2017年中考数学模拟试卷9(临沂市带答案和解释)

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2017年中考数学模拟试卷9(临沂市带答案和解释)

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2017年山东省临沂市中考数学模拟试卷(9)
一、选择题(本题共14个小题,每小题3分,共42分)
1.﹣1.5的倒数是(  )
A.﹣1.5 B.1.5 C.  D.
2.温家宝总理有一句名言:“多么小的问题,乘以13亿,都会变得很大,多么大的经济总量,除以13亿,都会变得很小”.如果每人每天浪费0.01千克粮食,我国13亿人每天就浪费粮食(  )
A.1.3×105千克 B.1.3×106千克 C.1.3×107千克 D.1.3×108千克
3.如图,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,∠1=30°,∠3=20°,则∠2的度数等于(  )
 
A.50° B.30° C.20 D.15°
4.下列计算正确的是(  )
A.(x3)4=x7 B.x3•x4=x12 C.(﹣3x)2=9x2 D.2x2+x2=3x4
5.不等式组 的所有整数解的和是(  )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
6.若x=1,y=2,则 • 的值为(  )
A.﹣  B.﹣  C.  D.
7.如图所示的物体是由四个相同的小长方体堆砌而成的,那么这个物体的左视图是(  )
 
A.  B.  C.  D.
8.小亮和其他5个同学参加百米赛跑,赛场共设1,2,3,4,5,6六个跑道,选手以随机抽签的方式确定各自的跑道.若小亮首先抽签,则小亮抽到1号跑道的概率是(  )
A.  B.  C.  D.1
9.在△ABC中,点D、E、F分别在BC、AB、CA上,且DE∥CA,DF∥BA,则下列三种说法:
①如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形
②如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形
③如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是菱形
其中正确的有(  )
 
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
10.如图,A、B、C、D四个点均在⊙O上,∠AOD=70°,AO∥DC,则∠B的度数为(  )
 
A.40° B.45° C.50° D.55°
11.已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是(  )
A.m<﹣1 B.m>1 C.m<1且m≠0 D.m>﹣1且m≠0
12.如图,已知小正方形ABCD的面积为1,把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1;把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2;以此进行下去…,则正方形AnBnCnDn的面积为(  )
 
A.( )n B.5n C.5n﹣1 D.5n+1
13.如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB,cosA= ,AE=3,则tan∠DBE的值是(  )
 
A.  B.2 C.  D.
14.如图,已知点A是直线y=x与反比例函数y= (k>0,x>0)的交点,B是y= 图象上的另一点,BC∥x轴,交y轴于点C.动点P从坐标原点O出发,沿O→A→B→C(图中“→”所示路线)匀速运动,终点为C,过点P作PM⊥x轴,PN⊥y轴,垂足分别为M,N.设四边形OMPN的面积为S,P点运动时间为t,则S关于t的函数图象大致为(  )
 
A.  B.  C.  D.
 
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
15.分解因式:a3﹣a=  .
16.某校甲、乙两支仪仗队员的身高(单位;cm)如下:
甲队  176  175 175   174 176   175
 乙队  170 180   178 175   180 176
你认为身高更整齐的队伍是  队.
17.定义一种新运算“⊗”,规定:a⊗b= a﹣4b,例如:6⊗5= ×6﹣4×5=﹣18,则12⊗(﹣1)=  .
18.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(﹣1,2),点C的坐标为(﹣3,0),将点C绕点A逆时针旋转90°,再向下平移3个单位,此时点C的对应点的坐标为  .
 
19.如图,菱形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,过点E作EG⊥AD于G,连接GF.若∠A=80°,则∠DGF的度数为  .
 
 
三、解答题(本大题共7小题,共63分)
20.计算:( ﹣2)0+( )﹣1+4cos30°﹣| ﹣ |
21.如图,平面直角坐标系中,直线 与x轴交于点A,与双曲线 在第一象限内交于点B,BC丄x轴于点C,OC=2AO.求双曲线的解析式.
 
