2012年中考数学解直角三角形试题归总(附答案)

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2012年中考数学解直角三角形试题归总(附答案)

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2012年全国各地中考数学压轴题汇编
第30章 解直角三角形
1.(2012绍兴)如图1,某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米,坡角∠BAC为32°。
(1)求一楼于二楼之间的高度BC(精确到0.01米);
(2)电梯每级的水平级宽均是0.25米,如图2.小明跨上电梯时,该电梯以每秒上升2级的高度运行,10秒 后他上升了多少米(精确到0.01米)?备用数据:sin32°=0.5299,con32°=0.8480,tan32°=6249。
 
考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题。
解答:解:(1)sin∠BAC= ,
∴BC=AB×sin32°
=16.50×0.5299≈8.74米。
(2)∵tan32°= ,
∴级高=级宽×tan32°=0.25×0.6249=0.156225
∵10秒钟电梯上升了20级,
∴小明上升的高度为:20×0.156225≈3.12米。

2.(2012•扬州)如图,一艘巡逻艇航行至海面B处时,得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障,就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救.已知C处位于A处的北偏东45°的方向上,港口A位于B的北偏西30°的方向上.求A、C之间的距离.(结果精确到0.1海里,参考数据 ≈1.41, ≈1.73)
 

考点: 解直角三角形的应用-方向角问题。
专题: 应用题;数形结合。
分析: 作AD⊥BC,垂足为D,设 CD=x,利用解直角三角形的知识,可得 出AD,继而可得出BD,结合题意BC=CD+BD=20海里可得出方程,解出x的值后即可得出答案.
解答: 解:作AD⊥BC,垂 足为D,
 
由题意得,∠ACD=45°,∠ABD=30°,
设CD=x,在RT△ACD中,可得AD=x,
在RT△ABD中,可得BD= x,
又∵BC=20,即x x=20,
解得:
∴AC= x≈10.3(海里).
答:A、C之间的距离为10.3海里.
点评: 此题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据题意构造直角三角形,将实际问题转化为数学模型进行求解,难度一般.
 
3.(2012•连云港)已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向,且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km,一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行,15min后达到C处,现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向,求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km).(参考数据:sin53.2°≈0.80,cos53.2°≈0.60,sin79.8°≈0.98,cos79.8°≈0.18,tan26.6°≈0.50, ≈1.41, ≈2.24)
 

考点: 解直角三角形的应用-方向角问题。
分析: 根据在Rt△ADB中,sin∠DBA= ,得出AB的长,进而得出tan∠BAH= ,求出BH的长,即可得出AH以及CH的长,进而得出答案.
解答: 解:BC=40× =10,
在Rt△ADB中,sin∠DBA= ,sin53.2°≈0.8,
所以AB=  =20,
如图,过点B作BH⊥AC,交AC的延长线于H,
在Rt△AHB中,∠BAH=∠DAC-∠DAB=63.6°-37°=26.6°,
tan∠BAH= ,0.5= ,AH=2BH,
BH2+AH2=AB2,BH2+(2BH)2=202,BH=4 ,所以AH=8 ,
在Rt△BCH中,BH2+CH2=BC2,CH=2 ,
所以AC=AH-CH=8 -2 =6 ≈13.4,
答:此时货轮与A观测点之间的距离AC约为13.4km.
 
点评: 此题主要考查了解直角三角形中方向角问题,根据已知构造直角三角形得出BH的长是解题关键.

 

4.(2012广东)如图,小山岗的斜坡AC的坡度是tanα= ,在与山脚C距离200米的D处,测得山顶 A的仰角为26.6°,求小山岗的高AB(结果取整数:参考数据:sin26.6°=0.45,cos26.6°=0.89,tan26.6°=0.50).
 
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题;解直角三角形的应用-坡度坡角问题。
解答:解:∵在直角三角形ABC中, =tanα= ,
∴BC=
∵在直角三角形ADB中,
∴ =tan26.6°=0.50
即:BD=2AB
∵BD﹣BC=CD=200
∴2AB﹣ AB=200
解得:AB=300米,
答:小山岗的高度为300米.

