2017年临沂市中考数学模拟试卷8(有答案和解释)

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2017年临沂市中考数学模拟试卷8(有答案和解释)

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莲山 课件 w w w.5Y k J.C om

2017年山东省临沂市中考数学模拟试卷(8)
 
一、选择题(本题共14个小题,每小题3分,共42分)
1.绝对值等于9的数是(  )
A.9 B.﹣9 C.9或﹣9 D.
2.用科学记数法表示的数3.61×108.它的原数是(  )
A.36100000000 B.3610000000 C.361000000 D.36100000
3.如图,DE∥BC,EF∥AB,则图中与∠B一定相等的角共有(不含∠B)(  )
 
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.对于非零实数m,下列式子运算正确的是(  )
A.(m3)2=m9 B.m3•m2=m6 C.m2+m3=m5 D.m﹣2÷m﹣6=m4
5.不等式组 的解集在数轴上表示为(  )
A.  B.  C.  D.
6.计算( ﹣ )÷ 的结果为(  )
A.  B.  C.  D.
7.如图,是由五个相同正方体组成的甲、乙两个几何体,它们的三视图中一致的(  )
 
A.主视图 B.左视图 C.俯视图 D.三视图
8.一只不透明的袋子中装有两个完全相同的小球,上面分别标有1,2两个数字,若随机地从中摸出一个小球,记下号码后放回,再随机摸出一个小球,则两次摸出小球的号码之积为偶数的概率是(  )
A.  B.  C.  D.
9.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,则四边形CODE的周长(  )
 
A.4 B.6 C.8 D.10
10.如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,∠BCD=50°,则∠ABD的度数是(  )
 
A.20° B.25° C.40° D.50°
11.已知 是方程组 的解,则a﹣b的值是(  )
A.﹣1 B.2 C.3 D.4
12.周末,身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园,准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图,小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°,小丽站在B处(A、B与塔的轴心共线)测得她看塔顶的仰角β为30°.她们又测出A、B两点的距离为30米.假设她们的
眼睛离头顶都为10cm,则可计算出塔高约为(结果精确到0.01,参考数据: ≈1.414, ≈1.732)(  )
 
A.36.21米 B.37.71米 C.40.98米 D.42.48米
13.如图,将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放,点A1,A2,…An分别是正方形的中心,则这n个正方形重叠部分的面积之和是(  )
 
A.n B.n﹣1 C.( )n﹣1 D.  n
14.如图,点P是菱形ABCD边上一动点,若∠A=60°,AB=4,点P从点A出发,以每秒1个单位长的速度沿A→B→C→D的路线运动,当点P运动到点D时停止运动,那么△APD的面积S与点P运动的时间t之间的函数关系的图象是(  )
 
A.  B.  C.  D.
 
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
15.分解因式:a3﹣4a2+4a=  .
16.一次考试中,甲组12人的平均分数为70分,乙组8人的平均分数为80分,那么这两组20人的平均分为  .
17.定义运算“@”的运算法则为:x@y=xy﹣1,下面给出关于这种运算的几种结论:
①(2@3)@(4)=19;
②x@y=y@x
③若x@x=0,则x﹣1=0;
④若x@y=0,则(xy)@(xy)=0,
其中正确结论的序号是  .(在横线上填上你认为所有正确的序号)
18.如图,在正方形方格中,阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案,再将方格内空白的一个小正方形涂黑,使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有  种.
 
19.如图,反比例函数y= (x>0)的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D,交直角边AB于点C,点B在x轴上.若△OAC的面积为5,AD:OD=1:2,则k的值为  .
 
 
三、解答题(本大题共7小题,共63分)
20.如图,在矩形ABCD中,AB=24cm,BC=8cm,点P从A开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度移动,点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动,如果点P、Q分别从A、C同时出发,当其中一点到达D时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t(s).当t为何值时,四边形QPBC为矩形?
 
