2017杭州市下城区九年级数学下期初试卷(带答案和解释)

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2017杭州市下城区九年级数学下期初试卷(带答案和解释)

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莲山 课件 w ww.5 Y
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2016-2017学年浙江省杭州市下城区九年级(下)期初数学试卷
 
一、仔细选一选(每题四个选项中,只有一个是正确的,每小题3分,共30分).
1.下列事件属于必然事件的是(  )
A.某地夏季下雪 B.当a为有理数时,|a|>0
C.某校今天放假 D.地球上有生命之水
2.已知⊙O的半径为5cm,P为⊙O外一点,则OP的长可能是(  )
A.5 cm B.4 cm C.3 cm D.6 cm
3.关于抛物线y=﹣ (x+2)2+1,下列说法正确的是(  )
A.当x=2时,y有最小值1 B.当x=﹣2时,y有最大值1
C.当x=2时,y有最大值1 D.当x=﹣2时,y有最小值1
4.已知扇形的面积为12πcm,圆心角为120°,则扇形的弧长为(  )
A.4 cm B.2cm C.4πcm D.2πcm
5.已知点P是线段AB的黄金分割点,AP>PB,若AB=2,则PB=(  )
A.  B.  C.3﹣  D. ﹣1
6.如图,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是(  )
 
A.  B.  C.  D.
7.如图,在2×2的正方形网格中有9个格点,已经取定点A和B,在余下的7个点中任取一点C,使△ABC为直角三角形的概率是(  )
 
A.  B.  C.  D.
8.如图所示是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,直线x=﹣1是对称轴,有下列判断:①b﹣2a=0,②4a﹣2b+c<0,③a﹣b+c=﹣9a,④若(﹣3,y1),( ,y2)是抛物线上的两点,则y1<y2.其中正确的是(  )
 
A.①②③ B.①③ C.①④ D.①③④
9.如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,∠B=30°,CE平分∠ACB交⊙O于E,交AB于点D,连接AE,则S△ADE:S△CDB的值等于(  )
 
A.1:  B.1:  C.1:2 D.2:3
10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,E、F为线段AB上两动点,且∠ECF=45°,过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M,垂足分别为H、G.现有以下结论:①AB= ;②当点E与点B重合时,MH= ;③AF+BE=EF;④MG•MH= ,其中正确结论为(  )
 
A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④
 
二、认真填一填(本题有6个小题,每小题4分,共24分)
11.若x是3和6的比例中项,则x=  .
12.抽检500袋味精的质量,其中不合格的有3袋.估计任意抽1袋味精合格的概率是  .
13.如果一个正多边形的内角是140°,则它是  边形.
14.在等腰三角形ABC中,AB=AC,CD⊥AB,垂足为D.若D恰好为AB的三等分点,则tanA=  .
15.如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=2 ,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为  .
 
16.如图,直径为13的⊙E,经过原点O,并且与x轴、y轴分别交于A、B两点,线段OA、OB(OA>OB)的长分别是方程x2+kx+60=0的两根.
(1)OA:OB=  ;
(2)若点C在劣弧OA上,连结BC交OA于D,当△BOC∽△BDA时,点D的坐标为  .
 
 
三、全面答一答(本题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.)
17.有A,B,C三种款式的帽子,E,F两种款式的围巾.小慧任意选一顶帽子和一条围巾,恰好选中她所喜欢的A款式和F款式围巾的概率是多少?请列表或用树状图分析.
18.如图,防洪大堤的横断面是梯形ABCD,其中AD∥BC,坡长AB=10m,坡角∠2=60°,汛期来临前对其进行了加固,改造后的背水面坡角∠1=45°.(注:请在结果中保留根号)
(1)试求出防洪大堤的横断面的高度;
(2)请求出改造后的坡长AE.
 
19.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D、E.
(1)求证:BD=CD;
(2)若AB=8,∠A=60°,求弓形AE的面积.
 
