2017嘉兴市六校联考九年级数学上期中试卷(带答案和解释)

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2017嘉兴市六校联考九年级数学上期中试卷(带答案和解释)

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2016-2017学年浙江省嘉兴市六校联考九年级(上)期中数学试卷
一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)
1.抛物线y=x2﹣2x+1(  )
A.开口向上,具有最高点 B.开口向上,具有最低点
C.开口向下,具有最高点 D.开口向下,具有最低点
2.已知的⨀O直径为3cm,点P到圆心O的距离OP=2cm,则点P(  )
A.在⨀O外 B.在圆⨀O 上 C.在圆⨀O 内 D.无法确定
3.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x与y的对应值如表:
x ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2
y ﹣27 ﹣13 ﹣3 3 5 3
则当x=1时,y的值为(  )
A.5 B.﹣3 C.﹣13 D.﹣27
4.五张完全相同的卡片上,分别画有圆、平行四边形、等腰三角形、角、矩形,现从中随机抽取一张,恰好抽到轴对称图形的概率是(  )
A.  B.  C.  D.
5.下列语句中:①过三点能作一个圆;②平分弦的直径垂直于弦;③长度相等的弧是等弧;④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴;⑤相等的圆心角所对的弧度数相等.其中正确的个数是(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.如图,⊙O的半径为10,若OP=8,则经过点P的弦长可能是(  )
 
A.10 B.6 C.19 D.22
7.合作小组的4位同学坐在课桌旁讨论问题,学生A的座位如图所示,学生B,C,D随机坐到其他三个座位上,则学生B坐在2号座位的概率是(  )
 
A.  B.  C.  D.
8.烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是 ,若这种礼炮在点火升空到最高点引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为(  )
A.3s B.4s C.5s D.6s
9.二次函数y=x2+bx+c,若b+c=0,则它的图象一定过点(  )
A.(﹣1,﹣1) B.(1,﹣1) C.(﹣1,1) D.(1,1)
10.如图,C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点(点C、D不与A、B重合),在运动过程中弦CD始终保持不变,M是弦CD的中点,过点C作CP⊥AB于点P.若CD=3,AB=5,PM=x,则x的最大值是(  )
 
A.3 B.  C.2.5 D.2
 
二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分)
11.写一个开口向下,以y轴为对称轴的抛物线解析式  .
12.“校园手机”现象受社会普遍关注,某校针对“学生是否可带手机”的问题进行了问卷调查,并绘制了扇形统计图.从调查的学生中,随机抽取一名恰好是持“无所谓”态度的学生的概率是  .
 
13.如图,∠C是⊙O的圆周角,∠C=38°,∠OAB=  度.
 
14.二次函数y=(x+m)2+n的图象如图,则反比例函数y= 的图象经过第  象限.
 
15.如图,在矩形ABCD中,已知AB=2,BC=1.5,矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右第一次旋转90°至图①位置,再绕右下角的顶点继续向右第二次旋转90°至图②位置,…,以此类推,这样连续旋转2016次后,顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是  .
 
16.如图所示,直线y=x与抛物线  y=x2﹣x﹣3交于A,B两点,点P是抛物线上的一个动点,点P作PQ⊥x轴交直线y=x于点Q,设点P的横坐标为m,则线段PQ的长度随着m的增大而减小时m的取值范围是  .
 
 
三、解答题(共8小题,满分66分)
17.已知二次函数y=﹣ x2+ x+ .
(1)求函数图象的顶点坐标,与坐标轴的交点坐标.
(2)画出该函数的大致图象,根据图象判断当自变量x取何值时,函数值y≤0.
 
18.如图所示,AB=AC,AB为⊙O的直径,AC、BC分别交⊙O于E、D,连结ED、BE.
(1)求证:BE⊥AC;
(2)求证:BD=DE;
(3)如果BC=6,AB=5,求BE的长.
 
