2016长沙市九年级数学下入学试卷(有答案和解释)

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2016长沙市九年级数学下入学试卷(有答案和解释)

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2015-2016学年湖南省长沙市九年级(下)入学数学试卷
一、选择题
1.实数﹣3, ,20, ,0.121221222…中,有理数的个数是(  )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.下列计算正确的是(  )
A.a2+a3=a5B.(a4)3=a12C.a2•a3=a6D.a6÷a2=a3
3.2011年7月2日,杭州“最美妈妈”吴菊萍奋力接住了从10楼坠落的两岁妞妞,据估算接住妞妞需要承受约2950牛顿的冲击力,2950牛顿保留两个有效数字约为(  )
A.29.5×102B.2.95×103C.29×102D.3.0×103
4.不等式组 的解等于(  )
A.1<x<2 B.x>1 C.x<2 D.x<1或x>2
5.下列选项中的图形,不属于中心对称图形的是(  )
A.等边三角形 B.正方形 C.正六边形 D.圆
6.如图,P为⊙O外一点,PA切⊙O于点A,且OP=5,PA=4,则sin∠APO等于(  )
 
A.  B.  C.  D.
7.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列关系式不正确的是(  )
 
A.a<0 B.abc>0 C.a+b+c>0 D.b2﹣4ac>0
8.若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根,则c的值是(  )
A.﹣1 B.1 C.﹣4 D.4
9.有两个事件,事件A:367人中至少有2人生日相同;事件B:抛掷一枚均匀的骰子,朝上的面点数为偶数.下列说法正确的是(  )
A.事件A、B都是随机事件
B.事件A、B都是必然事件
C.事件A是随机事件,事件B是必然事件
D.事件A是必然事件,事件B是随机事件
10.如图,下列四个几何体中,它们各自的三视图(主视图、左视图、俯视图)有两个相同,而另一个不同的几何体是(  )
 
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
11.下列函数中,当x>0时,y值随x值增大而减小的是(  )
A.y=x2B.y=x﹣1 C.  D.
12.如图,在▱ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G.若BG=4 ,则△CEF的面积是(  )
 
A.  B.2 C.3 D.4
 
二、填空
13.分解因式:mx2﹣6mx+9m=      .
14.使代数式 有意义的x的取值范围是      .
15.甲乙两人进行射击比赛,在相同条件下各射击10次,他们平均成绩均为8环,10次射击成绩的方差分别是:S甲2=1.5,S乙2=1.2,则射击成绩较稳定的是      .(选填“甲”或“乙”)
16.已知圆锥的底面直径和母线长都是10cm,则圆锥的侧面积为      .
17.已知关于x的分式方程 的解为负数,那么字母a的取值范围是      .
18.已知: , , ,…,观察上面的计算过程,寻找规律并计算C106=      .
 
三、解答题
19.计算:( )0+ ﹣tan60°+( )﹣2.
20.先化简: ,并从0,﹣1,2中选一个合适的数作为a的值代入求值.
 
四、解答题
21.2014年世界杯足球赛6月12日﹣7月13日在巴西举行,某初中学校为了了解本校2400名学生对本次世界杯的关注程度,以便做好引导和教育工作,随机抽取了200名学生进行调查,按年级人数和关注程度,分别绘制了条形统计图(图1)和扇形统计图(图2).
 
