2017届西安市雁塔区九年级数学上期中试卷(附答案和解释)

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2017届西安市雁塔区九年级数学上期中试卷(附答案和解释)

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莲山 课件 w w w.5Y k J.C om

2016-2017学年陕西省西安市雁塔区九年级(上)期中数学试卷
 
一、选择题
1.下列计算正确的是(  )
A.a2•a3=a6 B.(﹣2ab)2=4a2b2
C.(a2)3=a5 D.3a3b2÷a2b2=3ab
2.不等式组 的解集是(  )
A.﹣2≤x≤1 B.﹣2<x<1 C.x≤﹣1 D.x≥2
3.下列立体图形中,俯视图是正方形的是(  )
A.  B.  C.  D.
4.已知关于x方程x2﹣4x+m=0,如果从1、2、3、4、5、6中任选一个数作为方程常数项m,那么所得方程有实数根的概率是(  )
A.  B.  C.  D.
5.如图,以点O为位似中心,将△ABC缩小后得到△A'B'C',已知OB=3OB',则△A'B'C'与△ABC的面积的比为(  )
 
A.1:3 B.1:4 C.1:5 D.1:9
6.关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根,则a满足(  )
A.a≥1 B.a>1且a≠5 C.a≥1且a≠5 D.a≠5
7.小军家距学校5千米,原来他骑自行车上学,学校为保障学生安全,新购进校车接送学生,若校车速度是他骑车速度的2倍,现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发,结果与原来到校时间相同.设小军骑车的速度为x千米/小时,则所列方程正确的为(  )
A.  + =  B. ﹣ =  C.  +10=  D. ﹣10=
8.已知菱形ABCD的边长是9,点E在直线AD上,DE=3,连接BE与对角线AC相交于点M,则 的值是(  )
A.3:1 B.4:3 C.3:4 D.3:4或3:2
9.如图,在▱ABCD中,E、F分别是AD、CD边上的点,连接BE、AF,他们相交于G,延长BE交CD的延长线于点H,则图中的相似三角形共有(  )
 
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
10.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,且AE= AB,将矩形沿直线EF折叠,点B恰好落在AD边上的点P处,连接BP交EF于点Q,对于下列结论:①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF是等边三角形.其中正确的是(  )
 
A.①② B.②③ C.①③ D.①④
 
二、填空
11.两三角形的相似比为1:4,它们的周长之差为27 cm,则较小三角形的周长为  .
12.分解因式:m4﹣16n4=  .
13.如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,点E在AB边上,EF⊥AC于点F,连接EC,AF=3,△EFC的周长为12,则EC的长为  .
 
14.如图,在矩形ABCD中,AD=6,AE⊥BD,垂足为E,ED=3BE,点P、Q分别在BD,AD上,则AP+PQ的最小值为  .
 
 
三、解答题
15.计算:(﹣3)2﹣( )﹣1+ × ﹣|1﹣ |.
16.解方程:
(1)(x+1)(x﹣3)=32                         
(2)2x2+3x﹣1=0(用配方法)
17.如图,已知△ABC,∠BAC=90°,请用尺规过点A作一条直线,使其将△ABC分成两个相似的三角形(保留作图痕迹,不写作法)
 
18.化简求值:(x﹣5+ )÷ ,其中x=﹣2.
19.在以“关爱学生、安全第一”为主题的安全教育宣传月活动中,某学校为了了解本校学生的上学方式,在全校范围内随机抽查部分学生,了解到上学方式主要有:A﹣﹣结伴步行、B﹣﹣自行乘车、C﹣﹣家人接送、D﹣﹣其它方式,并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图,请根据图中信息,解答下列问题:
(1)本次抽查的学生人数是多少人?
(2)请补全条形统计图和扇形统计图,并在图中标出“自行乘车”对应扇形的圆心角的度数;
(3)如果该校学生有2080人,请你估计该校“家人接送”上学的学生约有多少人?
 
20.已知:如图,在矩形ABCD中,M、N分别是边AD、BC的中点,E、F分别是线段BM、CM的中点.
(1)求证:△ABM≌△DCM;
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论.
 