19.如图,抛物线 y=x2+bx+c经过A(﹣1,0),B(4,5).
(1)求抛物线解析式.
(2)若抛物线的顶点为D,对称轴交x轴于点E,连结AD,F为AD的中点,求线段EF的长.
 
20.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB是⊙O的直径,∠D=108°,连接AC.
(1)求∠BAC的度数;
(2)若∠DAC=45°,DC=8,求图中阴影部分的面积(结果保留π).
 
21.大课间活动时,有两个同学做游戏,有三张正面写有数字﹣1,0,1的卡片,它们的背面完全相同,将这三张卡片背面朝上洗匀后,其中一个同学随机抽取一张,将其正面的数字作为p的值,然后将卡片放回并洗匀,另一位同学再从这三张卡片中随机抽取一张,将其正面的数字作为q的值,两次的结果记为(p,q).
(1)请你帮他们用树状图或列表法表示(p,q)所有可能出现的结果.
(2)求使二次函数 y=x2+px+q的图象在x轴上方的概率.
22.如图①,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,AB=AC,AD=AE,然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度,连接BD,CE,得到图②,将BD、CE分别延长至M、N,使DM= BD,EN= CE,得到图③,请解答下列问题:
 
(1)在图②中,BD与CE的数量关系是  ;
(2)在图③中,判断△AMN的形状,及∠MAN与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想.
23.金秋时节,桐乡杭白菊喜获丰收.某杭白菊经销商以每千克12元的价格购进一批鲜杭白菊,加工后出售,已知加工过程中质量损耗了40%,该商户对该杭白菊试销期间,销售单价不低于成本单价,且每千克获利不得高于成本单价的125%,经试销发现,每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)符合一次函数y=kx+b,且x=35时,y=41;x=40时,y=36.
(1)求一次函数y=kx+b的表达式;
(2)若该商户每天获得利润(不计加工费用)为W元,试写出利润W与销售单价x之间的关系式;销售单价定为多少元/千克时,商户每天可获得最大利润,最大利润是多少元?
(3)若该商户每天获得利润不低于384元,试确定销售单价x的范围.
24.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(c>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在原点左侧,点B在原点右侧),与y轴交于点C,且OB=OC=3OA=6,顶点为M.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P为线段BM上的一个动点,过点P作x轴的垂线PQ,垂足为Q,若OQ=m,四边形ACPQ的面积为S,求S关于m的函数解析式,并写出m的取值范围;
(3)探索:线段BM上是否存在点N,使△NMC为等腰三角形?如果存在,求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.
 
 
 

2016-2017学年浙江省嘉兴市六校联考九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)
1.抛物线y=x2﹣2x+1(  )
A.开口向上,具有最高点 B.开口向上,具有最低点
C.开口向下,具有最高点 D.开口向下,具有最低点
【考点】二次函数的性质;二次函数的最值.
【分析】把抛物线化为顶点式可求得答案.
【解答】解:
∵y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,
∴抛物线开口向上,当x=1时,y有最小值,即抛物线有最低点,
故选B.
 
2.已知的⨀O直径为3cm,点P到圆心O的距离OP=2cm,则点P(  )
A.在⨀O外 B.在圆⨀O 上 C.在圆⨀O 内 D.无法确定
【考点】点与圆的位置关系.
【分析】由已知⊙O的直径为3cm,则半径为1.5cm,点P到圆心O的距离OP=2cm>1.5cm,所以点P在⊙O外.
【解答】解:∵⊙O的直径为3cm,
∴半径为1.5cm,
∵点P到圆心O的距离OP=2cm>1.5cm,
∴点P在⊙O外.
故选:A.
 
