2017年灵璧县中考数学一模试卷(带答案和解释)

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2017年灵璧县中考数学一模试卷(带答案和解释)

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莲山 课件 w w
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2017年安徽省宿州市灵璧县中考数学一模试卷
 
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
1.﹣4的倒数是(  )
A.﹣4 B.4 C.﹣  D.
2.若(x+2)(x﹣1)=x2+mx+n,则m+n=(  )
A.1 B.﹣2 C.﹣1 D.2
3.我国计划在2020年左右发射火星探测卫星,据科学研究,火星距离地球的最近距离约为5500万千米,这个数据用科学记数法可表示为(  )
 
A.5.5×106千米 B.5.5×107千米 C.55×106千米 D.0.55×108千米
4.如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是(  )
 
A.  B.  C.  D.
5.分式方程 ﹣ =0的根是(  )
A.﹣1 B.1 C.3 D.0
6.小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是:每户用水不超过5吨,每吨水费x元;超过5吨,超过部分每吨加收2元,小明家今年5月份用水9吨,共交水费为44元,根据题意列出关于x的方程正确的是(  )
A.5x+4(x+2)=44 B.5x+4(x﹣2)=44 C.9(x+2)=44 D.9(x+2)﹣4×2=44
7.下列数据3,2,3,4,5,2,2的中位数是(  )
A.5 B.4 C.3 D.2
8.如图,AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于E、F两点,∠BEF的平分线交CD于点G,若∠EFG=52°,则∠EGF等于(  )
 
A.26° B.64° C.52° D.128°
9.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,BC=4,点P是△ABC边上一动点,沿B→A→C的路径移动,过点P作PD⊥BC于点D,设BD=x,△BDP的面积为y,则下列能大致反映y与x函数关系的图象是(  )
 
A.  B.  C.  D.
10.如图,已知点A(﹣8,0),B(2,0),点C在直线y=﹣ 上,则使△ABC是直角三角形的点C的个数为(  )
 
A.1 B.2 C.3 D.4
 
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
11.不等式组 的解集是  .
12.分解因式:x3﹣2x2+x=  .
13.如图,正十二边形A1A2…A12,连接A3A7,A7A10,则∠A3A7A10=  .
 
14.如图,正方形ABCD的边长为1,AC,BD是对角线.将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH,HG交AB于点E,连接DE交AC于点F,连接FG.则下列结论:
①四边形AEGF是菱形
②△AED≌△GED
③∠DFG=112.5°
④BC+FG=1.5
其中正确的结论是  .
 
 
三、解答题(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.计算:|﹣3|+ tan30°﹣ ﹣0.
16.先化简,再求值:( ﹣x﹣1)÷ ,选一个你喜欢的数代入求值.
 
四、解答题(本小题共2小题,每小题8分,共16分)
17.如图,在平面直角坐标系中,直角△ABC的三个顶点分别是:A(﹣3,1),B(0,3),C(0,1)
(1)将△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°,画出旋转后对应的△A1B1C1;
(2)分别连结AB1,BA1后,求四边形ABA1B1的面积.
 
18.观察下列关于自然数的等式:
(1)32﹣4×12=5    (1)
(2)52﹣4×22=9    (2)
(3)72﹣4×32=13     (3)

根据上述规律解决下列问题:
(1)完成第五个等式:112﹣4×  2=  ;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性.
 
五、解答题(本大题共2小题,每小题10分,共20分)
19.南沙群岛是我国固有领土,现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业,当渔船航行至B处时,测得该岛位于正北方向20(1+ )海里的C处,为了防止某国海巡警干扰,就请求我A处的渔监船前往C处护航,已知C位于A处的北偏东45°方向上,A位于B的北偏西30°的方向上,求A、C之间的距离.
 
20.已知,如图,一次函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数y= (n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点C.CD⊥x轴,垂足为D,若OB=2OA=3OD=6.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)求两函数图象的另一个交点坐标;
(3)直接写出不等式;kx+b≤ 的解集.
 