21.昨天早晨7点,小明乘车从家出发,去西安参加中学生科技创新大赛,赛后,他当天按原路返回,如图,是小明昨天出行的过程中,他距西安的距离y(千米)与他离家的时间x(时)之间的函数图象.
根据下面图象,回答下列问题:
(1)求线段AB所表示的函数关系式;
(2)已知昨天下午3点时,小明距西安112千米,求他何时到家?
 
22.如图,管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1,小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结,再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结,请用树状图或列表法求着三根绳子能连结成一根长绳的概率.
 
23.一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图,当李明走到点A处时,张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等;接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25m,已知李明直立时的身高为1.75m,求路灯的高CD的长.(结果精确到0.1m).
 
24.(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.求证:CE=CF;
(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCE=45°,请你利用(1)的结论证明:GE=BE+GD.
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面积.
 
 
 

2016-2017学年陕西省西安市雁塔区九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题
1.下列计算正确的是(  )
A.a2•a3=a6 B.(﹣2ab)2=4a2b2
C.(a2)3=a5 D.3a3b2÷a2b2=3ab
【考点】整式的除法;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法,即可解答.
【解答】解:A、a2•a3=a5,故正确;
B、正确;
C、(a2)3=a6,故错误;
D、3a2b2÷a2b2=3,故错误;
故选:B.
 
2.不等式组 的解集是(  )
A.﹣2≤x≤1 B.﹣2<x<1 C.x≤﹣1 D.x≥2
【考点】解一元一次不等式组.
【分析】分别解出每个不等式的解集,再求其公共部分.
【解答】解: ,
由①得,x≥﹣2;
由②得,x≤1;
故不等式组的解集为﹣2≤x≤1.
故选A.
 
3.下列立体图形中,俯视图是正方形的是(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】简单几何体的三视图.
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图,可得答案.
【解答】解:A、球的俯视图是圆,故本选项错误;
B、正方体的俯视图是正方形,故本选项正确;
C、圆锥的俯视图是圆,故本选项错误;
D、圆柱的俯视图是圆,故本选项错误.
故选B.
 
4.已知关于x方程x2﹣4x+m=0,如果从1、2、3、4、5、6中任选一个数作为方程常数项m,那么所得方程有实数根的概率是(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】概率公式;根的判别式.
【分析】由判别式判断出m的范围,然后根据概率公式求解可得.
【解答】解:∵关于x方程x2﹣4x+m=0有实数根,
∴△=16﹣4m≥0,
解得:m≤4,
在从1、2、3、4、5、6中符合条件的有1、2、3、4这4个数,
∴所得方程有实数根的概率是 = ,
故选:B.
 
5.如图,以点O为位似中心,将△ABC缩小后得到△A'B'C',已知OB=3OB',则△A'B'C'与△ABC的面积的比为(  )
 
A.1:3 B.1:4 C.1:5 D.1:9
【考点】位似变换.
【分析】根据位似变换的性质得到A′B′∥AB,A′C′∥AC,根据平行线的性质求出△A'B'C'与△ABC的相似比,根据相似三角形的性质得到面积比.
【解答】解:由位似变换的性质可知,A′B′∥AB,A′C′∥AC,
∴ = = ,
∴ = = ,
∴△A'B'C'与△ABC的相似比为1:3,
∴△A'B'C'与△ABC的面积的比1:9,
故选:D.
 
6.关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根,则a满足(  )
A.a≥1 B.a>1且a≠5 C.a≥1且a≠5 D.a≠5
【考点】根的判别式.
【分析】由于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根,那么分两种情况:(1)当a﹣5=0时,方程一定有实数根;(2)当a﹣5≠0时,方程成为一元二次方程,利用判别式即可求出a的取值范围.
【解答】解:分类讨论:
①当a﹣5=0即a=5时,方程变为﹣4x﹣1=0,此时方程一定有实数根;
②当a﹣5≠0即a≠5时,
∵关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根
∴16+4(a﹣5)≥0,
∴a≥1.
∴a的取值范围为a≥1.
故选:A.
 