3.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x与y的对应值如表:
x ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2
y ﹣27 ﹣13 ﹣3 3 5 3
则当x=1时,y的值为(  )
A.5 B.﹣3 C.﹣13 D.﹣27
【考点】二次函数图象上点的坐标特征.
【分析】利用二次函数的对称性得出对称轴以及x=﹣2与x=﹣4时对应y的值相等,x=1与x=﹣7时对应y的值相等,即可得出答案.
【解答】解:根据图表得出:当x=﹣2,﹣4时,对应y的值为3,故此函数的对称轴为x=﹣3,
则利用二次函数的对称性得出x=1与x=﹣7时对应y的值相等,
故当x=1时,y的值为﹣27,
故选D.
 
4.五张完全相同的卡片上,分别画有圆、平行四边形、等腰三角形、角、矩形,现从中随机抽取一张,恰好抽到轴对称图形的概率是(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】概率公式;轴对称图形.
【分析】卡片共有五张,轴对称图形有圆、等腰三角形、角、矩形,根据概率公式即可得到卡片上所画图形恰好是轴对称图形的概率.
【解答】解:卡片中,轴对称图形有圆、等腰三角形、角、矩形,
根据概率公式,P(轴对称图形)= .
故选D
 
5.下列语句中:①过三点能作一个圆;②平分弦的直径垂直于弦;③长度相等的弧是等弧;④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴;⑤相等的圆心角所对的弧度数相等.其中正确的个数是(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】圆心角、弧、弦的关系;垂径定理.
【分析】根据圆的认识、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系对各小题进行逐一判断即可.
【解答】解:①经过不在同一条直线上的三点可以确定一个圆,故本小题错误;
②平分弦(非直径)的直径垂直于弦,故本小题错误;
③长度相等的弧是等弧,符合等弧的定义,故本小题正确;
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴,符合圆的性质,故本小题正确;
⑤在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧度数相等,故本小题错误.
故选B.
 
6.如图,⊙O的半径为10,若OP=8,则经过点P的弦长可能是(  )
 
A.10 B.6 C.19 D.22
【考点】垂径定理.
【分析】过点P作弦CE⊥OP,连接OC,根据勾股定理求出CP,根据垂径定理求出CE,判断即可.
【解答】解:过点P作弦CE⊥OP,连接OC,
由勾股定理得,CP= =6,
则CE=2CP=12,
∴过点P的最短的弦长为12,
∵⊙O的半径为10,
∴⊙O的直径为20,即过点P的最长的弦长为20,
∴12<点P的弦长<20,
故选:C.
 
 
7.合作小组的4位同学坐在课桌旁讨论问题,学生A的座位如图所示,学生B,C,D随机坐到其他三个座位上,则学生B坐在2号座位的概率是(  )
 
A.  B.  C.  D.
【考点】列表法与树状图法.
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数,再找出学生B坐在2号座位的结果数,然后根据概率公式求解.
【解答】解:画树状图为:
 
共有6种等可能的结果数,其中学生B坐在2号座位的结果数为2,
所以学生B坐在2号座位的概率= = .
故选A.
 
8.烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是 ,若这种礼炮在点火升空到最高点引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为(  )
A.3s B.4s C.5s D.6s
【考点】二次函数的应用.
【分析】到最高点爆炸,那么所需时间为﹣ .
【解答】解:∵礼炮在点火升空到最高点引爆,
∴t=﹣ =﹣ =4s.
故选B.
 
9.二次函数y=x2+bx+c,若b+c=0,则它的图象一定过点(  )
A.(﹣1,﹣1) B.(1,﹣1) C.(﹣1,1) D.(1,1)
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】此题可将b+c=0代入二次函数,变形得y=x2+b(x﹣1),然后分析.
【解答】解:对二次函数y=x2+bx+c,将b+c=0代入可得:y=x2+b(x﹣1),
则它的图象一定过点(1,1).
故选:D.
 
