2016年中考数学试卷圆的有关性质分类汇编解析

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2016年中考数学试卷圆的有关性质分类汇编解析

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圆的有关性质
一、选择题
1. (2016兰州,7,4分)如图,在⊙O中,点 C 是  的中点,∠A=50º ,则∠BOC=()。
(A)40º (B)45º (C)50º (D)60º
 
【答案】A
【解析】在△OAB中,OA=OB,所以∠A=∠B=50º 。根据垂径定理的推论,OC 平分弦 AB所对的弧,所以 OC 垂直平分弦 AB,即∠BOC=90º− ∠B=40º ,所以答案选 A。
【考点】垂径定理及其推论
2. (2016兰州,10,4分)如图,四边形 ABCD 内接于 ⊙ O, 四边形 ABCO 是 平行四边形,则 ∠ ADC= ()
(A)45º                       (B) 50º
(C) 60º                         (D) 75º
 
【答案】:C
【解析】:连接 OB,则∠OAB=∠OBA, ∠OCB=∠OBC
∵四边形 ABCO 是平行四边形,则∠OAB=∠OBC
∴∠ABC=∠OAB+∠OBC=∠AOC
∴∠ABC=∠AOC=120º
∴∠OAB=∠OCB=60º
连接 OD,则∠OAD=∠ODC,∠OCD=∠ODC
由四边形的内角和等于 360º 可知,
∠ADC=360º -∠OAB-∠ABC-∠OCB-∠OAD-∠OCD
∴∠ADC=60º
【考点】:圆内接四边形
3. (2016•四川自贡)如图,⊙O中,弦AB与CD交于点M,∠A=45°,∠AMD=75°,则∠B的度数是(  )
 
A.15° B.25° C.30° D.75°
【考点】圆周角定理;三角形的外角性质.
【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数,再由圆周角定理可求∠B的度数.
【解答】解:∵∠A=45°,∠AMD=75°,
∴∠C=∠AMD﹣∠A=75°﹣45°=30°,
∴∠B=∠C=30°,
故选C.
【点评】本题主要考查了三角形的外角定理,圆周角定理,熟记圆周角定理是解题的关键
4. (2016•四川成都•3分)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠OCA=50°,AB=4,则 的长为(  )
 
A. π B. π C.π D. π
【考点】弧长的计算;圆周角定理.
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数,再利用圆周角定理得出∠BOC的度数,再利用弧长公式求出答案.
【解答】解:∵∠OCA=50°,OA=OC,
∴∠A=50°,
∴∠BOC=100°,
∵AB=4,
∴BO=2,
∴ 的长为:  = π.
故选:B.
5. (2016•四川达州•3分)如图,半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧⊙A优弧上一点,则tan∠OBC为(  )
 
A. B.2  C.  D.
【考点】圆周角定理;锐角三角函数的定义.
【分析】作直径CD,根据勾股定理求出OD,根据正切的定义求出tan∠CDO,根据圆周角定理得到∠OBC=∠CDO,等量代换即可.
【解答】解:作直径CD,
在Rt△OCD中,CD=6,OC=2,
则OD= =4 ,
tan∠CDO= = ,
由圆周角定理得,∠OBC=∠CDO,
则tan∠OBC= ,
故选:C.
 
6. (2016•四川广安•3分)如图,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=4 ,则S阴影=(  )
 
A.2π B.π C.π D.π
【考点】圆周角定理;垂径定理;扇形面积的计算.
【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2 ,然后由圆周角定理知∠DOE=60°,然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度,最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC.
【解答】解:如图,假设线段CD、AB交于点E,
∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,
∴CE=ED=2 ,
又∵∠BCD=30°,
∴∠DOE=2∠BCD=60°,∠ODE=30°,
∴OE=DE•cot60°=2 × =2,OD=2OE=4,
∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC= ﹣OE×DE+BE•CE= ﹣2 +2 = .
故选B.
 
