2017九年级数学上第二次月考试卷(附答案)

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2017九年级数学上第二次月考试卷(附答案)

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2016-2017学年江苏省南通市如东县九年级(上)第二次月考数学试卷
 
一.选择题(本大题共有10小题,每小题3分,共30分)
1.下列四个函数中,图象经过原点且对称轴在y轴左侧的二次函数是(  )
A.y=x2+2x B.y=x2﹣2x C.y=2(x+1)2 D.y=2(x﹣1)2
2.若二次函数y=x2﹣6x+c的图象过A(﹣1,y1),B(2,y2),C( ,y3),则y1,y2,y3的大小关系是(  )
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y1>y3 D.y3>y1>y2
3.如图,AB为⊙O直径,弦CD⊥AB于E,则下面结论中错误的是(  )
 
A.CE=DE B.  =  C.∠BAC=∠BAD D.OE=BE
4.如图,AB是半圆的直径,点O是圆心,点C是AB延长线的一点,CD与半圆相切于点D.若AB=6,CD=4,则sin∠C的值为(  )
 
A.  B.  C.  D.
5.一个圆锥的底面积是侧面积的 ,则这个圆锥侧面展开图的圆心角是(  )
A.180° B.120° C.90° D.60°
6.2013年“五•一”期间,小明与小亮两家准备从东营港、黄河入海口、龙悦湖中选择一景点游玩,小明与小亮通过抽签方式确定景点,则两家抽到同一景点的概率是(  )
A.  B.  C.  D.
7.已知二次函数y=x2+(m﹣1)x+1,当x>1时,y随x的增大而增大,而m的取值范围是(  )
A.m=﹣1 B.m=3 C.m≤﹣1 D.m≥﹣1
8.如图,直线y1=x+b与x轴、y轴分别交于A,B两点,与反比例函数y2=﹣ (x<0)交于C,D两点,点C的横坐标为﹣1,过点C作CE⊥y轴于点E,过点D作DF⊥x轴于点F.下列说法:①b=6;②BC=AD;③五边形CDFOE的面积为35;④当x<﹣1时,y1>y2,其中正确的有(  )
 
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.如图,AB∥CD,AE∥FD,AE、FD分别交BC于点G、H,则下列结论中错误的是(  )
 
A.  B.  C.  D.
10.如图,Rt△ABC中,AC⊥BC,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AD交AB于点E,M为AE的中点,BF⊥BC交CM的延长线于点F,BD=4,CD=3.下列结论①∠AED=∠ADC;② = ;③AC•BE=12;④3BF=4AC,其中结论正确的个数有(  )
 
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
 
二.填空题(本大题共8小题.每小题3分,共计24分)
11.在某时刻的阳光照耀下,身高160cm的阿美的影长为80cm,她身旁的旗杆影长10m,则旗杆高为  m.
12.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,如果要使△ABC∽△DCA,那么还要补充的一个条件是  .(只要求写出一个条件即可)
 
13.如图,小聪同学在东西走向的文一路A处,测得一处公共自行车租用服务点P在北偏东60°方向上,在A处往东90米的B处,又测得该服务点P在北偏东30°方向上,则该服务点P到文一路的距离PC为  .
 
14.如图,在△ABC中,∠ACB=120°,AC=4,BC=6,过点A作BC的垂线,交BC的延长线于点D,则tanB的值为  .
 
15.如图,等边△ABC绕点B逆时针旋转30°时,点C转到C′的位置,且BC′与AC交于点D,则 的值为  .
 
16.在直角坐标系中,有如图所示的Rt△ABO,AB⊥x轴于点B,斜边AO=10,sin∠AOB= ,反比例函数 的图象经过AO的中点C,且与AB交于点D,则点D的坐标为  .
 
17.如图,△ABC中,S△ABC=36,DE∥AC,FG∥BC,点D、F在AB上,E在BC上,G在DE上,且BF=FD=DA,则S四边形BEGF=  .
 
18.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,给出下列结论:
①2a+b>0;②b>a>c;③若﹣1<m<n<1,则m+n<﹣ ;④3|a|+|c|<2|b|.
其中正确的结论是  (写出你认为正确的所有结论序号).
 
 
三.解答题(本大题共10小题,共计96分)
19.计算题
(1)sin45°•cos60°﹣cos45°•sin30°;
(2)( tan30°)2005•(2 sin45°)2004.
20.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(﹣2,1),B(﹣1,4),C(﹣3,2).
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1,并直接写出C1点坐标;
(2)以原点O为位似中心,位似比为1:2,在y轴的左侧,画出△ABC放大后的图形△A2B2C2,并直接写出C2点坐标;
(3)如果点D(a,b)在线段AB上,请直接写出经过(2)的变化后点D的对应点D2的坐标.
 