10.如图,C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点(点C、D不与A、B重合),在运动过程中弦CD始终保持不变,M是弦CD的中点,过点C作CP⊥AB于点P.若CD=3,AB=5,PM=x,则x的最大值是(  )
 
A.3 B.  C.2.5 D.2
【考点】垂径定理;勾股定理.
【分析】当CD∥AB时,PM长最大,连接OM,OC,得出矩形CPOM,推出PM=OC,求出OC长即可.
【解答】解:如图:
当CD∥AB时,PM长最大,连接OM,OC,
∵CD∥AB,CP⊥CD,
∴CP⊥AB,
∵M为CD中点,OM过O,
∴OM⊥CD,
∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°,
∴四边形CPOM是矩形,
∴PM=OC,
∵⊙O直径AB=5,
∴半径OC= ,即PM= .
故选C.
 
 
二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分)
11.写一个开口向下,以y轴为对称轴的抛物线解析式 y=﹣x2+1 .
【考点】二次函数的性质.
【分析】根据二次函数的性质,二次项系数a<0,b=0时,函数图象的开口向下,以y轴为对称轴,写出即可.
【解答】解:抛物线y=﹣x2+1.
故答案为:y=﹣x2+1(答案不唯一).
 
12.“校园手机”现象受社会普遍关注,某校针对“学生是否可带手机”的问题进行了问卷调查,并绘制了扇形统计图.从调查的学生中,随机抽取一名恰好是持“无所谓”态度的学生的概率是 9% .
 
【考点】概率公式;扇形统计图.
【分析】根据扇形统计图求出持“无所谓”态度的学生所占的百分比,即可求出持“无所谓”态度的学生的概率.
【解答】解:恰好是持“无所谓”态度的学生的概率是1﹣35%﹣56%=9%.
故答案为:9%.
 
13.如图,∠C是⊙O的圆周角,∠C=38°,∠OAB= 52 度.
 
【考点】圆周角定理.
【分析】根据圆周角定理,可求∠AOB=76°,又因为OA=OB,即可求∠OAB=÷2=52°.
【解答】解:∵∠C=38°
∴∠AOB=76°
∵OA=OB
∴△OAB是等腰三角形
∴∠OAB=∠OBA
∴∠OAB=÷2=52°.
 
14.二次函数y=(x+m)2+n的图象如图,则反比例函数y= 的图象经过第 一、三 象限.
 
【考点】反比例函数的性质;二次函数图象与系数的关系.
【分析】根据抛物线的顶点在第四象限,得出n<0,m<0,即可得出反比例函数y= 的图象经过二、三、四象限.
【解答】解:∵抛物线的顶点(﹣m,n)在第四象限,
∴﹣m>0,n<0,
∴m<0,
∴反比例函数y= 的图象经过第一、三象限,
故答案为:一、三.
 
15.如图,在矩形ABCD中,已知AB=2,BC=1.5,矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右第一次旋转90°至图①位置,再绕右下角的顶点继续向右第二次旋转90°至图②位置,…,以此类推,这样连续旋转2016次后,顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 1512π .
 
【考点】轨迹;旋转的性质.
【分析】首先求得每一次转动的路线的长,发现每4次循环,找到规律然后计算即可.
【解答】解:解:转动一次A的路线长是:  =π,
转动第二次的路线长是:  = π,
转动第三次的路线长是:  = π,
转动第四次的路线长是:0,
转动五次A的路线长是:  =π,
以此类推,每四次循环,
故顶点A转动四次经过的路线长为:π+ π+ π=3π,
∵2016÷4=504
∴这样连续旋转2016次后,顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是:3π×504=1512π.
故答案为1512π;
 
16.如图所示,直线y=x与抛物线  y=x2﹣x﹣3交于A,B两点,点P是抛物线上的一个动点,点P作PQ⊥x轴交直线y=x于点Q,设点P的横坐标为m,则线段PQ的长度随着m的增大而减小时m的取值范围是 m<﹣1或1<m<3 .
 