20.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象经过A(2,0),B(0,c),D(﹣2,c)三点.
(1)求出此二次函数图象的对称轴及其与x轴的交点坐标;
(2)若直线l经过A、D两点,求当二次函数图象落在直线l下方时,x的取值范围.
21.函数学习中,自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一,请解决下面的问题.
(1)分别求出当2≤x≤4时,三个函数:y=2x+1,y= ,y=2(x﹣1)2+1的最大值和最小值;
(2)若y= 的值不大于2,求符合条件的x的范围;
(3)若y= ,当a≤x≤2时既无最大值,又无最小值,求a的取值范围;
(4)y=2(x﹣m)2+m﹣2,当2≤x≤4时有最小值为1,求m的值.
22.如图,BA⊥MN,垂足为A,BA=4,点P是射线AN上的一个动点(点P与点A不重合),且∠BPC=∠BPA,BC⊥BP,过点C作CD⊥MN,垂足为D,设AP=x
(1)CD的长度是否随着的x变化而变化?若变化,请用含的x代数式表示CD的长度;若不变化,请求出线段CD的长度;
(2)当x取何值时,△ABP和△CDP相似.
 
23.平面直角坐标系中,已知y1=﹣x+2分别交x轴,y轴于点A和点B.
 
(1)若y2=(x﹣1)2﹣k2(k>0)与x轴交于点A,求k的值;
(2)当k≠1时,y2=(x﹣1)2﹣k2(k>0)交x轴于点C,D(C在左边),交y轴于点M.过点D作y轴的平行线,交y1于点E,作矩形CDEF,连结MF.根据题意画出草图,并回答:
①若矩形CDEF在x轴上方,求出此时k的取值范围,并比较此时点M与点F纵坐标的大小;
②当k为何值时,S△OMF= S矩形CDEF.
 
 

2016-2017学年浙江省杭州市下城区九年级(下)期初数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、仔细选一选(每题四个选项中,只有一个是正确的,每小题3分,共30分).
1.下列事件属于必然事件的是(  )
A.某地夏季下雪 B.当a为有理数时,|a|>0
C.某校今天放假 D.地球上有生命之水
【考点】X1:随机事件.
【分析】必然事件就是一定会发生的事件,依据定义即可判断.
【解答】解:A、某地夏季下雪是不可能事件,选项不符合题意;
B、当a为有理数时,|a|>0是随机事件,选项不符合题意;
C、某校今天放假,是随机事件,故选项不符合题意;
D、地球上有生命之水是必然事件,故选项符合题意.
故选D.
 
2.已知⊙O的半径为5cm,P为⊙O外一点,则OP的长可能是(  )
A.5 cm B.4 cm C.3 cm D.6 cm
【考点】M8:点与圆的位置关系.
【分析】设点与圆心的距离d,已知点P在圆外,则d>r.
【解答】解:当点P是⊙O外一点时,OP>5cm,A、B、C均不符.
故选D.
 
3.关于抛物线y=﹣ (x+2)2+1,下列说法正确的是(  )
A.当x=2时,y有最小值1 B.当x=﹣2时,y有最大值1
C.当x=2时,y有最大值1 D.当x=﹣2时,y有最小值1
【考点】H7:二次函数的最值.
【分析】直接根据顶点式确定最值即可确定正确的选项.
【解答】解:抛物线y=﹣ (x+2)2+1当x=﹣2时有最大值1,
故选B.
 
4.已知扇形的面积为12πcm,圆心角为120°,则扇形的弧长为(  )
A.4 cm B.2cm C.4πcm D.2πcm
【考点】MO:扇形面积的计算;MN:弧长的计算.
【分析】根据扇形面积公式S= 和弧长公式l= 进行计算.
【解答】解:令扇形的半径和弧长分别为R和l,则
∵S= =12π,
∴R=6cm,
∴l= =4πcm.
∴扇形的弧长为4πcm.
故选C.
 
5.已知点P是线段AB的黄金分割点,AP>PB,若AB=2,则PB=(  )
A.  B.  C.3﹣  D. ﹣1
【考点】S3:黄金分割.
【分析】根据黄金分割点的定义,根据AP>BP情况,AP= AB叫做黄金比进行计算,代入数据即可得出PB的长.
【解答】解:当AP>BP时,
AP= ×2= ﹣1,
PB=2﹣( )=3﹣ ,
故选C
 
6.如图,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是(  )
 
A.  B.  C.  D.
【考点】S4:平行线分线段成比例.
【分析】已知AB∥CD∥EF,根据平行线分线段成比例定理,对各项进行分析即可.
【解答】解:∵AB∥CD∥EF,
∴ .
故选A.
 
7.如图,在2×2的正方形网格中有9个格点,已经取定点A和B,在余下的7个点中任取一点C,使△ABC为直角三角形的概率是(  )
 