21.在9年级毕业前,团支部进行“送赠言”活动,某班团支部对该班全体团员在一个月内所发赠言条数的情况进行了统计,并制成了如图两幅不完整的统计图:
 
(1)求该班团员共有多少?该班团员在这一个月内所发赠言的平均条数是多少?并将该条形统计图补充完整;
(2)如果发了3条赠言的同学中有两位男同学,发了4条赠言的同学中有三位女同学.现要从发了3条赠言和4条赠言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“送赠言”活动总结会,请你用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率.
22.进入3月份,我市“两横三纵”快速路系统全线开工.为缓解市区内一些主要路段交通拥挤的现状,交警部门在一些主要路口设立了如图所示的交通路况显示牌.已知立杆AB的高度是3米,从地面上某处D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是62°和45°.求路况显示牌BC的高度.(精确到0.1米)
(参考数据:sin62°=0.83,cos62°=0.47,tan62°=1.88)
 
23.如图,反比例函数 的图象与一次函数y2=kx+b的图象交于A、B两点.已知A (2,n),B(﹣ ,﹣2).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求△AOB的面积;
(3)请结合图象直接写出当y1≥y2时自变量x的取值范围.
 
24.如图,已知四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.
(1)若∠A=60°,求BC的长;
(2)若sinA= ,求AD的长.
(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)
 
25.已知:如图,BC为半圆的直径,O为圆心,D是弧AC的中点,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E.
(1)求证:△ABE∽△DBC;
(2)已知BC= ,CD= ,求sin∠AEB的值;
(3)在(2)的条件下,求弦AB的长.
 
26.某体育用品商店试销一款成本为50元的排球,规定试销期间单价不低于成本价,且获利不得高于40%.经试销发现,销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系.
(1)试确定y与x之间的函数关系式;
(2)若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元,试写出利润Q(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;当试销单价定为多少元时,该商店可获最大利润?最大利润是多少元?
(3)若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元,请确定销售单价x的取值范围.
 
27.如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折,得到一个新函数的图象(图中的“V形折线”).
(1)类比研究函数图象的方法,请列举新函数的两条性质,并求新函数的解析式;
(2)如图2,双曲线y= 与新函数的图象交于点C(1,a),点D是线段AC上一动点(不包括端点),过点D作x轴的平行线,与新函数图象交于另一点E,与双曲线交于点P.
①试求△PAD的面积的最大值;
②探索:在点D运动的过程中,四边形PAEC能否为平行四边形?若能,求出此时点D的坐标;若不能,请说明理由.
 
28.如图1,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴、y轴分别交于点A(﹣1,0)、B(3,0)、点C三点.
(1)试求抛物线的解析式;
(2)点D(2,m)在第一象限的抛物线上,连接BC、BD.试问,在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足∠PBC=∠DBC?如果存在,请求出点P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)如图2,在(2)的条件下,将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移,记平移后的三角形为△B′O′C′.在平移过程中,△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S,设平移的时间为t秒,试求S与t之间的函数关系式?
 
 
 

2016-2017学年江苏省南通市如东县九年级(上)第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
 
一.选择题(本大题共有10小题,每小题3分,共30分)
1.下列四个函数中,图象经过原点且对称轴在y轴左侧的二次函数是(  )
A.y=x2+2x B.y=x2﹣2x C.y=2(x+1)2 D.y=2(x﹣1)2
【考点】二次函数的性质.
【分析】将(0,0)代入解析式即可判断出函数图象是否过原点,利用函数对称轴公式可判断出函数图象对称轴是否在y轴的左侧.
【解答】解:A、将(0,0)代入解析式y=x2+2x得0=0,故函数过原点;对称轴为x=﹣ =﹣1,在对称轴的左侧,故本选项正确;
B、将(0,0)代入解析式y=x2﹣2x得0=0,故函数过原点;对称轴为x=﹣ =1,在对称轴的右侧,故本选项错误;
C、将(0,0)代入解析式y=2(x+1)2得0≠2,故函数不过原点,故本选项错误;
D、将(0,0)代入解析式y=2(x﹣1)2得0≠2,故函数不过原点,故本选项错误.
故选A.
 
2.若二次函数y=x2﹣6x+c的图象过A(﹣1,y1),B(2,y2),C( ,y3),则y1,y2,y3的大小关系是(  )
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y1>y3 D.y3>y1>y2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征.
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征,将A(﹣1,y1),B(2,y2),C( ,y3)分别代入二次函数的解析式y=x2﹣6x+c求得y1,y2,y3,然后比较它们的大小并作出选择.
【解答】解:根据题意,得
y1=1+6+c=7+c,即y1=7+c;
y2=4﹣12+c=﹣8+c,即y2=﹣8+c;
y3=9+2+6 ﹣18﹣6 +c=﹣7+c,
即y3=﹣7+c;
∵7>﹣7>﹣8,
∴7+c>﹣7+c>﹣8+c,
即y1>y3>y2.
故选B.
 
