九年级数学下1.5三角函数的应用课时练习(北师大附答案和解释)

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九年级数学下1.5三角函数的应用课时练习(北师大附答案和解释)

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北师大版数学九年级下册第一章第五节三角函数的应用课时练习
一、单选题(共15题)
1.如图,要在宽为22米的九州大道两边安装路灯,路灯的灯臂CD长2米,且与灯柱BC成120°角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直,当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳,此时,路灯的灯柱BC高度应该设计为(  )
 
A.  米 B. 米  C. 米  D. 米
答案:D
解析:解答:如图,延长OD,BC交于点P.
 
∵∠ODC=∠B=90°,∠P=30°,OB=11米,CD=2米,
∴在直角△CPD中,DP=DC•cot30°=2 m,PC=CD÷(sin30°)=4米,
∵∠P=∠P,∠PDC=∠B=90°,
∴△PDC∽△PBO,
∴  ,
∴PB= 米,
∴BC=PB-PC= 米.
故选:D.
分析: 出现有直角的四边形时,应构造相应的直角三角形,利用相似求得PB、PC,再相减即可求得BC长
2.如图,为安全起见,萌萌拟加长滑梯,将其倾斜角由45°降至30°.已知滑梯AB的长为3m,点D、B、C在同一水平地面上,那么加长后的滑梯AD的长是(  )
 
A.2   B.    C.  D. 
答案:C
解析:解答: 假设AC=x,
∴BC=x,∵滑梯AB的长为3m,
∴2x2=9,
解得:x=
∵∠D=30°,
∴2AC=AD,
∴AD=3
故选C.
分析: 根据∠ABC=∠BAC=45°,AB=3,求出AC的长,再利用在直角三角形中30°所对的边是斜边的一半求出即可。
3.如图,AC是电线杆AB的一根拉线,测得BC的长为6米,∠ACB=50°,则拉线AC的长为(  )
 
A.   B.   C.6cos50°  D.
答案:D
解析:解答: ∵BC=6米,∠ACB=50°,
∴cos50°= ,
∴AC=  (米);
故选D.
分析: 此题考查了解直角三角形,解决此类问题的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形,把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决
4.如图,要测量B点到河岸AD的距离,在A点测得∠BAD=30°,在C点测得∠BCD=60°,又测得AC=100米,则B点到河岸AD的距离为(  )
 
A.100米   B.50 米  C. 米  D.50米
答案:C
解析:解答: 过B作BM⊥AD,
∵∠BAD=30°,∠BCD=60°,
∴∠ABC=30°,
∴AC=CB=100米,
∵BM⊥AD,
∴∠BMC=90°,
∴∠CBM=30°,
∴CM=  BC=50米,
∴BM= CM=50 米,
故选:B.
分析: 过B作BM⊥AD,根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°,再根据等角对等边可得BC=AC,然后再计算出∠CBM的度数,进而得到CM长,最后利用勾股定理可得答案
5. 如图,斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1:2,AC=3 米,坡顶有旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连.若AB=10米,则旗杆BC的高度为(  )
 
A.5米  B.6米  C.8米   D.(3+ )米
答案:A
解析:解答: 设CD=x,则AD=2x,
由勾股定理可得,AC= = x,
∵AC=3 米,
∴ x=3 ,
∴x=3米,
∴CD=3米,
∴AD=2×3=6米,
在Rt△ABD中,BD= =8米,
∴BC=8-3=5米.
故选A.
分析: 设CD=x,则AD=2x,根据勾股定理求出AC的长,从而求出CD、AC的长,然后根据勾股定理求出BD的长,即可求出BC的长
6. 如图,一个小球由地面沿着坡度i=1:2的坡面向上前进了10m,此时小球距离地面的高度为(  )
 
A.5m   B. m   C.4 m   D.2 m
答案:D
解析:解答: ∵AB=10米,tanA=
 
∴设BC=x,AC=2x,
由勾股定理得,AB2=AC2+BC2,即100=x2+4x2,解得x=2
∴AC=4 ,BC=2 米.
故选D.
分析: 可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长
7. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图,其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,∠ABC=150°,如果顾客乘地铁从点B到点C上升的高度为5m,则电梯BC的长是(  )
 
A.5cm   B.5 cm   C.10m   D. m
答案:C
解析:解答:如图所示:过点C作CE⊥AB延长线于点E,
 
∵∠ABC=150°,
∴∠CBE=30°,
∵从点B到点C上升的高度为5m,
∴电梯BC的长是10m.
故选:C.
分析: 根据直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半,进而得出即可
8. 一斜坡长为 米,高度为1米,那么坡比为(  )
A.1:3   B.1:   C.1:   D.1:
答案:A
解析:解答: ∵一斜坡长为 米,高度为1米,
∴坡的水平宽度为:3m,
∴坡比为: 
故选:A.
分析: 直接利用坡度的定义,坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比,又叫做坡比,进而得出答案
9.如图,一水库大坝的横断面为梯形ABCD,坝顶BC宽6米,坝高20米,斜坡AB的坡度i=1:2.5,斜坡CD的坡角为30度,则坝底AD的长度为(  )
 
