2017-2018学年八年级数学下期末试题(江门市江海区有答案和解释)

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2017-2018学年八年级数学下期末试题(江门市江海区有答案和解释)

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莲山 课件 w w
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2017-2018学年广东省江门市江海区八年级(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.
1. =(  )
 A.4  B.2  C.﹣2   D.±2
【答案】B
【分析】根据算术平方根的概念解答,注意与平方根概念的区别.
【解答】 = =2
2.一组数据5,8,8,12,12,12,44的众数是(  )
 A.5  B.8  C.12  D.44【答案】C
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的那个数据.
【解答】∵数据中12出现3次,出现次数最多,
∴这组数据的众数是12,
3.若点(3,1)在一次函数y=kx﹣2的图象上,则常数k=(  )
 A.5  B.4  C.3  D.1
【答案】D
【分析】一个点在函数图象上,则这个点的坐标满足函数解析式,所以将这个点的坐标代入解析式即可得答案.
【解答】将(3,1)代入y=kx﹣2,得
3k﹣2=1,解得k=1,
4.如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=1,AB在数轴上,若以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M,则点M表示的数为(  )
 
 A.2  B.   C.   D.
【答案】C
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长,而半径AM=AC,再根据A点表示﹣1,可得M点表示的数.
【解答】AC= = = ,
则AM= ,
∵A点表示﹣1,
∴M点表示的数为: ﹣1,
故选: C.
 
5.Rt△ABC中,斜边BC=2,则AB2+BC2+CA2=(  )
 A.8  B.6  C.4  D.无法计算
【答案】A
【分析】利用勾股定理将AB2+AC2转化为BC2,再求值即可.
【解答】∵Rt△ABC中,BC为斜边,BC=2,
∴AB2+AC2=BC2=4,
∴AB2+AC2+BC2=2BC2=2×4=8.
故选: A.
 
6.在平面直角坐标系中,函数y=(k﹣1)x+(k+2)(k﹣2)的图象不经过第二象限与第四象限,则常数k满足(  )
 A.k=2  B.k=﹣2  C.k=1  D.k>1
【答案】A
【分析】根据一次函数的性质求解,画出函数图象求解.
【解答】∵一次函数y=(k﹣1)x+(k+2)(k﹣2)的图象不经过第二象限与第四象限,
则k﹣1>0,且(k+2)(k﹣2)=0,解得k=2,
故选: A.
 
7.关于四边形ABCD:①两组对边分别平行;②两组对边分别相等;③有一组对边平行且相等;④对角线AC和BD相等;以上四个条件中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有(  )
 A.1个  B.2个  C.3个  D.4个
【答案】C
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.按照平行四边形的判定方法进行判断即可.
【解答】①符合平行四边形的定义,故①正确;
②两组对边分别相等,符合平行四边形的判定条件,故②正确;
③由一组对边平行且相等,符合平行四边形的判定条件,故③正确;
④对角线互相平分的四边形是平行四边形,故④错误;
所以正确的结论有三个:①②③,
故选: C.
 
8.在矩形ABCD中,作DE⊥AC于E,若∠ADE:∠EDC=3:2,则∠BDE=(  )
 A.36°  B.9°  C.27°  D.18°
【答案】D
【分析】本题首先根据∠ADE:∠EDC=3:2可推出∠ADE以及∠EDC的度数,然后求出∠ODC即可解决问题;
【解答】∵∠ADE:∠EDC=3:2,∠ADC=90°
∴∠ADE=54°,∠EDC=36°,
又∵DE⊥AC,
∴∠DCE=90°﹣36°=54°,
∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD=54°,
∴∠BDE=∠ODC﹣∠CDE=18°
故选: D.
 
 
9.如图,正方形ABCD的边长为4,P为正方形边上一动点,沿A→D→C→B→A的路径匀速移动,设P点经过的路径长为x,A、P、D三点连线所围成图形的面积是y,则能大致反映y与x之间的函数关系的图象是(  )
 
A.   B.   
C.   D.
【答案】B
【分析】根据题意研究图象代表意义即可.
【解答】根据题意,当点P由A到D过程中,0≤x≤4,y=0
当点P由C到B时,8≤x≤12,y=8
故选: B.
 
10.如图,E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点,且BE=BC,P为CE上任意一点,PQ⊥BC于点Q,PR⊥BR于点R,则PQ+PR的值是(  )
 
 A.2   B.2  C.2   D.
【答案】A
【分析】连接BP,设点C到BE的距离为h,然后根据S△BCE=S△BCP+S△BEP求出h=PQ+PR,再根据正方形的性质求出h即可.
【解答】如图,连接BP,设点C到BE的距离为h,
则S△BCE=S△BCP+S△BEP,
即 BE•h= BC•PQ+ BE•PR,
∵BE=BC,
∴h=PQ+PR,
∵正方形ABCD的边长为4,
∴h=4× =2 .
故选: A.
 