(1)四个年级被调查人数的中位数是多少?
(2)如果把“特别关注”、“一般关注”、“偶尔关注”都统计成关注,那么全校关注本届世界杯的学生大约有多少名?
(3)在这次调查中,初四年级共有甲、乙、丙、丁四人“特别关注”本届世界杯,现准备从四人中随机抽取两人进行座谈,请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是甲和乙的概率.
22.如图,在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站,A在B的正东方向,AB=2(单位:km).有一艘小船在点P处,从A测得小船在北偏西60°的方向,从B测得小船在北偏东45°的方向.
(1)求点P到海岸线l的距离;
(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后,到点C处,此时,从B测得小船在北偏西15°的方向.求点C与点B之间的距离.(上述两小题的结果都保留根号)
 
 
五、解答题
23.“城市发展 交通先行”,成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程,建成后将大大提升二环路的通行能力.研究表明,某种情况下,高架桥上的车流速度V(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,且当0<x≤28时,V=80;当28<x≤188时,V是x的一次函数.函数关系如图所示.
(1)求当28<x≤188时,V关于x的函数表达式;
(2)若车流速度V不低于50千米/时,求当车流密度x为多少时,车流量P(单位:辆/时)达到最大,并求出这一最大值.
(注:车流量是单位时间内通过观测点的车辆数,计算公式为:车流量=车流速度×车流密度)
 
24.如图,△ABC中,AB=AC,点D为BC上一点,且AD=DC,过A,B,D三点作⊙O,AE是⊙O的直径,连结DE.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若sinC= ,AC=6,求⊙O的直径.
 
 
六、解答题
25.在平面直角坐标系xOy中,对于点P(a,b)和点Q(a,b′),给出如下定义:
若b′= ,则称点Q为点P的限变点.例如:点(2,3)的限变点的坐标是(2,3),点(﹣2,5)的限变点的坐标是(﹣2,﹣5).
(1)①点( ,1)的限变点的坐标是      ;
②在点A(﹣2,﹣1),B(﹣1,2)中有一个点是函数y= 图象上某一个点的限变点,这个点是      ;
(2)若点P在函数y=﹣x+3(﹣2≤x≤k,k>﹣2)的图象上,其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣5≤b′≤2,求k的取值范围      .
 
26.如图,在平面直角坐标系中,已知点B( ,0)、A(m,0)(0<m< ),以AB为边在x轴下方作正方形ABCD,点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆的交点,连接BE与AD相交于点F.
(1)求证:BF=DO;
(2)若 ,试求经过B、F、O三点的抛物线l的解析式;
(3)在(2)的条件下,将抛物线l在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新图象,若直线BE向上平移t个单位与新图象有两个公共点,试求t的取值范围.
 
 
 

2015-2016学年湖南省长沙市九年级(下)入学数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题
1.实数﹣3, ,20, ,0.121221222…中,有理数的个数是(  )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】实数;零指数幂.
【分析】根据有理数的定义:整数和分数统称为有理数即可判断,注意20=1.
【解答】解:实数﹣3, ,20, ,0.121221222…中,有理数有﹣3,20,一共2个.
故选A.
【点评】本题考查了实数的定义及零指数幂的意义,解答此题要明确有理数和无理数的概念和分类.任何一个有理数都可以表为 的形式,其中m是整数,n是正整数.由于整数可以用分数表示,分数又可以化成有限小数或无限循环小数,因此有时也称有理数为有限小数和无限循环小数,而无限不循环小数是无理数.
 
2.下列计算正确的是(  )
A.a2+a3=a5B.(a4)3=a12C.a2•a3=a6D.a6÷a2=a3
【考点】同底数幂的除法;合并同类项;幂的乘方与积的乘方.
【分析】分别进行同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方和积的乘方等运算,然后选择正确选项.
【解答】解:A、a2和a3不是同类项,不能合并,故本选项错误;
B、(a4)3=a12,计算正确,故本选项正确;
C、a2和a3不是同类项,不能合并,故本选项错误;
D、a6÷a2=a4,计算错误,故本选项错误.
故选B.
【点评】本题考查了同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方和积的乘方等知识,掌握运算法则是解答本题的关键.
 