 

5.(2012安顺)丁丁想在一个矩形材料中剪出如图阴影所示的梯形,作为要制作的风筝的一个翅膀.请你根据图中的数据帮丁丁计算出BE、CD的长度(精确到个位, ≈1.7).
 
考点:解直角三角形的应用。
解答:解:由∠ABC=120°可得∠EBC=60°,在Rt△BCE中,CE=51,∠EBC=60°,
因此tan60°= ,
∴BE= = =17 ≈29cm;
在矩形AECF中,由∠BAD=45°,得∠ADF=∠DAF=45°,
因此DF=AF=51,
∴FC=AE≈34+29=63cm,
∴CD=FC﹣FD≈63﹣51=12cm,
因 此BE的长度均为29cm,CD的长度均为12cm.

 

6.(2012•资阳)小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼.为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离,小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°,测得办公大楼底部点B的俯角为60°,已知办公大楼高46米,CD=10米.求点P到AD的距离(用含根号的式子表示).
 

考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题。
分析: 连接PA、PB,过点P作PM⊥AD于点M;延长BC,交PM于点N,将实际问题中的已知量转化为直角三角形中的有关量,设PM=x米,在Rt△PMA中,表示出AM,在Rt△PNB中,表示出BN,由AM+BN=46米列出方程求解即可.
解答: 解:连接PA、PB,过点P作PM⊥AD于点M;延长BC,交PM于点N
则∠APM=45°,∠BPM=60°,NM=10米
设PM=x米
在Rt△PMA中,AM=PM×tan∠APM=xtan45°=x(米)
在Rt△PNB中,BN=PN×tan∠BPM=(x﹣10)tan60°=(x﹣10) (米)
由AM+BN=46米,得x+(x﹣10) =46
解得, ,
∴点P到AD的距离为 米.(结果分母有理化为 米也可)
 
点评: 此题考查了解直角三角形的知识,作出辅助线,构造直角三角形是解题的关键.

 

7.(2012•湘潭)如图,矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图,已知BC=2m,CD=5.4m,∠DCF=30°,请你计算车位所占的宽度EF约为多少米?( ,结果保留两位有效数字.)
 

考点: 解直角三角形的应用。
分析: 分别在直角三角形BCF和直角三角形AEF中求得DF和DE的长后相加即可得到EF的长.
解答: 解:在直角三角形DCF中,
∵CD=5.4m,∠DCF=30°,
∴sin∠DCF= = =,
∴DF=2.7,
∵∠CDF+∠DCF=90°∠ADE+∠CDF=90°,
∴∠ADE=∠DCF,
∵AD=BC=2,
∴cos∠ADE= = = ,
∴DE= ,
∴EF=ED+DF=2.7+1.732≈4.4米.
点评: 本题考查了解直角三角形的应用,如何从纷杂的实际问题中整理出直角三角形是解决此类题目的关键.

8.(2012娄底)如图,小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度,在C处测得∠ADG=30°,在E处测得∠AFG=60°,CE=8米,仪器高度CD=1.5米,求这棵树AB的高度(结果保留两位有效数字, ≈1.732).
 
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题。
分析:首先根据题意可得GB=EF=CD=1.5米,DF=CE=8米,然后设AG=x米,GF=y米,则在Rt△AFG与Rt△ADG,利用正切函数,即可求得x与y的关系,解方程组即 可求得答案.
解答:解:根据题意得:四边形DCEF、DCBG是矩形,
∴GB=EF=CD=1.5米,DF=CE=8米,
设AG=x米,GF=y米,
在Rt△AFG中,tan∠AFG=tan60°= = = ,
在Rt△ADG中,tan∠ADG=tan30°= = = ,
∴x=4 ,y=4,
∴AG=4 米,FG=4米,
∴AB=AG+GB=4 +1.5≈8.4(米).
∴这棵树AB的高度为8.4米.
点评:本题考查仰角的定义.注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键,注意数形结合思想与方程思想的应用.


