人教版八年级数学上册《第12章全等三角形证明》经典题(含答案)

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人教版八年级数学上册《第12章全等三角形证明》经典题(含答案)

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1. 已知:AB=4,AC=2,D是BC中点,111749AD是整数,求AD
 
解:延长AD到E,使AD=DE  ∵D是BC中点    ∴BD=DC   在△ACD和△BDE中
AD=DE ∠BDE=∠ADC  BD=DC ∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2  ∵在△ABE中   AB-BE<AE<AB+BE ∵AB=4  即4-2<2AD<4+2 1<AD<3 ∴AD=2
2. 已知:D是AB中点,∠ACB=90°,求证:
 
延长CD与P,使D为CP中点。连接AP,BP
∵DP=DC,DA=DB   ∴ACBP为平行四边形  又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP为矩形
∴AB=CP=1/2AB
3. 已知:BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:∠1=∠2
 
证明:连接BF和EF
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF  ∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE   在三角形BEF中,BF=EF  ∴ ∠EBF=∠BEF。
∵ ∠ABC=∠AED。 ∴ ∠ABE=∠AEB。 ∴ AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中
AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

 

4. 已知:∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:EF=AC
 
过C作CG∥EF交AD的延长线于点G   CG∥EF,可得,∠EFD=CGD
DE=DC    ∠FDE=∠GDC(对顶角)∴△EFD≌△CGD
EF=CG    ∠CGD=∠EFD  又EF∥AB ∴∠EFD=∠1    ∠1=∠2
∴∠CGD=∠2∴△AGC为等腰三角形,AC=CG 又 EF=CG ∴EF=AC
5. 已知:AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠C
 
证明:延长AB取点E,使AE=AC,连接DE
∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠CAD∵AE=AC,AD=AD∴△AED≌△ACD  (SAS)
∴∠E=∠C∵AC=AB+BD∴AE=AB+BD∵AE=AB+BE∴BD=BE∴∠BDE=∠E
∵∠ABC=∠E+∠BDE∴∠ABC=2∠E∴∠ABC=2∠C
6. 已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE
证明:
在AE上取F,使EF=EB,连接CF
∵CE⊥AB∴∠CEB=∠CEF=90°
∵EB=EF,CE=CE, ∴△CEB≌△CEF
∴∠B=∠CFE ∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°
∴∠D=∠CFA ∵AC平分∠BAD ∴∠DAC=∠FAC
∵AC=AC ∴△ADC≌△AFC(SAS)
 ∴AD=AF
∴AE=AF+FE=AD+BE
7. 如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。求证:BC=AB+DC。
在BC上截取BF=AB,连接EF
∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠FBE又∵BE=BE∴⊿ABE≌⊿FBE(SAS)
∴∠A=∠BFE∵AB//CD∴∠A+∠D=180º∵∠BFE+∠CFE=180º
∴∠D=∠CFE又∵∠DCE=∠FCE   CE平分∠BCD       CE=CE
∴⊿DCE≌⊿FCE(AAS)∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD


8. 已知:AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证:∠F=∠C
 
AB‖ED,得:∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度,
∵∠EAB=∠BDE,
∴∠AED=∠ABD,
∴四边形ABDE是平行四边形。
∴得:AE=BD,
∵AF=CD,EF=BC,
∴三角形AEF全等于三角形DBC,
∴∠F=∠C。
9. 已知:AB=CD,∠A=∠D,求证:∠B=∠C
 
证明:设线段AB,CD所在的直线交于E,(当AD<BC时,E点是射线BA,CD的交点,当AD>BC时,E点是射线AB,DC的交点)。则:
△AED是等腰三角形。∴AE=DE而AB=CD
∴BE=CE (等量加等量,或等量减等量)
∴△BEC是等腰三角形∴∠B=∠C.
10. P是∠BAC平分线AD上一点,AC>AB,求证:PC-PB<AC-AB
 
在AC上取点E,使AE=AB。∵AE=AB   AP=AP  ∠EAP=∠BAE,∴△EAP≌△BAP
∴PE=PB。PC<EC+PE∴PC<(AC-AE)+PB∴PC-PB<AC-AB。
11. 已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证:AC-AB=2BE
 
证明:在AC上取一点D,使得角DBC=角C
∵∠ABC=3∠C∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C;
∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;∴AB=AD
∴AC – AB =AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD中,AE是角BAD的角平分线,
∴AE垂直BD∵BE⊥AE∴点E一定在直线BD上,在等腰三角形ABD中,AB=AD,AE垂直BD∴点E也是BD的中点∴BD=2BE∵BD=CD=AC-AB∴AC-AB=2BE
12. 已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC
 
∵作AG∥BD交DE延长线于G∴AGE全等BDE ∴AG=BD=5∴AGF∽CDF
  AF=AG=5∴DC=CF=2
13. 如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:AD⊥BC.
解:延长AD至BC于点E,
    ∵BD=DC  ∴△BDC是等腰三角形
    ∴∠DBC=∠DCB    又∵∠1=∠2   ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2
    即∠ABC=∠ACB    ∴△ABC是等腰三角形    ∴AB=AC 
 在△ABD和△ACD中    AB=AC   ∠1=∠2      BD=DC
     ∴△ABD和△ACD是全等三角形(边角边)
     ∴∠BAD=∠CAD     ∴AE是△ABC的中垂线
     ∴AE⊥BC     ∴AD⊥BC
14. 如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.
求证:∠OAB=∠OBA
证明:∵OM平分∠POQ∴∠POM=∠QOM∵MA⊥OP,MB⊥OQ
∴∠MAO=∠MBO=90
∵OM=OM∴△AOM≌△BOM  (AAS)∴OA=OB∵ON=ON
∴△AON≌△BON  (SAS)∴∠OAB=∠OBA,∠ONA=∠ONB
∵∠ONA+∠ONB=180∴∠ONA=∠ONB=90∴OM⊥AB
15. (5分)如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证:AD+BC=AB.
做BE的延长线,与AP相交于F点,∵PA//BC
∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB为直角三角形
在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线
∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF
在三角形DEF与三角形BEC中,
∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,
∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC
∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