3.2011年7月2日,杭州“最美妈妈”吴菊萍奋力接住了从10楼坠落的两岁妞妞,据估算接住妞妞需要承受约2950牛顿的冲击力,2950牛顿保留两个有效数字约为(  )
A.29.5×102B.2.95×103C.29×102D.3.0×103
【考点】科学记数法与有效数字.
【分析】有效数字是:一个数从左边第一个不是0的数起,后边所有的数字都是有效数字,根据定义即可判断.
【解答】解:2950=2.95×103≈3.0×103.
故选:D.
【点评】本题主要考查了用科学记数法表示的数的有效数字的计算方法,当一个数近似到个位以前的数位时,首先要用科学记数法表示.
 
4.不等式组 的解等于(  )
A.1<x<2 B.x>1 C.x<2 D.x<1或x>2
【考点】解一元一次不等式组.
【专题】探究型.
【分析】分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可.
【解答】解: ,由①得,x>1;由②得,x<2,
故此不等式组的解集为:1<x<2.
故选A.
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
 
5.下列选项中的图形,不属于中心对称图形的是(  )
A.等边三角形 B.正方形 C.正六边形 D.圆
【考点】中心对称图形.
【分析】根据中心对称图形的概念求解.
【解答】解:A、不是中心对称图形,故本选项正确;
B、是中心对称图形,故本选项错误;
C、是中心对称图形,故本选项错误;
D、是中心对称图形,故本选项错误.
故选A.
【点评】本题考查了中心对称图形的概念:中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
 
6.如图,P为⊙O外一点,PA切⊙O于点A,且OP=5,PA=4,则sin∠APO等于(  )
 
A.  B.  C.  D.
【考点】切线的性质;勾股定理;锐角三角函数的定义.
【分析】连接OA,由勾股定理得OA=3,从而得sin∠APO= .
【解答】解:连接OA,
由切线性质知,∠PAO=90°.
在Rt△PAO中,OP=5,PA=4,由勾股定理得OA=3.
∴sin∠APO= .
故选B.
 
【点评】本题可以考查锐角三角函数的定义:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.
 
7.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列关系式不正确的是(  )
 
A.a<0 B.abc>0 C.a+b+c>0 D.b2﹣4ac>0
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】由抛物线开口向下得到a<0,由抛物线与y轴交于正半轴知道c>0,而称轴在y轴左边,得到﹣ <0,所以b<0,abc>0,而抛物线与x轴有两个交点,得到b2﹣4ac>0,又当x=1时,y<0,由此得到a+b+c<0.
【解答】解:∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵抛物线与y轴交于正半轴,
∴c>0,
∵对称轴在y轴左边,﹣ <0,
∴b<0,abc>0,
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2﹣4ac>0,
当x=1时,y<0,
∴a+b+c<0.
故选C.
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质问题.
 
8.若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根,则c的值是(  )
A.﹣1 B.1 C.﹣4 D.4
【考点】根的判别式.
【分析】根据判别式的意义得到△=42﹣4×4c=0,然后解一次方程即可.
【解答】解:∵一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根,
∴△=42﹣4×4c=0,
∴c=1,
故选B.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
 
9.有两个事件,事件A:367人中至少有2人生日相同;事件B:抛掷一枚均匀的骰子,朝上的面点数为偶数.下列说法正确的是(  )
A.事件A、B都是随机事件
B.事件A、B都是必然事件
C.事件A是随机事件,事件B是必然事件
D.事件A是必然事件,事件B是随机事件
【考点】随机事件.
【分析】必然事件就是一定发生的事件,即发生的概率是1的事件.首先判断两个事件是必然事件、随机事件,然后找到正确的答案.
【解答】解:事件A、一年最多有366天,所以367人中必有2人的生日相同,是必然事件;
事件B、抛掷一枚均匀的骰子,朝上的面点数为1、2、3、4、5、6共6种情况,点数为偶数是随机事件.
故选:D.
【点评】该题考查的是对必然事件的概念的理解;解决此类问题,要学会关注身边的事物,并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题.用到的知识点为:必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
 
10.如图,下列四个几何体中,它们各自的三视图(主视图、左视图、俯视图)有两个相同,而另一个不同的几何体是(  )
 
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
【考点】简单几何体的三视图.
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形,分别得到每个几何体的三视图,进而得到答案.
【解答】解:正方体主视图、左视图、俯视图都是正方形;
圆柱主视图和左视图是长方形,俯视图是圆;
圆锥主视图和左视图是三角形、俯视图是带圆心的圆;
球主视图、左视图、俯视图都是圆,
故选:B.
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图,关键是掌握三视图所看的位置.
 