21.某商店准备进一批季节性小家电,单价40元.经市场预测,销售定价为52元时,可售出180个,定价每增加1元,销售量净减少10个;定价每减少1元,销售量净增加10个.因受库存的影响,每批次进货个数不得超过180个,商店若将准备获利2000元,则应进货多少个?定价为多少元?
22.为了解八年级学生的课外阅读情况,我校语文组从八年级随机抽取了若干名学生,对他们的读书时间进行了调查并将收集的数据绘成了两幅不完整的统计图,请你依据图中提供的信息,解答下列问题:(每组含最小值不含最大值)
 
(1)从八年级抽取了多少名学生?
(2)填空(直接把答案填到横线上)
①“2﹣2.5小时”的部分对应的扇形圆心角为  度;
②课外阅读时间的中位数落在  (填时间段)内.
(3)如果八年级共有800名学生,请估算八年级学生课外阅读时间不少于1.5小时的有多少人?
23.我市某玩具厂生产的一种玩具每个成本为24元,其销售方案有如下两种:
方案一:给本厂设在蓝天商厦的销售专柜销售,每个售价为32元,但每月需上缴蓝天商厦有关费用2400元;
方案二:不设销售专柜,直接发给本市各商厦销售,出厂价为每个28元.
设该厂每月的销售量为x个.如果每月只能按一种方案销售,且每种方案都能按月销售完当月产品,那么应如何选择销售方案,可使该工厂当月所获利润最大?
24.如图,△ABC内接于⊙O,AD是⊙O直径,过点A的切线与CB的延长线交于点E.
(1)求证:EA2=EB•EC;
(2)若EA=AC, ,AE=12,求⊙O的半径.
 
25.问题情境:
小明和小颖在吃冰淇淋时,对其所用的一次性纸杯(如图1)产生了兴趣,决定对制做这种纸杯的相关问题进行研究,他们发现纸杯是圆台形状(即一个大圆锥截去一个小圆锥后余一的部分,如图2),并测得杯口直径AB=8cm,杯底直径CD=6cm,杯壁母线长AC=BD=6cm,说明:整个探究过程中均忽略纸杯的接接部分和纸杯的厚度.
 
数学理解:
(1)为进一步探究问题的本质,小颖画出纸杯的侧面展开的大致图形,如图3,得到的图形是圆环的一部分,那么,图3中 的长为  cm, 的长为  cm.
(2)小明认为,要想准确画出纸杯的侧面展开图,需要确定图3中 和 所在圆的半径OE,OF的长以及圆心角∠BOE的度数,小颖根据弧长的计算公式猜想得到 = ,请你证明这个结论,并根据这个结论,求 所在圆的半径OF及它所对的圆心角∠BOE的度数.
问题解决:
(3)明确了纸杯侧面展开图的有关数据和图形的性质后,他们继续探究将原材料截前成纸杯侧面的方案,并给出了方案,将原材料剪成矩形纸片,再按如图4所示的方式剪出这个纸杯的侧面,其中,扇形OBE的 与矩形GHMN的边GH相切于点P,点P是 的中点,点B,E,F,D均在矩形的边上,请直接写出矩形纸片的长和宽.
26.如图,抛物线y=x2﹣bx﹣5与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点C与点F关于抛物线的对称轴对称,直线AF交y轴于点E,|OC|:|OA|=5:1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求直线AF的解析式;
(3)在直线AF上是否存在点P,使△CFP是直角三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.
 
 

2017年山东省临沂市中考数学模拟试卷(8)
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本题共14个小题,每小题3分,共42分)
1.绝对值等于9的数是(  )
A.9 B.﹣9 C.9或﹣9 D.
【考点】绝对值.
【分析】根据绝对值的意义得|9|=9,|﹣9|=9.
【解答】解:∵|9|=9,|﹣9|=9,
∴绝对值等于9的数是9或﹣9.
故选C.
 
2.用科学记数法表示的数3.61×108.它的原数是(  )
A.36100000000 B.3610000000 C.361000000 D.36100000
【考点】科学记数法—原数.
【分析】科学记数法的标准形式为a×10n(1≤|a|<10,n为整数),本题把数据“3.61×108中3.61的小数点向左移动8位就可以得到结果.
【解答】解:3.61×108=361000000,
故选:C.
 
3.如图,DE∥BC,EF∥AB,则图中与∠B一定相等的角共有(不含∠B)(  )
 
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】平行线的性质.
【分析】根据平行线的性质,即可判断出与∠B相等的角.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠EFC=∠DEF,
∵EF∥AB,
∴∠EFC=∠B,∠ADE=∠DEF,
所以∠ADE=∠EFC=∠DEF=∠B.
所以与∠B一定相等的角共有3个,
故选C.
 