3.如图,AB为⊙O直径,弦CD⊥AB于E,则下面结论中错误的是(  )
 
A.CE=DE B.  =  C.∠BAC=∠BAD D.OE=BE
【考点】垂径定理.
【分析】根据垂径定理分析即可.
【解答】解:根据垂径定理和等弧对等弦,得A、B、C正确,只有D错误.
故选D.
 
4.如图,AB是半圆的直径,点O是圆心,点C是AB延长线的一点,CD与半圆相切于点D.若AB=6,CD=4,则sin∠C的值为(  )
 
A.  B.  C.  D.
【考点】切线的性质.
【分析】根据切线的性质得到△OCD是直角三角形,由勾股定理求得OC的长度,即可得到结果.
【解答】解:连接OD,
∵AB是半圆的直径,AB=6,
∴OD=3,
∵CD与半圆相切于点D,
∴∠CDO=90°,
∵CD=4,
∴OC= =5,
∴sin∠C= = ,
故选B.
 
 
5.一个圆锥的底面积是侧面积的 ,则这个圆锥侧面展开图的圆心角是(  )
A.180° B.120° C.90° D.60°
【考点】圆锥的计算.
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2.圆锥底面积=π×半径2.根据所给的等量关系可得到圆锥底面半径和母线长的关系,进而圆锥侧面展开图的弧长=圆锥底面周长即可得到圆锥侧面展开图的圆心角.
【解答】解:设圆心角为n,母线长为R,底面半径为r,则底面周长=2πr,底面面积=πr2;侧面面积=πrR,∵底面积是侧面积的 ,∴R=6r,扇形的弧长= =2πr,∴n=60°,故选D.
 
6.2013年“五•一”期间,小明与小亮两家准备从东营港、黄河入海口、龙悦湖中选择一景点游玩,小明与小亮通过抽签方式确定景点,则两家抽到同一景点的概率是(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】列表法与树状图法.
【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两家抽到同一景点的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:用A、B、C表示:东营港、黄河入海口、龙悦湖;
画树状图得:
 
∵共有9种等可能的结果,则两家抽到同一景点的有3种情况,
∴则两家抽到同一景点的概率是:  = .
故选A.
 
7.已知二次函数y=x2+(m﹣1)x+1,当x>1时,y随x的增大而增大,而m的取值范围是(  )
A.m=﹣1 B.m=3 C.m≤﹣1 D.m≥﹣1
【考点】二次函数的性质.
【分析】根据二次函数的性质,利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解.
【解答】解:抛物线的对称轴为直线x=﹣ ,
∵当x>1时,y的值随x值的增大而增大,
∴﹣ ≤1,
解得m≥﹣1.
故选D.
 
8.如图,直线y1=x+b与x轴、y轴分别交于A,B两点,与反比例函数y2=﹣ (x<0)交于C,D两点,点C的横坐标为﹣1,过点C作CE⊥y轴于点E,过点D作DF⊥x轴于点F.下列说法:①b=6;②BC=AD;③五边形CDFOE的面积为35;④当x<﹣1时,y1>y2,其中正确的有(  )
 
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】首先把x=﹣1代入反比例函数解析式,求得C的坐标,把C的坐标代入直线解析式即可求得b的值;
根据轴对称图形的性质即可证得BC=AD;
求得D的坐标,作CG⊥x轴于点G.根据S五边形CDFOE=S梯形CDFG+S矩形CGOE求解,即可对③进行判断;
根据函数图象可以对④判断.
【解答】解:把x=﹣1代入y2=﹣ 得y=5,则C的坐标是(﹣1,5),
把(﹣1,5)代入y1=x+b得﹣1+b=5,
解得b=6,故①正确;
反比例函数y2=﹣ 和y1=x+6都关于第二、四象限的平分线对称,则BC=AD,故②正确;
根据题意得 ,
解得: 或 ,
则D的坐标是(﹣5,1).
作CG⊥x轴于点G.
则S五边形CDFOE=S梯形CDFG+S矩形CGOE= (1+5)(5﹣1)+1×5=12+5=17,故③错误;
当x<﹣5时,y1<y2,故④错误.
故选B.
 