A.  B.  C.  D.
【考点】X4:概率公式.
【分析】找到可以组成直角三角形的点,根据概率公式解答即可.
【解答】解:如图,C1,C2,C3,C4均可与点A和B组成直角三角形.
P= ,
故选:D.
 
 
8.如图所示是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,直线x=﹣1是对称轴,有下列判断:①b﹣2a=0,②4a﹣2b+c<0,③a﹣b+c=﹣9a,④若(﹣3,y1),( ,y2)是抛物线上的两点,则y1<y2.其中正确的是(  )
 
A.①②③ B.①③ C.①④ D.①③④
【考点】H4:二次函数图象与系数的关系.
【分析】根据二次函数的开口方向,与x轴交点的个数,与y轴交点的位置、对称轴的位置即可判断.
【解答】解:①∵对称轴为x=﹣1,
∴﹣ =﹣1,
∴b﹣2a=0,故①正确;
由于对称轴为x=﹣1,
∴(2,0)的对称点为(﹣4,0)
∴当﹣4<x<2时,y>0,
令x=﹣2代入y=ax2+bx+c
∴y=4a﹣2b+c>0,故②错误
令x=2代入y=ax2+bx+c,
∴4a+2b+c=0,
∵b=2a,
∴c=﹣4a﹣2b=﹣4a﹣4a=﹣8a,
令x=﹣1代入y=ax2+bx+c,
∴y=a﹣b+c=a﹣2a﹣8a=﹣9a,故③正确,
∵对称轴为x=﹣1,
∴(﹣3,y1)关于x=﹣1的对称点为(1,y1)
∵x>﹣1时,y随着x的增大而减少,
∴当1< 时,
∴y1>y2,故④错误,
故选(B)
 
9.如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,∠B=30°,CE平分∠ACB交⊙O于E,交AB于点D,连接AE,则S△ADE:S△CDB的值等于(  )
 
A.1:  B.1:  C.1:2 D.2:3
【考点】S9:相似三角形的判定与性质;M5:圆周角定理.
【分析】由AB是⊙O的直径,得到∠ACB=90°,根据已知条件得到 ,根据三角形的角平分线定理得到 = ,求出AD= AB,BD= AB,过C作CF⊥AB于F,连接OE,由CE平分∠ACB交⊙O于E,得到OE⊥AB,求出OE= AB,CF= AB,根据三角形的面积公式即可得到结论.
【解答】解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠B=30°,
∴ ,
∵CE平分∠ACB交⊙O于E,
∴ = ,
∴AD= AB,BD= AB,
过C作CF⊥AB于F,连接OE,
∵CE平分∠ACB交⊙O于E,
∴ = ,
∴OE⊥AB,
∴OE= AB,CF= AB,
∴S△ADE:S△CDB=( AD•OE):( BD•CF)=( ):( )=2:3.
故选D.
 
 
10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,E、F为线段AB上两动点,且∠ECF=45°,过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M,垂足分别为H、G.现有以下结论:①AB= ;②当点E与点B重合时,MH= ;③AF+BE=EF;④MG•MH= ,其中正确结论为(  )
 
A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④
【考点】SO:相似形综合题.
【分析】①由题意知,△ABC是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形即可作出判断;
②如图1,当点E与点B重合时,点H与点B重合,可得MG∥BC,四边形MGCB是矩形,进一步得到FG是△ACB的中位线,从而作出判断;
③如图2所示,SAS可证△ECF≌△ECD,根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断;
④根据AA可证△ACE∽△BFC,根据相似三角形的性质可得AF•BF=AC•BC=1,由题意知四边形CHMG是矩形,再根据平行线的性质和等量代换得到MG•MH= AE× BF= AE•BF= AC•BC= ,依此即可作出判断.
【解答】解:①由题意知,△ABC是等腰直角三角形,
∴AB= = ,故①正确;
②如图1,当点E与点B重合时,点H与点B重合,
 
∴MB⊥BC,∠MBC=90°,
∵MG⊥AC,
∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC,
∴MG∥BC,四边形MGCB是矩形,
∴MH=MB=CG,
∵∠FCE=45°=∠ABC,∠A=∠ACF=45°,
∴CF=AF=BF,
∴FG是△ACB的中位线,
∴GC= AC=MH,故②正确;
③如图2所示,
 