7.小军家距学校5千米,原来他骑自行车上学,学校为保障学生安全,新购进校车接送学生,若校车速度是他骑车速度的2倍,现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发,结果与原来到校时间相同.设小军骑车的速度为x千米/小时,则所列方程正确的为(  )
A.  + =  B. ﹣ =  C.  +10=  D. ﹣10=
【考点】由实际问题抽象出分式方程.
【分析】设小军骑车的速度为x千米/小时,则小车速度是2x千米/小时,根据“小军乘小车上学可以从家晚10分钟出发”列出方程解决问题.
【解答】解:设小军骑车的速度为x千米/小时,则小车速度是2x千米/小时,由题意得,
 ﹣ = .
故选:B.
 
8.已知菱形ABCD的边长是9,点E在直线AD上,DE=3,连接BE与对角线AC相交于点M,则 的值是(  )
A.3:1 B.4:3 C.3:4 D.3:4或3:2
【考点】相似三角形的判定与性质;菱形的性质.
【分析】首先根据题意作图,注意分为E在线段AD上与E在AD的延长线上,然后由菱形的性质可得AD∥BC,则可证得△MAE∽△MCB,根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案.
【解答】解:∵菱形ABCD的边长是8,
∴AD=BC=9,AD∥BC,
如图1:当E在线段AD上时,
∴AE=AD﹣DE=9﹣3=6,
∴△MAE∽△MCB,
∴ = = ;
如图2,当E在AD的延长线上时,
∴AE=AD+DE=9+3=12,
∴△MAE∽△MCB,
∴ = = .
∴ 的值是 或 .
故选D.
 
 
9.如图,在▱ABCD中,E、F分别是AD、CD边上的点,连接BE、AF,他们相交于G,延长BE交CD的延长线于点H,则图中的相似三角形共有(  )
 
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
【考点】相似三角形的判定;平行四边形的性质.
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形,利用相似三角形的判定定理,对各个三角形逐一分析即可.
【解答】解:∵在▱ABCD中,E、F分别是AD、CD边上的点,连接BE、AF,他们相交于G,延长BE交CD的延长线于点H,
∴△AGB∽△FGH,
△HED∽△HBC,
△HED∽△BEA,
△AEB∽△HBC,共4对.
故选C.
 
10.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,且AE= AB,将矩形沿直线EF折叠,点B恰好落在AD边上的点P处,连接BP交EF于点Q,对于下列结论:①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF是等边三角形.其中正确的是(  )
 
A.①② B.②③ C.①③ D.①④
【考点】翻折变换(折叠问题);矩形的性质.
【分析】求出BE=2AE,根据翻折的性质可得PE=BE,再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°,然后求出∠AEP=60°,再根据翻折的性质求出∠BEF=60°,根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°,然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE,判断出①正确;利用30°角的正切值求出PF= PE,判断出②错误;求出BE=2EQ,EF=2BE,然后求出FQ=3EQ,判断出③错误;求出∠PBF=∠PFB=60°,然后得到△PBF是等边三角形,判断出④正确.
【解答】解:∵AE= AB,
∴BE=2AE,
由翻折的性质得,PE=BE,
∴∠APE=30°,
∴∠AEP=90°﹣30°=60°,
∴∠BEF= = =60°,
∴∠EFB=90°﹣60°=30°,
∴EF=2BE,故①正确;
∵BE=PE,
∴EF=2PE,
∵EF>PF,
∴PF<2PE,故②错误;
由翻折可知EF⊥PB,
∴∠EBQ=∠EFB=30°,
∴BE=2EQ,EF=2BE,
∴FQ=3EQ,故③错误;
由翻折的性质,∠EFB=∠EFP=30°,
∴∠BFP=30°+30°=60°,
∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°,
∴∠PBF=∠PFB=60°,
∴△PBF是等边三角形,故④正确;
综上所述,结论正确的是①④.
故选:D.
 
 
二、填空
11.两三角形的相似比为1:4,它们的周长之差为27 cm,则较小三角形的周长为 9cm .
【考点】相似三角形的性质.
【分析】利用相似三角形的对应周长比等于相似比,对应中线比等于相似比即可得出.
【解答】解:令较大的三角形的周长为xcm.
小三角形的周长为(x﹣27)cm,
由两个相似三角形对应中线的比为1:4得,
1:4=(x﹣27):x,
解之得x=36cm,
x﹣27=36﹣27=9cm.
故答案为9cm.
 