 
9.如图,AB∥CD,AE∥FD,AE、FD分别交BC于点G、H,则下列结论中错误的是(  )
 
A.  B.  C.  D.
【考点】平行线分线段成比例.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式,再变形,即可判断各个选项.
【解答】解:A、∵AB∥CD,
∴ = ,故本选项不符合题目要求;
B、∵AE∥DF,
∴△CEG∞△CDH,
∴ = ,
∴ = ,
∵AB∥CD,
∴ = ,
∴ = ,
∴ = ,
∴ = ,故本选项不符合题目要求;
∵AB∥CD,AE∥DF,
∴四边形AEDF是平行四边形,
∴AF=DE,
∵AE∥DF,
∴ ,
∴ = ,故本选项不符合题目要求;
D、∵AE∥DF,
∴△BFH∞△BAG,
∴ ,故本选项符合题目要求;
故选D.
 
10.如图,Rt△ABC中,AC⊥BC,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AD交AB于点E,M为AE的中点,BF⊥BC交CM的延长线于点F,BD=4,CD=3.下列结论①∠AED=∠ADC;② = ;③AC•BE=12;④3BF=4AC,其中结论正确的个数有(  )
 
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】相似三角形的判定与性质.
【分析】①∠AED=90°﹣∠EAD,∠ADC=90°﹣∠DAC,∠EAD=∠DAC;②易证△ADE∽△ACD,得DE:DA=DC:AC=3:AC,AC不一定等于4.③当FC⊥AB时成立;④连接DM,可证DM∥BF∥AC,得FM:MC=BD:DC=4:3;易证△FMB∽△CMA,得比例线段求解.
【解答】解:①∠AED=90°﹣∠EAD,∠ADC=90°﹣∠DAC,
∵∠EAD=∠DAC,
∴∠AED=∠ADC.
故本选项正确;
②∵AD平分∠BAC,
∴ = = ,
∴设AB=4x,则AC=3x,
在直角△ABC中,AC2+BC2=AB2,则(3x)2+49=(4x)2,
解得:x= ,
∵∠EAD=∠DAC,∠ADE=∠ACD=90°,
∴△ADE∽△ACD,得DE:DA=DC:AC=3: ,故不正确;
③由①知∠AED=∠ADC,
∴∠BED=∠BDA,
又∵∠DBE=∠ABD,
∴△BED∽△BDA,
∴DE:DA=BE:BD,由②知DE:DA=DC:AC,
∴BE:BD=DC:AC,
∴AC•BE=BD•DC=12.
故本选项正确;
④连接DM,
在Rt△ADE中,MD为斜边AE的中线,
则DM=MA.
∴∠MDA=∠MAD=∠DAC,
∴DM∥BF∥AC,
由DM∥BF得FM:MC=BD:DC=4:3;
由BF∥AC得△FMB∽△CMA,有BF:AC=FM:MC=4:3,
∴3BF=4AC.
故本选项正确.
综上所述,①③④正确,共有3个.
故选C.
 
 
 
二.填空题(本大题共8小题.每小题3分,共计24分)
11.在某时刻的阳光照耀下,身高160cm的阿美的影长为80cm,她身旁的旗杆影长10m,则旗杆高为 20 m.
【考点】相似三角形的应用.
【分析】在同一时刻物高和影长成正比,即在同一时刻的两个物体,影子,经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.
【解答】解:据相同时刻的物高与影长成比例,设旗杆的高度为x(m)则160:80=x:10,解得x=20(m).故填20.
 
12.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,如果要使△ABC∽△DCA,那么还要补充的一个条件是 ∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或  .(只要求写出一个条件即可)
 
【考点】相似三角形的判定.
【分析】本题主要根据平行推出角的等量关系,再根据对应边的关系,利用两三角形相似的判定定理,做题即可.
【解答】解:∵AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB
∴当∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或AD:AC=AC:BC
∴都可得相似.
答案不唯一,如∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或AD:AC=AC:BC.
 
13.如图,小聪同学在东西走向的文一路A处,测得一处公共自行车租用服务点P在北偏东60°方向上,在A处往东90米的B处,又测得该服务点P在北偏东30°方向上,则该服务点P到文一路的距离PC为 45  .
 
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题.
【分析】根据题意得到PB=AB=90,根据正弦的定义计算即可.
【解答】解:由题意得,∠PAB=30°,∠PBC=60°,
∴∠APB=∠PBC﹣∠PAB=30°,
∴∠PAB=∠APB,
∴PB=AB=90,
∴PC=AB×sin∠PBC=45 米.
故答案为:45 .
 
14.如图,在△ABC中,∠ACB=120°,AC=4,BC=6,过点A作BC的垂线,交BC的延长线于点D,则tanB的值为   .
 
【考点】解直角三角形.
【分析】根据∠ACB=120°,求出∠ACD的度数,根据三角函数的概念求出AD、CD的长,根据正切的概念求出答案.
【解答】解:∵∠ACB=120°,
∴∠ACD=60°,又AC=4,
∴CD=4×cos60°=2,
AD= =2 ,
∴BD=6+2=8,
tanB= = = .
故答案为: .
 