A.56米  B.66米  C.(56+20 )米  D.(50 +20 )米
答案:C
解析:解答: 作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为点E,F,则四边形BCFE是矩形,
由题意得,BC=EF=6米,BE=CF=20米,斜坡AB的坡度i为1:2.5,
在Rt△ABE中,
∵ 
∴AE=50米,
在Rt△CFD中,
∵∠D=30°,
∴DF=CFcot∠D=20 米,
∴AD=AE+EF+FD=50+6+20 =(56+20 )米.
故选C.
分析: 过梯形上底的两个顶点向下底引垂线,得到两个直角三角形和一个矩形,利用相应的性质求解即可
10.如图,某水渠的横断面是等腰梯形,已知其斜坡AD和BC的坡度为1:0.6,现测得放水前的水面宽EF为1.2米,当水闸放水后,水渠内水面宽GH为2.1米.求放水后水面上升的高度是(  )
 
A.0.55   B.0.8   C.0.6   D.0.75
答案:D
解析:解答: 如图;过点E作EM⊥GH于点M,
 
∵水渠的横断面是等腰梯形,
∴GM=  ×(GH-EF)=  ×(2.1-1.2)=0.45,
∵斜坡AD的坡度为1:0.6,
∴EM:GM=1:0.6,
∴EM:0.45=1:0.6,
∴EM=0.75,
故选:D.
分析: 先过点E作EM⊥GH于点M,根据水渠的横断面是等腰梯形,求出GM,再根据斜坡AD的坡度为1:0.6,得出EM:GM=1:0.6,最后代入计算即可
11.如图,在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树,要求它们之间的水平距离AC为6m,则这两棵树之间的坡面AB的长为(  )
 
A.12m   B.3 m   C.4 m    D.12 m
答案:C
解析:解答: 如图,∵∠BAC=30°,∠ACB=90°,AC=6m,
∴AB=  (m).
故选C.
分析: AB是Rt△ABC的斜边,这个直角三角形中,已知一边和一锐角,满足解直角三角形的条件,可求出AB的长.
12.如图,市政府准备修建一座高AB=6m的过街天桥,已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为 ,则坡面AC的长度为(  )m.
 
A.10  B.8  C.6  D.6
答案:A
解析:解答: ∵天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为  ,
∴sinC= ,

解得:AC=10,
则坡面AC的长度为10m.
故选:A.
分析: 此题主要考查了解直角三角形的应用,熟练应用锐角三角函数关系是解题关键
13. 拦水坝横断面如图所示,迎水坡AB的坡比是1: ,坝高BC=10m,则坡面AB的长度是(  )
 
A.15m  B.20 m  C.10 m  D.20m
答案:D
解析:解答:Rt△ABC中,BC=10m,tanA=1:

∴AC=BC÷tanA=10 m,
∴AB= =20m.
故选:D.
分析: 在Rt△ABC中,已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值,通过解直角三角形即可求出斜面AB的长.
14.如图,一河坝的横断面为等腰梯形ABCD,坝顶宽10米,坝高12米,斜坡AB的坡度i=1:1.5,则坝底AD的长度为(  )
 
A.26米  B.28米  C.30米  D.46米
答案: D
解析:解答:∵坝高12米,斜坡AB的坡度i=1:1.5,
 
∴AE=1.5BE=18米,
∵BC=10米,
∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米,
故选:D.
分析: 根据坡比求得AE的长,已知CB=10m,即可求得AD.
15.身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝,他们放出的线长分别为300m,250m,200m;线与地面所成的角度分别为30°,45°,60°(假设风筝线是拉直的),则三人所放的风筝(  )
A.甲的最高  B.乙的最低  C.丙的最低  D.乙的最高
答案:D
解析:解答:甲放的高度为:300×sin30°=150米.
乙放的高度为:250×sin45°=125 ≈176.75米.
丙放的高度为:200×sin60°=100 ≈173.2米.
所以乙的最高.
故选D.
分析: 利用所给角的正弦值求出每个小朋友放的风筝高度,比较即可
二、填空题(共5题)
16.如图,某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B,如果AB=2000米,则他实际上升了_____________米.
 