12.分解因式:m4﹣16n4= (m2+4m2)(m+2n)(n﹣2n) .
【考点】因式分解﹣运用公式法.
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案.
【解答】解:m4﹣16n4=(m2+4n2)(m2﹣4n2)
=(m2+4m2)(m+2n)(n﹣2n).
故答案为:(m2+4m2)(m+2n)(n﹣2n).
 
13.如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,点E在AB边上,EF⊥AC于点F,连接EC,AF=3,△EFC的周长为12,则EC的长为 5 .
 
【考点】正方形的性质;勾股定理;等腰直角三角形.
【分析】由四边形ABCD是正方形,AC为对角线,得出∠EAF=45°,又因为EF⊥AC,得到∠AFE=90°得出EF=AF=3,由△EFC的周长为12,得出线段FC=12﹣3﹣EC=9﹣EC,在Rt△EFC中,运用勾股定理EC2=EF2+FC2,求出EC=5.
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,AC为对角线,
∴∠EAF=45°,
又∵EF⊥AC,
∴∠AFE=90°,∠AEF=45°,
∴EF=AF=3,
∵△EFC的周长为12,
∴FC=12﹣3﹣EC=9﹣EC,
在Rt△EFC中,EC2=EF2+FC2,
∴EC2=9+(9﹣EC)2,
解得EC=5.
故答案为:5.
 
 
14.如图,在矩形ABCD中,AD=6,AE⊥BD,垂足为E,ED=3BE,点P、Q分别在BD,AD上,则AP+PQ的最小值为 3  .
 
【考点】轴对称﹣最短路线问题;矩形的性质.
【分析】在Rt△ABE中,利用三角形相似可求得AE、DE的长,设A点关于BD的对称点A′,连接A′D,可证明△ADA′为等边三角形,当PQ⊥AD时,则PQ最小,所以当A′Q⊥AD时AP+PQ最小,从而可求得AP+PQ的最小值等于DE的长,可得出答案..
【解答】解:
设BE=x,则DE=3x,
∵四边形ABCD为矩形,且AE⊥BD,
∴△ABE∽△DAE,
∴AE2=BE•DE,即AE2=3x2,
∴AE= x,
在Rt△ADE中,由勾股定理可得AD2=AE2+DE2,即62=( x)2+(3x)2,解得x= ,
∴AE=3,DE=3 ,
如图,设A点关于BD的对称点为A′,连接A′D,PA′,
则A′A=2AE=6=AD,AD=A′D=6,
∴△AA′D是等边三角形,
∵PA=PA′,
∴当A′、P、Q三点在一条线上时,A′P+PQ最小,
又垂线段最短可知当PQ⊥AD时,A′P+PQ最小,
∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=3 .
故答案是:3 .
 
 
三、解答题
15.计算:(﹣3)2﹣( )﹣1+ × ﹣|1﹣ |.
【考点】二次根式的混合运算;负整数指数幂.
【分析】先进行乘方运算和开方运算,再利用负整数指数幂的意义计算,然后去绝对值后合并即可.
【解答】解:原式=9﹣5+ × +1﹣
=4﹣ +1﹣
=5﹣ .
 
16.解方程:
(1)(x+1)(x﹣3)=32                         
(2)2x2+3x﹣1=0(用配方法)
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法;解一元二次方程﹣配方法.
【分析】(1)根据因式分解法可以解答本题;
(2)根据配方法可以求得方程的解.
【解答】解:(1)(x+1)(x﹣3)=32
去括号,得
x2﹣2x﹣3=32
移项及合并同类项,得
x2﹣2x﹣35=0
∴(x﹣7)(x+5)=0
∴x﹣7=0或x+5=0,
解得,x1=7,x2=﹣5;                        
(2)2x2+3x﹣1=0(用配方法)
 
 
 
 

∴ ,
∴ .
 
17.如图,已知△ABC,∠BAC=90°,请用尺规过点A作一条直线,使其将△ABC分成两个相似的三角形(保留作图痕迹,不写作法)
 
【考点】作图—相似变换.
【分析】过点A作AD⊥BC于D,利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C,则可判断△ABD与△CAD相似.
【解答】解:如图,AD为所作.
 