11.下列函数中,当x>0时,y值随x值增大而减小的是(  )
A.y=x2B.y=x﹣1 C.  D.
【考点】二次函数的性质;一次函数的性质;正比例函数的性质;反比例函数的性质.
【专题】函数思想.
【分析】A、根据二次函数的图象的性质解答;B、由一次函数的图象的性质解答;C、由正比例函数的图象的性质解答;
D、由反比例函数的图象的性质解答.
【解答】解:A、二次函数y=x2的图象,开口向上,并向上无限延伸,在y轴右侧(x>0时),y随x的增大而增大;故本选项错误;
B、一次函数y=x﹣1的图象,y随x的增大而增大; 故本选项错误;
C、正比例函数 的图象在一、三象限内,y随x的增大而增大; 故本选项错误;
D、反比例函数 中的1>0,所以y随x的增大而减小; 故本选项正确;
故选:D.
【点评】本题综合考查了二次函数、一次函数、正比例函数及反比例函数的性质.解答此题时,应牢记函数图象的单调性.
 
12.如图,在▱ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G.若BG=4 ,则△CEF的面积是(  )
 
A.  B.2 C.3 D.4
【考点】平行四边形的性质.
【分析】首先,由于AE平分∠BAD,那么∠BAE=∠DAE,由AD∥BC,可得内错角∠DAE=∠BEA,等量代换后可证得AB=BE,即△ABE是等腰三角形,根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG,而在Rt△ABG中,由勾股定理可求得AG的值,即可求得AE的长;然后,证明△ABE∽△FCE,再分别求出△ABE的面积,然后根据面积比等于相似比的平方即可得到答案.
【解答】解:∵AE平分∠BAD,
∴∠DAE=∠BAE;
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠BEA=∠DAE=∠BAE,
∴AB=BE=6,
∵BG⊥AE,垂足为G,
∴AE=2AG.
在Rt△ABG中,∵∠AGB=90°,AB=6,BG=4 ,
∴AG═2,
∴AE=2AG=4;
∴S△ABE= AE•BG= ×4×4 =8 .
∵BE=6,BC=AD=9,
∴CE=BC﹣BE=9﹣6=3,
∴BE:CE=6:3=2:1.
∵AB∥FC,
∴△ABE∽△FCE,
∴S△ABE:S△CEF=(BE:CE)2=4:1,
则S△CEF= S△ABE=2 .
故选B.
【点评】本题考查了平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查,难度适中.
 
二、填空
13.分解因式:mx2﹣6mx+9m= m(x﹣3)2 .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】先提取公因式m,再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案.完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2.
【解答】解:mx2﹣6mx+9m=m(x2﹣6x+9)=m(x﹣3)2.
故答案为:m(x﹣3)2.
【点评】本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解,注意分解要彻底.
 
14.使代数式 有意义的x的取值范围是 x≥ 且x≠3 .
【考点】二次根式有意义的条件;分式有意义的条件.
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式,解不等式即可.
【解答】解:由题意得,2x﹣1≥0,3﹣x≠0,
解得,x≥ ,x≠3,
故答案为:x≥ 且x≠3.
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件,掌握二次根式中的被开方数是非负数、分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键.
 