4.对于非零实数m,下列式子运算正确的是(  )
A.(m3)2=m9 B.m3•m2=m6 C.m2+m3=m5 D.m﹣2÷m﹣6=m4
【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方;负整数指数幂.
【分析】根据幂的乘方法则:底数不变,指数相乘;同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加;合并同类项的法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变;同底数幂的除法法则:底数不变,指数相减分别进行计算,可以选出正确答案.
【解答】解:A、(m3)2=m3×2=m6,故此选项错误;
B、m3•m2=m3+2=m5,故此选项错误;
C、m2,m3不是同类项,不能合并,故此选项错误;
D、m﹣2÷m﹣6=m﹣2﹣(﹣6)=m4,故此选项正确;
故选:D.
 
5.不等式组 的解集在数轴上表示为(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集.
【分析】此题首先把不等式组中每一个不等式的解集求出,然后在数轴上即可表示出来,最后即可作出判断.
【解答】解:由①得x>﹣1,
由②得x≤1,
所以不等式组的解集为1﹣<x≤1.
A、解集为x≤﹣1或x>1,故错误;
B、解集为x≤﹣1,故错误;
C、解集为x>1,故错误;
D、解集为﹣<x≤1,故正确.
故选D.
 
6.计算( ﹣ )÷ 的结果为(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】分式的混合运算.
【分析】首先把括号内的式子通分、相减,然后把除法转化为乘法,进行通分即可.
【解答】解:原式= ÷
= •
= .
故选A.
 
7.如图,是由五个相同正方体组成的甲、乙两个几何体,它们的三视图中一致的(  )
 
A.主视图 B.左视图 C.俯视图 D.三视图
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】利用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形,进而判断.
【解答】解:从正面可看到甲从左往右两列小正方形的个数为:3,1,乙从左往右2列小正方形的个数为:1,3,不符合题意;
从左面可看到甲从左往右2列小正方形的个数为:3,1,乙从左往右2列小正方形的个数为:3,1,符合题意;
从上面可看到甲从左往右2列小正方形的个数为:2,1,乙从左往右2列小正方形的个数为:1,2,不符合题意;
故选:B.
 
8.一只不透明的袋子中装有两个完全相同的小球,上面分别标有1,2两个数字,若随机地从中摸出一个小球,记下号码后放回,再随机摸出一个小球,则两次摸出小球的号码之积为偶数的概率是(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】列表法与树状图法.
【分析】列表得出所有等可能的情况数,找出两次摸出小球的号码之积为偶数的情况数,即可求出所求的概率.
【解答】解:列表如下:
 1 2
1 (1,1) (1,2)
2 (2,1) (2,2)
所有等可能的情况数有4种,两次摸出小球的号码之积为偶数的情况有3种,
则P= .
故选:D.
 
9.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,则四边形CODE的周长(  )
 
A.4 B.6 C.8 D.10
【考点】菱形的判定与性质;矩形的性质.
【分析】首先由CE∥BD,DE∥AC,可证得四边形CODE是平行四边形,又由四边形ABCD是矩形,根据矩形的性质,易得OC=OD=2,即可判定四边形CODE是菱形,继而求得答案.
【解答】解:∵CE∥BD,DE∥AC,
∴四边形CODE是平行四边形,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD=4,OA=OC,OB=OD,
∴OD=OC= AC=2,
∴四边形CODE是菱形,
∴四边形CODE的周长为:4OC=4×2=8.
故选C.
 
10.如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,∠BCD=50°,则∠ABD的度数是(  )
 
A.20° B.25° C.40° D.50°
【考点】圆周角定理.
【分析】连接AD,根据圆周角定理:直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等即可求解.
【解答】解:连接AD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
又∵∠DAB=∠BCD=50°,
∴∠ABD=90°﹣50°=40°.
故选C.
 
 
11.已知 是方程组 的解,则a﹣b的值是(  )
A.﹣1 B.2 C.3 D.4
【考点】二元一次方程组的解.
【分析】先根据解的定义将 代入方程组,得到关于a,b的方程组.两方程相减即可得出答案.
【解答】解:∵ 是方程组 的解,
∴ ,
两个方程相减,得a﹣b=4,
故选:D.
 