 
18.化简求值:(x﹣5+ )÷ ,其中x=﹣2.
【考点】分式的化简求值.
【分析】首先对括号内的分式进行通分相减,然后把除法转化为乘法,计算乘法即可化简,最后代入数值计算即可.
【解答】解:原式=( ÷
= •
= •
=(x﹣1)(x﹣3).
当x=﹣2时,原式=(﹣3)×(﹣5)=15.
 
19.在以“关爱学生、安全第一”为主题的安全教育宣传月活动中,某学校为了了解本校学生的上学方式,在全校范围内随机抽查部分学生,了解到上学方式主要有:A﹣﹣结伴步行、B﹣﹣自行乘车、C﹣﹣家人接送、D﹣﹣其它方式,并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图,请根据图中信息,解答下列问题:
(1)本次抽查的学生人数是多少人?
(2)请补全条形统计图和扇形统计图,并在图中标出“自行乘车”对应扇形的圆心角的度数;
(3)如果该校学生有2080人,请你估计该校“家人接送”上学的学生约有多少人?
 
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(1)根据“家人接送”的人数除以所占的百分比,即可得到调查学生数;
(2)由总学生数求出“结伴步行”的人数,补全统计图即可;求出“结伴步行”与“自行乘车”的百分比,补全扇形统计图,在图中标出“自行乘车”对应扇形的圆心角的度数即可;
(3)由总人数乘以“家人接送”的百分比,即可得到结果.
【解答】解:(1)∵30÷25%=120,
∴本次抽查的学生人数是120人;

(2)A方式的人数为120﹣(42+30+18)=40,
A方式人数占总人数的百分比为 ×100%=30%,B方式人数占总人数的百分比为 ×100%=35%,
则“自行乘车”对应扇形的圆心角的度数为360°×35%=126°,
补全图形如下:
 

(3)2080×25%=520,
答:估计该校“家人接送”上学的学生约有520人.
 
20.已知:如图,在矩形ABCD中,M、N分别是边AD、BC的中点,E、F分别是线段BM、CM的中点.
(1)求证:△ABM≌△DCM;
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论.
 
【考点】矩形的性质;全等三角形的判定与性质.
【分析】(1)由矩形的性质得出AB=DC,∠A=∠D,再由M是AD的中点,根据SAS即可证明△ABM≌△DCM;
(2)先由(1)得出BM=CM,再由已知条件证出ME=MF,EN、FN是△BCM的中位线,即可证出EN=FN=ME=MF,得出四边形MENF是菱形.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=90°,AB=DC,
∵M是AD的中点,
∴AM=DM,
在△ABM和△DCM中, ,
∴△ABM≌△DCM(SAS);
(2)解:四边形MENF是菱形;理由如下:
由(1)得:△ABM≌△DCM,
∴BM=CM,
∵E、F分别是线段BM、CM的中点,
∴ME=BE= BM,MF=CF= CM,
∴ME=MF,
又∵N是BC的中点,
∴EN、FN是△BCM的中位线,
∴EN= CM,FN= BM,
∴EN=FN=ME=MF,
∴四边形MENF是菱形.
 
21.昨天早晨7点,小明乘车从家出发,去西安参加中学生科技创新大赛,赛后,他当天按原路返回,如图,是小明昨天出行的过程中,他距西安的距离y(千米)与他离家的时间x(时)之间的函数图象.
根据下面图象,回答下列问题:
(1)求线段AB所表示的函数关系式;
(2)已知昨天下午3点时,小明距西安112千米,求他何时到家?
 
【考点】一次函数的应用.
【分析】(1)可设线段AB所表示的函数关系式为:y=kx+b,根据待定系数法列方程组求解即可;
(2)先根据速度=路程÷时间求出小明回家的速度,再根据时间=路程÷速度,列出算式计算即可求解.
【解答】解:(1)设线段AB所表示的函数关系式为:y=kx+b,
依题意有 ,
解得 .
故线段AB所表示的函数关系式为:y=﹣96x+192(0≤x≤2);
(2)12+3﹣(7+6.6)
=15﹣13.6
=1.4(小时),
112÷1.4=80(千米/时),
÷80
=80÷80
=1(小时),
3+1=4(时).
答:他下午4时到家.
 