15.甲乙两人进行射击比赛,在相同条件下各射击10次,他们平均成绩均为8环,10次射击成绩的方差分别是:S甲2=1.5,S乙2=1.2,则射击成绩较稳定的是 乙 .(选填“甲”或“乙”)
【考点】方差.
【分析】根据方差的定义,方差越小数据越稳定.
【解答】解:∵S甲2=1.5<S乙2=1.2,方差小的为乙,
∴本题中成绩比较稳定的是乙.
故答案为:乙.
【点评】本题考查了方差的意义.熟记方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定是解答此题的关键.
 
16.已知圆锥的底面直径和母线长都是10cm,则圆锥的侧面积为 50πcm2 .
【考点】圆锥的计算.
【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2求出即可.
【解答】解:∵底面圆的半径为5cm,则底面周长=10πcm,
∴圆锥的侧面积= ×10π×10=50πcm2.
故答案为:50πcm2.
【点评】本题考查了圆锥的计算,利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解是解题关键.
 
17.已知关于x的分式方程 的解为负数,那么字母a的取值范围是 a>0且a≠2 .
【考点】分式方程的解;解一元一次不等式.
【分析】先解关于x的分式方程,求得x的值,然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围.
【解答】解:去分母,得2﹣a=x+2,
∴x=﹣a,
∵方程的解是负数,
∴﹣a<0,
∴a>0,
又∵x+2≠0,
∴a≠2.
则字母a的取值范围是a>0且a≠2.
【点评】由于我们的目的是求a的取值范围,根据方程的解列出关于a的不等式.另外,解答本题时,易漏掉a≠2,这是因为忽略了x+2≠0这个隐含的条件而造成的,这应引起同学们的足够重视.
 
18.已知: , , ,…,观察上面的计算过程,寻找规律并计算C106= 210 .
【考点】规律型:数字的变化类.
【专题】压轴题;规律型.
【分析】对于Cab(b<a)来讲,等于一个分式,其中分母是从1到b的b个数相乘,分子是从a开始乘,乘b的个数.
【解答】解:
 ;
 ;
 ;
…;
C106= =210.
【点评】本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.
 
三、解答题
19.计算:( )0+ ﹣tan60°+( )﹣2.
【考点】实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】根据零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点.针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.
【解答】解:原式=1+2 ﹣ +9
= .
【点评】本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值,熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算.
 
20.先化简: ,并从0,﹣1,2中选一个合适的数作为a的值代入求值.
【考点】分式的化简求值.
【专题】计算题;开放型.
【分析】首先把括号的分式通分化简,后面的分式的分子分解因式,然后约分化简,接着计算分式的乘法,最后代入数值计算即可求解.
【解答】解:
= × ,
= ×
=﹣ ,
当a=0时,原式=1.
【点评】此题考查的是分式的混合运算需特别注意运算顺序及符号的处理,也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握.
 
四、解答题
21.2014年世界杯足球赛6月12日﹣7月13日在巴西举行,某初中学校为了了解本校2400名学生对本次世界杯的关注程度,以便做好引导和教育工作,随机抽取了200名学生进行调查,按年级人数和关注程度,分别绘制了条形统计图(图1)和扇形统计图(图2).
 
(1)四个年级被调查人数的中位数是多少?
(2)如果把“特别关注”、“一般关注”、“偶尔关注”都统计成关注,那么全校关注本届世界杯的学生大约有多少名?
(3)在这次调查中,初四年级共有甲、乙、丙、丁四人“特别关注”本届世界杯,现准备从四人中随机抽取两人进行座谈,请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是甲和乙的概率.
【考点】列表法与树状图法;用样本估计总体;扇形统计图;条形统计图.
【专题】图表型.
【分析】(1)根据条形统计图中的数据,找出中位数即可;
(2)根据扇形统计图找出关注本届世界杯的百分比,乘以2400即可得到结果;
(3)画树状图得出所有等可能的情况数,找出恰好是甲与乙的情况,即可确定出所求概率.
【解答】解:(1)四个年级被抽出的人数由小到大排列为30,40,50,80,
∴中位数为 =45(人);