 
六、解答题(本题满分12分)
21.某校在践行“社会主义核心价值观”演讲比赛中,对名列前20名的选手的综合分数m进行分组统计,结果如表所示:
组号  分组  频数
一 6≤m<7 2
二 7≤m<8 7
三 8≤m<9 a
四 9≤m≤10 2
(1)求a的值;
(2)若用扇形图来描述,求分数在8≤m<9内所对应的扇形图的圆心角大小;
(3)将在第一组内的两名选手记为:A1、A2,在第四组内的两名选手记为:B1、B2,从第一组和第四组中随机选取2名选手进行调研座谈,求第一组至少有1名选手被选中的概率(用树状图或列表法列出所有可能结果).
 
 
七、解答题(本题满分12分)
22.如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心,经过A,C两点且与BC边交于点E,点D为CE的下半圆弧的中点,连接AD交线段EO于点F,若AB=BF.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若CF=4,DF= ,求⊙O的半径r及sinB.
 
 
八、解答题(本题满分14分)
23.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点,点A的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,﹣3),动点P在抛物线上.
 
(1)b=  ,c=  ,点B的坐标为  ;(直接填写结果)
(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.
 
 

2017年安徽省宿州市灵璧县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
1.﹣4的倒数是(  )
A.﹣4 B.4 C.﹣  D.
【考点】倒数.
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数,可得一个数的倒数.
【解答】解:﹣4的倒数是﹣ ,
故选:C.
 
2.若(x+2)(x﹣1)=x2+mx+n,则m+n=(  )
A.1 B.﹣2 C.﹣1 D.2
【考点】多项式乘多项式.
【分析】依据多项式乘以多项式的法则,进行计算,然后对照各项的系数即可求出m,n的值.
【解答】解:∵原式=x2+x﹣2=x2+mx+n,
∴m=1,n=﹣2.
∴m+n=1﹣2=﹣1.
故选:C.
 
3.我国计划在2020年左右发射火星探测卫星,据科学研究,火星距离地球的最近距离约为5500万千米,这个数据用科学记数法可表示为(  )
 
A.5.5×106千米 B.5.5×107千米 C.55×106千米 D.0.55×108千米
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式.其中1≤|a|<10,n为整数,确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:5500万=5.5×107.
故选:B.
 
4.如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是(  )
 
A.  B.  C.  D.
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.
【解答】解:从正面看易得第一层有2个正方形,第二层左边有一个正方形,第三层左边有一个正方形.
故选A.
 
5.分式方程 ﹣ =0的根是(  )
A.﹣1 B.1 C.3 D.0
【考点】解分式方程.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
【解答】解:去分母得:4x﹣x+3=0,
解得:x=﹣1,
经检验x=﹣1是分式方程的解,
故选A
 
6.小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是:每户用水不超过5吨,每吨水费x元;超过5吨,超过部分每吨加收2元,小明家今年5月份用水9吨,共交水费为44元,根据题意列出关于x的方程正确的是(  )
A.5x+4(x+2)=44 B.5x+4(x﹣2)=44 C.9(x+2)=44 D.9(x+2)﹣4×2=44
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程.
【分析】根据题意可以列出相应的方程,从而可以解答本题.
【解答】解:由题意可得,
5x+(9﹣5)(x+2)=5x+4(x+2)=44,
故选A.
 
7.下列数据3,2,3,4,5,2,2的中位数是(  )
A.5 B.4 C.3 D.2
【考点】中位数.
【分析】求中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数.
【解答】解:题目中数据共有7个,把数据按从小到大的顺序排列为2,2,2,3,3,4,5,
故中位数是按从小到大排列后第4个数是3,
故这组数据的中位数是3.
故选C.
 