 
二、填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.
11.若二次根式 有意义,则x的取值范围是 x≥1 .
【答案】x≥1.
【分析】根据二次根式的性质可知,被开方数大于等于0,列出不等式即可求出x的取值范围.
【解答】根据二次根式有意义的条件,x﹣1≥0,
∴x≥1.
 
12.将一次函数y=3x﹣1的图象沿y轴向 上 平移 1 个单位后,得到的图象经过原点.
【答案】上,1.
【分析】根据“上加下减”的平移规律解答即可.
【解答】将一次函数y=3x﹣1的图象沿y轴向上平移1个单位后,得到的图象对应的函数关系式为y=3x﹣1+1,
即y=3x,该函数图象经过原点.
 
13.某中学规定学生的学期总评成绩满分为100分,其中平时成绩占20%,期中考试成绩占30%,期末考试成绩占50%,小明的数学三项成绩(百分制)依次为85分,80分,90分,则小明这学期的数学总评成绩是 86 分.
【答案】86.
【分析】根据加权平均数的计算方法,求出小明这学期的体育总评成绩为多少即可.
【解答】小明这学期的数学总评成绩是85×20%+80×30%+90×50%=86分,
 
14.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC交BC于点E,AD=10cm,则OE的长为 5cm .
 
【答案】5cm.
【分析】只要证明OE是△ABC的中位线,从而求得OE的长.
【解答】∵OE∥DC,AO=CO,
∴OE是△ABC的中位线,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD=10cm,
∴OE=5cm.
 
15.已知一次函数y=ax+b的图象经过点(﹣2,0)和点(0,﹣1),则不等式ax+b>0的解集是 x<﹣2 .
【答案】x<﹣2.
【分析】根据点A和点B的坐标得到一次函数图象经过第二、三、四象限,根据函数图象得到当x>﹣2时,图象在x轴上方,即y>0.
【解答】∵一次函数y=ax+b的图象经过(﹣2,0)和点(0,﹣1),
∴一次函数图象经过第二、三、四象限,
∴当x<﹣2时,y>0,即ax+b>0,
∴关于x的不等式ax+b<0的解集为x<﹣2.
 
16.在直角坐标系中,直线y=x+2与y轴交于点A1,按如图方式作正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C1C2…,A1、A2、A3…在直线y=x+2上,点C1、C2、C3…在x轴上,图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、…Sn,则Sn的值为 22n﹣1 (用含n的代数式表示,n为正整数).
 
【答案】22n﹣1.
【分析】结合正方形的性质结合直线的解析式可得出:A2B1=OC1,A3B2=C1C2,A4B3=C2C3,…,结合三角形的面积公式即可得出:S1= OC12=2,S2= C1C22=8,S3= C2C32=32,…,根据面积的变化可找出变化规律“Sn=22n﹣1(n为正整数)”,依此规律即可得出结论.
【解答】令一次函数y=x+2中x=0,则y=2,
∴点A1的坐标为(0,2),OA1=2.
∵四边形AnBnCnCn﹣1(n为正整数)均为正方形,
∴A1B1=OC1=2,A2B2=C1C2=4,A3B3=C2C3=6,….
令一次函数y=x+2中x=2,则y=4,
即A2C1=4,
∴A2B1=A2C1﹣A1B1=2=A1B1,
∴tan∠A2A1B1=1.
∵AnCn﹣1⊥x轴,
∴tan∠An+1AnBn=1.
∴A2B1=OC1,A3B2=C1C2,A4B3=C2C3,….
∴S1= OC12=2,S2= C1C22=8,S3= C2C32=32,…,
∴Sn=22n﹣1(n为正整数).
故答案为:22n﹣1.
 
三、解答题()(本大题3小题,每小题6分,共18分)
17.计算: ﹣ +( +2)( ﹣2)+ ÷
【分析】先化简二次根式、利用平方差公式和二次根式的除法法则计算,再合并同类二次根式即可得.
【解答】原式=4 ﹣2 +3﹣4+
=2 ﹣1+2
=4 ﹣1.
 
18.已知,如图,平行四边形ABCD中,E是BC边的中点,连DE并延长交AB的延长线于点F,求证:AB=BF.
 
【分析】根据线段中点的定义可得CE=BE,根据平行四边形的对边平行且相等可得AB∥CD,AB=CD,再根据两直线平行,内错角相等可得∠DCB=∠FBE,然后利用“角边角”证明△CED和△BEF全等,根据全等三角形对应边相等可得CD=BF,从而得证.
【解答】证明:∵E是BC的中点,
∴CE=BE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠DCB=∠FBE,
在△CED和△BEF中,
 
∴△CED≌△BEF(ASA),
∴CD=BF,
∴AB=BF.
 