15.如图,等边△ABC绕点B逆时针旋转30°时,点C转到C′的位置,且BC′与AC交于点D,则 的值为 2﹣  .
 
【考点】旋转的性质;等边三角形的性质;解直角三角形.
【分析】等边△ABC绕点B逆时针旋转30°时,则△BCD是直角三角形,根据三角函数即可求解.
【解答】解:设等边△ABC的边长是a,
图形旋转30°,则△BCD是直角三角形.
BD=BC•cos30°= a,
则C′D=a﹣ a= a,CD= a
∴ = =2﹣
故答案是:2﹣ .
 
 
16.在直角坐标系中,有如图所示的Rt△ABO,AB⊥x轴于点B,斜边AO=10,sin∠AOB= ,反比例函数 的图象经过AO的中点C,且与AB交于点D,则点D的坐标为 (8, ) .
 
【考点】反比例函数综合题.
【分析】由斜边AO=10,sin∠AOB= ,根据三角函数的定义可得到AB=6,再由勾股定理得到OB=8,即得到A点坐标为(8,6),从而得到AO的中点C的坐标,代入反比例函数解析式确定k,然后令x=8,即可得到D点的纵坐标.
【解答】解:∵斜边AO=10,sin∠AOB= ,
∴sin∠AOB= = = ,
∴AB=6,
∴OB= =8,
∴A点坐标为(8,6),
而C点为OA的中点,
∴C点坐标为(4,3),
又∵反比例函数 的图象经过点C,
∴k=4×3=12,即反比例函数的解析式为y= ,
∵D点在反比例函数的图象上,且它的横坐标为8,
∴当x=8,y= = ,
所以D点坐标为(8, ).
故答案为(8, ).
 
17.如图,△ABC中,S△ABC=36,DE∥AC,FG∥BC,点D、F在AB上,E在BC上,G在DE上,且BF=FD=DA,则S四边形BEGF= 12 .
 
【考点】相似三角形的判定与性质.
【分析】根据相似三角形的判定推出△BDE∽△BAC,得出 = = ,求出S△BDE=16,同理求出S△DFG=4,代入S四边形BEGF=S△DBE﹣S△DFG求出即可.
【解答】解:∵DE∥AC,
∴△BDE∽△BAC,
∴ = = ,
∵S△ABC=36,
∴S△BDE=16,
∵FG∥BC,
∴△DFG∽△DBE,
∴ = = ,
∴S△DFG=4,
∴S四边形BEGF=S△DBE﹣S△DFG=16﹣4=12,
故答案为12.
 
 
18.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,给出下列结论:
①2a+b>0;②b>a>c;③若﹣1<m<n<1,则m+n<﹣ ;④3|a|+|c|<2|b|.
其中正确的结论是 ①③④ (写出你认为正确的所有结论序号).
 
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a,b,c的符号,再利用特殊值法分析得出各选项.
【解答】解:∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∴2a<0,
对称轴x=﹣ >1,﹣b<2a,
∴2a+b>0,故选项①正确;
令ax2+bx+c=0,抛物线与轴交于(x1,0),(x2,0)则x1•x2= ,
由图不能准确判断 与1大小,则无法确定a,c的大小关系,故选项②不正确
∵﹣1<m<n<1,则﹣2<m+n<2,
∴抛物线对称轴为:x=﹣ >1, >2,m+n ,故选项③正确;
当x=1时,a+b+c>0,2a+b>0,3a+2b+c>0,
∴3a+c>﹣2b,∴﹣3a﹣c<2b,
∵a<0,b>0,c<0(图象与y轴交于负半轴),
∴3|a|+|c|=﹣3a﹣c<2b=2|b|,故④选项正确.
故答案为:①③④.
 
三.解答题(本大题共10小题,共计96分)
19.计算题
(1)sin45°•cos60°﹣cos45°•sin30°;
(2)( tan30°)2005•(2 sin45°)2004.
【考点】实数的运算;特殊角的三角函数值.
【分析】(1)原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果;
(2)原式利用特殊角的三角函数值,以及积的乘方与幂的乘方运算法则计算即可得到结果.
【解答】解:(1)原式= × ﹣ × =0;
(2)原式=( )2005•22004= •( ×2)2004= .
 
20.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(﹣2,1),B(﹣1,4),C(﹣3,2).
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1,并直接写出C1点坐标;
(2)以原点O为位似中心,位似比为1:2,在y轴的左侧,画出△ABC放大后的图形△A2B2C2,并直接写出C2点坐标;
(3)如果点D(a,b)在线段AB上,请直接写出经过(2)的变化后点D的对应点D2的坐标.
 