(2)根据题意得:2400×(1﹣45%)=1320(人),
则该校关注本届世界杯的学生大约有1320人;

(3)画树状图,如图所示:
 
所有等可能的情况有12种,其中恰好是甲与乙的情况有2种,
则P= = .
【点评】此题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
 
22.如图,在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站,A在B的正东方向,AB=2(单位:km).有一艘小船在点P处,从A测得小船在北偏西60°的方向,从B测得小船在北偏东45°的方向.
(1)求点P到海岸线l的距离;
(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后,到点C处,此时,从B测得小船在北偏西15°的方向.求点C与点B之间的距离.(上述两小题的结果都保留根号)
 
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.
【分析】(1)过点P作PD⊥AB于点D,设PD=xkm,先解Rt△PBD,用含x的代数式表示BD,再解Rt△PAD,用含x的代数式表示AD,然后根据BD+AD=AB,列出关于x的方程,解方程即可;
(2)过点B作BF⊥AC于点F,先解Rt△ABF,得出BF= AB=1km,再解Rt△BCF,得出BC= BF= km.
【解答】解:(1)如图,过点P作PD⊥AB于点D.设PD=xkm.
在Rt△PBD中,∠BDP=90°,∠PBD=90°﹣45°=45°,
∴BD=PD=xkm.
在Rt△PAD中,∠ADP=90°,∠PAD=90°﹣60°=30°,
∴AD= PD= xkm.
∵BD+AD=AB,
∴x+ x=2,
x= ﹣1,
∴点P到海岸线l的距离为( ﹣1)km;

(2)如图,过点B作BF⊥AC于点F.
根据题意得:∠ABC=105°,
在Rt△ABF中,∠AFB=90°,∠BAF=30°,
∴BF= AB=1km.
在△ABC中,∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°.
在Rt△BCF中,∠BFC=90°,∠C=45°,
∴BC= BF= km,
∴点C与点B之间的距离为 km.
 
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,难度适中.通过作辅助线,构造直角三角形是解题的关键.
 
五、解答题
23.“城市发展 交通先行”,成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程,建成后将大大提升二环路的通行能力.研究表明,某种情况下,高架桥上的车流速度V(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,且当0<x≤28时,V=80;当28<x≤188时,V是x的一次函数.函数关系如图所示.
(1)求当28<x≤188时,V关于x的函数表达式;
(2)若车流速度V不低于50千米/时,求当车流密度x为多少时,车流量P(单位:辆/时)达到最大,并求出这一最大值.
(注:车流量是单位时间内通过观测点的车辆数,计算公式为:车流量=车流速度×车流密度)
 
【考点】一次函数的应用.
【专题】数形结合.
【分析】(1)设函数解析式为y=kx+b,将点(28,80),(188,0)代入即可得出答案.
(2)先有车流速度V不低于50千米/时得出x的范围,然后求出P的表达式,继而根据二次函数的最值求解方法可得出答案.
【解答】解:(1)设函数解析式为V=kx+b,
则 ,
解得: ,
故V关于x的函数表达式为:V=﹣ x+94(28<x≤188);

(2)当V≥50时,包含V=80,由函数图象可知,
当V=80时,0<x≤28,此时P=80x,P是x的增函数,
当x=28时,P最大=2240,
由题意得,V=﹣ x+94≥50,
解得:x≤88,
又P=Vx=(﹣ x+94)x=﹣ x2+94x,
当28<x≤88时,函数为增函数,即当x=88时,P取得最大值,
故Pmax=﹣ ×882+94×88=4400,
∵2240<4400,
所以,当x=88时,P取得最大为4400,
答:当车流密度达到88辆/千米时,车流量P达到最大,最大值为4400辆/时.
【点评】此题考查了一次函数及二次函数的应用,解答本题需要我们会判断二次函数的增减性及二次函数最值的求解方法,也要熟练待定系数法求一次函数解析式.
 