【考点】二次函数的性质;一次函数图象上点的坐标特征.
【分析】可用m分别表示出P、Q的坐标,则可用m表示出PQ的长,再利用二次函数的性质可求得答案.
【解答】解:
联立直线和抛物线解析式可得 ,解得 或 ,
∴A(﹣1,﹣1),B(3,3),
∵点P在抛物线上,点Q在直线y=x上,且点P的横坐标为m,
∴P(m,m2﹣m﹣3),Q(m,m),
当m<﹣1或m>3时,可知点P在点Q上方,
∴PQ=m2﹣m﹣3﹣m=m2﹣2m+4=(m﹣1)2﹣4,
∴当m<1时PQ的长度随m的增大而减小;
当﹣1<m<3时,可知点Q在点P上方,
∴PQ=m﹣(m2﹣m﹣3)=﹣m2+2m+3=﹣(m﹣1)2+4,
此时抛物线开口向下,对称轴为m=1,
∴当1<m<3时,PQ随m的增大而减小,
综上可知m的取值范围为:m<﹣1或1<m<3,
故答案为:m<﹣1或1<m<3.
 
三、解答题(共8小题,满分66分)
17.已知二次函数y=﹣ x2+ x+ .
(1)求函数图象的顶点坐标,与坐标轴的交点坐标.
(2)画出该函数的大致图象,根据图象判断当自变量x取何值时,函数值y≤0.
 
【考点】抛物线与x轴的交点;二次函数的图象;二次函数的性质.
【分析】(1)利用配方法即可确定函数的顶点坐标,令y=0求得x就是函数的横坐标,令x=0即可求得与y轴的纵坐标;
(2)根据顶点坐标和与x轴的交点即可作出大体图象,然后根据图象写出x的范围.
【解答】解:(1)y=﹣ x2+ x+ =﹣ (x﹣1)2+5,
则顶点坐标是(1,5);
令y=0,则﹣ x2+ x+ =0,则解得x=5或﹣3,
则函数与x轴交于(5,0),(﹣3,0);
在y=﹣ x2+ x+ 中令x=0,则y= ,函数与y轴交于(0, ).
(2)根据图象可得:x≤﹣3或x≥5时y≤0.
 
 
18.如图所示,AB=AC,AB为⊙O的直径,AC、BC分别交⊙O于E、D,连结ED、BE.
(1)求证:BE⊥AC;
(2)求证:BD=DE;
(3)如果BC=6,AB=5,求BE的长.
 
【考点】圆周角定理;等腰三角形的性质.
【分析】(1)由AB为⊙O的直径,则可得∠AEB=∠CEB=90°,即可得:BE⊥AC;
(2)首先连接AD,由三线合一的知识,易证得BD=DE;
(3)由三角形的面积可得:AC•BE=AD•BC,继而求得答案.
【解答】证明:(1)∵AB是直径,
∴∠AEB=∠CEB=90°,
即AE⊥AC;

(2)连结AD,
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∵AB=AC,
∴CD=BD,
∴BD=DE;

(3)由(2)可知:BD= BC=3,AB=AC=5,
∴AD=4,
∴AC•BE=AD•BC,
∴5×BE=6×4,
∴BE= .
 
 
19.如图,抛物线 y=x2+bx+c经过A(﹣1,0),B(4,5).
(1)求抛物线解析式.
(2)若抛物线的顶点为D,对称轴交x轴于点E,连结AD,F为AD的中点,求线段EF的长.
 
【考点】抛物线与x轴的交点;待定系数法求二次函数解析式.
【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题.
(2)求出E、F的坐标,利用两点间的距离公式即可解决问题.
【解答】解:(1)把A(﹣1,0),B(4,5)代入抛物线的解析式得到 ,
解得 ,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3.

(2)∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴顶点D坐标(1,﹣4),点E坐标(1,0),
∵A(﹣1,0),D(1,﹣4),
∴AD中点F坐标为(0,﹣2),
∴EF= = .
 
20.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB是⊙O的直径,∠D=108°,连接AC.
(1)求∠BAC的度数;
(2)若∠DAC=45°,DC=8,求图中阴影部分的面积(结果保留π).
 