22.如图,管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1,小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结,再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结,请用树状图或列表法求着三根绳子能连结成一根长绳的概率.
 
【考点】列表法与树状图法.
【分析】首先根据题意列出表格,然后由表格即可求得所有等可能的结果与这三根绳子能连结成一根长绳的情况,再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解:列表得:
   右端
左端 A1B1 B1C1 A1C1
AB AB,A1B1 AB,B1C1 AB,A1C1
BC BC,A1B1 BC,B1C1 BC,A1C1
AC AC,A1B1 AC,B1C1 AC,A1C1
∵分别在两端随机任选两个绳头打结,总共有三类9种情况,每种发生的可能性相等,且能连结成为一根长绳的情况有6种,
①左端连AB,右端连B1C1或A1C1;
②左端连BC,右端连A1B1或A1C1;
③左端连AB,右端连A1B1或B1C1.
∴这三根绳子能连结成一根长绳的概率为:  = .
 
23.一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图,当李明走到点A处时,张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等;接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25m,已知李明直立时的身高为1.75m,求路灯的高CD的长.(结果精确到0.1m).
 
【考点】相似三角形的应用;中心投影.
【分析】根据AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC,EA=MA得到MA∥CD∥BN,从而得到△ABN∽△ACD,利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可.
【解答】解:设CD长为x米,
∵AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC,EA=MA,
∴MA∥CD∥BN,
∴EC=CD=x,
∴△ABN∽△ACD,
∴ = ,即 = ,
解得:x=6.125≈6.1.
经检验,x=6.125是原方程的解,
∴路灯高CD约为6.1米
 
24.(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.求证:CE=CF;
(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCE=45°,请你利用(1)的结论证明:GE=BE+GD.
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面积.
 
【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;直角梯形.
【分析】(1)由四边形是ABCD正方形,易证得△CBE≌△CDF(SAS),即可得CE=CF;
(2)首先延长AD至F,使DF=BE,连接CF,由(1)知△CBE≌△CDF,易证得∠ECF=∠BCD=90°,又由∠GCE=45°,可得∠GCF=∠GCE=45°,即可证得△ECG≌△FCG,继而可得GE=BE+GD;
(3)首先过C作CG⊥AD,交AD延长线于G,易证得四边形ABCG为正方形,由(1)(2)可知,ED=BE+DG,即可求得DG的长,设AB=x,在Rt△AED中,由勾股定理DE2=AD2+AE2,可得方程,解方程即可求得AB的长,继而求得直角梯形ABCD的面积.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠B=∠CDF=90°,
∵∠ADC=90°,
∴∠FDC=90°.
∴∠B=∠FDC,
∵BE=DF,
∴△CBE≌△CDF(SAS).
∴CE=CF. 

(2)证明:如图2,延长AD至F,使DF=BE,连接CF.
由(1)知△CBE≌△CDF,
∴∠BCE=∠DCF.
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,
即∠ECF=∠BCD=90°,
又∠GCE=45°,
∴∠GCF=∠GCE=45°.
∵CE=CF,GC=GC,
∴△ECG≌△FCG.
∴GE=GF,
∴GE=GF=DF+GD=BE+GD. 

(3)解:如图3,过C作CG⊥AD,交AD延长线于G.
在直角梯形ABCD中,
∵AD∥BC,
∴∠A=∠B=90°,
又∵∠CGA=90°,AB=BC,
∴四边形ABCG为正方形.
∴AG=BC.…
∵∠DCE=45°,
根据(1)(2)可知,ED=BE+DG.…
∴10=4+DG,
即DG=6.
设AB=x,则AE=x﹣4,AD=x﹣6,
在Rt△AED中,
∵DE2=AD2+AE2,即102=(x﹣6)2+(x﹣4)2.
解这个方程,得:x=12或x=﹣2(舍去).…
∴AB=12.
∴S梯形ABCD= (AD+BC)•AB= ×(6+12)×12=108.
即梯形ABCD的面积为108.…

2017年5月4日

文 章来源
莲山 课件 w w w.5Y k J.C om
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