9.(2012江西)如图1,小红家阳台上放置了一个晒衣架.如图2是晒衣架的侧面示意图,立杆AB.CD相交于点O,B.D两点立于地面,经测量:
AB=CD=136cm,OA=OC=51cm,OE=OF=34cm,现将晒衣架完全稳固张开,扣链EF成一条直线,且EF=32cm.
(1)求证:AC∥BD;
(2)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数(精确到0.1°);
(3)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm,垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面?请通过计算说明理由.
(参考数据:sin61.9°≈0.882,cos61.9°≈0.471,
tan61.9°≈0.553;可使用科学记算器)
 
考点:相似三角形的应用;解直角三角形的应用。
分析:(1)根据等角对等边得出∠OAC=∠OCA= (180°﹣∠BOD)和∠OBD=∠ODB= (180°﹣∠BOD),进而利用平行线的判定得出即可;
(2)首先作OM⊥EF于点M,则EM=16cm,利用cos∠OEF= 0.471,即可得出∠OEF的度数;
(3)首先证明Rt△OEM∽Rt△ABH,进而得出AH的长即可.
解答:(1)证明:证法一:∵AB.CD相交于点O,
∴∠AOC=∠BOD…1分
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA= (180°﹣∠BOD),
同理可证:∠OBD=∠ODB= (180°﹣∠BOD),
∴∠OAC=∠OBD,…2分
∴AC∥BD,…3分
 证法二:AB=CD=136cm,OA=OC=51cm,
∴OB=OD=85cm,
∴ …1分
又∵∠AOC=∠BOD
∴△AOC∽△BOD,
∴∠OAC=∠OBD;…2分
∴AC∥BD…3分;
(2)解:在△OEF中,OE=OF=34cm,EF=32cm;
作OM⊥EF于点M,则EM=16cm;…4分
∴cos∠OEF= 0.471,…5分
用科学记算器求得∠OEF=61.9°…6分;
(3)解法一:小红的连衣裙会拖落到地面;…7分
在Rt△OEM中, =30cm…8分,
过点A作AH⊥BD于点H,
同(1)可证:EF∥BD,
∴∠ABH=∠OEM,则Rt△OEM∽Rt△ABH,
∴  …9分
所以:小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm>晒衣架的高度AH=120cm.
解法二:小红的连衣裙会拖落到地面;…7分
同(1)可证:EF∥BD,∴∠ABD=∠OEF=61.9°;…8分
过点A作AH⊥BD于点H,在Rt△ABH中
 ,
AH=AB×sin∠ABD=136×sin61.9°=136×0.882≈120.0cm…9分
所以:小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm>晒衣架的高度AH=120cm.
 
点评:此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形,根据已 知构造直角三角形利用锐角三角函数解题是解决问题的关键.
10.(2012•恩施州)新闻链接,据[侨报网讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退.
2012年5月18日,某国3艘炮艇追袭5条中国渔船.刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政310”船人船未歇立即追往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔,保护100多名中国渔民免受财产损失和人身伤害.某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船,立即掉头离去.(见图1)
 

解决问题
如图2,已知“中国渔政310”船(A)接到陆地指挥中心(B)命令时,渔船(C)位于陆地指挥中心正南方向,位于“中国渔政310”船西南方向,“中国渔政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向,AB= 海里,“中国渔政310”船最大航速20海里/时.根据以上信息,请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间.

考点: 解直角三角形的应用-方向角问题。
分析: 过点A作AD⊥BC于点D,在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出AD的值,同理在Rt△ADC中求出AC的值,再根据中国渔政310”船最大航速20海里/时求出所需时间即可.
解答: 解:过点A作AD⊥BC于点D,
在Rt△ABD中,
∵AB= ,∠B=60°,
∴AD=AB•sin60°= × =70 ,
在Rt△ADC中,AD=70 ,∠C=45°,
∴AC= AD=140,
∴“中国渔政310”船赶往出事地点所需时间为 =7小时.
答:“中国渔政310”船赶往出事地点需要7小时.
 
点评: 本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形,利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键.