7. (2016•四川乐山•3分)如图4, 、 是以线段 为直径的⊙ 上两点,若 ,且 ,

                 
            
答案:B
解析:∠CAD=∠B=∠D= (180°-40°)=70°,
又AB为直径,所以,∠CAB=90°-70°=20°,

8. (2016•四川凉山州•4分)已知,一元二次方程x2﹣8x+15=0的两根分别是⊙O1和⊙O2的半径,当⊙O1和⊙O2相切时,O1O2的长度是(  )
A.2 B.8 C.2或8 D.2<O2O2<8
【考点】圆与圆的位置关系;根与系数的关系.
【分析】先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径,再分两圆外切和两圆内切两种情况讨论求解.
【解答】解:∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程x2﹣8x+15=0的两根,
解得⊙O1、⊙O2的半径分别是3和5.
∴①当两圆外切时,圆心距O1O2=3+5=8;
②当两圆内切时,圆心距O1O2=5﹣2=2.
故选C.
9.(2016•浙江省舟山)把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,则 的度数是(  )
 
A.120° B.135° C.150° D.165°
【考点】圆心角、弧、弦的关系;翻折变换(折叠问题).
【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°,再利用弧度与圆心角的关系得出答案.
【解答】解:如图所示:连接BO,过点O作OE⊥AB于点E,
由题意可得:EO=BO,AB∥DC,
可得∠EBO=30°,
故∠BOD=30°,
则∠BOC=150°,
故 的度数是150°.
故选:C.
 
10.(2016•广东茂名)如图,A、B、C是⊙O上的三点,∠B=75°,则∠AOC的度数是(  )
 
A.150° B.140° C.130° D.120°
【考点】圆周角定理.
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论.
【解答】解:∵A、B、C是⊙O上的三点,∠B=75°,
∴∠AOC=2∠B=150°.
故选A.
【点评】本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.
11. (2016年浙江省丽水市)如图,已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆,点D是 上一点,BD交AC于点E,若BC=4,AD=,则AE的长是(  )
 
A.3 B.2 C.1 D.1.2
【考点】三角形的外接圆与外心.
【分析】利用圆周角性质和等腰三角形性质,确定AB为圆的直径,利用相似三角形的判定及性质,确定△ADE和△BCE边长之间的关系,利用相似比求出线段AE的长度即可.
【解答】解:∵等腰Rt△ABC,BC=4,
∴AB为⊙O的直径,AC=4,AB=4 ,
∴∠D=90°,
在Rt△ABD中,AD=,AB=4 ,
∴BD= ,
∵∠D=∠C,∠DAC=∠CBE,
∴△ADE∽△BCE,
∵AD:BC=:4=1:5,
∴相似比为1:5,
设AE=x,
∴BE=5x,
∴DE= ﹣5x,
∴CE=28﹣25x,
∵AC=4,
∴x+28﹣25x=4,
解得:x=1.
故选:C.
12.(2016•山东烟台)如图,○O的半径为1,AD,BC是⊙O的两条互相垂直的直径,点P从点O出发(P点与O点不重合),沿O→C→D的路线运动,设AP=x,sin∠APB=y,那么y与x之间的关系图象大致是(  )
 
A.  B.  C.  D.
【考点】动点问题的函数图象.
【分析】根据题意确定出y与x的关系式,即可确定出图象.
【解答】解:根据题意得:sin∠APB= ,
∵OA=1,AP=x,sin∠APB=y,
∴xy=1,即y=(1<x<2),
图象为: ,
故选B.
13.(2016山东省聊城市,3分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,F是 上一点,且 = ,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC.若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度数为(  )
 
A.45° B.50° C.55° D.60°
【考点】圆内接四边形的性质;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理.
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数,再由圆周角定理得出∠DCE的度数,根据三角形外角的性质即可得出结论.
【解答】解:∵四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=105°,
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°.
∵ = ,∠BAC=25°,
∴∠DCE=∠BAC=25°,
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°.
故选B.
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质,熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键.
14.(2016.山东省泰安市,3分)如图,点A、B、C是圆O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交圆O于点F,则∠BAF等于(  )   
    
A.12.5° B.15° C.20° D.22.5°
【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形,根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF=∠AOF=30°,根据圆周角定理计算即可.   
【解答】解:连接OB,   
∵四边形ABCO是平行四边形,   
∴OC=AB,又OA=OB=OC,   
∴OA=OB=AB,   
∴△AOB为等边三角形,   
∵OF⊥OC,OC∥AB,   
∴OF⊥AB,   
∴∠BOF=∠AOF=30°,   
由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°,   
故选:B.   
    