8.如图,AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于E、F两点,∠BEF的平分线交CD于点G,若∠EFG=52°,则∠EGF等于(  )
 
A.26° B.64° C.52° D.128°
【考点】平行线的性质.
【分析】根据平行线及角平分线的性质解答.
【解答】解:∵AB∥CD,
∴∠BEF+∠EFG=180°,
∴∠BEF=180°﹣52°=128°;
∵EG平分∠BEF,
∴∠BEG=64°;
∴∠EGF=∠BEG=64°(内错角相等).
故选:B.
 
9.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,BC=4,点P是△ABC边上一动点,沿B→A→C的路径移动,过点P作PD⊥BC于点D,设BD=x,△BDP的面积为y,则下列能大致反映y与x函数关系的图象是(  )
 
A.  B.  C.  D.
【考点】动点问题的函数图象.
【分析】过A点作AH⊥BC于H,利用等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°,BH=CH=AH= BC=2,分类讨论:当0≤x≤2时,如图1,易得PD=BD=x,根据三角形面积公式得到y= x2;当2<x≤4时,如图2,易得PD=CD=4﹣x,根据三角形面积公式得到y=﹣ x2+2x,于是可判断当0≤x≤2时,y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分,当2<x≤4时,y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分,然后利用此特征可对四个选项进行判断.
【解答】解:过A点作AH⊥BC于H,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=45°,BH=CH=AH= BC=2,
当0≤x≤2时,如图1,
 
∵∠B=45°,
∴PD=BD=x,
∴y= •x•x= x2;
当2<x≤4时,如图2,
 
∵∠C=45°,
∴PD=CD=4﹣x,
∴y= •(4﹣x)•x=﹣ x2+2x,
故选B
 
10.如图,已知点A(﹣8,0),B(2,0),点C在直线y=﹣ 上,则使△ABC是直角三角形的点C的个数为(  )
 
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】一次函数图象上点的坐标特征;勾股定理的逆定理.
【分析】根据∠A为直角,∠B为直角与∠C为直角三种情况进行分析.
【解答】解:如图,
 
①当∠A为直角时,过点A作垂线与直线的交点W(﹣8,10),
②当∠B为直角时,过点B作垂线与直线的交点S(2,2.5),
③若∠C为直角
则点C在以线段AB为直径、AB中点E(﹣3,0)为圆心的圆与直线y=﹣ 的交点上.
过点E作x轴的垂线与直线的交点为F(﹣3, ),则EF=
∵直线y=﹣ 与x轴的交点M为( ,0),
∴EM= ,FM= =
∵E到直线y=﹣ 的距离d= =5
∴以线段AB为直径、E(﹣3,0)为圆心的圆与直线y=﹣ 恰好有一个交点.
所以直线y=﹣ 上有一点C满足∠C=90°.
综上所述,使△ABC是直角三角形的点C的个数为3,
故选:C.
 
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
11.不等式组 的解集是 x<1 .
【考点】解一元一次不等式组.
【分析】首先解每个不等式,两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集.
【解答】解: ,
解①得x< ,
解②得x<1,
则不等式组的解集是x<1.
故答案是:x<1.
 
12.分解因式:x3﹣2x2+x= x(x﹣1)2 .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】首先提取公因式x,进而利用完全平方公式分解因式即可.
【解答】解:x3﹣2x2+x=x(x2﹣2x+1)=x(x﹣1)2.
故答案为:x(x﹣1)2.
 
13.如图,正十二边形A1A2…A12,连接A3A7,A7A10,则∠A3A7A10= 75° .
 
【考点】多边形内角与外角.
【分析】如图,作辅助线,首先证得 = ⊙O的周长,进而求得∠A3OA10= =150°,运用圆周角定理问题即可解决.
【解答】解:设该正十二边形的中心为O,如图,连接A10O和A3O,
由题意知,  = ⊙O的周长,
∴∠A3OA10= =150°,
∴∠A3A7A10=75°,
故答案为:75°.
 