【考点】圆内接四边形的性质;扇形面积的计算.
【分析】(1)根据圆内接四边形的性质得到∠B=72°,根据圆周角定理得到∠ACB=90°,根据三角形内角和定理计算即可;
(2)连接OD、OC,根据圆周角定理得到∠DOC=2∠DAC=90°,根据直角三角形的性质求出OD、OC,根据扇形面积公式计算即可.
【解答】解:(1)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边,∠D=108°,
∴∠B=72°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BAC=18°;
(2)∵连接OD、OC,
∵∠DAC=45°,
∴∠DOC=2∠DAC=90°,
∴OD=OC= DC=4 ,
∴阴影部分的面积= ﹣ ×4 ×4 =8π﹣16.
 
 
21.大课间活动时,有两个同学做游戏,有三张正面写有数字﹣1,0,1的卡片,它们的背面完全相同,将这三张卡片背面朝上洗匀后,其中一个同学随机抽取一张,将其正面的数字作为p的值,然后将卡片放回并洗匀,另一位同学再从这三张卡片中随机抽取一张,将其正面的数字作为q的值,两次的结果记为(p,q).
(1)请你帮他们用树状图或列表法表示(p,q)所有可能出现的结果.
(2)求使二次函数 y=x2+px+q的图象在x轴上方的概率.
【考点】列表法与树状图法;抛物线与x轴的交点.
【分析】(1)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果;
(2)由(1)可求得满足关于x的方程x2+px+q=0没有实数解的有:(﹣1,1),(0,1),(1,1),再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解:(1)画树状图得:
 
则共有9种等可能的结果;

(2)二次函数 y=x2+px+q的图象在x轴上方,即方程x2+px+q=0没有实数解,
∴△=p2﹣4q<0,
由(1)可得:满足△=p2﹣4q<0的有:(﹣1,1),(0,1),(1,1),
∴满足关于x的方程x2+px+q=0没有实数解的概率为:  = .
 
22.如图①,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,AB=AC,AD=AE,然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度,连接BD,CE,得到图②,将BD、CE分别延长至M、N,使DM= BD,EN= CE,得到图③,请解答下列问题:
 
(1)在图②中,BD与CE的数量关系是 BD=CE ;
(2)在图③中,判断△AMN的形状,及∠MAN与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想.
【考点】旋转的性质.
【分析】(1)由旋转的性质知∠BAD=∠CAE,证△BAD≌△CAE可得;
(2)由△BAD≌△CAE知∠ABD=∠ACE,BD=CE,结合DM= BD,EN= CE可得BM=CN,再证△ABM≌△ACN得AM=AN,∠BAM=∠CAN,即可得证.
【解答】解:(1)由旋转的性质知∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
∵ ,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE,
故答案为:BD=CE;

(2)AM=AN,∠MAN=∠BAC,
由(1)知△BAD≌△CAE,
∴∠ABD=∠ACE,BD=CE,
又∵DM= BD,EN= CE,
∴BM=CN,
在△ABM和△ACN中,
∵ ,
∴△ABM≌△ACN(SAS),
∴AM=AN,∠BAM=∠CAN,即∠BAC+∠CAM=∠CAM+∠MAN,
∴△AMN为等腰三角形,且∠MAN=∠BAC.
 
23.金秋时节,桐乡杭白菊喜获丰收.某杭白菊经销商以每千克12元的价格购进一批鲜杭白菊,加工后出售,已知加工过程中质量损耗了40%,该商户对该杭白菊试销期间,销售单价不低于成本单价,且每千克获利不得高于成本单价的125%,经试销发现,每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)符合一次函数y=kx+b,且x=35时,y=41;x=40时,y=36.
(1)求一次函数y=kx+b的表达式;
(2)若该商户每天获得利润(不计加工费用)为W元,试写出利润W与销售单价x之间的关系式;销售单价定为多少元/千克时,商户每天可获得最大利润,最大利润是多少元?
(3)若该商户每天获得利润不低于384元,试确定销售单价x的范围.
【考点】二次函数的应用.
【分析】(1)待定系数法求解可得;
(2)先根据加工过程中质量损耗了40%求出杭白菊的实际成本,再根据“总利润=每千克的利润×销售量”列出函数解析式,由“销售单价不低于成本单价,且每千克获利不得高于成本单价的125%”得出x的范围,结合二次函数与的性质即可得函数的最值;
(3)根据“每天获得利润不低于384元”列出不等式,解不等式后结合20≤x≤45可得答案.
【解答】解:(1)将x=35、y=41和x=40、y=36代入y=kx+b,得:
 ,
解得: ,
∴y=﹣x+76;