【点评】本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用,掌握同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键.   
15.(2016.山东省泰安市,3分)如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,∠B=30°,CE平分∠ACB交⊙O于E,交AB于点D,连接AE,则S△ADE:S△CDB的值等于(  )   
    
A.1:  B.1:  C.1:2 D.2:3
【分析】由AB是⊙O的直径,得到∠ACB=90°,根据已知条件得到 ,根据三角形的角平分线定理得到 = ,求出AD= AB,BD= AB,过C作CE⊥AB于E,连接OE,由CE平分∠ACB交⊙O于E,得到OE⊥AB,求出OE=AB,CE= AB,根据三角形的面积公式即可得到结论.   
【解答】解:∵AB是⊙O的直径,   
∴∠ACB=90°,   
∵∠B=30°,   
∴ ,   
∵CE平分∠ACB交⊙O于E,   
∴ = ,   
∴AD= AB,BD= AB,   
过C作CE⊥AB于E,连接OE,   
∵CE平分∠ACB交⊙O于E,   
∴ = ,   
∴OE⊥AB,   
∴OE=AB,CE= AB,   
∴S△ADE:S△CDB=(ADOE):(BDCE)=( ):( )=2:3.   
故选D.   
    
【点评】本题考查了圆周角定理,三角形的角平分线定理,三角形的面积的计算,直角三角形的性质,正确作出辅助线是解题的关键.

二、填空题
1.(2016•黑龙江大庆)如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=10 ,一圆弧过点B和点C,且与AD相切,则图中阴影部分面积为 75 ﹣  .
 
【考点】扇形面积的计算;矩形的性质;切线的性质.
【分析】设圆的半径为x,根据勾股定理求出x,根据扇形的面积公式、阴影部分面积为:矩形ABCD的面积﹣(扇形BOCE的面积﹣△BOC的面积)进行计算即可.
【解答】解:设圆弧的圆心为O,与AD切于E,
连接OE交BC于F,连接OB、OC,
设圆的半径为x,则OF=x﹣5,
由勾股定理得,OB2=OF2+BF2,
即x2=(x﹣5)2+(5 )2,
解得,x=5,
则∠BOF=60°,∠BOC=120°,
则阴影部分面积为:矩形ABCD的面积﹣(扇形BOCE的面积﹣△BOC的面积)
=10 ×5﹣ + ×10 ×5
=75 ﹣ ,
故答案为:75 ﹣ .
 
【点评】本题考查的是扇形面积的计算,掌握矩形的性质、切线的性质和扇形的面积公式S= 是解题的关键.
2.(2016•湖北鄂州)如图,AB=6,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=120°,P是直线l上一点。当△APB为直角三角形时,AP=        .
【考点】外接圆,切线,直角三角形的判定,勾股定理,三角函数,分类讨论思想.
【分析】确定P点在直线l上的位置是解决本题的关键。要使△APB为直角三角形,我们就联想到以AB为直径的外接圆,但AB也有可能为直角边,所以要分类讨论。我们将满足条件的P逐一画在图上。如图,P1,P2在以O为圆心的外接圆上,P1,P2在⊙O的切线上,再根据题目的已知条件逐一解答即可。

 

 

 

 

 

 

 

【解答】解:分类讨论如下:
(1)在Rt△A P1B中,∵∠1=120°,O P1=OB,
∴∠O B P1 =∠O P1B=30°,
∴AP1 = AB= ×6=3;
(2)在Rt△A P2B中,∵∠1=120°,O P2=OB,
∴∠P2 B O =∠O P2B=60°,
∴AP2 = AB=cos∠O B P2×6= ×6=3 ;
(3)P3B为以B为切点的⊙O的切线,
∵∠1=120°,O P2=OB,
∴∠P2 B O =∠O P2B=60°,
∴∠P3O B=60°,
在Rt△O P3B中,∴BP3 =tan∠P3O B×3 = ×3=3 ;
               在Rt△A P3B中,AP3 = = =3 ;
(4)P4B为以A为切点的⊙O的切线,
∵∠1=120°,O P1=OA,
∴∠P1 A O =∠O P1A=60°,
∴∠P4O A=60°,
在Rt△O P4A中,∴AP4 =tan∠P4O A×3 = ×3=3 .
          综上,当△APB为直角三角形时,AP=3,或3 ,或3 .
故答案为:3或3 或3 .
【点评】本题考查了外接圆,切线,直角三角形的判定,勾股定理,三角函数,分类讨论思想.注意分类讨论思想的运用;本题难度虽然不大,但容易遗漏. 四种情况中,有两种情况的结果相同。
3. (2016•湖北黄冈)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠AOB=70°,AB=AC,则∠ABC=_______________.