24.如图,△ABC中,AB=AC,点D为BC上一点,且AD=DC,过A,B,D三点作⊙O,AE是⊙O的直径,连结DE.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若sinC= ,AC=6,求⊙O的直径.
 
【考点】切线的判定;相似三角形的判定与性质.
【专题】证明题.
【分析】(1)根据等腰三角形的性质,由AB=AC,AD=DC得∠C=∠B,∠1=∠C,则∠1=∠B,根据圆周角定理得∠E=∠B,∠ADE=90°,所以∠1+∠EAD=90°,然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线;
(2)过点D作DF⊥AC于点F,如图,根据等腰三角形的性质得CF= AC=3,在Rt△CDF中,利用正弦定义得sinC= = ,则设DF=4x,DC=5x,利用勾股定理得CF=3x,所以3x=3,解得x=1,于是得到DC=AD=5,然后证明△ADE∽△DFC,再利用相似比可计算AE即可.
【解答】(1)证明:∵AB=AC,AD=DC,
∴∠C=∠B,∠1=∠C,
∴∠1=∠B,
又∵∠E=∠B,
∴∠1=∠E,
∵AE是⊙O的直径,
∴∠ADE=90°,
∴∠E+∠EAD=90°,
∴∠1+∠EAD=90°,即∠EAC=90°,
∴AE⊥AC,
∴AC是⊙O的切线;
(2)解:过点D作DF⊥AC于点F,如图,
∵DA=DC,
∴CF= AC=3,
在Rt△CDF中,∵sinC= = ,
设DF=4x,DC=5x,
∴CF= =3x,
∴3x=3,解得x=1,
∴DC=5,
∴AD=5,
∵∠ADE=∠DFC=90°,∠E=∠C,
∴△ADE∽△DFC,
∴ = ,即 = ,解得AE= ,
即⊙O的直径为 .
 
【点评】本题考查了切线的判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质.
 
六、解答题
25.在平面直角坐标系xOy中,对于点P(a,b)和点Q(a,b′),给出如下定义:
若b′= ,则称点Q为点P的限变点.例如:点(2,3)的限变点的坐标是(2,3),点(﹣2,5)的限变点的坐标是(﹣2,﹣5).
(1)①点( ,1)的限变点的坐标是 ( ,1) ;
②在点A(﹣2,﹣1),B(﹣1,2)中有一个点是函数y= 图象上某一个点的限变点,这个点是 (﹣1,2) ;
(2)若点P在函数y=﹣x+3(﹣2≤x≤k,k>﹣2)的图象上,其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣5≤b′≤2,求k的取值范围 5≤k≤8 .
 
【考点】反比例函数综合题.
【分析】(1)①根据限变点的定义直接得出答案;
②点(﹣1,﹣2)在反比例函数图象上,点(﹣1,﹣2)的限变点为(﹣1,2),据此得到答案;
(2)根据题意可知y=﹣x+3(x≥﹣2)图象上的点P的限变点必在函数y= 的图象上,结合图象即可得到答案.
【解答】解:(1)①根据限变点的定义可知点( ,1)的限变点的坐标为( ,1);
②(﹣1,﹣2)是函数y= 图象上的点,(﹣1,﹣2)限变点为(﹣1,2),即这个点是点B.
(2)依题意,y=﹣x+3(x≥﹣2)图象上的点P的限变点必在函数y= 的图象上.
∴b′≤2,即当x=1时,b′取最大值2.
当b′=﹣2时,﹣2=﹣x+3.
∴x=5.
当b′=﹣5时,﹣5=x﹣3或﹣5=﹣x+3.
∴x=﹣2或x=8.
∵﹣5≤b′≤2,
由图象可知,k的取值范围是5≤k≤8,
故答案为:5≤k≤8.
 