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠A=∠5=45°.
将△ACF顺时针旋转90°至△BCD,
则CF=CD,∠1=∠4,∠A=∠6=45°;BD=AF;
∵∠2=45°,
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°,
∴∠DCE=∠2.
在△ECF和△ECD中,
 ,
∴△ECF≌△ECD(SAS),
∴EF=DE.
∵∠5=45°,
∴∠DBE=90°,
∴DE2=BD2+BE2,即EF2=AF2+BE2,故③错误;
④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE,
∵∠A=∠5=45°,
∴△ACE∽△BFC,
∴ = ,
∴AE•BF=AC•BC=1,
由题意知四边形CHMG是矩形,
∴MG∥BC,MH=CG,
MG=CH,MH∥AC,
∴ = ;  = ,
即 = ;  = ,
∴MG= AE;MH= BF,
∴MG•MH= AE× BF= AE•BF= AC•BC= ,
故④正确.
故选:C.
 
二、认真填一填(本题有6个小题,每小题4分,共24分)
11.若x是3和6的比例中项,则x= ±3  .
【考点】S2:比例线段.
【分析】根据比例中项的概念,得x2=3×6,即可求出x的值.
【解答】解:∵x是3和6的比例中项,
∴x2=3×6=18,
解得x=±3 .
故答案为;±3 .
 
12.抽检500袋味精的质量,其中不合格的有3袋.估计任意抽1袋味精合格的概率是   .
【考点】X4:概率公式.
【分析】由抽检500袋味精的质量,其中不合格的有3袋,可求得合格的袋数,然后直接利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:∵抽检500袋味精的质量,其中不合格的有3袋,
∴合格的有:500﹣3=497(袋),
∴估计任意抽1袋味精合格的概率是: .
故答案为: .
 
13.如果一个正多边形的内角是140°,则它是 9 边形.
【考点】L3:多边形内角与外角.
【分析】多边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°,因为所给多边形的每个内角均相等,故又可表示成120°n,列方程可求解.此题还可以由已知条件,求出这个多边形的外角,再利用多边形的外角和定理求解.
【解答】解:设正边形的边数是n,由内角和公式,得
(n﹣2)×180°=n×140°.
解得n=9,
故答案为:9.
 
14.在等腰三角形ABC中,AB=AC,CD⊥AB,垂足为D.若D恰好为AB的三等分点,则tanA=  或2  .
【考点】T7:解直角三角形;KH:等腰三角形的性质.
【分析】先利用勾股定理,求出CD的长,根据正切的意义,计算出正切值.由于点D在AB的三等分点上,所以有两种情况,需要分类讨论.
【解答】解:设AB=AC=a,
(1)若AD= 时,即AD= ,
在Rt△ACD中,
CD=
=
= ,
∴tanA=
= .
(2)若AD= 时,即AD ,
在Rt△ACD中,
CD=
=
= ,
∴tanA=
= ÷
=2 .
故答案为: 或2 .
 
15.如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=2 ,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为   .
 
【考点】M2:垂径定理;M5:圆周角定理;T7:解直角三角形.
【分析】由垂线段的性质可知,当AD为△ABC的边BC上的高时,直径AD最短,此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°,因此当半径OE最短时,EF最短,连接OE,OF,过O点作OH⊥EF,垂足为H,在Rt△ADB中,解直角三角形求直径AD,由圆周角定理可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°,在Rt△EOH中,解直角三角形求EH,由垂径定理可知EF=2EH.
【解答】解:由垂线段的性质可知,当AD为△ABC的边BC上的高时,直径AD最短,
如图,连接OE,OF,过O点作OH⊥EF,垂足为H,
∵在Rt△ADB中,∠ABC=45°,AB=2 ,
∴AD=BD=2,即此时圆的直径为2,
由圆周角定理可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°,
∴在Rt△EOH中,EH=OE•sin∠EOH=1× = ,
由垂径定理可知EF=2EH= .
故答案为: .
 
 
16.如图,直径为13的⊙E,经过原点O,并且与x轴、y轴分别交于A、B两点,线段OA、OB(OA>OB)的长分别是方程x2+kx+60=0的两根.
(1)OA:OB= 12:5 ;
(2)若点C在劣弧OA上,连结BC交OA于D,当△BOC∽△BDA时,点D的坐标为 ( ,0) .
 