 
14.如图,正方形ABCD的边长为1,AC,BD是对角线.将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH,HG交AB于点E,连接DE交AC于点F,连接FG.则下列结论:
①四边形AEGF是菱形
②△AED≌△GED
③∠DFG=112.5°
④BC+FG=1.5
其中正确的结论是 ①②③ .
 
【考点】旋转的性质;全等三角形的判定;菱形的判定;正方形的性质.
【分析】首先证明△ADE≌△GDE,再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度数,推出AE=EG=FG=AF,由此可以一一判断.
【解答】证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC=BC=AB,∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°,∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°,
∵△DHG是由△DBC旋转得到,
∴DG=DC=AD,∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°,
在RT△ADE和RT△GDE中,
 ,
∴AED≌△GED,故②正确,
∴∠ADE=∠EDG=22.5°,AE=EG,
∴∠AED=∠AFE=67.5°,
∴AE=AF,同理△AEF≌△GEF,可得EG=GF,
∴AE=EG=GF=FA,
∴四边形AEGF是菱形,故①正确,
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°,故③正确.
∵AE=FG=EG=BG,BE= AE,
∴BE>AE,
∴AE< ,
∴CB+FG<1.5,故④错误.
故答案为①②③.
 
 
三、解答题(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.计算:|﹣3|+ tan30°﹣ ﹣0.
【考点】实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】根据实数的运算方法,零指数幂的求法,以及特殊角的三角函数值,求出|﹣3|+ tan30°﹣ ﹣0的值是多少即可.
【解答】解:|﹣3|+ tan30°﹣ ﹣0
=3+ × ﹣2 ﹣1
=3+1﹣2 ﹣1
=3﹣2
 
16.先化简,再求值:( ﹣x﹣1)÷ ,选一个你喜欢的数代入求值.
【考点】分式的化简求值.
【分析】首先把括号内的分式约分,然后通分相加,把除法转化为乘法,计算乘法即可化简,然后化简x的值,代入求解即可.
【解答】解:原式=[ ﹣(x+1)]•
=[ ﹣(x+1)]•
= •
=1﹣(x﹣1)
=2﹣x.
当x=0时,原式=2.
 
四、解答题(本小题共2小题,每小题8分,共16分)
17.如图,在平面直角坐标系中,直角△ABC的三个顶点分别是:A(﹣3,1),B(0,3),C(0,1)
(1)将△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°,画出旋转后对应的△A1B1C1;
(2)分别连结AB1,BA1后,求四边形ABA1B1的面积.
 
【考点】作图﹣旋转变换;扇形面积的计算.
【分析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1,从而得到△A1B1C1;
(3)利用两个梯形的面积和减去一个三角形的面积计算四边形ABA1B1的面积.
【解答】解:(1)如图,△A1B1C1为所作;
 
(2)如图,四边形ABA1B1的面积= (1+3)×3+ ×(1+3)×3﹣ ×1×6=9.
 
18.观察下列关于自然数的等式:
(1)32﹣4×12=5    (1)
(2)52﹣4×22=9    (2)
(3)72﹣4×32=13     (3)

根据上述规律解决下列问题:
(1)完成第五个等式:112﹣4× 5 2= 21 ;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性.
【考点】整式的混合运算;规律型:数字的变化类.
【分析】(1)根据前三个找出规律,写出第五个等式;
(2)用字母表示变化规律,根据完全平方公式计算,即可证明.
【解答】解:(1)112﹣4×52=21,
故答案为:5;21;
(2)第n个等式为:(2n+1)2﹣4n2=4n+1,
证明:(2n+1)2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1.
 
五、解答题(本大题共2小题,每小题10分,共20分)
19.南沙群岛是我国固有领土,现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业,当渔船航行至B处时,测得该岛位于正北方向20(1+ )海里的C处,为了防止某国海巡警干扰,就请求我A处的渔监船前往C处护航,已知C位于A处的北偏东45°方向上,A位于B的北偏西30°的方向上,求A、C之间的距离.
 