11.(2012年中考)在建筑楼梯时,设计者要考虑楼梯的安全程度,如图(1),虚线为楼梯的倾斜度,斜度线与地面的夹角为倾角 ,一般情况下,倾角越小,楼梯的安全程度越高;如图(2)设计者为了提高楼梯的安全程度,要把楼梯的倾角 1减至 2,这样楼梯所占用地板的长度由d1增加到d2,已知d1=4米,∠ 1=40°,∠ 2=36°,楼梯占用地板的长度增加率多少米?(计算结果精确到0.01米,参考数据:tan40°=0.839,tan36°=0.727)
 
12.(2012•南通)(本小题满分8分)
如图,某测量船位于海岛P的北偏西60º方向,距离海岛100海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于海岛P的西南方向上的B处.求测量船从A处航行到B处的路程(结果保留根号).
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.
【专题】计算题
【分析】将AB分为AE和BE两部分,分别在Rt△BEP和Rt△     BEP中求解.要利用30°的角所对的直角边是斜边的一半和等腰直角三角形的性质解答.
【解答】解:∵AB为南北方向,
∴△AEP和△BEP分别为直角三角形,
再Rt△AEP中,
∠APE=90°-60°=30°,
AE=1 2 AP=1 2 ×100=50海里,
∴EP=100×cos30°=50 3 海里,
在Rt△BEP中,
BE=EP=50 3 海里,
∴AB=(50+50 3 )海里.
答:测量船从A处航行到B处的路程为(50+50 3 )海里.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题,找到题目中的特殊角并熟悉解直角三角形是解题的关键.


13、(2012•常德)如图5,一天,我国一渔政船航行到A处时,发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船,正在以12海里∕小时的速度向西北方向航行,我渔政船立即沿北偏东60º方向航行,1.5小时后,在我领海区域的C处截获可疑渔船。问我渔政船的航行路程是多少海里?(结果保留根号)
知识点考察:①解直角三角形,②点到直线的距离,③两角互
              余的关系④方向角,⑤特殊角的三角函数值。
  能力考察:①作垂线,②逻辑思维能力,③运算能力。
      分析:自C点作AB的垂线,垂足为D,构建Rt△A CD,
            Rt△BCD,再解这两个Rt△。
        解:自C点作AB的垂线,垂足为D ,∵南北方
            向⊥AB,∴∠CAD=30º,∠CBD=45º
           在等腰 Rt△BCD中,BC=12×1.5=18,∴CD=18sin45º= ,
           在Rt△ACD中,CD=AC×sin30º,∴AC= (海里)
         答:我渔政船的航行路程是 海里。
       点评:解决问题的关键在于将斜三角形转化为两个直角三角形,而转化的关键又在
             于自C点作AB的垂线。


14.(2012•黔东南州)如图,一艘货轮在A处发现其北偏东45°方向有一海盗船,立即向位于正东方向B处的海警舰发出求救信号,并向海警舰靠拢,海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援,此时距货轮200海里,并测得海盗船位于海警舰北偏西60°方向的C处.
(1)求海盗船所在C处距货轮航线AB的距离.
(2)若货轮以45海里/时的速度向A处沿正东方向海警舰靠拢,海盗以50海里/时的速度由C处沿正南方向对货轮进行拦截,问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮?(结果保留根号)
 
解析:(1)作CD⊥AB于点D,
在直角三角形ADC中,∵∠CAD=45°,∴AD=CD.
在直角三角形CDB中,∵∠CBD=30°,∴ =tan30°,∴BD= CD.
∵AD+BD=CD+ CD=200,
∴CD=100( ﹣1);

(2)∵海盗以50海里/时的速度由C处沿正南方向对货轮进行拦截,
∴海盗到达D处用的时间为100( ﹣1)÷50=2( ﹣1),
∴警舰的速度应为[200﹣100( ﹣1)]÷2( ﹣1)=50 千米/时.
 