【考点】MR:圆的综合题;AB:根与系数的关系;KD:全等三角形的判定与性质;KQ:勾股定理;S7:相似三角形的性质.
【分析】(1)连接AB,如图,易得AB是⊙E的直径,根据勾股定理可得OA2+OB2=AB2=169,根据根与系数的关系及完全平方公式就可求出k,然后解方程就可解决问题;
(2)过点D作DH⊥AB于H,如图,根据相似三角形的性质可得∠OBC=∠DBA,从而可证得△BOD≌△BHD,则有BH=BO=5,DH=OD.设OD=x,则DH=x,DA=12﹣x,然后在Rt△DHA中运用勾股定理就可解决问题.
【解答】解:连接AB,
∵∠AOB=90°,
∴AB是⊙E的直径,AB=13,
∴OA2+OB2=AB2=169.
根据根与系数的关系可得:
OA+OB=﹣k>0,OA•OB=60,
∴OA2+OB2=(OA+OB)2﹣2OA•OB=k2﹣120=169,
∴k=﹣17,
原方程为x2﹣17x+60=0,
解得x1=5,x2=12,
∴OA=12,OB=5,
∴OA:OB=12:5.
故答案为12:5;

(2)过点D作DH⊥AB于H,如图.
∵△BOC∽△BDA,
∴∠OBC=∠DBA,
在△BOD和△BHD中,
 ,
∴△BOD≌△BHD,
∴BH=BO=5,DH=OD.
设OD=x,则DH=x,DA=12﹣x.
在Rt△DHA中,根据勾股定理可得,
x2+(13﹣5)2=(12﹣x)2,
解得x= ,
∴点D的坐标为( ,0).
故答案为( ,0).
 
 
三、全面答一答(本题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.)
17.有A,B,C三种款式的帽子,E,F两种款式的围巾.小慧任意选一顶帽子和一条围巾,恰好选中她所喜欢的A款式和F款式围巾的概率是多少?请列表或用树状图分析.
【考点】X6:列表法与树状图法.
【分析】根据题意,使用列举法,可得小慧喜欢的A款式和F款式围巾的情况数目,进而按概率的计算公式计算可得答案.
【解答】解:
围巾
帽子 E F
A (A,E) (A,F)
B (B,E) (B,F)
C (C,E) (C,F)
所以恰好选中喜欢的A款式和F款式围巾的概率是 .
 
18.如图,防洪大堤的横断面是梯形ABCD,其中AD∥BC,坡长AB=10m,坡角∠2=60°,汛期来临前对其进行了加固,改造后的背水面坡角∠1=45°.(注:请在结果中保留根号)
(1)试求出防洪大堤的横断面的高度;
(2)请求出改造后的坡长AE.
 
【考点】T9:解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.
【分析】(1)过点A作AF⊥BC于点F,在Rt△ABF中,利用三角函数的指数求出AF的长度即可;
(2)根据∠E=45°,在Rt△AEF中求出AE即可.
【解答】解:(1)过点A作AF⊥BC于点F,
在Rt△ABF中,∠ABF=60°,
则AF=ABsin60°=5 (m),
即防洪大堤的横断面的高度5 m;

(2)在Rt△AEF中,
∵∠E=45°,AF=5 m,
∴AE= = =5 (m)
答:改造后的坡长AE为5 m.
 
 
19.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D、E.
(1)求证:BD=CD;
(2)若AB=8,∠A=60°,求弓形AE的面积.
 
【考点】MO:扇形面积的计算;KH:等腰三角形的性质.
【分析】(1)连接AD,根据圆周角定理的推论得到∠BDA=90°,再根据等腰三角形的性质即可得到BD=CD;
(2)连接OE,先求得∠AOE,再用扇形AOE的面积减去△AOE的面积即可得出弓形AE的面积.
【解答】证明:(1)连接AD,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠BDA=90°,
∴AD⊥BC.
∵AB=AC.
∴BD=CD;
(2)连接OE,
∵AB=8,∠A=60°,
∴OA=OE=4,∠AOE=60°,
∴S弓形AE=S扇形AOE﹣S△AOE= ﹣ ×4×2 = π﹣4 .
 