22.州教育局为了解我州八年级学生参加社会实践活动情况,随机抽查了某县部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数,并用得到的数据检测了两幅统计图,下面给出了两幅不完整的统计图(如图)
 
请根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)a=  %,并写出该扇形所对圆心角的度数为  ,请补全条形图.
(2)在这次抽样调查中,众数和中位数分别是多少?
(3)如果该县共有八年级学生2000人,请你估计“活动时间不少于7天”的学生人数大约有多少人?
23.如图,⊙O中,直径CD⊥弦AB于E,AM⊥BC于M,交CD于N,连AD.
(1)求证:AD=AN;
(2)若AB=4 ,ON=1,求⊙O的半径.
 
24.小明早晨从家里出发匀速步行去上学,小明的妈妈在小明出发后10分钟,发现小明的数学课本没带,于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明,结果与小明同时到达学校.已知小明在整个上学途中,他出发后t分钟时,他所在的位置与家的距离为s千米,且s与t之间的函数关系的图象如图中的折线段OA﹣AB所示.
(1)试求折线段OA﹣AB所对应的函数关系式;
(2)请解释图中线段AB的实际意义;
(3)请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过程中,她所在位置与家的距离s(千米)与小明出发后的时间t(分钟)之间函数关系的图象.(友情提醒:请对画出的图象用数据作适当的标注)
 
25.提出问题:
(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,H分别在BC,AB上,若AE⊥DH于点O,求证:AE=DH;
类比探究:
(2)如图2,在正方形ABCD中,点H,E,G,F分别在AB,BC,CD,DA上,若EF⊥HG于点O,探究线段EF与HG的数量关系,并说明理由;
综合运用:
(3)在(2)问条件下,HF∥GE,如图3所示,已知BE=EC=2,EO=2FO,求图中阴影部分的面积.
 
26.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系,抛物线y=﹣ x2+ x+4经过A、B两点.
(1)写出点A、点B的坐标;
(2)若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移,分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P,连接PA、PB.设直线l移动的时间为t(0<t<4)秒,求四边形PBCA的面积S(面积单位)与t(秒)的函数关系式,并求出四边形PBCA的最大面积;
(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点P,使得△PAM是直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
 
 

2017年山东省临沂市中考数学模拟试卷(9)
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本题共14个小题,每小题3分,共42分)
1.﹣1.5的倒数是(  )
A.﹣1.5 B.1.5 C.  D.
【考点】倒数.
【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答.
【解答】解:∵(﹣1.5)×(﹣ )=1,
∴﹣1.5的倒数是﹣ .
故选C.
 
2.温家宝总理有一句名言:“多么小的问题,乘以13亿,都会变得很大,多么大的经济总量,除以13亿,都会变得很小”.如果每人每天浪费0.01千克粮食,我国13亿人每天就浪费粮食(  )
A.1.3×105千克 B.1.3×106千克 C.1.3×107千克 D.1.3×108千克
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法就是将一个数字表示成(a×10的n次幂的形式),其中1≤|a|<10,n表示整数.n为整数位数减1,即从左边第一位开始,在首位非零的后面加上小数点,再乘以10的n次幂.
【解答】解:13亿=1 300 000 000,
1 300 000 000×0.01=1.3×107千克,
故13亿人每天就浪费粮食1.3×107千克.
故选C.
 
3.如图,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,∠1=30°,∠3=20°,则∠2的度数等于(  )
 
A.50° B.30° C.20 D.15°
【考点】平行线的性质;三角形的外角性质.
【分析】根据三角形外角性质求出∠4,根据平行线性质得出∠2=∠4,代入求出即可.
【解答】解:
∠4=∠1+∠3=30°+20°=50°,
∵AB∥CD,
∴∠2=∠4=50°,
故选A.
 
4.下列计算正确的是(  )
A.(x3)4=x7 B.x3•x4=x12 C.(﹣3x)2=9x2 D.2x2+x2=3x4
【考点】幂的乘方与积的乘方;同底数幂的乘法
【分析】根据幂的乘方对A进行判断;根据同底数幂的乘法对B进行判断;根据积的乘方对C进行判断;根据合并同类项对D进行判断.
【解答】解:A、(x3)4=x12,所以A选项错误;
B、x3•x4=x7,所以B选项错误;
C、(﹣3x)2=9x2,所以C选项正确;
D、2x2+x2=3x2,所以D选项错误.
故选C.
 