【考点】作图﹣位似变换;作图﹣轴对称变换.
【分析】(1)利用关于y轴对称点的性质得出各对应点位置,进而得出答案;
(2)利用位似变换的性质得出对应点位置,进而得出答案;
(3)利用位似图形的性质得出D点坐标变化规律即可.
【解答】解:(1)如图所示:△A1B1C1,即为所求,
C1点坐标为:(3,2);

(2)如图所示:△A2B2C2,即为所求,
C2点坐标为:(﹣6,4);

(3)如果点D(a,b)在线段AB上,经过(2)的变化后D的对应点D2的坐标为:(2a,2b).
 
 
21.在9年级毕业前,团支部进行“送赠言”活动,某班团支部对该班全体团员在一个月内所发赠言条数的情况进行了统计,并制成了如图两幅不完整的统计图:
 
(1)求该班团员共有多少?该班团员在这一个月内所发赠言的平均条数是多少?并将该条形统计图补充完整;
(2)如果发了3条赠言的同学中有两位男同学,发了4条赠言的同学中有三位女同学.现要从发了3条赠言和4条赠言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“送赠言”活动总结会,请你用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率.
【考点】列表法与树状图法;扇形统计图;条形统计图.
【分析】(1)总人数=3÷它所占全体团员的百分比;发4条的人数=总人数﹣其余人数;
(2)列举出所有情况,看恰好是一位男同学和一位女同学占总情况的多少即可.
【解答】解:(1)该班团员人数为:3÷25%=12(人);
发4条赠言的人数为:12﹣2﹣2﹣3﹣1=4(人);
该班团员所发赠言的平均条数为:(2×1+2×2+3×3+4×4+1×5)÷12=3(条).
补图如下:
 ;

(2)画树状图如下:
 
发3条赠言条的同学
选出的2位同学
发4条赠言条的同学  
男 
男 

男  (男,男)  (男,男)  (女,男)
女  (男,女)  (男,女)  (女,女)
女  (男,女)  (男,女)  (女,女)
女  (男,女)  (男,女)  (女,女)
由上得,所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率P= .
 
22.进入3月份,我市“两横三纵”快速路系统全线开工.为缓解市区内一些主要路段交通拥挤的现状,交警部门在一些主要路口设立了如图所示的交通路况显示牌.已知立杆AB的高度是3米,从地面上某处D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是62°和45°.求路况显示牌BC的高度.(精确到0.1米)
(参考数据:sin62°=0.83,cos62°=0.47,tan62°=1.88)
 
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
【分析】在Rt△ADB中,根据∠BDA=45°,AD=AB=3,利用62°的正切函数解答即可.
【解答】解:在Rt△ADB中,
∵∠BDA=45°,
∴AD=AB=3.
在Rt△ADC中,AC=ADtan62°=3×1.88=5.64.
BC=AC﹣AD=5.64﹣3=2.64≈2.6(米).
答:路况显示牌BC的高度是2.6米.
 
23.如图,反比例函数 的图象与一次函数y2=kx+b的图象交于A、B两点.已知A (2,n),B(﹣ ,﹣2).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求△AOB的面积;
(3)请结合图象直接写出当y1≥y2时自变量x的取值范围.
 
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)此小题可以采用待定系数法直接将点的坐标代入求得两函数的解析式;
(2)求三角形的面积或割或补,此题采用割比法较为容易;
(3)根据图象由两交点A、B,当反比例函数位于一次函数图象上时求x的取值范围.
【解答】解:(1)把B(﹣ ,﹣2)代入 得:﹣2= ,
解得m=1,
故反比例函数的解析式为:y= ,
把A (2,n)代入y= 得n= ,
则A(2, ),
把A(2, ),B(﹣ ,﹣2)代入y2=kx+b得: ,
解得 ,
故一次函数的解析式为y=x﹣ ;
(2)△AOB的面积=  × + 2× = ;
(3)由图象知:当y1≥y2时,自变量x的取值范围为0<x≤2 或x≤﹣ .
 
24.如图,已知四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.
(1)若∠A=60°,求BC的长;
(2)若sinA= ,求AD的长.
(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)
 
【考点】解直角三角形.
【分析】(1)要求BC的长,只要求出BE和CE的长即可,由题意可以得到BE和CE的长,本题得以解决;
(2)要求AD的长,只要求出AE和DE的长即可,根据题意可以得到AE、DE的长,本题得以解决.
【解答】解:(1)∵∠A=60°,∠ABE=90°,AB=6,tanA= ,
∴∠E=30°,BE=tan60°•6=6 ,
又∵∠CDE=90°,CD=4,sinE= ,∠E=30°,
∴CE= =8,
∴BC=BE﹣CE=6 ﹣8;
(2))∵∠ABE=90°,AB=6,sinA= = ,
∴设BE=4x,则AE=5x,得AB=3x,
∴3x=6,得x=2,
∴BE=8,AE=10,
∴tanE= = = = ,
解得,DE= ,
∴AD=AE﹣DE=10﹣ = ,
即AD的长是 .
 