19.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(0,1)和(1,﹣2).
(1)求函数的解析式;
(2)求直线y=kx+b上到x轴距离为7的点的坐标.
【分析】(1)利用待定系数法求一次函数解析式;
(2)分别求出函数值为7或﹣7对应的自变量的值即可.
【解答】(1)把(0,1),(1,﹣2)分别代入y=kx+b得 ,解得 ,
∴一次函数解析式为y=﹣3x+1;
(2)当y=7时,﹣3x+1=7,解得x=﹣2,此时满足条件的点的坐标为(﹣2,7);
当y=﹣7时,﹣3x+1=﹣7,解得x= ,此时满足条件的点的坐标为( ,﹣7);
综上所述,直线y=kx+b上到x轴距离为7的点的坐标为(﹣2,7)或( ,﹣7).
 
四、解答题((本大题3小题,每小题7分,共21分)
20.(7分)如图,BD是矩形ABCD的一条对角线.
(1)作BD的垂直平分线EF,分别交AD、BC于点E、F,垂足为点O(用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)求证:AF=CE.
 
【分析】(1)利用基本作图作线段BD的垂直平分线即可;
(2)先证明△DOE≌△BOF得到DE=BF,然后证明四边形AECF为平行四边形,从而得到AF=CE.
【解答】(1)解:如图,EF为所作;
 
(2)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∵EF垂直平分BD,
∴BO=OD,
在△DOE和△BOF中
 ,
∴△DOE≌△BOF,
∴DE=BF,
∴AE=CF,
而AE∥CF,
∴四边形AECF为平行四边形,
∴AF=CE.
 
21.(7分)2017年5月,举世瞩目的“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行.为了让学生更深刻地了解这一普惠世界的中国创举,某校组织八年级甲班和乙班的学生开展“一带一路”知识竞赛活动.现场决赛时,甲班和乙班分别选5名同学参加比赛,成绩如图所示:
 
(1)根据上图将计算结果填入下表:
 平均数 中位数 众数 方差
甲班 8.5 8.5  8.5   0.7 
乙班 8.5  8  10 1.6
(2)你认为哪个班的成绩较好?为什么?
【分析】(1)由条形图分别得出甲、乙班5位同学的成绩,再根据众数、中位数和方差定义求解可得;
(2)分别从平均数、众数、中位数和方差的角度分析可得.
【解答】(1)甲班5位同学的成绩分别为8.5、7.5、8、8.5、10,
∴甲班5位同学成绩的众数为8.5、方差为 ×[(8.5﹣8.5)2×2+(7.5﹣8.5)2+(8﹣8.5)2+(10﹣8.5)2]=0.7,
乙班5位同学的成绩分别为:7、10、10、7.5、8,
∴乙班5位同学成绩的中位数为8,
补全表格如下:
 平均数 中位数 众数 方差
甲班 8.5 8.5 8.5 0.7
乙班 8.5 8 10 1.6
(2)从平均数看,甲、乙班成绩一样;
从中位数看,甲班成绩好;
从众数看,乙班成绩好;
从方差看,甲班成绩稳定.
 
22.(7分)如图,函数y=﹣ x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,与函数y=kx(k为常数)的图象交于点E,以BE、OE为邻边的平行四边形是菱形.
(1)求k;
(2)过点B作y轴的垂线,交函数y=kx的图象于点C,四边形OACB是矩形吗?为什么?
 
【分析】(1)由题意可得A,B坐标,由BE=OE,可证AE=BE=OE,可求E点坐标,再代入解析式可求k
(2)根据平行线分线段成比例可得OE=EC,可证OACB是平行四边形,且∠AOB=90°可得OACB是矩形
【解答】∵函数y=﹣ x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B
∴A(6,0),B(0,2)
∴BO=2,AO=6
∵OE,BE是菱形的边
∴BE=OE
∴∠ABO=∠BOE
∵∠AOB=90°
∴∠ABO+∠BAO=90°,∠BOE+∠AOE=90°
∴∠BAO=∠AOE
∴OE=AE
∴AE=BE
 
作EM⊥AO,作ED⊥BO
∴EM∥BO,DE∥AO
∴ ,
∴ME=1,DE=3
∴E(3,1)
∵y=kx的图象过E点
∴1=3k
∴k=
∴解析式y= x
(2)是矩形.
 
∵BC⊥y轴,AO⊥y轴
∴BC∥AO

∴OE=CE,且AE=BE
∴ACBO是平行四边形且∠AOB=90°
∴四边形ACBO是矩形.
 
五、解答题白(本大题3小题,每小题9分,共27分)
23.(9分)如图,AD是△ABC的边BC的中线,E是AD的中点,过点A作AF∥BC,交BE的延长线于点F,连接CF,BF交AC于G.
(1)若四边形ADCF是菱形,试证明△ABC是直角三角形;
(2)求证:CG=2AG.
 