5.不等式组 的所有整数解的和是(  )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
【考点】一元一次不等式组的整数解.
【分析】首先解不等式组,再从不等式组的解集中找出适合条件的整数即可.
【解答】解:
由不等式①得x≥﹣
由不等式②得x<2所以不等组的解集为 ≤x<2
不等式的整数解0,1,则所有整数解的和是1.
故选C.
 
6.若x=1,y=2,则 • 的值为(  )
A.﹣  B.﹣  C.  D.
【考点】分式的化简求值.
【分析】先把分式的分子和分母因式分解,再进行约分得到原式= ,然后把x=1代入计算.
【解答】解:原式= • ,
= ,
当x=1,y=2时,原式= = =﹣ .
故选A.
 
7.如图所示的物体是由四个相同的小长方体堆砌而成的,那么这个物体的左视图是(  )
 
A.  B.  C.  D.
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】根据左视图,后排两层,前排一层,可得答案.
【解答】解:后排两层,前排一层,
故选:B.
 
8.小亮和其他5个同学参加百米赛跑,赛场共设1,2,3,4,5,6六个跑道,选手以随机抽签的方式确定各自的跑道.若小亮首先抽签,则小亮抽到1号跑道的概率是(  )www-2-1-cnjy-com
A.  B.  C.  D.1
【考点】概率公式.
【分析】由赛场共设1,2,3,4,5,6六个跑道,直接利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:∵赛场共设1,2,3,4,5,6六个跑道,
∴小亮首先抽签,则小亮抽到1号跑道的概率是: .
故选:A.
 
9.在△ABC中,点D、E、F分别在BC、AB、CA上,且DE∥CA,DF∥BA,则下列三种说法:
①如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形
②如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形
③如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是菱形
其中正确的有(  )
 
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
【考点】矩形的判定;菱形的判定.
【分析】根据题意可得四边形AEDF是平行四边形;由∠BAC=90°,得四边形AEDF是矩形;由AD平分∠BAC,得四边形AEDF是菱形;当AD⊥BC且AB=AC时,四边形AEDF是菱形.
【解答】解:∵DE∥CA,DF∥BA,
∴四边形AEDF是平行四边形;
∵∠BAC=90°,
∴四边形AEDF是矩形;
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠FAD,
∴∠FAD=∠ADF,
∴AF=DF,
∴四边形AEDF是菱形;
∵AD⊥BC且AB=AC,
∴AD平分∠BAC,
∴四边形AEDF是菱形;
故①②③正确.
故选A.
 
10.如图,A、B、C、D四个点均在⊙O上,∠AOD=70°,AO∥DC,则∠B的度数为(  )
 
A.40° B.45° C.50° D.55°
【考点】圆周角定理;平行线的性质.
【分析】连接OC,由AO∥DC,得出∠ODC=∠AOD=70°,再由OD=OC,得出∠ODC=∠OCD=70°,求得∠COD=40°,进一步得出∠AOC,进一步利用圆周角定理得出∠B的度数即可.
【解答】解:如图,
 
连接OC,
∵AO∥DC,
∴∠ODC=∠AOD=70°,
∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD=70°,
∴∠COD=40°,
∴∠AOC=110°,
∴∠B= ∠AOC=55°.
故选:D.
 
11.已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是(  )
A.m<﹣1 B.m>1 C.m<1且m≠0 D.m>﹣1且m≠0
【考点】根的判别式;一元二次方程的定义.
【分析】由关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根,根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且△>0,即22﹣4•m•(﹣1)>0,两个不等式的公共解即为m的取值范围.2-1-c-n-j-y
【解答】解:∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根,
∴m≠0且△>0,即22﹣4•m•(﹣1)>0,解得m>﹣1,
∴m的取值范围为m>﹣1且m≠0.
∴当m>﹣1且m≠0时,关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根.
故选D.
 