15.(2012•湛江)某兴趣小组用仪器测测量湛江海湾大桥主塔的高度.如图,在距主塔从AE60米的D处.用仪器测得主塔顶部A的仰角为68°,已知测量仪器的高CD=1.3米,求主塔AE的高度(结果精确到0.1米)
(参考数据:sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,tan68°≈2.48)
解: 
根据题意得:在Rt△ABC中,AB=BC•tan68° ≈60×2.48=148.8(米),
∵CD=1.3米,
∴BE=1.3米,
∴AE=AB+BE=148.8+1.3=150.1(米).
∴主塔AE的高度为150.1米.
 
16.(2012•珠海)如图,水渠边有一棵大木瓜树,树干DO(不计粗细)上有两个木瓜A、B(不计大小),树干垂直于地面,量得AB=2米,在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°.求C处到树干DO的距离CO.(结果精确到1米)(参考数据: )
 

解:设OC=x,
在Rt△AOC中,
∵∠ACO=45°,
∴OA=OC=x,
在Rt△BOC中,
∵∠BCO=30°,
∴OB=OC•tan30°= x,
∵AB=OA﹣OB=x﹣ x=2,解得x=3+ ≈3+1.73=4.73≈5米,
∴OC=5米.
答:C处到树干DO的距离CO为5米.


17.(2012六盘水)如图,小丽想知道自家门前小河的宽度,于是她按以下办法测出了如下数据:小丽在河岸边选取点A,在点A的对岸选取一个参照点C,测得∠CAD=30°;小丽沿岸向前走30m选取点B,并测得∠CBD=60°.请根据以上数据,用你所学的数学知识,帮小丽计算小河的宽度.
 
考点:解直角三角形的应用。
专题:应用题
分析:先根据题意画出示意图,过点C作CE⊥AD于点E,设BE=x,则在RT△ACE中,可得出CE,利用等腰三角形的性质可得出BC,继而在RT△BCE中利用勾股定理可求出x的值,也可得出CE的长度.
解答:解:过点C作CE⊥AD于点E,
由题意得,AB=30m,∠CAD=30°,∠CBD=60°,
故可得∠ACB=∠CAB=30°,
即可得AB=BC=30m,
设BE=x,在Rt△BCE中,可得CE= x,
又∵BC2=BE2+CE2,即900=x2+3x2,
解得:x=15,即可得CE=15 m.
答:小丽自家门前的小河的宽度为15 m.
 
点评:此题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是画出示意图,将实际问题转化为解直角三角形的问题,注意直角三角形的构造,难度一般.

18.(2012攀枝花)如图,我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行,在A地观测到我渔船C在东北方向上的我国某传统渔场.若渔政310船航向不变,航行半小时后到达B处,此时观测到我渔船C在北偏东30°方向上.问渔政310船再航行多久,离我渔船C的距离最近?(假设我渔船C捕鱼时移动距离忽略不计,结果不取近似值.)
 
考点:解直角三角形的应用-方向角问题。
分析:过点C作AB的垂线,设垂足为D.由题易知∠CAB=45°,∠CBD=60°.先在Rt△BCD中,得到CD= BD,再在Rt△ACD中,得到CD=AD,据此得出 = ,然后根据匀速航行的渔船其时间之比等于路程之比,从而求出渔船行驶BD的路程所需的时间.
解答:解:作CD⊥AB于D.
∵A地观测到渔船C 在东北方向上,渔船C在北偏东30°方向上
∴∠CAB=45°,∠CBD=60°.
在Rt△BCD中,∵∠CDB=90°,∠CBD=60°,
∴CD= BD.
在Rt△ACD中,∵∠CDA=90°,∠CAD=45°,
∴CD=AD,
∴ BD=AB+BD,
∴ = = ,
∵渔政310船匀速航行,
设渔政310船再航行t分钟,离我渔船C的距离最近,
∴ = ,
∴t=15( +1).
答:渔政310船再航行15( +1)分钟,离我渔船C的距离最近.
 
点评:本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,正确理解方向角的定义是解决本题的关键.