12.周末,身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园,准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图,小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°,小丽站在B处(A、B与塔的轴心共线)测得她看塔顶的仰角β为30°.她们又测出A、B两点的距离为30米.假设她们的
眼睛离头顶都为10cm,则可计算出塔高约为(结果精确到0.01,参考数据: ≈1.414, ≈1.732)(  )
 
A.36.21米 B.37.71米 C.40.98米 D.42.48米
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
【分析】由已知设塔高为x米,则由已知可得到如下关系,  =tan30°,从而求出塔高.
【解答】解:已知小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°,小丽站在B处(A、B与塔的轴心共线)测得她看塔顶的仰角β为30°,A、B两点的距离为30米.假设她们的眼睛离头顶都为10cm,
所以设塔高为x米则得:
 =tan30°= ,
解得:x≈42.48,
即塔高约为42.48米.
故选:D.
 
13.如图,将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放,点A1,A2,…An分别是正方形的中心,则这n个正方形重叠部分的面积之和是(  )
 
A.n B.n﹣1 C.( )n﹣1 D.  n
【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质.
【分析】根据题意可得,阴影部分的面积是正方形的面积的 ,已知两个正方形可得到一个阴影部分,则n个这样的正方形重叠部分即为(n﹣1)个阴影部分的和.
【解答】解:由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的 ,即是 ×4=1,
5个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为:1×4,
n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为:1×(n﹣1)=n﹣1.
故选:B.
 
14.如图,点P是菱形ABCD边上一动点,若∠A=60°,AB=4,点P从点A出发,以每秒1个单位长的速度沿A→B→C→D的路线运动,当点P运动到点D时停止运动,那么△APD的面积S与点P运动的时间t之间的函数关系的图象是(  )2-1-c-n-j-y
 
A.  B.  C.  D.
【考点】动点问题的函数图象.
【分析】根据∠A的度数求出菱形的高,再分点P在AB上,在BC上和在CD上三种情况,利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式,然后选择答案即可.
【解答】解:∵∠A=60°,AB=4,
∴菱形的高=4× =2 ,
点P在AB上时,△APD的面积S= ×4× t= t(0≤t≤4);
点P在BC上时,△APD的面积S= ×4×2 =4 (4<t≤8);
点P在CD上时,△APD的面积S= ×4× (12﹣t)=﹣ t+12 (8<t≤12),
纵观各选项,只有B选项图形符合.
故选:B.
 
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
15.分解因式:a3﹣4a2+4a= a(a﹣2)2 .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】观察原式a3﹣4a2+4a,找到公因式a,提出公因式后发现a2﹣4a+4是完全平方公式,利用完全平方公式继续分解可得.
【解答】解:a3﹣4a2+4a,
=a(a2﹣4a+4),
=a(a﹣2)2.
故答案为:a(a﹣2)2.
 
16.一次考试中,甲组12人的平均分数为70分,乙组8人的平均分数为80分,那么这两组20人的平均分为 74分 .
【考点】加权平均数.
【分析】根据加权平均数的定义进行计算.
【解答】解:这两组20人的平均分= =74(分).
故答案为74分.
 
17.定义运算“@”的运算法则为:x@y=xy﹣1,下面给出关于这种运算的几种结论:
①(2@3)@(4)=19;
②x@y=y@x
③若x@x=0,则x﹣1=0;
④若x@y=0,则(xy)@(xy)=0,
其中正确结论的序号是 ①②④ .(在横线上填上你认为所有正确的序号)
【考点】整式的混合运算;有理数的混合运算;平方根.
【分析】根据题中的新定义化简各选项中的算式,计算即可做出判断.
【解答】解:根据题意得:①(2@3)@(4)=5@4=20﹣1=19,本选项正确;
②x@y=xy﹣1,y@x=yx﹣1,故x@y=y@x,本选项正确;
③若x@x=x2﹣1=0,则x﹣1=0或x+1=0,本选项错误;
④若x@y=xy﹣1=0,则(xy)@(xy)=x2y2﹣1=(xy+1)(xy﹣1)=0,本选项正确,
则其中正确的结论序号有①②④.
故答案为:①②④
 
18.如图,在正方形方格中,阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案,再将方格内空白的一个小正方形涂黑,使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有 3 种.
 