12.如图,已知小正方形ABCD的面积为1,把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1;把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2;以此进行下去…,则正方形AnBnCnDn的面积为(  )
 
A.( )n B.5n C.5n﹣1 D.5n+1
【考点】正方形的性质.
【分析】根据三角形的面积公式,可知每一次延长一倍后,得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等,即每一次延长一倍后,得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍,从而解答.
【解答】解:如图,已知小正方形ABCD的面积为1,则把它的各边延长一倍后,△AA1D1的面积= ×2AB×AB=AB2=1,
新正方形A1B1C1D1的面积是4×1+1=5,
从而正方形A2B2C2D2的面积为5×5=25,
以此进行下去…,
则正方形AnBnCnDn的面积为5n.
故选:5n.
 
13.如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB,cosA= ,AE=3,则tan∠DBE的值是(  )
 
A.  B.2 C.  D.
【考点】解直角三角形;菱形的性质.
【分析】在直角三角形ADE中,cosA= ,求得AD,再求得DE,即可得到tan∠DBE= .
【解答】解:设菱形ABCD边长为t.
∵BE=2,
∴AE=t﹣2.
∵cosA= ,
∴ .
∴ = .
∴t=5.
∴BE=5﹣3=2,
∴DE= =4,
∴tan∠DBE= =2,
故选B.
 
14.如图,已知点A是直线y=x与反比例函数y= (k>0,x>0)的交点,B是y= 图象上的另一点,BC∥x轴,交y轴于点C.动点P从坐标原点O出发,沿O→A→B→C(图中“→”所示路线)匀速运动,终点为C,过点P作PM⊥x轴,PN⊥y轴,垂足分别为M,N.设四边形OMPN的面积为S,P点运动时间为t,则S关于t的函数图象大致为(  )
 
A.  B.  C.  D.
【考点】动点问题的函数图象.
【分析】根据点P的位置,分①点P在OA上时,四边形OMPN为正方形;②点P在反比例函数图象AB段时,根据反比例函数系数的几何意义,四边形OMPN的面积不变;③点P在BC段,设点P运动到点C的总路程为a,然后表示出四边形OMPN的面积,最后判断出函数图象即可得解.
【解答】解:设点P的运动速度为v,
①由于点A在直线y=x上,
故点P在OA上时,四边形OMPN为正方形,
四边形OMPN的面积S= (vt)2,
②点P在反比例函数图象AB时,
由反比例函数系数几何意义,四边形OMPN的面积S=k;
③点P在BC段时,设点P运动到点C的总路程为a,
则四边形OMPN的面积=OC•(a﹣vt)=﹣OC•vt+OC•a,
纵观各选项,只有B选项图形符合.
故选:B.
 
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
15.分解因式:a3﹣a= a(a+1)(a﹣1) .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】先提取公因式a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
【解答】解:a3﹣a,
=a(a2﹣1),
=a(a+1)(a﹣1).
故答案为:a(a+1)(a﹣1).
 
16.某校甲、乙两支仪仗队员的身高(单位;cm)如下:
甲队  176  175 175   174 176   175
 乙队  170 180   178 175   180 176
你认为身高更整齐的队伍是 甲 队.
【考点】方差.
【分析】求得每队的方差,方差小的比较整齐.
【解答】解:  = ≈175.2;
 = =176.5;
 =  [2+2+2+2+2+2]2≈0.47;
 =  [2+2+2+2+2+2]≈11.9.
∵ < ,
∴甲队的身体整齐.
故答案是:甲.
 
17.定义一种新运算“⊗”,规定:a⊗b= a﹣4b,例如:6⊗5= ×6﹣4×5=﹣18,则12⊗(﹣1)= 8 .
【考点】有理数的混合运算.
【分析】根据新运算指定的运算法则和运算顺序计算就可以求出结论.
【解答】解:原式= ×12﹣4×(﹣1)
=4+4
=8.
故答案为8.
 
18.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(﹣1,2),点C的坐标为(﹣3,0),将点C绕点A逆时针旋转90°,再向下平移3个单位,此时点C的对应点的坐标为 (1,﹣3) .
 