 

19.(2012山西)如图,为了开发利用海洋资源,某勘测飞机预测量一岛屿两端A.B的距离,飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°,然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米,在点D测得端点B的俯角为45°,求岛屿两端A.B的距离(结果精确到0.1米,参考数据: )
 

考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题。

解答:解:过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD于点F,
∵AB∥CD,
∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°,
∴四边形ABFE为矩形.
∴AB=EF,AE=BF.
由题意可知:AE=BF=100米,CD=500米.…2分
在Rt△AEC中,∠C=60°,AE=100米.
∴ CE= = = (米).  …4分
在Rt△BFD中,∠BDF=45°,BF=100.
∴DF= = =100(米).…6分
∴AB=EF=CD+DF﹣CE=500+100﹣ ≈600﹣ ×1.73≈600﹣57.67≈542.3(米).  …8分
答:岛屿两端A.B的距离为542.3米.   …9分
 
20. (2012黄石)(本小题满分8分)如图(9)所示(左图为实景侧视图,右图为安装示意图),在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器:先安装支架 和 (均与水平面垂直),再将集热板安装在 上.为使集热板吸热率更高,公司规定: 与水平面夹角为 ,且在水平线上的射影 为 .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为 ,并已知 , 。如果安装工人确定支架 高为 ,求支架 的高(结果精确到 )?
 
【考点】解直角三角形的应用.
【分析】过A作AE∥BC,则∠EAF=∠CBG=θ2,EC=AB=25cm,再根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值,再根据DC=DE+EC进行解答即可.
【解答】解:如图所示,过点 作 ∥ ,则 ,
且  (2分)
在 △ 中:  (1分)
在 △ 中,   (1分)

又∵ , ,
∴  (2分)
∴  (1分)
答:支架 的高约为 .                                 (1分)
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形,利用锐角三角函数的定义进行解答是解答此题的关键.


21.(2012广安)如图,2012年4月10日,中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业,中国海监船在A地侦查发现,在南偏东60°方向的B地,有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶,企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民,此时,C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处,中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民,能不能及时赶到?( ≈1.41, ≈1.73, =2.45).
 

考点: 解直角三角形的应用-方向角问题。
专题: 探究型。
分析: 过点A作AD⊥BC的延长线于点D,则△ACD是等腰直角三角形,根据AC=10海里可求出AD即CD的长,在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出BD的长进而可得出BC的长,再根据中国海监船以每小时30海里的速度航行,国军舰正以每小时13海里的速度即可得出两军舰到达C点所用的时间,进而得出结论.
解答: 解:过点A作AD⊥BC的延长线于点D,
∵∠CAD=45°,AC=10海里,
∴△ACD是等腰直角三角形,
∴AD=CD= = =5 (海里),
在Rt△ABD中,
∵∠DAB=60°,
∴BD=AD•tan60°=5 × =5 (海里),
∴BC=BD﹣CD=(5 ﹣5 )海里,
∵中国海监船以每小时30海里的速度航行,某国军舰正以每小时13海里的速度航行,
∴海监船到达C点所用的时间t= = = (小时);
某国军舰到达C点所用的时间i= = ≈ =0.4(小时),
∵ <0.4,
∴中国海监船能及时赶到.
 
点评: 本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形,利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键.


22.(2012张家界)黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中∠A=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD= 千米,请据此解答如下问题:
(1)求该岛的周长和面积;(结果保留整数,参考数据 ≈1.414,  )
(2)求∠ACD的余弦值.
考点:解直角三角形的应用。

解答:解:(1)连接AC
∵AB=BC=15千米,∠B=90°
∴∠BAC=∠ACB=45° AC=15
又∵∠D=90°
∴AD= = =12  (千米) …2分
∴周长=AB+BC+CD+DA=30+3 +12 =30+4.242+20.784≈55(千米)
面积=S△ABC+18 ≈157(平方千米) …6分
(2)cos∠ACD= = = …(8分)
 
23.(2012天门)如图,海中有一小岛B,它的周围15海里内有暗礁.有一货轮以30海里/时的速度向正北航行半小时后到达C处,发现B岛在它的东北方向.问货轮继续向北航行有无触礁的危险?(参考数据: ≈1.7, ≈1.4)
 