25.已知:如图,BC为半圆的直径,O为圆心,D是弧AC的中点,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E.
(1)求证:△ABE∽△DBC;
(2)已知BC= ,CD= ,求sin∠AEB的值;
(3)在(2)的条件下,求弦AB的长.
 
【考点】圆周角定理;相似三角形的判定与性质;解直角三角形.
【分析】(1)在△ABE与△DBC中,有∠ABE=∠DBC,∠BAE=∠BDC=90°,根据相似三角形的判定,它们相似;
(2)由△ABE∽△DBC,可知∠AEB=∠DCB,在Rt△DCB中,先由勾股定理求出BD的值,再根据正弦的定义求出sin∠DCB,得出sin∠AEB的值;
(3)求弦AB的长,sin∠AEB的值已求,求出BE的值即可,可以通过求BD、ED得出.
【解答】(1)证明:∵BC为半圆的直径,
∴∠BAE=∠BDC=90°.
∵D是弧AC的中点,
∴∠ABE=∠DBC.
∴△ABE∽△DBC.

(2)解:在RT△DCB中,
∵∠BDC=90°,BC= ,CD= ,
∴BD= .
∴sin∠DCB=BD:BC= .
∵△ABE∽△DBC,
∴∠AEB=∠DCB.
∴sin∠AEB= .

(3)解:∵∠AEB=∠DEC,
∴sin∠DEC= .
∴EC=1.25,DE= ,BD= .
BE=BD﹣DE= ,AB= ×sin∠AEB=1.5.
 
26.某体育用品商店试销一款成本为50元的排球,规定试销期间单价不低于成本价,且获利不得高于40%.经试销发现,销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系.
(1)试确定y与x之间的函数关系式;
(2)若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元,试写出利润Q(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;当试销单价定为多少元时,该商店可获最大利润?最大利润是多少元?
(3)若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元,请确定销售单价x的取值范围.
 
【考点】二次函数的应用;一次函数的应用.
【分析】(1)利用待定系数法将图中点的坐标求出一次函数解析式即可;
(2)根据利润=(售价﹣成本)×销售量列出函数关系式;
(3)令函数关系式Q≥600,解得x的范围,利用“获利不得高于40%”求得x的最大值,得出销售单价x的范围.
【解答】解:(1)设y=kx+b,根据题意得:
 
解得:k=﹣1,b=120.
所求一次函数的表达式为y=﹣x+120.
(2)利润Q与销售单价x之间的函数关系式为:Q=(x﹣50)(﹣x+120)=﹣x2+170x﹣6000;
Q=﹣x2+170x﹣6000=﹣(x﹣85)2+1225;
∵成本为50元的排球,规定试销期间单价不低于成本价,且获利不得高于40%.
∴50≤x≤70,
∴当试销单价定为70元时,该商店可获最大利润,最大利润是1000元.
(3)依题意得:﹣x2+170x﹣6000≥600,
解得:60≤x≤110,
∵获利不得高于40%,
∴最高价格为50(1+40%)=70,
故60≤x≤70的整数.
 
27.如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折,得到一个新函数的图象(图中的“V形折线”).
(1)类比研究函数图象的方法,请列举新函数的两条性质,并求新函数的解析式;
(2)如图2,双曲线y= 与新函数的图象交于点C(1,a),点D是线段AC上一动点(不包括端点),过点D作x轴的平行线,与新函数图象交于另一点E,与双曲线交于点P.
①试求△PAD的面积的最大值;
②探索:在点D运动的过程中,四边形PAEC能否为平行四边形?若能,求出此时点D的坐标;若不能,请说明理由.
 