【考点】利用轴对称设计图案.
【分析】根据轴对称图形的概念:把一个图形沿着某条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合及正方形的对称轴是两条对角线所在的直线和两组对边的垂直平分线,得出结果.
【解答】解:在1,2,3处分别涂黑都可得一个轴对称图形,
故涂法有3种,
故答案为:3.
 
 
19.如图,反比例函数y= (x>0)的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D,交直角边AB于点C,点B在x轴上.若△OAC的面积为5,AD:OD=1:2,则k的值为 8 .
 
【考点】反比例函数系数k的几何意义.
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义以及相似三角形的性质得出S△ODE=S△OBC= k,S△AOB= k+5,  = ,进而求出即可.
【解答】解:过D点作x轴的垂线交x轴于E点,
∵△ODE的面积和△OBC的面积相等= ,
∵△OAC的面积为5,
∴△OBA的面积=5+ ,
∵AD:OD=1:2,
∴OD:OA=2:3,
∵DE∥AB,
∴△ODE∽△OAB,
∴ =( )2,
即 = ,
解得:k=8.
 
 
三、解答题(本大题共7小题,共63分)
20.如图,在矩形ABCD中,AB=24cm,BC=8cm,点P从A开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度移动,点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动,如果点P、Q分别从A、C同时出发,当其中一点到达D时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t(s).当t为何值时,四边形QPBC为矩形?
 
【考点】矩形的判定与性质.
【分析】求出CQ=2t,AP=4t,BP=24﹣4t,由已知推出∠B=∠C=90°,CD∥AB,推出CQ=BP时,四边形QPBC是矩形,得出方程2t=24﹣4t,求出即可.
【解答】解:根据题意得:CQ=2t,AP=4t,
则BP=24﹣4t,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=90°,CD∥AB,
∴只有CQ=BP时,四边形QPBC是矩形,
即2t=24﹣4t,
解得:t=4,
答:当t=4s时,四边形QPBC是矩形.
 
21.某商店准备进一批季节性小家电,单价40元.经市场预测,销售定价为52元时,可售出180个,定价每增加1元,销售量净减少10个;定价每减少1元,销售量净增加10个.因受库存的影响,每批次进货个数不得超过180个,商店若将准备获利2000元,则应进货多少个?定价为多少元?
【考点】一元二次方程的应用.
【分析】利用销售利润=售价﹣进价,根据题中条件可以列出利润与x的关系式,求出即可.
【解答】解:设每个商品的定价是x元,
由题意,得(x﹣40)[180﹣10(x﹣52)]=2000,
整理,得x2﹣110x+3000=0,
解得x1=50,x2=60.
当x=50时,进货180﹣10(50﹣52)=200个>180个,不符合题意,舍去;
当x=60时,进货180﹣10(60﹣52)=100个<180个,符合题意.
答:当该商品每个定价为60元时,进货100个.
 
22.为了解八年级学生的课外阅读情况,我校语文组从八年级随机抽取了若干名学生,对他们的读书时间进行了调查并将收集的数据绘成了两幅不完整的统计图,请你依据图中提供的信息,解答下列问题:(每组含最小值不含最大值)
 
(1)从八年级抽取了多少名学生?
(2)填空(直接把答案填到横线上)
①“2﹣2.5小时”的部分对应的扇形圆心角为 36° 度;
②课外阅读时间的中位数落在 1~1.5 (填时间段)内.
(3)如果八年级共有800名学生,请估算八年级学生课外阅读时间不少于1.5小时的有多少人?
【考点】扇形统计图;用样本估计总体;条形统计图;中位数.
【分析】(1)根据0.5~1小时的人数及所占的比例可得出抽查的总人数.
(2)①根据2至2.5的人数及总人数可求出a%的值,进而根据圆周为1可得出答案.②分别求出各组的人数即可作出判断.
(3)首先确定课外阅读时间不少于1.5小时所占的比例,然后根据频数=总数×频率即可得出答案.
【解答】解:(1)总人数=30÷25%=120人;

(2)①a%= =10%,
∴对应的扇形圆心角为360°×10%=36°;
②总共120名学生,中位数为60、61,
∴落在1~1.5内.

(3)不少于1.5小时所占的比例=10%+20%=30%,
∴人数=800×30%=240人.
 