【点评】本题主要考查了二次函数的综合题,解答本题的关键是熟练掌握新定义“限变点”,解答此题还需要掌握二次函数的性质以及最值的求解,此题有一定的难度.
 
26.如图,在平面直角坐标系中,已知点B( ,0)、A(m,0)(0<m< ),以AB为边在x轴下方作正方形ABCD,点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆的交点,连接BE与AD相交于点F.
(1)求证:BF=DO;
(2)若 ,试求经过B、F、O三点的抛物线l的解析式;
(3)在(2)的条件下,将抛物线l在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新图象,若直线BE向上平移t个单位与新图象有两个公共点,试求t的取值范围.
 
【考点】二次函数综合题.
【专题】压轴题.
【分析】(1)本题可通过全等三角形来证简单的线段相等,三角形ABF和ADO中,根据圆周角定理可得出∠ABF=∠ADO,已知了一组直角和AB=AD,因此两三角形全等,即可得出BF=OD的结论;
(2)如果G是三角形BDO的外心,根据三角形外心定义可知BE必垂直平分OD,因此三角形BOD是等腰三角形.在等腰直角三角形ABD中,BD=BO=2 ,AB=OB﹣OA=2 +m,因此可根据AB、BD的比例关系求出m的值,即可得出OA的长,而在(1)得出的全等三角形中,可得出OA=FG,据此可求出F点坐标.已知了B、F、O三点坐标,可用待定系数法求出抛物线的解析式;
(3)当直线BE与y轴相交于G,向上平移直线BE使平移后的直线经过原点O,由图象知,在平移前直线BE与新图象有1个公共点,平移到经过点O时与新图象有3个公共点,并且0<t<OG,利用已知条件求出OG的长即可求出t的取值范围;当直线BE向上平移至于抛物线相切后再向上平移时,直线BE与图象的交点又变为两个,设相切时直线BE的解析式为 ,求出方程组的解,进而求出t的取值范围.
【解答】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAF=∠DAO=90°
在△ABF和△ADO中
∵∠ABF=∠ADO,AB=AD,∠BAF=∠DAO
∴△ABF≌△ADO
∴BF=DO;

(2)∵A(m,0),B( ),
∴AO=m,BO= ,AB= m,
∵弧AE=弧DE,
∴∠EBO=∠EBD,
∵∠DAB=90°,
∴BD为直径∴∠BEO=∠BED=90°,
又∵BE=BE,
∴△BEO≌△BED,
∴BD=BO= ,
在Rt△BCD中BD= AB,
∴ = ,
∴m= ,
∵△ABF≌△ADO,
∴AF=AO=m= ,
∴F点的坐标为 ,
∵抛物线l经过O(0,0),B( ),
设l的解析式为 ,
将F 代入得: ,
∴抛物线l的解析式为 ;

(3)①如图,设直线BE与y轴相交于G,向上平移直线BE使平移后的直线经过原点O,由图象知,在平移前直线BE与新图象有1个公共点,平移到经过点O时与新图象有3个公共点.∴0<t<OG
设直线BE的解析式为y=kx+m,将B( ),F 代入易求出: ,
当x=0时, ,
∴ ,
此时t的取值范围是: .
②如图,当直线BE向上平移至于抛物线相切后再向上平移时,直线BE与图象的交点又变为两个,设相切时直线BE的解析式为 ,则方程组 有一个解,
 
于是方程 有两个相等的实数根,求出 ,
此时直线BE的解析式为 ,
直线BE与y轴的交点为(0, ) ,
∴此时t的取值范围是: .
综上所述:t的取值范围为: 或 .
【点评】本题考查了二次函数的性质,二次函数和圆的交点问题,以及正方形的性质和全等三角形的判定和全等三角形的性质,本题有一定的难度,综合性也比较强,有一定的新意,第3小问有些难度,有一定的能力要求,解这种题时需冷静地分析题意,找到切入点不会很难.
 

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