 
20.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象经过A(2,0),B(0,c),D(﹣2,c)三点.
(1)求出此二次函数图象的对称轴及其与x轴的交点坐标;
(2)若直线l经过A、D两点,求当二次函数图象落在直线l下方时,x的取值范围.
【考点】HA:抛物线与x轴的交点;H4:二次函数图象与系数的关系.
【分析】(1)由题意B(0,c),D(﹣2,c)关于对称轴对称,可得抛物线的对称轴为x=﹣1,根据对称性抛物线与x轴的另一个交点为(﹣4,0).
(2)画出函数图象,分两种情形求解即可.
【解答】解 (1)由题意B(0,c),D(﹣2,c)关于对称轴对称,
∴抛物线的对称轴为x=﹣1,根据对称性抛物线与x轴的另一个交点为(﹣4,0)

(2)由图象可知,当c>0时,如图1中,当二次函数图象落在直线l下方时,x<﹣2或x>2,
 
当c>0时,如图2中,当二次函数图象落在直线l下方时,﹣2<x<2.
 
 
21.函数学习中,自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一,请解决下面的问题.
(1)分别求出当2≤x≤4时,三个函数:y=2x+1,y= ,y=2(x﹣1)2+1的最大值和最小值;
(2)若y= 的值不大于2,求符合条件的x的范围;
(3)若y= ,当a≤x≤2时既无最大值,又无最小值,求a的取值范围;
(4)y=2(x﹣m)2+m﹣2,当2≤x≤4时有最小值为1,求m的值.
【考点】G4:反比例函数的性质;F5:一次函数的性质;H3:二次函数的性质;H7:二次函数的最值.
【分析】(1)根据k=2>0结合一次函数的性质即可得出:当2≤x≤4时,y=2x+1的最大值和最小值;根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出:当2≤x≤4时,y=2(x﹣1)2+1的最大值和最小值;
(2)令y= ≤2,解之即可得出x的取值范围;
(3)①当k>0时,如图得当0<x≤2时,得到y= 无最大值,有最小值 ,同理当a<0时,且a≤x<0时,得到y≤ 有最大值 ,无最小值,②当k<0时,如图得当0<x≤2时,y= 无最小值,有最大值 ,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最小值 ,无最大值,于是得到结论;
(4)分m<2、2≤m≤4和m>4三种情况考虑,根据二次函数的性质结合当2≤x≤4时有最小值为1即可得出关于m的一元二次方程(一元一次方程),解之即可得出结论.
【解答】解:(1)∵y=2x+1中k=2>0,
∴y随x的增大而增大,
∴当x=2时,y最小=5;当x=4时,y最大=9.
∵y= 中k=2>0,
∴在2≤x≤4中,y随x的增大而减小,
∴当x=2时,y最大=1;当x=4时,y最小= .
∵y=2(x﹣1)2+1中a=2>0,且抛物线的对称轴为x=1,
∴当x=1时,y最小=1;当x=4时,y最大=19.
(2)令y= ≤2,
解得:x<0或x≥1.
∴符合条件的x的范围为x<0或x≥1.
(3)①当k>0时,如图得当0<x≤2时,y= 无最大值,有最小值 ,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最大值 ,无最小值,②当k<0时,如图得当0<x≤2时,y= 无最小值,有最大值 ,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最小值 ,无最大值,∴当k<0,a<0时,此时,y= 既无最大值,又无最小值,综上所述,a的取值范围是a<0;
(4)①当m<2时,有2(2﹣m)2+m﹣2=1,
解得:m1=1,m2= (舍去);
②当2≤m≤4时,有m﹣2=1,
解得:m3=3;
③当m>4时,有2(4﹣m)2+m﹣2=1,
整理得:2m2﹣15m+29=0.
∵△=(﹣15)2﹣4×2×29=﹣7,无解.
∴m的值为1或3.

①当k>0时,如图得当0<x≤2时,y= 无最大值,有最小值 ,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最大值 ,无最小值,②当k<0时,如图得当0<x≤2时,y= 无最小值,有最大值 ,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最小值 ,无最大值,∴当k<0,a<0时,此时,y= 既无最大值,又无最小值,综上所述,a的取值范围是a<0;
 
 
 
22.如图,BA⊥MN,垂足为A,BA=4,点P是射线AN上的一个动点(点P与点A不重合),且∠BPC=∠BPA,BC⊥BP,过点C作CD⊥MN,垂足为D,设AP=x
(1)CD的长度是否随着的x变化而变化?若变化,请用含的x代数式表示CD的长度;若不变化,请求出线段CD的长度;
(2)当x取何值时,△ABP和△CDP相似.
 