答案: 1000
解析:解答: 过点B作BC⊥水平面于点C,
在Rt△ABC中,
∵AB=2000米,∠A=30°,
∴BC=ABsin30°=2000×  =1000.
故答案为:1000
分析: 过点B作BC⊥水平面于点C,在Rt△ABC中,根据AB=2000米,∠A=30°,求出BC的长度即可
17.如图,在坡度为1:3的山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米,则斜坡上相邻两树间的坡面距离是_________米(结果保留根号)
 
答案: 
解析:解答: 如图,
Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=  ,AC=6,
∴BC=AC•tanA=6×  =2.
根据勾股定理,得:AB= 
= 即斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米.
分析:在由每两棵树构建的直角三角形中,已知了水平宽为6米,根据坡度可求出坡面的铅直高度,进而可根据勾股定理求得坡面长,即相邻两树间的坡面距离.
18.河堤横断面如图所示,堤高BC=6米,迎水坡AB的坡比为1: 则AB的长为_______
 
答案: 12米
解析:解答: ∵Rt△ABC中,BC=6米,迎水坡AB的坡比为1:
∴BC:AC=1:
∴AC= •BC=6 (米),
∴AB=
故答案为12米.
分析: 在Rt△ABC中,根据坡面AB的坡比以及BC的值,求出AC的值,再通过解直角三角形即可求出斜面AB的长
19.如图,当小杰沿坡度i=1:5的坡面由B到A行走了26米时,小杰实际上升高度AC=_________米.(可以用根号表示)
 
答案:
解析:解答:∵坡度i=1:5,
∴AC与BC的比为1:5,
设AC为x,则BC为5x,
∴x2+(5x)2=262,
∵x>0,
∴x=
故答案为:
分析: 由坡度易得AC与BC的比为1:5,设出相应未知数,利用勾股定理可得AC的长度.
20.如图是石景山当代商场地下广场到地面广场的手扶电梯示意图.其中AB、CD分别表示地下广场、地面广场电梯口处的水平线.已知∠ABC=135°,BC的长约是6 m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是_________.
 
答案:6m
解析:解答:作CF⊥AB的延长线于F,∵∠ABC=135°,
 
∴∠CBF=180°-135°=45°,
∴CF=BC•sin45°=6 × =6.
故答案为6.
分析: 作CF⊥AB的延长线于F,求出∠CBF=45°,然后利用三角函数求出CF的长即可.
三、解答题(共5题)
21. 两棵树种在倾角为24°36′的斜坡上,它们的坡面距离是4米,求它们之间的水平距离(可用计算器计算,精确到0.1米)
答案:3.6米.
解析:解答: 由题意得cos24°36′ =0.909,
解得:水平距离≈3.6米.
故答案为:3.6.
分析: 倾角为24°36′,即坡角为24°36′,利用余弦关系可求出它们之间的水平距离.
22.如图所示,一水库迎水坡AB的坡度i=1:2,求坡角α的正弦值sinα
 
答案:
解析:解答:过A作AC⊥BC于C,
∵AB的坡度i=1:3,
∴tanα= 
设AC=x,BC=3x,
根据勾股定理可得:AB=
则sinα=AC  故答案为:
分析:本题考查了坡度坡角的知识,属于基础题,解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的应用及坡角的定义
23.如图,如果某个斜坡AB的长度为10米,且该斜坡最高点A到地面BC的铅垂高度为8米,求该斜坡的坡比
 
答案:
解析:解答:
【解答】解:∵某个斜坡AB的长度为10米,且该斜坡最高点A到地面BC的铅垂高度为8米,∴水平距离BC=  =6(m),
则该斜坡的坡比是:
故答案为:
分析: 直接利用坡度的定义,坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比,又叫做坡比,进而得出答案.
24.如图,斜坡AC的坡度(坡高比水平距离)为1: ,AC=10米.坡顶有一旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连,AB=14米.求旗杆BC的高度
    
答案:6米

  
解析: 解答:延长BC交AD于E点,则CE⊥AD.
 
在Rt△AEC中,AC=10,由坡度为1: ,可知:∠CAE=30°,
∴CE=AC•sin30°=10×  =5,
AE=AC•cos30°=10× =5
在Rt△ABE中,BE=
∵BE=BC+CE,
∴BC=BE-CE=11-5=6(米).
答:旗杆的高度为6米.
故答案为6米.
分析: 如果延长BC交AD于E点,则CE⊥AD,要求旗杆BC的高度,就要知道BE和CE的高度,就要先求出AE的长度.直角三角形ACE中有坡度,由AC的长,那么就可求出AE的长,然后求出BE、CE的高度,根据BC=BE-CE,即可得出结果
25.小明乘滑草车沿坡比为1:2.4的斜坡下滑130米,求他下降的高度
答案:50米
解析:解答:坡比为1:2.4,
 
∴BC:AC=1:2.4,
设BC=x,AC=2.4x,
则AB=
∵AB=130米,
∴x=50,
则BC=x=50(米).
故答案为:50.
分析: 根据斜坡的坡比为1:2.4,可得BC:AC=1:2.4,设BC=x,AC=2.4x,根据勾股定理求出AB,然后根据题意可知AB=130米,求出x的值,继而可求得BC的值.
 

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