【考点】反比例函数综合题.
【分析】(1)根据一次函数的性质,结合函数图象可写出新函数的两条性质;求新函数的解析式,可分两种情况进行讨论:①x≥﹣3时,显然y=x+3;②当x<﹣3时,利用待定系数法求解;
(2)①先把点C(1,a)代入y=x+3,求出C(1,4),再利用待定系数法求出反比例函数解析式为y= .由点D是线段AC上一动点(不包括端点),可设点D的坐标为(m,m+3),且﹣3<m<1,那么P( ,m+3),PD= ﹣m,再根据三角形的面积公式得出△PAD的面积为S= ( ﹣m)×(m+3)=﹣ m2﹣ m+2=﹣ (m+ )2+ ,然后利用二次函数的性质即可求解;
②先利用中点坐标公式求出AC的中点D的坐标,再计算DP,DE的长度,如果DP=DE,那么根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形PAEC为平行四边形;如果DP≠DE,那么不是平行四边形.
【解答】解:(1)如图1,均是正整数新函数的两条性质:①函数的最小值为0;
②函数图象的对称轴为直线x=﹣3;
由题意得A点坐标为(﹣3,0).分两种情况:
①x≥﹣3时,显然y=x+3;
②当x<﹣3时,设其解析式为y=kx+b.
在直线y=x+3中,当x=﹣4时,y=﹣1,
则点(﹣4,﹣1)关于x轴的对称点为(﹣4,1).
把(﹣4,1),(﹣3,0)代入y=kx+b,
得 ,解得 ,
∴y=﹣x﹣3.
综上所述,新函数的解析式为y= ;

(2)如图2,①∵点C(1,a)在直线y=x+3上,
∴a=1+3=4.
∵点C(1,4)在双曲线y= 上,
∴k=1×4=4,y= .
∵点D是线段AC上一动点(不包括端点),
∴可设点D的坐标为(m,m+3),且﹣3<m<1.
∵DP∥x轴,且点P在双曲线上,
∴P( ,m+3),
∴PD= ﹣m,
∴△PAD的面积为
S= ( ﹣m)×(m+3)=﹣ m2﹣ m+2=﹣ (m+ )2+ ,
∵a=﹣ <0,
∴当m=﹣ 时,S有最大值,为 ,
又∵﹣3<﹣ <1,
∴△PAD的面积的最大值为 ;
②在点D运动的过程中,四边形PAEC不能为平行四边形.理由如下:
当点D为AC的中点时,其坐标为(﹣1,2),此时P点的坐标为(2,2),E点的坐标为(﹣5,2),
∵DP=3,DE=4,
∴EP与AC不能互相平分,
∴四边形PAEC不能为平行四边形.
 
 
28.如图1,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴、y轴分别交于点A(﹣1,0)、B(3,0)、点C三点.
(1)试求抛物线的解析式;
(2)点D(2,m)在第一象限的抛物线上,连接BC、BD.试问,在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足∠PBC=∠DBC?如果存在,请求出点P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)如图2,在(2)的条件下,将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移,记平移后的三角形为△B′O′C′.在平移过程中,△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S,设平移的时间为t秒,试求S与t之间的函数关系式?
 
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)将点A、B代入抛物线解析式,求出a、b值即可得到抛物线解析式;
(2)根据已知求出点D的坐标,并且由线段OC、OB相等、CD∥x轴及等腰三角形性质证明△CDB≌△CGB,利用全等三角形性质求出点G的坐标,写出直线BP解析式,联立二次函数解析式,求出点P坐标;
(3)分两种情况,第一种情况重叠部分为四边形,利用大三角形减去两个小三角形求得解析式,第二种情况重叠部分为三角形,可利用三角形面积公式求得.
【解答】解:(1)将A(﹣1,0)、B(3,0)代入抛物线y=ax2+bx+3(a≠0),
 ,
解得:a=﹣1,b=2.
故抛物线解析式为:y=﹣x2+2x+3.

(2)存在
将点D代入抛物线解析式得:m=3,
∴D(2,3),
令x=0,y=3,
∴C(0,3),
∴OC=OB,
∴∠OCB=∠CBO=45°,
如下图,设BP交y轴于点G,
 
∵CD∥x轴,
∴∠DCB=∠BCO=45°,
在△CDB和△CGB中:
 ,
∴△CDB≌△CGB(ASA),
∴CG=CD=2,
∴OG=1,
∴点G(0,1),
设直线BP:y=kx+1,
代入点B(3,0),
∴k=﹣ ,
∴直线BP:y=﹣ x+1,
联立直线BP和二次函数解析式:
 ,
解得: 或 (舍),
∴P(﹣ , ).

(3)直线BC:y=﹣x+3,直线BD:y=﹣3x+9,
当0≤t≤2时,如下图:
设直线C′B′:y=﹣(x﹣t)+3
联立直线BD求得F( , ),
 
S=S△BCD﹣S△CC′E﹣S△C′DF
= ×2×3﹣ ×t×t﹣ ×(2﹣t)(3﹣ )
整理得:S=﹣ t2+3t(0≤t≤2).
当2<t≤3时,如下图:
 
H(t,﹣3t+9),I(t,﹣t+3)
S=S△HIB=  [(﹣3t+9)﹣(﹣t+3)]×(3﹣t)
整理得:S=t2﹣6t+9(2<t≤3)
综上所述:S= .
 
2017年3月5日

文章
来源莲山
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