【考点】坐标与图形变化﹣平移.
【分析】根据旋转变换与平移的规律作出图形,然后解答即可.
【解答】解:如图,将点C绕点A逆时针旋转90°后,对应点的坐标为(1,0),
再将(1,0)向下平移3个单位,此时点C的对应点的坐标为(1,﹣3).
故答案为:(1,﹣3).
 
 
19.如图,菱形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,过点E作EG⊥AD于G,连接GF.若∠A=80°,则∠DGF的度数为 50° .
 
【考点】菱形的性质;全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.
【分析】延长AD、EF相交于点H,根据线段中点定义可得CF=DF,根据两直线平行,内错角相等可得∠H=∠CEF,然后利用“角角边”证明△CEF和△DHF全等,根据全等三角形对应边相等可得EF=FH,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得GF=FH,根据等边对等角可得∠DGF=∠H,根据菱形的性质求出∠C=∠A,CE=CF,然后根据等腰三角形两底角相等求出∠CEF,从而得解.
【解答】解:如图,延长AD、EF相交于点H,
∵F是CD的中点,
∴CF=DF,
∵菱形对边AD∥BC,
∴∠H=∠CEF,
在△CEF和△DHF中,
 ,
∴△CEF≌△DHF(AAS),
∴EF=FH,
∵EG⊥AD,
∴GF=FH,
∴∠DGF=∠H,
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠C=∠A=80°,
∵菱形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,
∴CE=CF,
在△CEF中,∠CEF= =50°,
∴∠DGF=∠H=∠CEF=50°.
故答案为:50°.
 
 
三、解答题(本大题共7小题,共63分)
20.计算:( ﹣2)0+( )﹣1+4cos30°﹣| ﹣ |
【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算,第二项利用负指数幂法则计算,第三项利用特殊角的三角函数值计算,最后一项利用绝对值的代数意义化简,计算即可得到结果.
【解答】解:原式=1+3+4× ﹣2
=4.
 
21.如图,平面直角坐标系中,直线 与x轴交于点A,与双曲线 在第一象限内交于点B,BC丄x轴于点C,OC=2AO.求双曲线的解析式.
 
【考点】反比例函数综合题.
【分析】先利用一次函数与图象的交点,再利用OC=2AO求得C点的坐标,然后代入一次函数求得点B的坐标,进一步求得反比例函数的解析式即可.
【解答】解:由题意 OC=2AO,
∵当y=0时,  x+ =0,解得x=﹣1,
∴点A的坐标为(﹣1,0),
∴OA=1.
又∵OC=2OA,
∴OC=2,
∴点B的横坐标为2,
代入直线 ,得y= ,
∴B(2, ).
∵点B在双曲线上,
∴k=xy=2× =3,
∴双曲线的解析式为y= .
 
22.州教育局为了解我州八年级学生参加社会实践活动情况,随机抽查了某县部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数,并用得到的数据检测了两幅统计图,下面给出了两幅不完整的统计图(如图)2•1•c•n•j•y
 
请根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)a= 10 %,并写出该扇形所对圆心角的度数为 36° ,请补全条形图.
(2)在这次抽样调查中,众数和中位数分别是多少?
(3)如果该县共有八年级学生2000人,请你估计“活动时间不少于7天”的学生人数大约有多少人?
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图;中位数;众数.
【分析】(1)根据各部分所占的百分比的和等于1列式计算即可求出a,再用360°乘以所占的百分比求出所对圆心角的度数,然后用被抽查的学生人数乘以8天所占百分比求出8天的人数,补全条形统计图即可;
(2)用众数和中位数的定义解答;
(3)用总人数乘以“活动时间不少于7天”的百分比,计算即可得解.
【解答】解:(1)a=1﹣(40%+20%+25%+5%)=1﹣90%=10%,
所对的圆心角度数=360°×10%=36°,
被抽查的学生人数:240÷40%=600人,
8天的人数:600×10%=60人,
补全统计图如图所示:
故答案为:10,36°;

(2)参加社会实践活动5天的人数最多,
所以,众数是5天,
600人中,按照参加社会实践活动的天数从少到多排列,第300人和301人都是6天,
所以,中位数是6天;

(3)2000×(25%+10%+5%)=2000×40%=800人.
 