16. 如图:DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。求证:△AED≌△BFC。
 
证明:∵DF=CE,∴DF-EF=CE-EF,即DE=CF,在△AED和△BFC中,∵ AD=BC, ∠D=∠C ,DE=CF ∴△AED≌△BFC(SAS)
17. 如图:AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。求证:AM是△ABC的中线。
 
证明:∵BE‖CF∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
18. (10分)如图:在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。求证:BD⊥AC。
 
∵△ABD和△BCD的三条边都相等∴△ABD=△BCD∴∠ADB=∠CD∴∠ADB=∠CDB=90°
∴BD⊥AC
19. (10分)AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。求证:BF=CF
 
在△ABD与△ACD中AB=AC  BD=DC AD=AD △ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC
在△BDF与△FDC中BD=DC∠BDF=∠FDC DF=DF ∴△FBD≌△FCD ∴BF=FC
20. (12分)如图:AB=CD,AE=DF,CE=FB。求证:AF=DE。
 
∵AB=DC  AE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FB∴△ABE=△CDF∵∠DCB=∠ABF  AB=DC BF=CE    △ABF=△CDE∴AF=DE
21. 公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上.
 
证明:连接EF∵AB∥CD∴∠B=∠C∵M是BC中点∴BM=CM在△BEM和△CFM中BE=CF∠B=∠C  BM=CM∴△BEM≌△CFM(SAS)∴CF=BE
22. 已知:点A、F、E、C在同一条直线上, AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证:△ABE≌△CDF.
 
∵AF=CE,FE=EF.∴AE=CF.∵DF//BE,∴∠AEB=∠CFD(两直线平行,内错角相等)
∵BE=DF∴:△ABE≌△CDF(SAS)
23. 已知:如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证: AE=AF。


连接BD;∵AB=AD BC=D∴∠ADB=∠ABD  ∠CDB=∠ABD;两角相加,∠ADC=∠ABC;
∵BC=DC   E\F是中点∴DE=BF;∵AB=AD  DE=BF∠ADC=∠ABC∴AE=AF。
24. 如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6.                            
 
证明:在△ADC,△ABC中∵AC=AC,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA
∴△ADC≌△ABC(两角加一边)∵AB=AD,BC=CD
在△DEC与△BEC中∠BCA=∠DCA,CE=CE,BC=CD
∴△DEC≌△BEC(两边夹一角)∴∠DEC=∠BEC
25. 已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证:△ABC≌△DEF.
 
∵AD=DF∴AC=DF∵AB//DE∴∠A=∠EDF又∵BC//EF∴∠F=∠BCA
∴△ABC≌△DEF(ASA)
26. 已知:如图,AB=AC,BDAC,CEAB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F,求证:BE=CD.
 
证明:∵BD⊥AC∴∠BDC=90°∵CE⊥AB∴∠BEC=90°∴∠BDC=∠BEC=90°
∵AB=AC∴∠DCB=∠EBC∴BC=BC∴Rt△BDC≌Rt△BEC(AAS)∴BE=CD
27. 如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。
求证:DE=DF.
 
证明:∵AD是∠BAC的平分线∴∠EAD=∠FAD∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠BFD=∠CFD=90°∴∠AED与∠AFD=90°在△AED与△AFD中
∠EAD=∠FAD  AD=AD  ∠AED=∠AFD
∴△AED≌△AFD(AAS) ∴AE=AF在△AEO与△AFO中
 ∠EAO=∠FAO   AO=AO  AE=AF∴△AEO≌△AFO(SAS)
∴∠AOE=∠AOF=90°∴AD⊥EF
28. 已知:如图, AC BC于C , DE AC于E , AD AB于A , BC =AE.若AB = 5 ,求AD 的长?
 
∵AD⊥AB∴∠BAC=∠ADE又∵AC⊥BC于C,DE⊥AC于E
根据三角形角度之和等于180度∴∠ABC=∠DAE∵BC=AE,△ABC≌△DAE(ASA)
∴AD=AB=5
29. 如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。求证:(1)EC=BF;(2)EC⊥BF
 (1)∵AE⊥AB,AF⊥AC,∴∠BAE=∠CAF=90°,∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC,即∠EAC=∠BAF,在△ABF和△AEC中,∵AE=AB,∠EAC=∠BAF,AF=AC,∴△ABF≌△AEC(SAS),∴EC=BF;
(2)如图,根据(1),△ABF≌△AEC,∴∠AEC=∠ABF,∵AE⊥AB,∴∠BAE=90°,∴∠AEC+∠ADE=90°,∵∠ADE=∠BDM(对顶角相等),∴∠ABF+∠BDM=90°,在△BDM中,∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°,∴EC⊥BF.
30. 如图:BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。求证:(1)AM=AN;(2)AM⊥AN。
 
证明:(1)∵BE⊥AC,CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC,CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN
(2)∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥AN

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