23.我市某玩具厂生产的一种玩具每个成本为24元,其销售方案有如下两种:
方案一:给本厂设在蓝天商厦的销售专柜销售,每个售价为32元,但每月需上缴蓝天商厦有关费用2400元;
方案二:不设销售专柜,直接发给本市各商厦销售,出厂价为每个28元.
设该厂每月的销售量为x个.如果每月只能按一种方案销售,且每种方案都能按月销售完当月产品,那么应如何选择销售方案,可使该工厂当月所获利润最大?
【考点】一次函数的应用.
【分析】根据每月的销售的为x个列出两种方案所获得的利润,解方程然后分类讨论得出当x为多少时选择何种方案可使得该工厂当月所获利润最大.
【解答】解:方案一:工厂每月所获利润=(32﹣24)x﹣2400=8x﹣2400
方案二:工厂每月所获利润=(28﹣24)x=4x
设8x﹣2400=4x,解得x=600
∴当x=600时,选择方案一和方案二工厂当月所获利润相同;
当x>600时,选择方案一工厂当月所获利润大;
当x<600时,选择方案二工厂当月所获利润大.
 
24.如图,△ABC内接于⊙O,AD是⊙O直径,过点A的切线与CB的延长线交于点E.
(1)求证:EA2=EB•EC;
(2)若EA=AC, ,AE=12,求⊙O的半径.
 
【考点】切线的性质;相似三角形的判定与性质.
【分析】(1)由弦切角定理,可得∠EAB=∠C,继而可证得△BAE∽△ACE,然后由相似三角形的对应边成比例,证得EA2=EB•EC;
(2)首先连接BD,过点B作BH⊥AE于点H,易证得∠E=∠C=∠D=∠EAB,然后由三角函数的性质,求得直径AD的长,继而求得⊙O的半径.
【解答】(1)证明:∵AE是切线,
∴∠EAB=∠C,
∵∠E是公共角,
∴△BAE∽△ACE,
∴EA:EC=EB:EA,
∴EA2=EB•EC;

(2)解:连接BD,过点B作BH⊥AE于点H,
∵EA=AC,
∴∠E=∠C,
∵∠EAB=∠C,
∴∠EAB=∠E,
∴AB=EB,
∴AH=EH= AE= ×12=6,
∵cos∠EAB= ,
∴cos∠E= ,
∴在Rt△BEH中,BE= = ,
∴AB= ,
∵AD是直径,
∴∠ABD=90°,
∵∠D=∠C,
∴cos∠D= ,
∴sin∠D= ,
∴AD= = ,
∴⊙O的半径为 .
 
 
25.问题情境:
小明和小颖在吃冰淇淋时,对其所用的一次性纸杯(如图1)产生了兴趣,决定对制做这种纸杯的相关问题进行研究,他们发现纸杯是圆台形状(即一个大圆锥截去一个小圆锥后余一的部分,如图2),并测得杯口直径AB=8cm,杯底直径CD=6cm,杯壁母线长AC=BD=6cm,说明:整个探究过程中均忽略纸杯的接接部分和纸杯的厚度.
 
数学理解:
(1)为进一步探究问题的本质,小颖画出纸杯的侧面展开的大致图形,如图3,得到的图形是圆环的一部分,那么,图3中 的长为 8π cm, 的长为 6π cm.
(2)小明认为,要想准确画出纸杯的侧面展开图,需要确定图3中 和 所在圆的半径OE,OF的长以及圆心角∠BOE的度数,小颖根据弧长的计算公式猜想得到 = ,请你证明这个结论,并根据这个结论,求 所在圆的半径OF及它所对的圆心角∠BOE的度数.
问题解决:
(3)明确了纸杯侧面展开图的有关数据和图形的性质后,他们继续探究将原材料截前成纸杯侧面的方案,并给出了方案,将原材料剪成矩形纸片,再按如图4所示的方式剪出这个纸杯的侧面,其中,扇形OBE的 与矩形GHMN的边GH相切于点P,点P是 的中点,点B,E,F,D均在矩形的边上,请直接写出矩形纸片的长和宽.
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)立体平面图形转化中,可见 的长即为杯口圆的周长,而 的长即为杯底圆的周长.由已知杯口直径AB=8cm,杯底直径CD=6cm,结论易得.
(2)求证 = ,一般我们都考虑分别用OE,OF表示出 的长和 的长,然后相除后再找其与 的关系.
    求OF,题中已提示利用上述公式.因为(1)我们已知等式的左边,右边OE可否用OF表示呢?观察图已知,OE=OF+杯壁母线长,又杯壁母线长AC=BD=6cm,所以结果易得.
(3)求矩形纸片的长与宽,直接考虑都在扇形外,所以可以考虑转化到扇形中,由P为圆的切点,一般连接圆心与切点,如是连接OP,连接BE,记两线交于Q,记OP与MN交于点R.此时BE即为矩形的长,PR即为矩形的宽,其中又由圆心角为60°,易得△OBE为等边三角形,则BE可求.同时△ROF为含30°角的直角三角形,边长易得,进而PR易得.
【解答】解:
(1)8π,6π.