【分析】(1)由菱形定义及AD是△ABC的中线知AD=DC=BD,从而得∠DBA=∠DAB、∠DAC=∠DCA,根据∠DBA+∠DAC+∠DBA+∠DCA=180°可得答案.
(2)作DM∥EG交AC于点M,分别证DM是△BCG的中位线和EG是△ADM的中位线得AG=GM=CM,从而得出答案.
【解答】(1)∵四边形ADCF是菱形,AD是△ABC的中线,
∴AD=DC=BD,
∴∠DBA=∠DAB、∠DAC=∠DCA,
∵∠DBA+∠DAC+∠DBA+∠DCA=180°,
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°,
∴△ABC是直角三角形;

(2)过点D作DM∥EG交AC于点M,
 
∵AD是△ABC的边BC的中线,
∴BD=DC,
∵DM∥EG,
∴DM是△BCG的中位线,
∴M是CG的中点,
∴CM=MG,
∵DM∥EG,E是AD的中点,
∴EG是△ADM的中位线,
∴G是AM的中点,
∴AG=MG,
∴CG=2AG.
 
24.(9分)某市为节约水资源,制定了新的居民用水收费标准.按照新标准,用户每月缴纳的水费y(元)与每月用水量x(m3)之间的关系如图所示.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)已知某用户四、五月份共用水40m3
①若该用户这两个月共缴纳水费79.8元,且五月份用水量较大,则该用户五月份用水多少m3?
②该用户这两个月共需缴纳水费至少 78 元.
 
【分析】(1)根据函数图象中的数据可以分别求得各段对应的函数解析式;
(2)①根据(1)中的函数解析式和题意可以解答本题;
②根据题意和函数图象可知当四月份用水15m3时,该用户这两个月共需缴纳水费最少.
【解答】(1)当0≤x≤15时,设y与x的函数关系式为y=kx,
15k=27,得k=1.8,
即当0≤x≤15时,y与x的函数关系式为y=1.8x,
当x>15时,设y与x的函数关系式为y=ax+b,
 ,得 ,
即当x>15时,y与x的函数关系式为y=2.4x﹣9,
由上可得,y= ;
(2)①设四月份用水xm3,
当0≤x≤15时,1.8x+2.4(40﹣x)﹣9=79.8,
解得,x=12,
∴40﹣x=28,
当15<x<20时,
∵2.4×40﹣9=87≠79.8,
∴该种情况不存在,
答:五月份用水28m3;
②由题意可得,
当四月份用水15m3时,这两个月共需缴纳水费最少,
此时水费为:1.8×15+2.4×(40﹣15)﹣9=78(元),
故答案为:78.
 
25.(9分)如图,在正方形ABCD中,AB=4,P是CD边上的动点(P点不与C、D重合),过点P作直线与BC的延长线交于点E,与AD交于点F,且CP=CE,连接DE、BP、BF,设CP=x,△PBF的面积为S1,△PDE的面积为S2
(1)求证:BP⊥DE;
(2)求S1﹣S2关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;
(3)当∠PBF=30°时,求S1﹣S2的值.
 
【分析】(1)如图1中,延长BP交DE于M.只要证明△BCP≌△DCE,推出∠BCP=∠CDE,由∠CBP+∠CPB=90°,∠CPB=∠DPM,即可推出∠CDE+∠DPM=90°,延长即可解决问题;
(2)根据S1﹣S2=S△PBF﹣S△PDE计算即可解决问题;
(3)先求出PC的长,再利用(2)中结论计算即可;
【解答】(1)如图1中,延长BP交DE于M.
∵四边形ABCD是正方形,
∴CB=CD,∠BCP=∠DCE=90°,
∵CP=CE,
∴△BCP≌△DCE,
∴∠BCP=∠CDE,
∵∠CBP+∠CPB=90°,∠CPB=∠DPM,
∴∠CDE+∠DPM=90°,
∴∠DMP=90°,
∴BP⊥DE.

(2)由题意S1﹣S2=[16﹣2x﹣2x﹣ (4﹣x)2]﹣ •(4﹣x)•x
=8﹣2x(0<x<4).

(3)如图2中,∵∠PBF=30°,
∵CP=CE,∠DCE=90°,
∴∠CPE=∠CEP=∠DPF=45°,∠FDP=90°,
∴∠PFD=∠DPF=45°,
∴DF=DP,∵AD=CD,
∴AF=PC,∵AB=BC,∠A=∠BCP=90°,
∴△BAF≌△BCP,
∴∠ABF=∠CBP=30°,
∴x=PC=BC•tan30°= ,
∴S1﹣S2=8﹣2x=8﹣ 

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