 

 


(第11题)
【考点】圆心角、圆周角、等腰三角形的性质及判定.
【分析】根据同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半,可得出∠C= ∠AOB=35°,再根据AB=AC,可得出∠ABC=∠C,从而得出答案.
【解答】解:∵⊙O是△ABC的外接圆,
∴∠C= ∠AOB=35°(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半);
又∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C =35°.
故答案为:35°.
4. (2016•湖北咸宁)如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接BD、BE、CE,若∠CBD=32°,则∠BEC的度数为_____________.

 

 

 

 

 

【考点】三角形的内心,三角形的外接圆,圆周角定理,三角形内角和定理,三角形外角性质.
【分析】根据E是△ABC的内心,可知AE平分∠BAC, BE平分∠ABD,CE平分∠ACB,
再根据圆周角定理,得出∠CAD=∠CBD=32°,然后根据三角形内角和定理,得出∠ABC+∠ACB的度数,再根据三角形外角性质,得出∠BEC的度数.
【解答】解:∵E是△ABC的内心,
∴AE平分∠BAC
同理BE平分∠ABD,CE平分∠ACB,
∵∠CBD=32°,
∴∠CAD=∠CBD=32°,
∴∠BAC=2∠CBD=64°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-64°=116°,
∴∠ABE+∠ACE= ×116°=58°,
∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE=64°+58°=122°.
故答案为:122°.
【点评】本题考查了三角形的内心,三角形的外接圆,圆周角定理,三角形内角和定理,三角形外角性质.熟知三角形的内心(三角形的三条角平分线交于一点,该点即为三角形的内心)和根据圆周角定理得出角的数量关系是解题的关键. 内心是三角形角平分线交点的原理:经圆外一点作圆的两条切线,这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理:角平分线上点到角两边距离相等)。内心定理:三角形的三个内角的角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心.
5. (2016•四川成都•5分)如图,△ABC内接于⊙O,AH⊥BC于点H,若AC=24,AH=18,⊙O的半径OC=13,则AB=   .
 
【考点】三角形的外接圆与外心.
【分析】首先作直径AE,连接CE,易证得△ABH∽△AEC,然后由相似三角形的对应边成比例,即可求得⊙O半径.
【解答】解:作直径AE,连接CE,
∴∠ACE=90°,
∵AH⊥BC,
∴∠AHB=90°,
∴∠ACE=∠ADB,
∵∠B=∠E,
∴△ABH∽△AEC,
∴ = ,
∴AB= ,
∵AC=24,AH=18,AE=2OC=26,
∴AB= = ,
故答案为: .
 
6. (2016吉林长春,13,3分)如图,在⊙O中,AB是弦,C是 上一点.若∠OAB=25°,∠OCA=40°,则∠BOC的大小为 30 度.
 
【考点】圆周角定理.
【分析】由∠BAO=25°,利用等腰三角形的性质,可求得∠AOB的度数,又由∠OCA=40°,可求得∠CAO的度数,继而求得∠AOC的度数,则可求得答案.
【解答】解:∵∠BAO=25°,OA=OB,
∴∠B=∠BAO=25°,
∴∠AOB=180°﹣∠BAO﹣∠B=130°,
∵∠ACO=40°,OA=OC,
∴∠C=∠CAO=40°,
∴∠AOC=180°﹣∠CAO﹣∠C=100°,
∴∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=30°.
故答案为30°.
【点评】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质.注意利用等腰三角形的性质求解是关键.
7. (2016年浙江省台州市)如图,△ABC的外接圆O的半径为2,∠C=40°,则 的长是 π .
 
【考点】三角形的外接圆与外心;弧长的计算.
【分析】由圆周角定理求出∠AOB的度数,再根据弧长公式:l= (弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为R)即可求解.
【解答】解:∵∠C=40°,
∴∠AOB=80°.
∴ 的长是 = .
8.(2016•四川巴中)如图,∠A是⊙O的圆周角,∠OBC=55°,则∠A= 35° .
 
【考点】圆周角定理.
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BOC的度数,根据圆周角定理计算即可.
【解答】解:∵OB=OC,∠OBC=55°,
∴∠OCB=55°,
∴∠BOC=180°﹣55°﹣55°=70°,
由圆周角定理得,∠A=∠BOC=35°,
故答案为:35°.
9.(2016.山东省青岛市,3分)如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的两点,若∠BCD=28°,则∠ABD= 62 °.
 