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题.
【分析】作AD⊥BC,垂足为D,设CD=x,利用解直角三角形的知识,可得出AD,继而可得出BD,结合题意BC=CD+BD可得出方程,解出x的值后即可得出答案.
【解答】解:如图,作AD⊥BC,垂足为D,
由题意得,∠ACD=45°,∠ABD=30°.
设CD=x,在Rt△ACD中,可得AD=x,
在Rt△ABD中,可得BD= x,
又∵BC=20(1+ ),CD+BD=BC,
即x+ x=20(1+ ),
解得:x=20,
∴AC= x=20 (海里).
答:A、C之间的距离为20 海里.
 
 
20.已知,如图,一次函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数y= (n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点C.CD⊥x轴,垂足为D,若OB=2OA=3OD=6.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)求两函数图象的另一个交点坐标;
(3)直接写出不等式;kx+b≤ 的解集.
 
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)先求出A、B、C坐标,再利用待定系数法确定函数解析式.
(2)两个函数的解析式作为方程组,解方程组即可解决问题.
(3)根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方,即可解决问题,注意等号.
【解答】解:(1)∵OB=2OA=3OD=6,
∴OB=6,OA=3,OD=2,
∵CD⊥OA,
∴DC∥OB,
∴ = ,
∴ = ,
∴CD=10,
∴点C坐标(﹣2,10),B(0,6),A(3,0),
∴ 解得 ,
∴一次函数为y=﹣2x+6.
∵反比例函数y= 经过点C(﹣2,10),
∴n=﹣20,
∴反比例函数解析式为y=﹣ .
(2)由 解得 或 ,
故另一个交点坐标为(5,﹣4).
(3)由图象可知kx+b≤ 的解集:﹣2≤x<0或x≥5.
 
 
六、解答题(本题满分12分)
21.某校在践行“社会主义核心价值观”演讲比赛中,对名列前20名的选手的综合分数m进行分组统计,结果如表所示:
组号  分组  频数
一 6≤m<7 2
二 7≤m<8 7
三 8≤m<9 a
四 9≤m≤10 2
(1)求a的值;
(2)若用扇形图来描述,求分数在8≤m<9内所对应的扇形图的圆心角大小;
(3)将在第一组内的两名选手记为:A1、A2,在第四组内的两名选手记为:B1、B2,从第一组和第四组中随机选取2名选手进行调研座谈,求第一组至少有1名选手被选中的概率(用树状图或列表法列出所有可能结果).
 
【考点】列表法与树状图法;频数(率)分布表;扇形统计图.
【分析】(1)根据被调查人数为20和表格中的数据可以求得a的值;
(2)根据表格中的数据可以得到分数在8≤m<9内所对应的扇形图的圆心角大;
(3)根据题意可以写出所有的可能性,从而可以得到第一组至少有1名选手被选中的概率.
【解答】解:(1)由题意可得,
a=20﹣2﹣7﹣2=9,
即a的值是9;
(2)由题意可得,
分数在8≤m<9内所对应的扇形图的圆心角为:360°× =162°;
(3)由题意可得,所有的可能性如下图所示,
 
故第一组至少有1名选手被选中的概率是:  = ,
即第一组至少有1名选手被选中的概率是 .
 
七、解答题(本题满分12分)
22.如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心,经过A,C两点且与BC边交于点E,点D为CE的下半圆弧的中点,连接AD交线段EO于点F,若AB=BF.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若CF=4,DF= ,求⊙O的半径r及sinB.
 