(2)证明:设 与 所对的圆心角为n°.
∴ 的长= = , 的长= = ,
∴ = = .
∵OE=OF+6, 的长=8π, 的长=6π,
∴ = ,
解得,OF=18,
∴OE=OF+6=18+6=24.
∵ 的长= =6π,OF=18,
∴n=60.
所以,所在圆的半径OF等于18cm,它所对的圆心角的度数为60°.

(3)
答:矩形纸片的长GH=24cm,宽GN= cm.
分析如下:
 
在图4中,连接OP,连接BE,两线交于Q,OP与MN交于点R.此时由图形对称可知,PO⊥BE,PO⊥NM,
∵OB=OE,∠BOE=60°,
∴△BOE为等边三角形,则BE=OE=24,
∴矩形纸片的长GH=24cm.
∵∠BOE=60°,
∴∠FOR=30°,
在Rt△FOR中,
∵OF=18,
∴RF=9,
∴OR=9 ,
∴PR=OP﹣OR=24﹣9 ,
∴矩形纸片的宽GN= cm.
 
26.如图,抛物线y=x2﹣bx﹣5与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点C与点F关于抛物线的对称轴对称,直线AF交y轴于点E,|OC|:|OA|=5:1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求直线AF的解析式;
(3)在直线AF上是否存在点P,使△CFP是直角三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.
 
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)根据抛物线解析式求出OC的长度,再根据比例求出OA的长度,从而得到点A的坐标,然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b,即可得到抛物线解析式;
(2)根据点C、F关于对称轴对称可得点F的纵坐标与点C的纵坐标相等,设出点F的坐标为(x0,﹣5),代入抛物线求出点F的横坐标,然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可;
(3)分①点P与点E重合时,△CFP是直角三角形,②CF是斜边时,过C作CP⊥AF于点P,然后根据点C、E、F的坐标求出PC=PF,从而求出点P在抛物线对称轴上,再根据抛物线的对称轴求解即可.
【解答】解:(1)∵y=x2﹣bx﹣5,
∴|OC|=5,
∵|OC|:|OA|=5:1,
∴|OA|=1,
即A(﹣1,0),
把A(﹣1,0)代入y=x2﹣bx﹣5得:
(﹣1)2+b﹣5=0,
解得b=4,
抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5;

(2)∵点C与点F关于对称轴对称,C(0,﹣5),设F(x0,﹣5),
∴x02﹣4x0﹣5=﹣5,
解得x0=0(舍去),或x0=4,
∴F(4,﹣5),
∴对称轴为直线x=2,
设直线AF的解析式为y=kx+b,
把F(4,﹣5),A(﹣1,0),代入y=kx+b,
得 ,
解得 ,
所以,直线FA的解析式为y=﹣x﹣1;

(3)存在.
理由如下:①当∠FCP=90°时,点P与点E重合,
∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点,
∴E(0,﹣1),
∴P(0,﹣1),
②当CF是斜边时,过点C作CP⊥AF于点P(x1,﹣x1﹣1),
∵∠ECF=90°,E(0,﹣1),C(0,﹣5),F(4,﹣5),
∴CE=CF,
∴EP=PF,
∴CP=PF,
∴点P在抛物线的对称轴上,
∴x1=2,
把x1=2代入y=﹣x﹣1,得
y=﹣3,
∴P(2,﹣3),
综上所述,直线AF上存在点P(0,﹣1)或(2,﹣3)使△CFP是直角三角形.
 
 

2017年4月17日

文 章来源
莲山 课件 w w w.5Y k J.C om
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