【考点】圆周角定理.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°,求出∠BCD,根据圆周角定理解答即可.
【解答】解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠BCD=28°,
∴∠ACD=62°,
由圆周角定理得,∠ABD=∠ACD=62°,
故答案为:62.
10.(2016•江苏连云港)如图,⊙P的半径为5,A、B是圆上任意两点,且AB=6,以AB为边作正方形ABCD(点D、P在直线AB两侧).若AB边绕点P旋转一周,则CD边扫过的面积为 9π .   
    
【分析】连接PA、PD,过点P作PE垂直AB于点E,延长AE交CD于点F,根据垂径定理可得出AE=BE=AB,利用勾股定理即可求出PE的长度,再根据平行线的性质结合正方形的性质即可得出EF=BC=AB,DF=AE,再通过勾股定理即可求出线段PD的长度,根据边与边的关系可找出PF的长度,分析AB旋转的过程可知CD边扫过的区域为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径的圆环,根据圆环的面积公式即可得出结论.   
【解答】解:连接PA、PD,过点P作PE垂直AB于点E,延长AE交CD于点F,如图所示.   
    
∵AB是⊙P上一弦,且PE⊥AB,   
∴AE=BE=AB=3.   
在Rt△AEP中,AE=3,PA=5,∠AEP=90°,   
∴PE= =4.   
∵四边形ABCD为正方形,   
∴AB∥CD,AB=BC=6,   
又∵PE⊥AB,   
∴PF⊥CD,   
∴EF=BC=6,DF=AE=3,PF=PE+EF=4+6=10.   
在Rt△PFD中,PF=10,DF=3,∠PFE=90°,   
∴PD= = .   
∵若AB边绕点P旋转一周,则CD边扫过的图形为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径的圆环.   
∴S=πPD2﹣πPF2=109π﹣100π=9π.   
故答案为:9π.   
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、平行线的性质以及圆环的面积公式,解题的关键是分析出CD边扫过的区域的形状.本题属于中档题,难度不大,但稍显繁琐,解决该题型题目时,结合AB边的旋转,找出CD边旋转过程中扫过区域的形状是关键.
11. (2016•江苏南京)如图,扇形OAB的圆心角为122°,C是弧AB上一点,则 _____°.
 
答案:119
考点:圆内接四边形内角和定理,圆周角定理。
解析:由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的一半,所以,与∠AOB所对同弧的圆周角度数为 ∠AOB=61°,由圆内接四边形对角互补,得:
∠ACB=180°-61°=119°。
12.(2016•江苏省宿迁)如图,在△ABC中,已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=2,以点C为圆心,CB为半径的圆交AB于点D,则BD的长为 2  .   
    
【分析】如图,作CE⊥AB于E,在RT△BCE中利用30度性质即可求出BE,再根据垂径定理可以求出BD.   
【解答】解:如图,作CE⊥AB于E.   
∵∠B=180°﹣∠A﹣∠ACB=180°﹣20°﹣130°=30°,   
在RT△BCE中,∵∠CEB=90°,∠B=30°,BC=2,   
∴CE=BC=1,BE= CE= ,   
∵CE⊥BD,   
∴DE=EB,   
∴BD=2EB=2 .   
故答案为2 .   
    
【点评】本题考查垂径定理、三角形内角和定理等知识,解题的关键是根据垂径定理添加辅助线,记住直角三角形30度角性质,属于基础题,中考常考题型.   
13.(2016•江苏省扬州如图,⊙O是△ABC的外接圆,直径AD=4,∠ABC=∠DAC,则AC长为 2  .
 
【考点】三角形的外接圆与外心;圆周角定理.
【分析】连接CD,由∠ABC=∠DAC可得 ,得出则AC=CD,又∠ACD=90°,由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得AC的长.
【解答】解:连接CD,如图所示:
∵∠B=∠DAC,
∴ ,
∴AC=CD,
∵AD为直径,
∴∠ACD=90°,
在Rt△ACD中,AD=6,
∴AC=CD= AD= ×4=2 ,
故答案为:2 .
 

三、解答题
1.(2016•黑龙江大庆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M,若H是AC的中点,连接MH.
(1)求证:MH为⊙O的切线.
(2)若MH= ,tan∠ABC= ,求⊙O的半径.
(3)在(2)的条件下分别过点A、B作⊙O的切线,两切线交于点D,AD与⊙O相切于N点,过N点作NQ⊥BC,垂足为E,且交⊙O于Q点,求线段NQ的长度.
 