 
23.如图,⊙O中,直径CD⊥弦AB于E,AM⊥BC于M,交CD于N,连AD.
(1)求证:AD=AN;
(2)若AB=4 ,ON=1,求⊙O的半径.
 
【考点】垂径定理;勾股定理;圆周角定理.
【分析】(1)先根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD,再由直角三角形的性质得出∠ANE=∠CNM,故可得出∠BCD=∠BAM,由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE,故可得出结论;
(2)先根据垂径定理求出AE的长,设NE=x,则OE=x﹣1,NE=ED=x,r=OD=OE+ED=2x﹣1
连结AO,则AO=OD=2x﹣1,在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值,进而得出结论.
【解答】(1)证明:∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角,
∴∠BAD=∠BCD,
∵AE⊥CD,AM⊥BC,
∴∠AMC=∠AEN=90°,
∵∠ANE=∠CNM,
∴∠BCD=∠BAM,
∴∠BAM=BAD,
在△ANE与△ADE中,
∵ ,
∴△ANE≌△ADE,
∴AD=AN;

(2)解:∵AB=4 ,AE⊥CD,
∴AE=2 ,
又∵ON=1,
∴设NE=x,则OE=x﹣1,NE=ED=x,r=OD=OE+ED=2x﹣1
连结AO,则AO=OD=2x﹣1,
∵△AOE是直角三角形,AE=2 ,OE=x﹣1,AO=2x﹣1,
∴(2 )2+(x﹣1)2=(2x﹣1)2,解得x=2,
∴r=2x﹣1=3.
 
 
24.小明早晨从家里出发匀速步行去上学,小明的妈妈在小明出发后10分钟,发现小明的数学课本没带,于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明,结果与小明同时到达学校.已知小明在整个上学途中,他出发后t分钟时,他所在的位置与家的距离为s千米,且s与t之间的函数关系的图象如图中的折线段OA﹣AB所示.
(1)试求折线段OA﹣AB所对应的函数关系式;
(2)请解释图中线段AB的实际意义;
(3)请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过程中,她所在位置与家的距离s(千米)与小明出发后的时间t(分钟)之间函数关系的图象.(友情提醒:请对画出的图象用数据作适当的标注)
 
【考点】一次函数的应用.
【分析】(1)OA为正比例函数图象,可以用待定系数法求出;
(2)AB段离家距离没发生变化说明在以家为圆心做曲线运动;
(3)妈妈的速度正好是小明的2倍,所以妈妈走弧线路用(20﹣12)÷2=4分钟.
【解答】解:(1)线段OA对应的函数关系式为:s= t(0≤t≤12)
线段AB对应的函数关系式为:s=1(12<t≤20);

(2)图中线段AB的实际意义是:
小明出发12分钟后,沿着以他家为圆心,1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟;

(3)由图象可知,小明花20分钟到达学校,则小明的妈妈花20﹣10=10分钟到达学校,可知小明妈妈的速度是小明的2倍,即:小明花12分钟走1千米,则妈妈花6分钟走1千米,故D(16,1),小明花20﹣12=8分钟走圆弧形道路,则妈妈花4分钟走圆弧形道路,故B(20,1).
妈妈的图象经过(10,0)(16,1)(20,1)如图中折线段CD﹣DB就是所作图象.
 
 
25.提出问题:
(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,H分别在BC,AB上,若AE⊥DH于点O,求证:AE=DH;
类比探究:
(2)如图2,在正方形ABCD中,点H,E,G,F分别在AB,BC,CD,DA上,若EF⊥HG于点O,探究线段EF与HG的数量关系,并说明理由;
综合运用:
(3)在(2)问条件下,HF∥GE,如图3所示,已知BE=EC=2,EO=2FO,求图中阴影部分的面积.
 