【考点】S8:相似三角形的判定.
【分析】(1)如图1,延长CB和PA,记交点为点Q.根据等腰△QPC“三合一”的性质证得QB=BC;由相似三角形(△QAB∽△QDC)的对应边成比例得到 = = ,则CD=2AB;
(2)当△BAP∽△CDP时,易得∠BPA=60°,x=AP= = = ,当△BAP∽△PDC时,易得∠BPA=30°,AP= = =4 ,求出x的值即可.
【解答】解:(1)CD的长度不变化.
理由如下:
如图1,延长CB和PA,记交点为点Q.
∵∠BPC=∠BPA,BC⊥BP,
∴QB=BC(等腰三角形“三合一”的性质).
∵BA⊥MN,CD⊥MN,
∴AB∥CD,
∴△QAB∽△QDC,
∴ = = ,
∴CD=2AB=2×4=8,
即CD=8;
(2)当△BAP∽△CDP时,
∵∠BPC=∠BPA,∠CPD=∠BPA,
∴∠BPA=∠BPC=∠CPD=60°,
∴AP= = = ,
即x= ;
如图2,当△BAP∽△PDC时,
∵∠CPB=∠BPA,∠PCD=∠BPA,
∴3∠BPA=90°,
∴∠BPA=30°,
∴AP= = =4 ,
即x=4 ;
即当x= 或4 时,△ABP和△CDP相似.
 
 
 
23.平面直角坐标系中,已知y1=﹣x+2分别交x轴,y轴于点A和点B.
 
(1)若y2=(x﹣1)2﹣k2(k>0)与x轴交于点A,求k的值;
(2)当k≠1时,y2=(x﹣1)2﹣k2(k>0)交x轴于点C,D(C在左边),交y轴于点M.过点D作y轴的平行线,交y1于点E,作矩形CDEF,连结MF.根据题意画出草图,并回答:
①若矩形CDEF在x轴上方,求出此时k的取值范围,并比较此时点M与点F纵坐标的大小;
②当k为何值时,S△OMF= S矩形CDEF.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)先求得A的坐标,将点A的坐标代入抛物线的解析式可求得k的值;
(2)①把y=0代入y2=(x﹣1)2﹣k2,可求得:x=1±k,从而得到D、C两点的坐标,然后在求得点E的坐标,最后依据点E的纵坐标列不等式求解即可,然后再求得点M的纵坐标和点F的纵坐标,最后依据k的范围可求确定出它们的大小;②由题意得可得到F(1﹣k,1﹣k),则当S△OMF= S矩形CDEF.时,OM=CD,然后分为0<k<1和k>1两种情况列方程求解即可.
【解答】解  (1)将y1=0代入得:﹣x+2=0,解得:x=2,
∴A(2,0).
将点A的坐标代入抛物线的解析式得:0=12﹣k2,解得:k=±1.
∵k>0,
∴k=1.
(2)①如图1所示:
 
∵矩形在x轴上方,
∴点D在A左侧.
把y=0代入y2=(x﹣1)2﹣k2,得0=(x﹣1)2﹣k2,
解得:x=1±k.
∵k>0,
∴D(1+k,0),C(1﹣k,0).
∴E(1+k,﹣k+1).
∵点E在x轴的上方,
∴﹣k+1>0,解得:k<1.
又∵k>0,
∴0<k<1.
由题意可得:M纵坐标为1﹣k2,F纵坐标为1﹣k,
∴1﹣k2﹣(1﹣k)=k(1﹣k)>0
∴时M纵坐标>F纵坐标.
②∵F(1﹣k,1﹣k),
∴点F到OM的距离等于点F到CD的距离.
∴△OMF与矩形CDEF等高,
∴当S△OMF= S矩形CDEF.时,OM=CD
(i)当0<k<1时,1﹣k2=2k
解得:k=﹣1﹣ (舍去)或k=﹣1
(ii)当k>1时,k2﹣1=2k,
解得:k=1﹣ (舍去)或k=1+ .
综上所述:k=﹣1+ 或k=1+ .
 
2017年5月19日

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