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)连接OH、OM,易证OH是△ABC的中位线,利用中位线的性质可证明△COH≌△MOH,所以∠HCO=∠HMO=90°,从而可知MH是⊙O的切线;
(2)由切线长定理可知:MH=HC,再由点M是AC的中点可知AC=3,由tan∠ABC= ,所以BC=4,从而可知⊙O的半径为2;
(3)连接CN,AO,CN与AO相交于I,由AC、AN是⊙O的切线可知AO⊥CN,利用等面积可求出可求得CI的长度,设CE为x,然后利用勾股定理可求得CE的长度,利用垂径定理即可求得NQ.
【解答】解:(1)连接OH、OM,
∵H是AC的中点,O是BC的中点,
∴OH是△ABC的中位线,
∴OH∥AB,
∴∠COH=∠ABC,∠MOH=∠OMB,
又∵OB=OM,
∴∠OMB=∠MBO,
∴∠COH=∠MOH,
在△COH与△MOH中,
 ,
∴△COH≌△MOH(SAS),
∴∠HCO=∠HMO=90°,
∴MH是⊙O的切线;

(2)∵MH、AC是⊙O的切线,
∴HC=MH= ,
∴AC=2HC=3,
∵tan∠ABC= ,
∴ = ,
∴BC=4,
∴⊙O的半径为2;

(3)连接OA、CN、ON,OA与CN相交于点I,
∵AC与AN都是⊙O的切线,
∴AC=AN,AO平分∠CAD,
∴AO⊥CN,
∵AC=3,OC=2,
∴由勾股定理可求得:AO= ,
∵ AC•OC= AO•CI,
∴CI= ,
∴由垂径定理可求得:CN= ,
设OE=x,
由勾股定理可得:CN2﹣CE2=ON2﹣OE2,
∴ ﹣(2+x)2=4﹣x2,
∴x= ,
∴CE= ,
由勾股定理可求得:EN= ,
∴由垂径定理可知:NQ=2EN= .
 
 
【点评】本题考查圆的综合问题,涉及垂径定理,勾股定理,全等三角形的判定与性质,切线的判等知识内容,对学生的综合能力要求较高,一定要注意将所学知识贯穿起来.
 
2. (2016•湖北鄂州)(本题满分10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90º,AO是△ABC的角平分线。以O为圆心,OC为半径作⊙O。
(1)(3分)求证:AB是⊙O的切线。
(2)(3分)已知AO交⊙O于点E,延长AO交⊙O于
点D, tanD= ,求 的值。
(3)(4分)在(2)的条件下,设⊙O的半径为3,求
AB的长。                       第2题图
【考点】切线,角平分线,相似三角形的判定与性质,勾股定理,二元一次方程组.
【分析】(1)过O作OF⊥AB于F,由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得证;
(2)连接CE,证明△ACE∽△ADC可得AE/AC=CE/CD=tanD=1/2;
(3)先由勾股定理求得AE的长,再证明△B0F∽△BAC,得BF/BC=BO/BA=0F/AC,设BO=y ,BF=z,列二元一次方程组即可解决问题.
【解答】⑴证明:作OF⊥AB于F                              (1分)

 

 

 

∵AO是∠BAC的角平分线,∠ACB=90º
∴OC=OF                                                (2分)
∴AB是⊙O的切线                                       (3分)
⑵连接CE                                              (1分)

 

 

 

∵AO是∠BAC的角平分线,
∴∠CAE=∠CAD
∵∠ACE所对的弧与∠CDE所对的弧是同弧
∴∠ACE=∠CDE
∴△ACE∽△ADC
∴ =  =tanD=                                (3分)
⑶先在△ACO中,设AE=x,    
由勾股定理得
(x+3)²=(2x) ²+3² ,解得x=2,               (1分)
∵∠BFO=90°=∠ACO
易证Rt△B0F∽Rt△BAC                      (2分)
得BF/BC=BO/BA=0F/AC,
设BO=y   BF=z 
   y/4+z=z/3+y=3/4  即      4z=9+3y
4y=12+3z
解得z=      y=                          (4分)
 ∴AB= +4=                             (5分)
【点评】本题主要考查了切线,角平分线,相似三角形的判定与性质,勾股定理,二元一次方程组. 作OF⊥AB于F是解题的关键.
3. (2016•湖北黄冈)(满分8分) 如图,AB是半圆O的直径,点P是BA延长线上一点,PC是⊙O的切线,切点为C. 过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D,连接BC. 求证:                                                
(1)∠PBC =∠CBD;                              
(2)BC2=AB•BD                            

