;

 (3)①连接GE,如图.
∵四边形ABCD是菱形,
∴点E为AC中点.
∵G为线段DC的中点,
∴GE∥DA,
∴∠FHI=∠FGE.
∵EF是⊙O的直径,
∴∠FGE=90°,
∴∠FHI=90°.
∵∠DEC=∠AEB=90°,G为线段DC的中点,
∴DG=GE,
∴ = ,
∴∠1=∠2.
∵∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°,
∴∠3=∠4,
∴FD=FI;

②∵AC∥DF,
∴∠3=∠6.
∵∠4=∠5,∠3=∠4,
∴∠5=∠6,
∴EI=EA.
∵四边形ABCD是菱形,四边形FACD是平行四边形,
∴DE=BE=n,AE=EC=m,FD=AC=2m,
∴EF=FI+IE=FD+AE=3m.
在Rt△EDF中,根据勾股定理可得:
n2+(2m)2=(3m)2,
即n= m,
∴m:n= :5.

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来源莲山
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