【考点】切线的判定.
【分析】(1)连接OA、OD,如图,根据垂径定理得OD⊥BC,则∠D+∠OFD=90°,再由AB=BF,OA=OD得到∠BAF=∠BFA,∠OAD=∠D,加上∠BFA=∠OFD,所以∠OAD+∠BAF=90°,则OA⊥AB,然后根据切线的判定定理即可得到AB是⊙O切线;
(2)先表示出OF=4﹣r,OD=r,在Rt△DOF中利用勾股定理得r2+(4﹣r)2=( )2,解方程得到r的值,那么OA=3,OF=CF﹣OC=4﹣3=1,BO=BF+FO=AB+1.
然后在Rt△AOB中利用勾股定理得AB2+OA2=OB2,即AB2+32=(AB+1)2,解方程得到AB=4的值,再根据三角函数定义求出sinB.
【解答】(1)证明:连接OA、OD,如图,
∵点D为CE的下半圆弧的中点,
∴OD⊥BC,
∴∠EOD=90°,
∵AB=BF,OA=OD,
∴∠BAF=∠BFA,∠OAD=∠D,
而∠BFA=∠OFD,
∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°,即∠OAB=90°,
∴OA⊥AB,
∴AB是⊙O切线;

(2)解:OF=CF﹣OC=4﹣r,OD=r,DF= ,
在Rt△DOF中,OD2+OF2=DF2,即r2+(4﹣r)2=( )2,
解得r1=3,r2=1(舍去);
∴半径r=3,
∴OA=3,OF=CF﹣OC=4﹣3=1,BO=BF+FO=AB+1.
在Rt△AOB中,AB2+OA2=OB2,
∴AB2+32=(AB+1)2,
∴AB=4,OB=5,
∴sinB= = .
 
 
八、解答题(本题满分14分)
23.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点,点A的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,﹣3),动点P在抛物线上.
 
(1)b= ﹣2 ,c= ﹣3 ,点B的坐标为 (﹣1,0) ;(直接填写结果)
(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值,然后令y=0可求得点B的坐标;
(2)分别过点C和点A作AC的垂线,将抛物线与P1,P2两点先求得AC的解析式,然后可求得P1C和P2A的解析式,最后再求得P1C和P2A与抛物线的交点坐标即可;
(3)连接OD.先证明四边形OEDF为矩形,从而得到OD=EF,然后根据垂线段最短可求得点D的纵坐标,从而得到点P的纵坐标,然后由抛物线的解析式可求得点P的坐标.
【解答】解:(1)∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得: ,解得:b=﹣2,c=﹣3.
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3.
∵令x2﹣2x﹣3=0,解得:x1=﹣1,x2=3.
∴点B的坐标为(﹣1,0).
故答案为:﹣2;﹣3;(﹣1,0).
(2)存在.
理由:如图所示:
 
①当∠ACP1=90°.
由(1)可知点A的坐标为(3,0).
设AC的解析式为y=kx﹣3.
∵将点A的坐标代入得3k﹣3=0,解得k=1,
∴直线AC的解析式为y=x﹣3.
∴直线CP1的解析式为y=﹣x﹣3.
∵将y=﹣x﹣3与y=x2﹣2x﹣3联立解得x1=1,x2=0(舍去),
∴点P1的坐标为(1,﹣4).
②当∠P2AC=90°时.
设AP2的解析式为y=﹣x+b.
∵将x=3,y=0代入得:﹣3+b=0,解得b=3.
∴直线AP2的解析式为y=﹣x+3.
∵将y=﹣x+3与y=x2﹣2x﹣3联立解得x1=﹣2,x2=3(舍去),
∴点P2的坐标为(﹣2,5).
综上所述,P的坐标是(1,﹣4)或(﹣2,5).
(3)如图2所示:连接OD.
 
由题意可知,四边形OFDE是矩形,则OD=EF.
根据垂线段最短,可得当OD⊥AC时,OD最短,即EF最短.
由(1)可知,在Rt△AOC中,
∵OC=OA=3,OD⊥AC,
∴D是AC的中点.
又∵DF∥OC,
∴ .
∴点P的纵坐标是 .
∴ ,解得: .
∴当EF最短时,点P的坐标是:( , )或( , ).

2017年3月23日

文 章来源
莲山 课件 w w
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