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)由正方形的性质得AB=DA,∠ABE=90°=∠DAH.所以∠HAO+∠OAD=90°,又知∠ADO+∠OAD=90°,所以∠HAO=∠ADO,于是△ABE≌△DAH,可得AE=DH;
(2)EF=GH.将FE平移到AM处,则AM∥EF,AM=EF,将GH平移到DN处,则DN∥GH,DN=GH.根据(1)的结论得AM=DN,所以EF=GH;
(3)易得△AHF∽△CGE,所以 ,由EC=2得AF=1,过F作FP⊥BC于P,根据勾股定理得EF= ,因为FH∥EG,所以 ,根据(2)①知EF=GH,所以FO=HO,再求得三角形FOH与三角形EOG的面积相加即可.
【解答】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=DA,∠ABE=90°=∠DAH.
∴∠HAO+∠OAD=90°.
∵AE⊥DH,
∴∠ADO+∠OAD=90°.
∴∠HAO=∠ADO.
∴△ABE≌△DAH(ASA),
∴AE=DH.

(2)EF=GH.
将FE平移到AM处,则AM∥EF,AM=EF.
将GH平移到DN处,则DN∥GH,DN=GH.
 
∵EF⊥GH,
∴AM⊥DN,
根据(1)的结论得AM=DN,所以EF=GH;

(3)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD
∴∠AHO=∠CGO
∵FH∥EG
∴∠FHO=∠EGO
∴∠AHF=∠CGE
∴△AHF∽△CGE

∵EC=2
∴AF=1
过F作FP⊥BC于P,
根据勾股定理得EF= ,
∵FH∥EG,

根据(2)知EF=GH,
∴FO=HO.
∴ ,
 ,
∴阴影部分面积为 .
 
 
26.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系,抛物线y=﹣ x2+ x+4经过A、B两点.
(1)写出点A、点B的坐标;
(2)若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移,分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P,连接PA、PB.设直线l移动的时间为t(0<t<4)秒,求四边形PBCA的面积S(面积单位)与t(秒)的函数关系式,并求出四边形PBCA的最大面积;
(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点P,使得△PAM是直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
 
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)抛物线的解析式中,令x=0,能确定点B的坐标;令y=0,能确定点A的坐标.
(2)四边形PBCA可看作△ABC、△PBA两部分;△ABC的面积是定值,关键是求出△PBA的面积表达式;若设直线l与直线AB的交点为Q,先用t表示出线段PQ的长,而△PAB的面积可由( PQ•OA)求得,在求出S、t的函数关系式后,由函数的性质可求得S的最大值.
(3)△PAM中,∠APM是锐角,而PM∥y轴,∠AMP=∠ACO也不可能是直角,所以只有∠PAC是直角一种可能,即 直线AP、直线AC垂直,此时两直线的斜率乘积为﹣1,先求出直线AC的解析式,联立抛物线的解析式后可求得点P的坐标.
【解答】解:(1)抛物线y=﹣ x2+ x+4中:
令x=0,y=4,则 B(0,4);
令y=0,0=﹣ x2+ x+4,解得 x1=﹣1、x2=8,则 A(8,0);
∴A(8,0)、B(0,4).

(2)△ABC中,AB=AC,AO⊥BC,则OB=OC=4,∴C(0,﹣4).
由A(8,0)、B(0,4),得:直线AB:y=﹣ x+4;
依题意,知:OE=2t,即 E(2t,0);
∴P(2t,﹣2t2+7t+4)、Q(2t,﹣t+4),PQ=(﹣2t2+7t+4)﹣(﹣t+4)=﹣2t2+8t;
S=S△ABC+S△PAB= ×8×8+ ×(﹣2t2+8t)×8=﹣8t2+32t+32=﹣8(t﹣2)2+64;
∴当t=2时,S有最大值,且最大值为64.

(3)∵PM∥y轴,∴∠AMP=∠ACO<90°;
而∠APM是锐角,所以△PAM若是直角三角形,只能是∠PAM=90°;
由A(8,0)、C(0,﹣4),得:直线AC:y= x﹣4;
所以,直线AP可设为:y=﹣2x+h,代入A(8,0),得:
﹣16+h=0,h=16
∴直线AP:y=﹣2x+16,联立抛物线的解析式,得:
 ,解得 、
∴存在符合条件的点P,且坐标为(3,10).
 
2017年4月17日

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