考点: 解直角三角形的应用-方向角问题。
分析: 作BD⊥AC于点D,在直角三角形ABD和直角三角形CBD中求得点B到AC的距离,继而能判断出有无危险.
解答: 解:作BD⊥AC于点D.
设BD=x海里,则
在Rt△ABD中,tan30°= ,
∴AD= .
在Rt△CBD中,tan45°= ,
∴CD=x.…2分
∴AC=AD﹣CD= .
∵AC=30× =15,
∴ =15,
∴x≈21.4.
21.4海里>15海里.
答:没有触礁的危险.
 
点评: 本题考查解直角三角形的应用,有一定难度,要注意已知条件的运用,根据三角函数关系求答.
24.(2012苏州)如图,已知斜坡AB长60米,坡角(即∠BAC)为30°,BC⊥AC,现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.(请讲下面2小题的结果都精确到0.1米,参考数据: ≈1.732).
(1)若修建的斜坡BE的坡角(即∠BEF)不大于45°,则平台DE的长最多为 11.0 米;
(2)一座建筑物GH距离坡角A点27米远(即AG=27米),小明在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B、C、A、G、H在同一个平面内,点C、A、G在同一条直线上,且HG⊥CG,问建筑物GH高为多少米?
 

考点: 解直角三角形的应用-坡度坡角问题。
分析: (1)根据题意得出,∠BEF最大为45°,当∠BEF=45°时,EF最短,此时ED最长,进而得出EF的长,即可得出答案;
(2)利用在Rt△DPA中,DP= AD,以及PA=AD•cos30°进而得出DM的长,利用HM=DM•tan30°得出即可.
解答: 解:(1)∵修建的斜坡BE的坡角(即∠BEF)不大于45°,
∴∠BEF最大为45°,
当∠BEF=45°时,EF最短,此时ED最长,
∵∠DAC=∠BDF=30°,AD=BD=30,
∴BF=EF= BD=15,
DF=15 ,
故:DE=DF﹣EF=15( ﹣1)≈11.0;

(2)过点D作DP⊥AC,垂足为P.
在Rt△DPA中,DP= AD= ×30=15,
PA=AD•cos30°= ×30=15 .
在矩形DPGM中,MG=DP=15,DM=PG=15 +27,
在Rt△DMH中,
HM=DM•tan30°= ×(15 +27)=15+9 .
GH=HM+MG=15+15+9 ≈45.6.
答:建筑物GH高为45.6米.
 
点评: 此题主要考查了解直角三角形中坡角问题,根据图象构建直角三角形,进而利用锐角三角函数得出是解题关键.

 

25.(2012云南)如图,某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°,荷塘另一端D与点C、B在同一直线上,已知AC=32米,CD=16米,求荷塘宽BD为多少米?(取 ,结果保留整数)
 

考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题。1052629
分析: 根据已知条件转化为直角三角形ABC中的有关量,然后选择合适的边角关系求得BD的长即可.
解答: 解:由题意知:∠CAB=60°,△ABC是直角三角形,
在Rt△ABC中,tan60°= ,
即 = ,…(2分)
∴BC=32 …(4分)
∴BD=32 ﹣16≈39…(5分)
答:荷塘宽BD为39米.…(6分)
点评: 本题考查了解直角三角形的应用,解题的关键是利用仰俯角的定义将题目中的相关量转化为直角三角形ABC中的有关元素.
 

26.(2012岳阳)九(一)班课题学习小组,为了了解大树生长状况,去年在学校门前点A处测得一棵大树顶点C的仰角为30°,树高5m;今年他们仍在原点A处测得大树D的仰角为37°,问这棵树一年生长了多少m?(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75, ≈1.732)
 

考点: 解直角三角形的应用-仰角 俯角问题。1052629
分析: 由题意得:∠DAB=37°,∠CAB=30°,BC=5m,然后分别在Rt△ABC与Rt△DAB中,利用正切函数求解即可求得答案.
解答: 解:根据题意得:∠DAB=37°,∠CAB=30°,BC=5m,
在Rt△ABC中,AB= = =5 (m),
在Rt△DAB中,BD=AB•tan37°≈5 ×0.75≈6.495(m),
则CD=BD﹣BC=6.495﹣5=1.495(m).
答:这棵树一年生长了1.495m.
点评: 本题考查仰角的定义.此题难度适中,注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键.