 

                                                      D
                                              C        

 

                          P              A        O        B
 (第3题)
【考点】切线的性质,相似三角形的判定和性质.
【分析】(1)连接OC,运用切线的性质,可得出∠OCD=90°,从而证明OC∥BD,得到∠CBD=∠OCB,再根据半径相等得出∠OCB=∠PBC,等量代换得到∠PBC =∠CBD.
(2)连接AC. 要得到BC2=AB•BD,需证明△ABC∽△CBD,故从证明∠ACB=∠BDC,∠PBC=∠CBD入手.
【解答】证明:(1)连接OC,
             ∵PC是⊙O的切线,
            ∴∠OCD=90°. ……………………………………………1分
           又∵BD⊥PC
∴∠BDP=90°
∴OC∥BD.
∴∠CBD=∠OCB.
∴OB=OC .
∴∠OCB=∠PBC.
∴∠PBC=∠CBD. ………………………………………..4分
D
                                                    C

 

                                 P             A         O         B

(2)连接AC.
     ∵AB是直径,
∴∠BDP=90°.
又∵∠BDC=90°,
∴∠ACB=∠BDC.
∵∠PBC=∠CBD,
∴△ABC∽△CBD. ……………………………………6分
∴ = .
∴BC2=AB•BD. ………………………….……………8分

 

D
                                               C

 

                             P            A           O        B


4.(2016•湖北十堰)如图1,AB为半圆O的直径,D为BA的延长线上一点,DC为半圆O的切线,切点为C.
(1)求证:∠ACD=∠B;
(2)如图2,∠BDC的平分线分别交AC,BC于点E,F;
①求tan∠CFE的值;
②若AC=3,BC=4,求CE的长.
 
【考点】切线的性质.
【分析】(1)利用等角的余角相等即可证明.
(2)①只要证明∠CEF=∠CFE即可.
②由△DCA∽△DBC,得 = = = ,设DC=3k,DB=4k,由CD2=DA•DB,得9k2=(4k﹣5)•4k,由此求出DC,DB,再由△DCE∽△DBF,得 = ,设EC=CF=x,列出方程即可解决问题.
【解答】(1)证明:如图1中,连接OC.
∵OA=OC,
∴∠1=∠2,
∵CD是⊙O切线,
∴OC⊥CD,
∴∠DCO=90°,
∴∠3+∠2=90°,
∵AB是直径,
∴∠1+∠B=90°,
∴∠3=∠B.
(2)解:①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE,∠CFE=∠B+∠FDB,
∵∠CDE=∠FDB,∠ECD=∠B,
∴∠CEF=∠CFE,∵∠ECF=90°,
∴∠CEF=∠CFE=45°,
∴tan∠CFE=tan45°=1.
②在RT△ABC中,∵AC=3,BC=4,
∴AB= =5,
∵∠CDA=∠BDC,∠DCA=∠B,
∴△DCA∽△DBC,
∴ = = = ,设DC=3k,DB=4k,
∵CD2=DA•DB,
∴9k2=(4k﹣5)•4k,
∴k= ,
∴CD= ,DB= ,
∵∠CDE=∠BDF,∠DCE=∠B,
∴△DCE∽△DBF,
∴ = ,设EC=CF=x,
∴ = ,
∴x= .
∴CE= .
 
 
【点评】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形,利用相似三角形的性质解决问题,学会用方程的思想思考问题,属于中考常考题型.
5. (2016•四川凉山州•8分)阅读下列材料并回答问题:
材料1:如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记 ,那么三角形的面积为 .    ①
古希腊几何学家海伦(Heron,约公元50年),在数学史上以解决几何测量问题而闻名.他在《度量》一书中,给出了公式①和它的证明,这一公式称海伦公式.
我国南宋数学家秦九韶(约1202﹣﹣约1261),曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式: .     ②
下面我们对公式②进行变形:  = = = = = .
这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式,所以我们也称①为海伦﹣﹣秦九韶公式.
问题:如图,在△ABC中,AB=13,BC=12,AC=7,⊙O内切于△ABC,切点分别是D、E、F.
(1)求△ABC的面积;
(2)求⊙O的半径.
 