(2)∵这批鲜杭白菊的实际成本为 =20元/千克,
∴W=(x﹣20)(﹣x+76)=﹣x2+96x﹣1520=﹣(x﹣48)2+784,
又∵20≤x≤20×(1+125%),即20≤x≤45,
∴当x=45时,W最大值=775,
答:销售单价定为45元/千克时,商户每天可获得最大利润,最大利润是775元;

(3)根据题意,得:﹣(x﹣48)2+784≥384,
解得:28≤x≤68,
又20≤x≤45,
∴28≤x≤45.
 
24.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(c>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在原点左侧,点B在原点右侧),与y轴交于点C,且OB=OC=3OA=6,顶点为M.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P为线段BM上的一个动点,过点P作x轴的垂线PQ,垂足为Q,若OQ=m,四边形ACPQ的面积为S,求S关于m的函数解析式,并写出m的取值范围;
(3)探索:线段BM上是否存在点N,使△NMC为等腰三角形?如果存在,求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.
 
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)先求出点A,B,C的坐标,用待定系数法即可求出抛物线解析式;
(2)先求出MB的解析式,即可得出点P坐标,用面积的和即可得出结论;
(3)先确定直线MB解析式,进而设出点N坐标,分三种情况用两边相等建立方程求解即可得出结论.
【解答】解:(1)∵OB=OC=3OA=6,
∴OA=2,
∴A(﹣2,0),B(6,0),C(0,6),
∴设抛物线解析式为y=a(x+2)(x﹣6),
将点C(0,6)代入此解析式中,得,6=a×2×(﹣6),
∴a=﹣ ,
二次函数的解析式为y=﹣ (x+2)(x﹣6)=﹣ x2+2x+6;
(2)由(1)知,二次函数的解析式为y=﹣ x2+2x+6=﹣ (x﹣2)2+8;
∴M(2,8)
∴直线MB的解析式为y=﹣2x+12
∵PQ⊥x轴,OQ=m,
∴点P的坐标为(m,﹣2m+12)
S四边形ACPQ=S△AOC+S梯形PQOC=﹣m2+9m+6(2≤m<6);
(3)存在,
理由:由(1)(2)知,B(6,0),M(2,8),
∴直线BM解析式为y=﹣2x+12,
设点N(n,﹣2n+12)(2<n<6),
∵C(0,6),
∴MN2=(n﹣2)2+(﹣2n+12﹣8)2=(n﹣2)2+4(n﹣2)2=5(n﹣2)2,
MC2=4+4=8,
NC2=n2+(﹣2n+12﹣6)2=n2+(2n﹣6)2,
∵△NMC为等腰三角形,
①当MN=MC时,∴MN2=MC2,
∴5(n﹣2)2=8,
∴n= +2或n=﹣ +2<2(舍)
∴N( +2,8﹣ ),
②当MN=NC时,
∴MN2=NC2,
∴5(n﹣2)2=n2+(2n﹣6)2,
∴n=4,
∴N(4,4)
③MC=NC时,∴MC2=NC2,
∴8=n2+(2n﹣6)2,
∴n=2(舍)或n= ,
∴N( , )
∴线段BM上存在点N( +2,8﹣ ),(  )4,4),( , )使△NMC为等腰三角形.

2017年3月16日

文章
来源莲山
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