27.(2012泰州)如图,一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上,小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60°,然后他从P处沿坡角为45°的山坡向上走到C处,这时 ,PC=30 m ,点C与点A恰好在同一水平线上,点A、B、P、C在同一平面内.
(1)求居民楼AB的高度;
(2)求C、A之间 的距离.
(精确到0.1m,参考数据: , , )
 
【答案】解:(1)过点C作CE⊥BP于点E,
在Rt△CPE中,∵PC=30m,∠CPE=45°,
∴ 。
∴CE=PC•sin45°=30× (m)。
∵点C与点A在同一水平线上,
∴AB=CE= ≈21.2(m)。
答:居民楼AB的高度约为21.2m。
(2)在Rt△ABP中,∵∠APB=60°,∴ 。
∴ (m)。
∵PE=CE= m,
∴AC=BE= ≈33.4(m)。
答:C、A之间的距离约为33.4m。
 
(2)在Rt△CPE中,由 得出BP的长,从而得出PE的长,即可得出答案。

28.(2012内江)(9分)水利部门为加强防汛工作,决定对某水库大坝进行加固,大坝的横截面是梯形 .[如图9所示,已知迎水坡面AB的长为16米, 背水坡面 的长为 米,加固后大坝的横截面积为梯形  的长为8米。
(1)已知需加固的大坝长为150米 ,求需要填土石方多少立方米?
(2)求加固后的大坝背水坡面 的坡度。
【解析】:(1)∵作 于 ,作 于 ,
则∵ 中 

又∵  ∴
又∵需加固的大坝长为150米,
∴需要填土石方为
(2)∵ 中 ,  ∴
∴  ∴ 中
答:(1)已知需加固的大坝长为150米,求需要填土石方
(2)加固后的大坝背水坡面 的坡度为 。
【考点】:本题考查梯形的常见辅助线添法,梯形、三角形的面积公式,以及坡度的定义,要求较强的转化、计算能力。


29. (2012吉林)如图,沿 方向开山修一条公路,为了加快施工进度,要在小山的另一边寻找点E同时施工.从 上的一点 取 ,沿 方向前进,取 ,测得 ,并且 、 和 在同一平面内.
(1)施工点 离 多远正好能使 成一直线(结果保留整数);
(2)在(1)的条件下,若 ,求公路 段的长(结果保留整数)
   (参考数据: , , )
[答案] (1) ;(2) .
[考点]  锐角三角函数:已知一边及一锐角解直角三角形.
[解析](1) 在 上, , ,
      要使 成一直线.只要 .即 .为直角三角形即可,此时,施工点 离 的距离为
          .
  (2)已知一边及一锐角解直角三角形 ,得
          


30. (2012广元)如图,A,B两座城市相距100千米,现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路(即线段AB)。经测量,森 林保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向,B城市的北偏西45°方向上。已知森林保护区的范围在以P为圆心,50千米为半径的圆形区域内,请问:计划修筑的这条高等级公路会不会穿越保护区?为什么?
 
【答案】解:作点P到直线AB的垂线段PE,则线段PE的长,就是点P到直线AB的距离,
根据题意,∠APE=∠PAC=30°,∠BPE=∠PBD=45°,
则在Rt△PAE和Rt△PBE中,
 , BE=PE,
而AE+BE=AB, 即 , ∴PE= ,
∵PE>50,即保护区中心到公路的距离大于半径50千米,
∴公路不会穿越保护区。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题),锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】过点P作PE⊥AB,E是垂足.AE与BE都可以根据三角函数用PE表示出来.根据AB的长,得到一个关 于PE的方程,解出PE的长.从而判断出这条高速公路会不会穿越保护区。

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