【考点】三角形的内切圆与内心.
【分析】(1)由已知△ABC的三边a=3,b=12,c=7,可知这是一个一般的三角形,故选用海伦﹣秦九韶公式求解即可;
(2)由三角形的面积=lr,计算即可.
【解答】解:(1)∵AB=13,BC=12,AC=7,
∴p= =16,
∴ = =24 ;
(2)∵△ABC的周长l=AB+BC+AC=32,
∴S=lr=24 ,
∴r= = .
 

6. (2016•四川凉山州•8分)如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,A是 的中点,AE⊥AC于A,与⊙O及CB的延长线交于点F、E,且 .
(1)求证:△ADC∽△EBA;
(2)如果AB=8,CD=5,求tan∠CAD的值.
 
【考点】相似三角形的判定与性质;圆周角定理.
【分析】(1)欲证△ADC∽△EBA,只要证明两个角对应相等就可以.可以转化为证明且 就可以;
(2)A是 的中点,的中点,则AC=AB=8,根据△CAD∽△ABE得到∠CAD=∠AEC,求得AE,根据正切三角函数的定义就可以求出结论.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠CDA=∠ABE.
∵ ,
∴∠DCA=∠BAE.
∴△ADC∽△EBA;

(2)解:∵A是 的中点,

∴AB=AC=8,
∵△ADC∽△EBA,
∴∠CAD=∠AEC, ,
即 ,
∴AE= ,
∴tan∠CAD=tan∠AEC= = =.
7.(2016•广东广州)如图 ,点C为△ABD外接圆上的一动点(点C不在 上,且不与点B,D重合),∠ACB=∠ABD=45°.
(1)求证:BD是该外接圆的直径;
(2)连结CD,求证: AC=BC+CD;
(3)若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM,连接DM,试探究 , 三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.
 
【难易】 较难,综合性大
【考点】直径所对的圆周角、外接圆、旋转
【解析】通过旋转处理不在一起的三边关系、及其平方关系
【参考答案】
(1)∵弧AB=弧AB, ∴∠ADB=∠ACB
又∵∠ACB=∠ABD=45°    ∴∠ABD=∠ADB=45°
∴∠BAD=90°      ∴△ABD为等腰直角三角形
∴BD是该外接圆的直径
(2)如图所示作CA⊥AE,延长CB交AE于点E
     ∵∠ACB=45°,CA⊥AE
∴△ACE为等腰直角三角形  ∴AC=AE
由勾股定理可知CE2=AC2+AE2=2AC2   ∴
由(1)可知△ABD 为等腰直角三角形
∴AB=AD    ∠BAD=90°   又∵∠EAC=90°
∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC   ∴∠EAB=∠DAC
∴在△ABE和△ADC中
 
∴△ABE≌△ADC(SAS)
∴BE=DC 
∴CE=BE+BC=DC+BC=
 
(3)DM2=BM2+2MA2
延长MB交圆于点E,连结AE、DE
∵∠BEA=∠ACB=∠BMA=45°
∴在△MAE中有MA=AE,∠MAE=90°

又∵AC=MA=AE
∴ =
又∵ =
∴ - + = - +
即 =
∴DE=BC=MB
∵BD为直径
∴∠BED=90°
在RT△MED中,有

 
8. (2016年浙江省温州市)如图,在△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,以DB为直径的⊙O经过AB的中点E,交AD的延长线于点F,连结EF.
(1)求证:∠1=∠F.
(2)若sinB= ,EF=2 ,求CD的长.
 
【考点】圆周角定理;解直角三角形.
【分析】(1)连接DE,由BD是⊙O的直径,得到∠DEB=90°,由于E是AB的中点,得到DA=DB,根据等腰三角形的性质得到∠1=∠B等量代换即可得到结论;
(2)根据等腰三角形的判定定理得到AE=EF=2 ,推出AB=2AE=4 ,在Rt△ABC中,根据勾股定理得到BC= =8,设CD=x,则AD=BD=8﹣x,根据勾股定理列方程即可得到结论.
【解答】解:(1)证明:连接DE,
∵BD是⊙O的直径,
∴∠DEB=90°,
∵E是AB的中点,
∴DA=DB,
∴∠1=∠B,
∵∠B=∠F,
∴∠1=∠F;

(2)∵∠1=∠F,
∴AE=EF=2 ,
∴AB=2AE=4 ,
在Rt△ABC中,AC=AB•sinB=4,
∴BC= =8,
设CD=x,则AD=BD=8﹣x,
∵AC2+CD2=AD2,
即42+x2=(8﹣x)2,
∴x=3,即CD=3.

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